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文档介绍
全国中考数学分类解析专题 动态型问题
2012年全国中考数学试题分类解析汇编 专题55:动态型问题 一、选择题 1. (2012安徽省4分)如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP= x,则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是【 】 【答案】D。 【考点】动点问题的函数图象,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 【分析】利用AB与⊙O相切,△BAP是直角三角形,把直角三角形的直角边表示出来,从而用x表示出三角形的面积,根据函数解析式确定函数的图象: ∵AB与⊙O相切,∴∠BAP=90°, ∵OP=x,AP=2-x,∠BPA=60°,∴AB=, ∴△APB的面积,(0≤x≤2)。 ∴△PAB的面积y关于x的函数图像是经过(2,0)的抛物线在0≤x≤2的部分。故选D。 2. (2012浙江嘉兴、舟山4分)如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线A→B→D→C→A的路径运动,回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为长为x,AP长为y,则y关于x的函数图象大致是【 】 A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】动点问题的函数图象。 【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动,因此,y关于x的函数图象分为四部分:A→B,B→D,D→C,C→A。 当动点P在A→B上时,函数y随x的增大而增大,且y=x,四个图象均正确。 当动点P在B→D上时,函数y在动点P位于BD中点时最小,且在中点两侧是对称的,故选项B错误。 当动点P在D→C上时,函数y随x的增大而增大,故选项A,C错误。 当动点P在C→A上时,函数y随x的增大而减小。故选项D正确。故选D。 3. (2012浙江温州4分)如图,在△ABC中,∠C=90°,M是AB的中点,动点P从点A出发, 沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动到终点B.已知P,Q两点同时出发,并同时到达终点.连结MP,MQ,PQ.在整个运动过程中,△MPQ的面积大小变化情况是【 】 A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小 【答案】C。 【考点】动点问题的函数图象。 【分析】如图所示,连接CM,∵M是AB的中点, ∴S△ACM=S△BCM=S△ABC, 开始时,S△MPQ=S△ACM=S△ABC; 由于P,Q两点同时出发,并同时到达终点,从而点P到达AC的中点时,点Q也到达BC的中点,此时,S△MPQ=S△ABC; 结束时,S△MPQ=S△BCM=S△ABC。 △MPQ的面积大小变化情况是:先减小后增大。故选C。 4. (2012江苏无锡3分)如图,以M(﹣5,0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A.B两点,P是⊙M上异于A.B的一动点,直线PA.PB分别交y轴于C.D,以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F,则EF的长【 】 A. 等于4 B. 等于4 C. 等于6 D. 随P点 【答案】C。 【考点】圆周角定理,三角形内角和定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理,勾股定理。 【分析】 连接NE,设圆N半径为r,ON=x,则OD=r﹣x,OC=r+x, ∵以M(﹣5,0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A.B两点, ∴OA=4+5=9,0B=5﹣4=1。 ∵AB是⊙M的直径,∴∠APB=90°。 ∵∠BOD=90°,∴∠PAB+∠PBA=90°,∠ODB+∠OBD=90°。 ∵∠PBA=∠OBD,∴∠PAB=∠ODB。 ∵∠APB=∠BOD=90°,∴△OBD∽△OCA。∴,即,即r2﹣x2=9。 由垂径定理得:OE=OF, 由勾股定理得:OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9。∴OE=OF=3,∴EF=2OE=6。 故选C。 5. (2012湖北黄冈3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P 从点A 出发,沿AB方向以 每秒cm的速度向终点B运动;同时,动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动,将 △PQC沿BC翻折,点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒,若四边形QPCP′为菱形,则t的值为【 】 A. B. 2 C. D. 4 【答案】B。 【考点】动点问题,等腰直角三角形的性质,翻折对称的性质,菱形的性质,矩形。 【分析】如图,过点P作PD⊥AC于点D,连接PP′。 由题意知,点P、P′关于BC对称,∴BC垂直平分PP′。 ∴QP=QP′,PE=P′E。 ∴根据菱形的性质,若四边形QPCP′是菱形则CE=QE。 ∵∠C=90°,AC=BC,∴∠A=450。 ∵AP=t,∴PD= t。 易得,四边形PDCE是矩形,∴CE=PD= t,即CE=QE= t。 又BQ= t,BC=6,∴3 t=6,即t=2。 ∴若四边形QPCP′为菱形,则t的值为2。故选B。 6. (2012四川攀枝花3分)如图,直角梯形AOCD的边OC在x轴上,O为坐标原点,CD垂直于x轴,D(5,4),AD=2.若动点E、F同时从点O出发,E点沿折线OA→AD→DC运动,到达C点时停止;F点沿OC运动,到达C点是停止,它们运动的速度都是每秒1个单位长度.设E运动秒x时,△EOF的面积为y(平方单位),则y关于x的函数图象大致为【 】 A.B.C.D. 【答案】 C。 【考点】动点问题的函数图象,勾股定理,相似三角形的判定和性质,抛物线和直线的性质。 【分析】如图,过点A作AG⊥OC于点G。 ∵D(5,4),AD=2,∴OC=5,CD=4,OG=3。 ∴根据勾股定理,得OA=5。 ∵点E、F的运动的速度都是每秒1个单位长度, ∴点E运动x秒(x<5)时,OE=OF=x。 ∴当点E在OA上运动时,点F在OC上运动,当点E在AD和DC上运动时,点F在点C停止。 (1)当点E在OA上运动,点F在OC上运动时,如图,作EH⊥OC于点H。 ∴EH∥AG。∴△EHO∽△AGO。∴,即。 ∴。∴。 此时,y关于x的函数图象是开口向上的抛物线。 故选项A.B选项错误。 (2)当点E在AD上运动,点F在点C停止时,△EOF的面积不变。 ∴。 (3)当点E在DC上运动,点F在点C停止时,如图。 EF=OA+AD+DC﹣x =11﹣x,OC=5。 ∴。 此时,y关于x的函数图象是直线。 故选项D选项错误,选项C正确。故选C。 7. (2012四川内江3分)如图,正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发,以每秒1cm 的速度,沿的方向运动,到达点C时停止,设运动时间为x(秒),,则y关于x的函数的图像大致为【 】 A. B. C. D. 【答案】C。 【考点】动点问题的函数图象,正三角形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,勾股定理。 【分析】如图,过点C作CD垂直AB于点D,则 ∵正△ABC的边长为3,∴∠A=∠B=∠C=60°,AC=3。 ∴AD=,CD=。 ①当0≤x≤3时,即点P在线段AB上时,AP=x,PD=(0≤x≤3)。 ∴(0≤x≤3)。 ∴该函数图象在0≤x≤3上是开口向上的抛物线。 ②当3<x≤6时,即点P在线段BC上时,PC=(6-x)(3<x≤6); ∴y=(6-x)2=(x-6)2(3<x≤6), ∴该函数的图象在3<x≤6上是开口向上的抛物线。 综上所述,该函数为。符合此条件的图象为C。故选C。 8. (2012四川广元3分) 如图,点A的坐标为(-1,0),点B在直线上运动,当线段AB最短时, 点B的坐标为【 】 A.(0,0) B.(,) C.(,) D.(,) 【答案】B。 【考点】一次函数的性质,垂线段最短的性质,等腰直角三角形的判定和性质。 【分析】如图,过点A作AB′⊥OB,垂足为点B′,过B′作B′C⊥x轴,垂足为C。 由垂线段最短可知,当B′与点B重合时AB最短。 ∵点B在直线y=x上运动,∴△AOB′是等腰直角三角形。 ∴△B′CO为等腰直角三角形。 ∵点A的坐标为(-1,0),∴OC=CB′=OA=×1=。 ∴B′坐标为(-,- )。 ∴当线段AB最短时,点B的坐标为(-,- )。故选B。 9. (2012四川巴中3分)如图,点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点,其由点A开始沿 AB边运动到B,再沿BC边运动到C为止,设运动时间为t,△ACP的面积为S,则S与t的大致图象是 【 】 【答案】C。 【考点】动点问题的函数图象,正三角形的性质。 【分析】设等边三角形的边长为a,高为,点P的运动速度为v,根据等 边三角形的性质可得出点P在AB上运动时△ACP的面积为,也可 得出点P在BC上运动时△ACP1的面积为。 可见,△ACP的面积S都是关于t的一次函数关系式。 如图,根据正三角形轴对称的性质,当AP=AP1时,两三角形全等,它们是关于BD(AC边上的 中线)对称的,其中当点P与点B重合时面积最大。 ∴点P在在AB上运动和在BC上运动得到的三角形是对称的。故选C。 10. (2012四川乐山3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论: ①△DFE是等腰直角三角形; ②四边形CEDF不可能为正方形; ③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化; ④点C到线段EF的最大距离为. 其中正确结论的个数是【 】 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B。 