中考数学一轮复习 专题练习8 三角形2 浙教版

中考数学一轮复习 专题练习8 三角形2 浙教版

三角形（2）‎ ‎ 班级 姓名 学号 ‎ 一、选择题 ‎1.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（　　）‎ A．5 B．‎6 C．8 D．10‎ ‎2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　　）‎ A．7 B．‎8 C．9 D．10‎ ‎3.已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+‎2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）‎ A．7 B．‎10 C．11 D．10或11‎ ‎4.如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）‎ A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF ‎5.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（　　）‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 ‎6.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（　　）‎ A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE ‎8.如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（　　）‎ A．4 B． C．3 D．2‎ ‎9.如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a ‎10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（　　）‎ A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 二、填空题 ‎11.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′=　 　度．‎ ‎12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是　 　．‎ ‎13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．‎ ‎14.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：‎ ‎①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若AC=1，则四边形CEOD的面积为；④AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE，其中所有正确结论的序号是　 　．‎ ‎15.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G．下列结论：‎ ‎①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，则GF=2EG．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）‎ 三、解答题 ‎16.如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．‎ 求证：AF∥CE．‎ ‎17.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=‎1.5米，CD=‎2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了‎16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=‎2.5米，FG=‎1.65米．‎ 如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．‎ ‎18.如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？‎ ‎19.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=‎6米，CD=‎4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）‎ ‎20.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．‎ ‎（1）若∠A=60°，求BC的长；‎ ‎（2）若sinA=，求AD的长．‎ ‎（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）‎ ‎21.如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△FCE．‎ ‎（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．‎ ‎22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．‎ ‎（1）求证：△ACD∽△BFD；‎ ‎（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．‎ ‎23.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．‎ ‎（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；‎ ‎（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．‎ ‎①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；‎ ‎②求EF的长；‎ ‎（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=，求的值．‎ ‎24.如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根 ‎（1）求线段BC的长度；‎ ‎（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；‎ ‎（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；‎ ‎（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 答案详解 一、选择题 ‎2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　　）‎ A．7 B．‎8 C．9 D．10‎ ‎【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．‎ ‎【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．‎ ‎【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，‎ ‎∴AC===10，‎ ‎∵DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DF∥BM，DE=BC=3，‎ ‎∴∠EFC=∠FCM，‎ ‎∵∠FCE=∠FCM，‎ ‎∴∠EFC=∠ECF，‎ ‎∴EC=EF=AC=5，‎ ‎∴DF=DE+EF=3+5=8．‎ 故选B．‎ ‎3.已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+‎2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）‎ A．7 B．‎10 C．11 D．10或11‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．‎ ‎【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+‎2m=0，‎ 解得m=6，‎ 则原方程为x2﹣7x+12=0，‎ 解得x1=3，x2=4，‎ 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，‎ ‎①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；‎ ‎②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．‎ 综上所述，该△ABC的周长为10或11．‎ 故选：D．‎ ‎4.如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）‎ A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF ‎【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．‎ ‎【分析】先根据已知条件判定判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．‎ ‎【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，‎ ‎∴∠ADF=∠DEC．‎ 又∵DE=AD，‎ ‎∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；‎ ‎（B）∵∠ADF不一定等于30°，‎ ‎∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；‎ ‎（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，‎ 由矩形ABCD，可得AB=CD，‎ ‎∴AB=AF，故（C）正确；‎ ‎（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，‎ 由矩形ABCD，可得BC=AD，‎ 又∵BE=BC﹣EC，‎ ‎∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；‎ 故选（B）‎ ‎5.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（　　）‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 ‎【考点】正方形的性质；全等三角形的判定．‎ ‎【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可对称结论．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，‎ 在△ABD和△BCD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△BCD，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠MDO=∠M′BO，‎ 在△MOD和△M′OB中，‎ ‎，‎ ‎∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，‎ ‎∴全等三角形一共有4对．‎ 故选C．‎