【考点】全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理,勾股定理。 【分析】①连接CD(如图1)。 ∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB。 ∵AE=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS)。 ∴ED=DF,∠CDF=∠EDA。 ∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。 ∴△DFE是等腰直角三角形。 故此结论正确。 ②当E、F分别为AC、BC中点时,∵由三角形中位线定理,DE平行且等于BC。 ∴四边形CEDF是平行四边形。 又∵E、F分别为AC、BC中点,AC=BC,∴四边形CEDF是菱形。 又∵∠C=90°,∴四边形CEDF是正方形。 故此结论错误。 ③如图2,分别过点D,作DM⊥AC,DN⊥BC,于点M,N, 由②,知四边形CMDN是正方形,∴DM=DN。 由①,知△DFE是等腰直角三角形,∴DE=DF。 ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)。 ∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。 ∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。 故此结论错误。 ④由①,△DEF是等腰直角三角形,∴DE=EF。 当DF与BC垂直,即DF最小时, EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。 故此结论正确。 故正确的有2个:①④。故选B。 11. (2012辽宁鞍山3分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=BC=4,DE⊥BC于点E,且E是BC中点;动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动;设点P的运动时间为t秒,△PBC的面积为S,则下列能反映S与t的函数关系的图象是【 】 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】动点问题的函数图象。 【分析】分别求出点P在DE、AD、AB上运动时,S与t的函数关系式,结合选项即可得出答案: 根据题意得:当点P在ED上运动时,S=BC•PE=2t; 当点P在DA上运动时,此时S=8; 当点P在线段AB上运动时,S=BC(AB+AD+DE-t)=5-t。 结合选项所给的函数图象,可得B选项符合。故选B。 12. (2012辽宁铁岭3分)如图,□ABCD的AD边长为8,面积为32,四个全等的小平行四边形对称中心分别在□ABCD的顶点上,它们的各边与□ABCD的各边分别平行,且与□ABCD相似.若小平行四边形的一边长为x,且0<x≤8,阴影部分的面积的和为y,则y与x之间的函数关系的大致图象是【 】 A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】动点问题的函数图象,平行四边形的性质,相似多边形的性质。 【分析】∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在□ABCD的顶点上, ∴阴影部分的面积的和等于一个小平行四边形的面积。 ∵□ABCD的AD边长为8,面积为32,小平行四边形的一边长为x,阴影部分的面积的和为y,且小平行四边形与□ABCD相似, ∴,即。 又∵0<x≤8,∴纵观各选项,只有D选项图象符合y与x之间的函数关系的大致图象。故选D。 13. (2012辽宁营口3分)如图,菱形ABCD的边长为2,∠B=.动点P从点B出发,沿B-C-D的路线向点D运动.设△ABP的面积为(B、P两点重合时,△ABP的面积可以看做0),点P运动的路程为,则与之间函数关系的图像大致为【 】 【答案】C。 【考点】动点问题的函数图象,菱形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 【分析】当点P在BC上运动时,如图,△ABP的高PE=BPsin∠B=, ∴△ABP的面积。 当点P在BC上运动时,如图,△ABP的高PF=BCsin∠B=1, ∴△ABP的面积。 因此,观察所给选项,只有C符合。故选C。 14. (2012山东德州3分)由图中三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变换,不能得到的图形是【 】 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】几何变换的性质。 【分析】根据平移、旋转和轴对称的性质即可得出正确结果: A、图中三角形经过一次平移变换可得,故选项错误; B、图中三角形需经过一次旋转和一次轴对称变换后,才能得到,故选项正确; C、图中三角形经过一次轴对称变换可得,故选项错误; D、图中三角形经过一次旋转变换可得,故选项错误。 故选B。 15. (2012山东烟台3分)如图,矩形ABCD中,P为CD中点,点Q为AB上的动点(不与A,B重合).过Q作QM⊥PA于M,QN⊥PB于N.设AQ的长度为x,QM与QN的长度和为y.则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是【 】 A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】动点问题的函数图象。 【分析】如图,连接PQ,作PE⊥AB垂足为E, ∵过Q作QM⊥PA于M,QN⊥PB于N, ∴S△PAB=PE×AB,S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN•PB+×PA×MQ。 ∵矩形ABCD中,P为CD中点,∴PA=PB。 ∵QM与QN的长度和为y, ∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN×PB+×PA×MQ=PB(QM+QN)=PBy。 ∴S△PAB=PE×AB=PBy,∴。 ∵PE=AD,∴PB,AB,PB都为定值。 ∴y的值为定值,符合要求的图形为D。故选D。 16. (2012山东济南3分)如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为【 】 A. B. C.5 D. 【答案】A。 【考点】矩形的性质,直角三角形斜边上的中线性质,三角形三边关系,勾股定理。 【分析】如图,取AB的中点E,连接OE、DE、OD, ∵OD≤OE+DE, ∴当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大, 此时,∵AB=2,BC=1,∴OE=AE=AB=1。 DE=, ∴OD的最大值为:。故选A。 17. (2012山东临沂3分)如图,正方形ABCD的边长为4cm,动点P、Q同时从点A出发,以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动,设运动时间为x(单位:s),四边形PBDQ的面积为y(单位:cm2),则y与x(0≤x≤8)之间函数关系可以用图象表示为【 】 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】动点问题的函数图象。 【分析】①0≤x≤4时,y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣•x•x=﹣x2+8, ②4≤x≤8时,y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣•(8﹣x)•(8﹣x)=﹣(8﹣x)2+8, ∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示,纵观各选项,只有B选项图象符合。故选B。 18. (2012广西桂林3分)如图,在边长为4的正方形ABCD中,动点P从A点出发,以每秒1个单位 长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运 动,当P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动.设P点运动的时间为t,△APQ的面积为S,则S与t 的函数关系的图象是【 】 A. B. C.D. 【答案】D。 【考点】动点问题的函数图象,正方形的性质。 【分析】∵动点Q从B点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动, ∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒。 由题意得,当0≤t≤2时,即点P在AB上,点Q在BC上,AP=t,BQ=2t, ,为开口向上的抛物线的一部分。 当2<t≤4时,即点P在AB上,点Q在DC上,AP=t,AP上的高为4, ,为直线(一次函数)的一部分。 观察所给图象,符合条件的为选项D。故选D。 19. (2012广西北海3分)如图,等边△ABC的周长为6π,半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置 出发,在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,则⊙O自转了:【 】 A.2周 B.3周 C.4周 D.5周 【答案】C。 【考点】等边三角形的性质,直线与圆的位置关系。 【分析】该圆运动可分为两部分:在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角,分别计算即可得到圆的自传周数: ⊙O在三边运动时自转周数:6π÷2π =3: ⊙O绕过三角形外角时,共自转了三角形外角和的度数:360°,即一周。 ∴⊙O自转了3+1=4周。故选C。 20. (2012广西来宾3分)如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是【 】 A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A。 【考点】动点问题,切线的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 【分析】如图,当点P运动到点P′,即AP′与⊙O相切时,∠OAP最大。 连接O P′,则A P′⊥O P′,即△AO P′是直角三角形。 ∵OB=AB,OB= O P′,∴OA=2 O P′。 ∴。∴∠OAP′=300,即∠OAP的最大值是=300。故选A。 21. (2012甘肃白银3分)如图,C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D,E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x,DE=y,下列中图象中,能表示y与x的函数关系式的图象大致是【 】 A.B.C.D. 【答案】 A。 【考点】函数的图象。 【分析】如图,根据题意知,当点C在AB上运动时,DE是一组平行线段,线段DE从左向右运动先变长,当线段DE过圆心时为最长,然后变短,有最大值,开口向下。观察四个选项,满足条件的是选项A。故选A。 22. (2012甘肃兰州4分)如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动,设运动时间为t(s)(0≤t<3),连接EF,当△BEF是直角三角形时,t(s)的值为【 】 A. B.1 C.或1 D.或1或 【答案】D。 【考点】动点问题,圆周角定理,含30度角的直角三角形的性质,三角形中位线定理。 【分析】若△BEF是直角三角形,则有两种情况:①∠BFE=90°,②∠BEF=90°,分别讨论如下: ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°。 Rt△ABC中,BC=2,∠ABC=60°,∴AB=2BC=4cm。 ①当∠BFE=90°时; Rt△BEF中,∠ABC=60°,则BE=2BF=2cm。 ∴此时AE=AB-BE=2cm。 ∵E点沿着A→B→A方向运动,∴E点运动的距离为:2cm或6cm。 ∵点E以2cm/s的速度运动,∴t=1s或3s。 ∵0≤t<3,∴t=3s不合题意,舍去。 ∴当∠BFE=90°时,t=1s。 ②当∠BEF=90°时, 同①可求得BE=cm,此时AE=AB-BE=cm。 ∵E点沿着A→B→A方向运动,∴E点运动的距离为:3.5cm或4.5cm。 ∵点E以2cm/s的速度运动,∴t=s或s(二者均在0≤t<3内)。 综上所述,当t的值为1、或s时,△BEF是直角三角形。故选D。 23. (2012黑龙江绥化3分)如图,点A、B、C、D为⊙O的四等分点,动点P从圆心O出发, 沿OC的路线做匀速运动,设运动的时间为t秒,∠APB的度数为y度,则下列图象中表示y(度)与t(秒)之间函数关系最恰当的是【 】 A.B.C.D. 【答案】C。 【考点】动点问题的函数图象,三角形外角性质,圆周角定理。 【分析】当动点P在OC上运动时,根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质,得∠APB逐渐减小;当动P在 CD 上运动时,根据同弧所以圆周角相等性质,得∠APB不变; 当动P在DO上运动时,同样根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质,得∠APB逐渐增大。故选C。 24. (2012黑龙江龙东地区3分)如图所示,四边形ABCD是边长为4cm的正方形,动点P在正方形ABCD 的边上沿着A→B→C→D的路径以1cm/s的速度运动,在这个运动过程中△APD的面积s(cm2)随时间t(s) 的变化关系用图象表示,正确的是【 】 A . B . C . D. 【答案】D。 【考点】动点问题的函数图象。 【分析】分别判断点P在AB、在BC上分别运动时,△APD的面积s(cm2)的变化情况用排它法求解即可: 点P在AB上运动时,△APD的面积S将随着时间的增多而不断增大,可排除B; 点P在BC上运动时,△APD的面积s随着时间的增多而不再变化,可排除A和C。故选D。 二、填空题 1. (2012浙江义乌4分)如图,已知点A(0,2)、B(,2)、C(0,4),过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连接AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ,连接PB、BA.若四边形ABPQ为梯形,则: (1)当AB为梯形的底时,点P的横坐标是 ▲ ; (2)当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 ▲ 【答案】,。 【考点】梯形的性质,等边三角形的性质,锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值,平行四边形的判定和性质。 【分析】(1)如图1:当AB为梯形的底时,PQ∥AB, ∴Q在CP上。 ∵△APQ是等边三角形,CP∥x轴, ∴AC垂直平分PQ。 ∵A(0,2),C(0,4),∴AC=2。 ∴。 ∴当AB为梯形的底时,点P的横坐标是:。 (2)如图2,当AB为梯形的腰时,AQ∥BP,∴Q在y轴上。∴BP∥y轴。 ∵CP∥x轴,∴四边形ABPC是平行四边形。∴CP=AB=。 ∴当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是:。 2. (2012江苏苏州3分)如图①,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=60°,动点P从A点出发,以1cm/s 的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动,直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S(单位:) 与点P移动的时间t(单位:s)的函数关系式如图②所示,则点P从开始移动到停止移动一共用了 ▲ 秒 (结果保留根号). 【答案】4+。 【考点】动点问题的函数图象,矩形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,勾股定理。 【分析】由图②可知,t在2到4秒时,△PAD的面积不发生变化, ∴在AB上运动的时间是2秒,在BC上运动的时间是4-2=2秒。 ∵动点P的运动速度是1cm/s,∴AB=2,BC=2。 过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F, 则四边形BCFE是矩形。∴BE=CF,BC=EF=2。 ∵∠A=60°, ∴,。 ∵由图②可△ABD的面积为, ∴,即, 解得AD=6。 ∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3。 在Rt△CDF中,, ∴动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+=4+(cm)。 ∵动点P的运动速度是1cm/s, ∴点P从开始移动到停止移动一共用了(4+)÷1=4+s。 3. (2012江苏扬州3分)如图,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是 ▲ . 【答案】1。 【考点】动点问题,等腰直角三角形的性质,平角定义,勾股定理,二次函数的最值。 【分析】设AC=x,则BC=2-x, ∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形, ∴∠DCA=45°,∠ECB=45°,DC=,CE= 。 ∴∠DCE=90°。 ∴DE2=DC2+CE2=()2+[]2=x2-2x+2=(x-1)2+1。 ∴当x=1时,DE2取得最小值,DE也取得最小值,最小值为1。 4. (2012福建厦门4分)如图,已知∠ABC=90°,AB=πr,BC= ,半径为r的⊙O从点A出发,沿A→B→C方向滚动到点C时停止.请你根据题意,在图上画出圆心O运动路径的示意图;圆心O运动的路程是 ▲ . 【答案】2πr。 【考点】作图题,弧长的计算。 【分析】根据题意画出图形,将运动路径分为三部分:OO1,O1O2 ,O2O3,分别计算出各部分的长再相加即可: 圆心O运动路径如图: ∵OO1=AB=πr;O1O2 =;O2O3=BC= , ∴圆心O运动的路程是πr++ =2πr。 5. (2012湖北鄂州3分)在锐角三角形ABC中,BC=,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是 ▲ 。 【答案】4。 【考点】最短路线问题,全等三角形的判定和性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 【分析】如图,在BA上截取BE=BN,连接EM。 ∵∠ABC的平分线交AC于点D,∴∠EBM=∠NBM。 在△AME与△AMN中,∵BE=BN ,∠EBM=∠NBM,BM=BM, ∴△BME≌△BMN(SAS)。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。 又∵CM+MN有最小值,∴当CE是点C到直线AB的距离时,CE取最小值。 ∵BC=,∠ABC=45°,∴CE的最小值为sin450=4。 ∴CM+MN的最小值是4。 6. (2012湖北荆门3分)如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同发t秒时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分),则下列结论:①AD=BE=5;②cos∠ABE=;③当0<t≤5时,;④当秒时,△ABE∽△QBP;其中正确的结论是 ▲ (填序号). 【答案】①③④。 【考点】动点问题的函数图象,矩形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义,相似三角形的判定和性质。 【分析】根据图(2)可知,当点P到达点E时点Q到达点C, ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒,∴BC=BE=5。∴AD=BE=5。故结论①正确。 又∵从M到N的变化是2,∴ED=2。∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3。 在Rt△ABE中,, ∴。故结论②错误。 过点P作PF⊥BC于点F, ∵AD∥BC,∴∠AEB=∠PBF,∴sin∠PBF=sin∠AEB=。 ∴PF=PBsin∠PBF=t。 ∴当0<t≤5时,。故结论③正确。 当秒时,点P在CD上, 此时,PD=-BE-ED=,PQ=CD-PD=4-。 ∵,∴。 又∵∠A=∠Q=90°,∴△ABE∽△QBP。故结论④正确。 综上所述,正确的有①③④。 7. (2012湖南张家界3分)已知线段AB=6,C.D是AB上两点,且AC=DB=1,P是线段CD上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点,点P由点C移动到点D时,G点移动的路径长度为 ▲ . 【答案】2。 【考点】动点问题。等边三角形的性质,平行的判定,平行四边形的判定和性质,三角形中位线定理。 【分析】如图,分别延长AE、BF交于点H,连接HD,过点G作MN∥AB分别交HA、HD于点M、N。 ∵△APE和△PBF是等边三角形, ∴∠A=∠FPB=60°,∠B=∠EPA=60°。 ∴AH∥PF,BH∥PE。∴四边形EPFH为平行四边形。 ∴EF与HP互相平分。 ∵点G为EF的中点, ∴点G也正好为PH中点,即在点P的运动过程中,点G始终为PH的中点。 ∴点G的运行轨迹为△HCD的中位线MN, ∵AB=6, AC=DB=1,∴CD=6﹣1﹣1=4。∴MN=2,即G的移动路径长为2。 8. (2012山东莱芜4分)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP的最小值是 ▲ . 三、解答题 1. (2012上海市14分)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E. (1)当BC=1时,求线段OD的长; (2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由; (3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域. 【答案】解:(1)∵点O是圆心,OD⊥BC,BC=1,∴BD=BC=。 又∵OB=2,∴。 (2)存在,DE是不变的。 如图,连接AB,则。 ∵D和E是中点,∴DE=。 (3)∵BD=x,∴。 ∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠AOB=900。 ∴∠2+∠3=45°。 过D作DF⊥OE,垂足为点F。∴DF=OF=。 由△BOD∽△EDF,得,即 ,解得EF=x。 ∴OE=。 ∴。 【考点】垂径定理,勾股定理,等腰直角三角形的判定和性质,三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)由OD⊥BC,根据垂径定理可得出BD=BC= ,在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长。 (2)连接AB,由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长,再由D和E是中点,根据三角形中位线定理可得出DE= 。 (3)由BD=x,可知,由于∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠2+∠3=45°,过D作DF⊥OE,则DF=OF=,EF=x,OE=,即可求得y关于x的函数关系式。 ∵,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合), ∴。 2. (2012山西省14分)综合与实践:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. (1)求直线AC的解析式及B.D两点的坐标; (2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由. (3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标. 【答案】解:(1)当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3。 ∵点A在点B的左侧,∴A.B的坐标分别为(﹣1,0),(3,0)。 当x=0时,y=3。∴C点的坐标为(0,3)。 设直线AC的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),则 ,解得。 ∴直线AC的解析式为y=3x+3。 ∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点D的坐标为(1,4)。 (2)抛物线上有三个这样的点Q。如图, ①当点Q在Q1位置时,Q1的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q1的坐标为(2,3); ②当点Q在点Q2位置时,点Q2的纵坐标为﹣3,代入抛物线可得点Q2坐标为(1+,﹣3); ③当点Q在Q3位置时,点Q3的纵坐标为﹣3,代入抛物线解析式可得,点Q3的坐标为(1﹣,﹣3)。 综上可得满足题意的点Q有三个,分别为:Q1(2,3),Q2(1+,﹣3),Q3(1﹣,﹣3)。 (3)点B作BB′⊥AC于点F,使B′F=BF,则B′为点B关于直线AC 的对称点.连接B′D交直线AC与点M,则点M为所求。 过点B′作B′E⊥x轴于点E。 ∵∠1和∠2都是∠3的余角,∴∠1=∠2。 ∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴。 由A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)得OA=1,OB=3,OC=3, ∴AC=,AB=4。 ∴,解得。∴BB′=2BF=, 由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB,∴。 ∴。∴B′E=,BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=. ∴B′点的坐标为(﹣,)。 设直线B′D的解析式为y=k2x+b2(k2≠0),则 ,解得。 ∴直线B'D的解析式为:。 联立B'D与AC的直线解析式可得: ,解得。 ∴M点的坐标为()。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,平行四边形的性质,轴对称的性质,直角三角形两锐角的关系,三角形三边关系,勾股定理,相似三角形的判定和性质,解二元一次方程组。 【分析】(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,由抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A.B两点可求得A.B两点的坐标,同样,由由抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C可求得C点的坐标。用待定系数法,可求得直线AC的解析式。由y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4可求得顶点D的坐标。 (2)由于点P 在x轴上运动,故由平行四边形对边平行的性质求得点Q的坐标。 (3)点B作BB′⊥AC于点F,使B′F=BF,则B′为点B关于直线AC 的对称点.连接B′D交直线AC与点M,则根据轴对称和三角形三边关系,知点M为所求。 因此,由勾股定理求得AC=,AB=4。由Rt△AOC∽Rt△AFB求得,从而得到BB′=2BF=。由Rt△AOC∽Rt△B′EB得到B′E=,BE= ,OE=BE﹣OB=﹣3=,从而得到点B′的坐标。用待定系数法求出线B′D的解析式,与直线AC的解析式即可求得点M的坐标。 3. (2012广东梅州11分)如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2)、D(0,3 ),射线l过点D且与x轴平行,点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点,满足∠PQO=60°. (1)①点B的坐标是 ;②∠CAO= 度;③当点Q与点A重合时,点P的坐标为 ;(直接写出答案) (2)设OA的中心为N,PQ与线段AC相交于点M,是否存在点P,使△AMN为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的横坐标为m;若不存在,请说明理由. (3)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围. 【答案】解:(1)①(6,2)。 ②30。③(3,3)。 (2)存在。m=0或m=3﹣或m=2。 (3)当0≤x≤3时, 如图1,OI=x,IQ=PI•tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x; 由题意可知直线l∥BC∥OA, 可得,∴EF=(3+x), 此时重叠部分是梯形,其面积为: 当3<x≤5时,如图2, 当5<x≤9时,如图3, 当x>9时,如图4, 。 综上所述,S与x的函数关系式为: 。 【考点】矩形的性质,梯形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,相似三角形的判定和性质,解直角三角形。 【分析】(1)①由四边形OABC是矩形,根据矩形的性质,即可求得点B的坐标: ∵四边形OABC是矩形,∴AB=OC,OA=BC, ∵A(6,0)、C(0,2),∴点B的坐标为:(6,2)。 ②由正切函数,即可求得∠CAO的度数: ∵,∴∠CAO=30°。 ③由三角函数的性质,即可求得点P的坐标;如图:当点Q与点A重合时,过点P作PE⊥OA于E, ∵∠PQO=60°,D(0,3),∴PE=3。 ∴。 ∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3,∴点P的坐标为(3,3)。 (2)分别从MN=AN,AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案: 情况①:MN=AN=3,则∠AMN=∠MAN=30°, ∴∠MNO=60°。 ∵∠PQO=60°,即∠MQO=60°,∴点N与Q重合。 ∴点P与D重合。∴此时m=0。 情况②,如图AM=AN,作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。 MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600 又, ∴,解得:m=3﹣。 情况③AM=NM,此时M的横坐标是4.5, 过点P作PK⊥OA于K,过点M作MG⊥OA于G, ∴MG=。 ∴。 ∴KG=3﹣0.5=2.5,AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。 综上所述,点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。 (3)分别从当0≤x≤3时,当3<x≤5时,当5<x≤9时,当x>9时去分析求解即可求得答案。 4. (2012广东汕头12分)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC. (1)求AB和OC的长; (2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围; (3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π). 【答案】解:(1)在中, 令x=0,得y=-9,∴C(0,﹣9); 令y=0,即,解得:x1=﹣3,x2=6,∴A(﹣3,0)、B(6,0)。 ∴AB=9,OC=9。 (2)∵ED∥BC,∴△AED∽△ABC,∴,即:。 ∴s=m2(0<m<9)。 (3)∵S△AEC=AE•OC=m,S△AED=s=m2, ∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED =﹣m2+m=﹣(m﹣)2+。 ∴△CDE的最大面积为, 此时,AE=m=,BE=AB﹣AE=。 又, 过E作EF⊥BC于F,则Rt△BEF∽Rt△BCO,得:,即:。 ∴。 ∴以E点为圆心,与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值,勾股定理,直线与圆相切的性质。 【分析】(1)已知抛物线的解析式,当x=0,可确定C点坐标;当y=0时,可确定A、B点的坐标,从而确定AB、OC的长。 (2)直线l∥BC,可得出△AED∽△ABC,它们的面积比等于相似比的平方,由此得到关于s、m的函数关系式;根据题目条件:点E与点A、B不重合,可确定m的取值范围。 (3)①首先用m列出△AEC的面积表达式,△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积,由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式,根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。 ②过E做BC的垂线EF,这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径,可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值,由此得解。 5. (2012广东湛江12分)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0). (1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式; (2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由; (3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形? 【答案】解:(1)N(3,4)。 ∵A(6,0) ∴可设经过O、A、N三点的抛物线的解析式为:y=ax(x﹣6),则将N(3,4)代入得 4=3a(3﹣6),解得a=﹣。 ∴抛物线的解析式:。 (2)存在。过点N作NC⊥OA于C, 由题意,AN=t,AM=OA﹣OM=6﹣t, ∴NC=NA•sin∠BAO=。 ∴。 ∴△MNA的面积有最大值,且最大值为6。 (3)在Rt△NCA中,AN=t,NC=AN•sin∠BAO=,AC=AN•cos∠BAO=t。 ∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N(6﹣t,)。 ∴。 又AM=6﹣t且0<t<6, ①当MN=AN时,,即t2﹣8t+12=0,解得t1=2,t2=6(舍去)。 ②当MN=MA时,,即,解得t1=0(舍去),t2=。 ③当AM=AN时,6﹣t=t,即t=。 综上所述,当t的值取 2或或 时,△MAN是等腰三角形。 【考点】二次函数综合题,动点问题,勾股定理,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,二次函数的最值,等腰三角形的性质。 【分析】(1)由A、B的坐标,可得到OA=6,OB=8,根据勾股定理可得AB=10。 当t=3时,AN=t=5=AB,即N是AB的中点,由此得到点N的坐标N(3,4)。 利用待定系数法,设交点式求出抛物线的解析式。 (2)△MNA中,过N作MA边上的高NC,先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式,而AM=OA-OM,由三角形的面积公式可得到关于S△MNA关于t的函数关系式,由二次函数的最值原理即可求出△MNA的最大面积。 (3)首先求出N点的坐标,然后表示出AM、MN、AN三边的长。由于△MNA的腰和底不确定,若该三角形是等腰三角形,可分三种情况讨论:①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA;直接根据等量关系列方程求解即可。 6. (2012浙江湖州12分)如图1,已知菱形ABCD的边长为,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点.点D的坐标为(- ,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点. (1)求这条抛物线的函数解析式; (2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t< 3 ) ①是否存在这样的t,使△ADF与△DEF相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由; ②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围.(写出答案即可) 【答案】解:(1)由题意得AB的中点坐标为(-3 ,0),CD的中点坐标为(0,3), 分别代入y=ax2+b,得,解得, 。 ∴这条抛物线的函数解析式为y=-x2+3。 (2)①存在。如图2所示,在Rt△BCE中,∠BEC=90°,BE=3,BC= , ∴ 。∴∠C=60°,∠CBE=30°。∴EC=BC=,DE=。 又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120° 要使△ADF与△DEF相似,则△ADF中必有一个角为直角。 (I)若∠ADF=90°,∠EDF=120°-90°=30°。 在Rt△DEF中,DE=,得EF=1,DF=2。 又∵E(t,3),F(t,-t2+3),∴EF=3-(-t2+3)=t2。∴t2=1。 ∵t>0,∴t=1 。 此时,∴。 又∵∠ADF=∠DEF,∴△ADF∽△DEF。 (II)若∠DFA=90°,可证得△DEF∽△FBA,则。 设EF=m,则FB=3-m。 ∴ ,即m2-3m+6=0,此方程无实数根。∴此时t不存在。 (III)由题意得,∠DAF<∠DAB=60°,∴∠DAF≠90°,此时t不存在。 综上所述,存在t=1,使△ADF与△DEF相似。 ②。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,菱形的性质,平移的性质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,平行的性质,相似三角形的判定,解方程和不等式。 【分析】(1)根据已知条件求出AB和CD的中点坐标,然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。 (2)①如图2所示,△ADF与△DEF相似,包括三种情况,需要分类讨论: (I)若∠ADF=90°时,△ADF∽△DEF,求此时t的值。 (II)若∠ADF=90°时,△DEF∽△FBA,利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。 (III)∠DAF≠90°,此时t不存在。 ②画出旋转后的图形,认真分析满足题意要求时,需要具备什么样的限制条件,然后根据限制条件列出不等式,求出t的取值范围: 如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴,分别交抛物线、x轴于点M、点N。 观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足:EE′≤BE且MN≥C′N。 ∵F(t,3-t2),∴EF=3-(3-t2)=t2。∴EE′=2EF=2t2。 由EE′≤BE,得2t2≤3,解得。 又∵C′E′=CE= ,∴C′点的横坐标为t-。∴MN=3-(t-)2, 又C′N=BE′=BE-EE′=3-2t2, ∴由MN≥C′N,得3-(t- )2≥3-2t2,即t2+2t-3≥0。 求出t2+2t-3=0,得,∴t2+2t-3≥0即。 ∵,∴,解得t≥。 ∴t的取值范围为:。 7. (2012浙江绍兴14分)如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,连接AC,抛物线经过A,B两点。 (1)求A点坐标及线段AB的长; (2)若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动,1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO,OC,CB边向点B移动,当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动,点P的移动时间为t秒。 ①当PQ⊥AC时,求t的值; ②当PQ∥AC时,对于抛物线对称轴上一点H,∠HOQ>∠POQ,求点H的纵坐标的取值范围。 【答案】解:(1)由抛物线知:当x=0时,y=﹣2,∴A(0,﹣2)。 ∵四边形OABC是矩形,∴AB∥x轴,即A、B的纵坐标相同。 当y=﹣2时,,解得。∴B(4,﹣2)。 ∴AB=4。 (2)①由题意知:A点移动路程为AP=t,Q点移动路程为7(t-1)=7 t -7。 当Q点在OA上时,即,时, 如图1,若PQ⊥AC,则有Rt△QAP∽Rt△ABC。 ∴,即,解得。 ∵,∴此时t值不合题意。 当Q点在OC上时,即,时, 如图2,过Q点作QD⊥AB。∴AD=OQ=7(t﹣1)﹣2=7t﹣9。 ∴DP=t﹣(7t﹣9)=9﹣6t。 若PQ⊥AC,则有Rt△QDP∽Rt△ABC, ∴,即,解得。 ∵,∴符合题意。 当Q点在BC上时,即,时, 如图3,若PQ⊥AC,过Q点作QG∥AC, 则QG⊥PG,即∠GQP=90°。 ∴∠QPB>90°,这与△QPB的内角和为180°矛盾, 此时PQ不与AC垂直。 综上所述,当时,有PQ⊥AC。 ②当PQ∥AC时,如图4,△BPQ∽△BAC,∴, ∴,解得t=2。 即当t=2时,PQ∥AC。此时AP=2,BQ=CQ=1。 ∴P(2,﹣2),Q(4,﹣1)。 抛物线对称轴的解析式为x=2, 当H1为对称轴与OP的交点时,有∠H1OQ=∠POQ, ∴当yH<﹣2时,∠HOQ>∠POQ。 作P点关于OQ的对称点P′,连接PP′交OQ于点M,过P′作P′N垂直于对称轴,垂足为N,连接OP′, 在Rt△OCQ中,∵OC=4,CQ=1。∴OQ=, ∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3=OQ×PM, ∴PM=。∴PP′=2PM=。 ∵NPP′=∠COQ。∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′。 ∴,即,解得 ,。 ∴P′()。∴直线OP′的解析式为。 ∴OP′与NP的交点H2(2,)。 ∴当时,∠HOP>∠POQ。 综上所述,当或时,∠HOQ>∠POQ。 【考点】二次函数综合题,曲线图上点的坐标与方程的关系,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,二次函数的性质,对称的性质。 【分析】(1)已知抛物线的解析式,将x=0代入即可得A点坐标;由于四边形OABC是矩形,那么A、B纵坐标相同,代入该纵坐标可求出B点坐标,则AB长可求。 (2)①Q点的位置可分:在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析,若PQ⊥AC时,很显然前两种情况符合要求,首先确定这三段上t的取值范围,然后通过相似三角形(或构建相似三角形),利用比例线段来求出t的值,然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。 ②当PQ∥AC时,△BPQ∽△BAC,通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标,可判定P点在抛物线的对称轴上,若P、H1重合,此时有∠H1OQ=∠POQ。若作P点关于OQ的对称点P′,OP′与NP的交点H2,亦可得到∠H2OQ=∠POQ,而题目要求的是∠HOQ>∠POQ,那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的。 8. (2012江苏南通12分)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是BC边的中点.点P从点B出发,以acm/s(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为ts. (1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值; (2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形. ①若a=,求PQ的长; ②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明 理由. 【答案】解:(1)△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点,∴BD=CD=BC=6。 ∵a=2,∴BP=2t,DQ=t。∴BQ=BD-QD=6-t。 ∵△BPQ∽△BDA,∴,即,解得:。 (2)①过点P作PE⊥BC于E, ∵四边形PQCM为平行四边形, ∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM。 ∴PB:AB=CM:AC。 ∵AB=AC,∴PB=CM。∴PB=PQ。 ∴BE=BQ=(6-t)。 ∵a=,∴PB=t。 ∵AD⊥BC,∴PE∥AD。∴PB:AB=BE:BD,即。 解得,t=。 ∴PQ=PB=t=(cm)。 ②不存在.理由如下: ∵四边形PQCM为平行四边形,∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM。 ∴PB:AB=CM:AC。 ∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ。 若点P在∠ACB的平分线上,则∠PCQ=∠PCM, ∵PM∥CQ,∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。 ∴PM=CM。∴四边形PQCM是菱形。∴PQ=CQ。 ∴PB=CQ。 ∵PB=at,CQ=BD+QD=6+t,∴PM=CQ=6+t,AP=AB-PB=10-at,且 at=6+t①。 ∵PM∥CQ,∴PM:BC=AP:AB,∴,化简得:6at+5t=30②。 把①代入②得,t=。 ∴不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上。 9. (2012江苏无锡10分)如图1,A.D分别在x轴和y轴上,CD∥x轴,BC∥y轴.点P从D点出发,以1cm/s的速度,沿五边形OABCD的边匀速运动一周.记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2,点P运动的时间为ts.已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示. (1)求A.B两点的坐标; (2)若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分,求直线PD的函数关系式. 【答案】解:(1)在图1中,连接AD,设点A的坐标为(a,0), 由图2知,当点P到达点A时, DO+OA=6,即DO=6﹣AO=6﹣a, S△AOD=4, ∴DO•AO=4,即(6﹣a)a=4。 ∴a2﹣6a+8=0,解得a=2或a=4。 由图2知,DO>3,∴AO<3。∴a=2。 ∴A的坐标为(2,0),D点坐标为(0,4)。 在图1中,延长CB交x轴于M,由图2,知AB=11﹣6=5,CB=12﹣11=1。 ∴MB=4﹣1=3。∴。∴OM=2+4=6。 ∴B点坐标为(6,3)。 (2)显然点P一定在AB上.设点P(x,y),连PC.PO,则 S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD =(S矩形OMCD﹣S△ABM)=9, ∴×6×(4﹣y)+×1×(6﹣x)=9,即x+6y=12①。 同理,由S四边形DPAO=9可得2x+y=9②。 联立①②,解得x=,y=。∴P(,)。 设直线PD的函数关系式为y=kx+4,将P(,)代入,得=k+4。 解得,k=﹣。 ∴直线PD的函数关系式为y=﹣x+4。 【考点】动点问题,一次函数综合题,矩形的性质,勾股定理,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】(1)连接AD,设点A的坐标为(a,0),由图2得出DO=6﹣AO和S△AOD=4,即可得出DO•AO=4,从而得出a的值,再根据图2得出A的坐标。 延长CB交x轴于M,根据D点的坐标得出AB=5,CB=1,即可由勾股定理求出AM,从而得出点B的坐标。 (2)设点P(x,y),连PC.PO,得出S四边形DPBC和S四边形DPAO的面积,再进行整理,即可得出x与y的关系,联立求出x、y的值,即可得出P点的坐标。再用待定系数法求出设直线PD的函数关系式。 10. (2012江苏徐州8分)如图1,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AD=4cm,AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发,点E以1 cm/s的速度沿边DA向点A移动,点F以1 cm/s的速度沿边BC向点C移动,点F移动到点C时,两点同时停止移动。以EF为边作正方形EFGH,点F出发xs时,正方形EFGH的面积为ycm2。已知y与x的函数图象是抛物线的一部分,如图2所示。请根据图中信息,解答下列问题: (1)自变量x的取值范围是 ▲ ; (2)d= ▲ ,m= ▲ ,n= ▲ ; (3)F出发多少秒时,正方形EFGH的面积为16cm2? 【答案】解:(1)0≤x≤4。 (2)3,2,25. (3)过点E作EI⊥BC垂足为点I。则四边形DEIC为矩形。 ∴EI=DC=3,CI=DE=x。 ∵BF=x,∴IF=4-2x。 在Rt△EFI中,。 ∵y是以EF为边长的正方形EFGH的面积, ∴。 当y=16时,, 解得,。 ∴F出发或秒时,正方形EFGH的面积为16cm2。 【考点】动点问题,矩形的判定和性质,平行线间垂直线段的性质,勾股定理,解一元二次方程。 【分析】(1)自变量x的取值范围是点F从点C到点B的运动时间,由时间=距离÷速度,即可求。 (2)由图2知,正方形EFGH的面积的最小值是9,而正方形EFGH的面积最小时,根据地两平行线间垂直线段最短的性质,得d=AB=EF=3。 当正方形EFGH的面积最小时,由BF=DE和EF∥AB得,E、F分别为AD、BC的中点,即m=2。 当正方形EFGH的面积最大时,EF等于矩形ABCD的对角线,根据勾股定理,它为5,即n=25。 (3)求出正方形EFGH的面积y关于x的函数关系式,即可求得F出发或秒时,正方形EFGH的面积为16cm2。 11. (2012江苏盐城12分) 知识迁移: 当且时,因为≥,所以≥,从而≥(当 时取等号).记函数,由上述结论可知:当时,该函数有最小值为. 直接应用:已知函数与函数, 则当_________时,取得最小值 为_________. 变形应用:已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该 最小值时相应的的值. 实际应用:已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分:一是固定费用,共元;二是燃油费,每 千米为元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米, 求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低?最低是多少元? 【答案】解:直接应用:1;2 。 变形应用:∵ , ∴有最小值为。 当,即时取得该最小值。 实际应用:设该汽车平均每千米的运输成本为元,则 , ∴当(千米)时, 该汽车平均每千米的运输成本最低, 最低成本为元。 【考点】二次函数的应用,几何不等式。 【分析】直接运用:可以直接套用题意所给的结论,即可得出结果: ∵函数,由上述结论可知:当时,该函数有最小值为, ∴函数与函数,则当时,取得最小值为。 变形运用:先得出的表达式,然后将看做一个整体,再运用所给结论即可。 实际运用:设该汽车平均每千米的运输成本为元,则可表示出平均每千米的运输成本,利用所 给的结论即可得出答案。 12. (2012江苏常州9分)已知,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x,DE=y。 (1)写出y与x之间的函数关系式 ▲ ; (2)若点E与点A重合,则x的值为 ▲ ; (3)是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在,求x的值;若不存在,请说明理由。 【答案】解:(1)y=-x2+4x。 (2)或。 (3)存在。 过点P作PH⊥AB于点H。则 ∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上, ∴P D′=PD=4-x,E D′=ED= y=-x2+4x,EA=AD-ED= x2-4x+2,∠P D′E=∠D=900。 在Rt△D′P H中,PH=2, D′P =DP=4-x,D′H=。 ∵∠ E D′A=1800-900-∠P D′H=900-∠P D′H=∠D′P H,∠P D′E=∠P HD′ =900, ∴△E D′A∽△D′P H。∴,即, 即,两边平方并整理得,2x2-4x+1=0。解得。 ∵当时,y=, ∴此时,点E已在边DA延长线上,不合题意,舍去(实际上是无理方程的增根)。 ∵当时,y=, ∴此时,点E在边AD上,符合题意。 ∴当时,点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。 【考点】矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,折叠对称的性质,解无理方程。 【分析】(1)∵CM=1,CP=x,DE=y,DP=4-x,且△MCP∽△PDE, ∴,即。∴y=-x2+4x。 (2)当点E与点A重合时,y=2,即2=-x2+4x,x2-4x+2=0。 解得。 (3)过点P作PH⊥AB于点H,则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上,可得△E D′A与△D′P H相似,由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。 13. (2012江苏苏州9分)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD 以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合.在移动过程中,边AD始终与边FG重合, 连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH 的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中 0≤x≤2.5. ⑴试求出y关于x的函数关系式,并求出y =3时相应x的值; ⑵记△DGP的面积为S1,△CDG的面积为S2.试说明S1-S2是常数; ⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长. 【答案】解:(1)∵CG∥AP,∴∠CGD=∠PAG,则。∴。 ∵GF=4,CD=DA=1,AF=x,∴GD=3-x,AG=4-x。 ∴,即。∴y关于x的函数关系式为。 当y =3时,,解得:x=2.5。 (2)∵, ∴为常数。 (3)延长PD交AC于点Q. ∵正方形ABCD中,AC为对角线,∴∠CAD=45°。 ∵PQ⊥AC,∴∠ADQ=45°。 ∴∠GDP=∠ADQ=45°。 ∴△DGP是等腰直角三角形,则GD=GP。 ∴,化简得:,解得:。 ∵0≤x≤2.5,∴。 在Rt△DGP中,。 【考点】正方形的性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 【分析】(1)根据题意表示出AG、GD的长度,再由可解出x的值。 (2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2,然后作差即可。 (3)延长PD交AC于点Q,然后判断△DGP是等腰直角三角形,从而结合x的范围得出x的值,在Rt△DGP中,解直角三角形可得出PD的长度。 14. (2012江苏南京10分)如图,A、B为⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B重合),我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。 (1)已知∠APB是上关于点A、B的滑动角。 ① 若AB为⊙O的直径,则∠APB= ② 若⊙O半径为1,AB=,求∠APB的度数 (2)已知为外一点,以为圆心作一个圆与相交于A、B两点,∠APB为上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交于点M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。 【答案】解:(1)①900。 ②如图,连接AB、OA、OB. 在△AOB中,∵OA=OB=1.AB=,∴OA2+OB2=AB2。 ∴∠AOB=90°。 当点P在优弧 AB 上时(如图1),∠APB=∠AOB=45°; 当点P在劣弧 AB 上时(如图2), ∠APB=(360°-∠AOB)=135°。 (2)根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况. 第一种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点B在点P与点N之间,如图3, ∵∠MAN=∠APB+∠ANB, ∴∠APB=∠MAN-∠ANB。 第二种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点N在点P与点B之间,如图4, ∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+(180°-∠ANB), ∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°。 第三种情况:点P在⊙O2外,且点M在点P与点A之间,点B在点P与点N之间,如图5, ∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°, ∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB。 第四种情况:点P在⊙O2内,如图6, ∠APB=∠MAN+∠ANB。 【考点】圆周角定理,勾股定理逆定理,三角形内角和定理和外角性质。 【分析】(1)①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。 ②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°,再分点P在优弧上;点P在劣弧上两种情况讨论即可。 (2)根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。 15. (2012江苏苏州8分)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上 的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为. ⑴当 时,求弦PA、PB的长度; ⑵当x为何值时,的值最大?最大值是多少? 【答案】解:(1)∵⊙O与直线l相切于点A,AB为⊙O的直径,∴AB⊥l。 又∵PC⊥l,∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。 ∵AB为⊙O的直径,∴∠APB=90°。 ∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。 ∴,即PA2=PC·PD。 ∵PC=,AB=4,∴。 ∴在Rt△APB中,由勾股定理得:。 (2)过O作OE⊥PD,垂足为E。 ∵PD是⊙O的弦,OF⊥PD,∴PF=FD。 在矩形OECA中,CE=OA=2,∴PE=ED=x-2。 ∴CD=PC-PD= x-2(x-2)=4-x 。 ∴。 ∵ ∴当时,有最大值,最大值是2。 【考点】切线的性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,垂径定理,矩形的判定和性质,二次函数的最值。 【分析】(1)由直线l与圆相切于点A,且AB为圆的直径,根据切线的性质得到AB垂直于直线l,又PC垂直于直线l,根据垂直于同一条直线的两直线平行,得到AB与PC平行,根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似,由相似得比例,将PC及直径AB的长代入求出PA的长,在Rt△APB中,由AB及PA的长,利用勾股定理即可求出PB的长。 (2)过O作OE垂直于PD,与PD交于点E,由垂径定理得到E为PD的中点,再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形,根据矩形的对边相等,可得出EC=OA=2,用PC-EC的长表示出PE,根据PD=2PE表示出PD,再由PC-PD表示出CD,代入所求的式子中,整理后得到关于x的二次函数,配方后根据自变量x的范围,利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。 16. (2012江苏无锡10分)如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts. (1)当P异于A.C时,请说明PQ∥BC; (2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点? 【答案】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,且菱形ABCD的边长为2, ∴AB=BC=2,∠BAC=∠DAB。 又∵∠DAB=60°,∴∠BAC=∠BCA=30°。 如图1,连接BD交AC于O。 ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OA=AC。 ∴OB=AB=1。∴OA=,AC=2OA=2。 运动ts后,AP=t,AO=t,∴。 又∵∠PAQ=∠CAB,∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB. ∴PQ∥BC. (2)如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,则PM⊥BC。 在Rt△CPM中,∵∠PCM=30°,∴PM=。 由PM=PQ=AQ=t,即=t,解得t=, 此时⊙P与边BC有一个公共点。 如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB, ∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60° ∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。 ∴当时,⊙P与边BC有2个公共点。 如图4,⊙P过点C,此时PC=PQ,即 =t ∴t=。 ∴当1≤t≤时,⊙P与边BC有一个公共点。 当点P运动到点C,即t=2时,Q、B重合,⊙P过点B, 此时,⊙P与边BC有一个公共点。 综上所述,当t=或1≤t≤或t=2时,⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点;当时,⊙P与边BC有2个公共点。 【考点】直线与圆的位置关系,菱形的性质,含30°角直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,平行的判定,切线的性质,等边三角形的判定和性质。 【分析】(1)连接BD交AC于O,构建直角三角形AOB.利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB;然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB;最后根据平行线的判定定理“同位角相等,两直线平行”可以证得结论。 (2)分⊙P与BC切于点M,⊙P过点B,⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。 17. (2012江苏盐城10分)如图所示,,,,点是以为直径的半圆上一动点, 交直线于点,设. (1)当时,求的长; (2)当时,求线段的长; (3)若要使点在线段的延长线上,则的取值范围是_________.(直接写出答案) 【答案】解: (1)连接,在⊙中, ∵,∴。 ∵,∴。 ∴ 。 (2)∵为⊙的直径,∴。 又∵,,∴,。 又∵, ∴。∴。 又∵, ∴。∴。 又∵ ,∴。∴。 又∵,∴。∴∽。 ∴。 又∵。 ∴。∴。 (3)<<。 【考点】圆周角定理,弧长的计算,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)先连接,由圆周角定理,可求得,又由⊙的直径为,即可求得其半径,然后由弧长公式,即可求得答案。 (2)先证得∽,然后由相似三角形的对应边成比例,可得 ,从而求得答案。 (3)先求得与重合时的度数,则可求得点在线段的延长线上时,的取值范围: 如图,当与重合时, ∵是直径, ∴。∴,,共线。 ∵, ∴在中。 ∴。∴=30°。 ∴ =90°-=60°。 当′在的延长线上时,如图,可得>=60°。 ∵0°<<90°, ∴的取值范围是:60°<<90°。 18. (2012广东河源9分)如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2)、D(0,3),射线l过点D且与 x轴平行,点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点,满足∠PQO=60º. (1)点B的坐标是 ,∠CAO= º,当点Q与点A重合时,点P的坐标 为 ; (2)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应 的自变量x的取值范围. 【答案】解:(1)(6,2)。 30。(3,3)。 (2)当0≤x≤3时, 如图1,OI=x,IQ=PI•tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x; 由题意可知直线l∥BC∥OA, 可得,∴EF=(3+x), 此时重叠部分是梯形,其面积为: 当3<x≤5时,如图2, 当5<x≤9时,如图3, 当x>9时,如图4, 。 综上所述,S与x的函数关系式为: 。 【考点】矩形的性质,梯形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,相似三角形的判定和性质,解直角三角形。 【分析】(1)①由四边形OABC是矩形,根据矩形的性质,即可求得点B的坐标: ∵四边形OABC是矩形,∴AB=OC,OA=BC, ∵A(6,0)、C(0,2),∴点B的坐标为:(6,2)。 ②由正切函数,即可求得∠CAO的度数: ∵,∴∠CAO=30°。 ③由三角函数的性质,即可求得点P的坐标;如图:当点Q与点A重合时,过点P作PE⊥OA于E, ∵∠PQO=60°,D(0,3),∴PE=3。 ∴。 ∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3,∴点P的坐标为(3,3)。 (2)分别从当0≤x≤3时,当3<x≤5时,当5<x≤9时,当x>9时去分析求解即可求得答案。 19. (2012福建南平14分)如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE,且∠1=∠B=∠C. (1)由题设条件,请写出三个正确结论:(要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中,不必证明) 答:结论一: ;结论二: ;结论三: . (2)若∠B=45°,BC=2,当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合), ①求CE的最大值; ②若△ADE是等腰三角形,求此时BD的长. (注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明) 【答案】解:(1)AB=AC;∠AED=∠ADC;△ADE∽△ACD。 (2)①∵∠B=∠C,∠B=45°,∴△ACB为等腰直角三角形。 ∴。 ∵∠1=∠C,∠DAE=∠CAD,∴△ADE∽△ACD。 ∴AD:AC=AE:AD,∴ 。 当AD最小时,AE最小,此时AD⊥BC,AD=BC=1。 ∴AE的最小值为 。∴CE的最大值= 。 ②当AD=AE时,∴∠1=∠AED=45°,∴∠DAE=90°。 ∴点D与B重合,不合题意舍去。 当EA=ED时,如图1,∴∠EAD=∠1=45°。 ∴AD平分∠BAC,∴AD垂直平分BC。∴BD=1。 当DA=DE时,如图2, ∵△ADE∽△ACD,∴DA:AC=DE:DC。 ∴DC=CA=。∴BD=BC-DC=2-。 综上所述,当△ADE是等腰三角形时,BD的长的长为1或2-。 【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰(直角)三角形的判定和性质。 【分析】(1)由∠B=∠C,根据等腰三角形的性质可得AB=AC;由∠1=∠C,∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC;又由∠DAE=∠CAD,根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。 (2)①由∠B=∠C,∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形,则 ,由∠1=∠C,∠DAE=∠CAD,根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD,则有AD:AC=AE:AD,即,当AD⊥BC,AD最小,此时AE最小,从而由CE=AC-AE得到CE的最大值。 ②分当AD=AE,,EA=ED,DA=DE三种情况讨论即可。 20. (2012福建漳州14分)如图,在OABC中,点A在x轴上,∠AOC=60o,OC=4cm.OA=8cm.动 点P从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;动点Q同时从点O出发,以 acm/s的速度沿线段OC→CB运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动. 设运动时间为t秒. (1)填空:点C的坐标是(______,______),对角线OB的长度是_______cm; (2)当a=1时,设△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出当t为何值时,S的值最大? (3)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似,求a与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围. 【答案】解:(1)C(2,2),OB=4cm。 (2)①当0查看更多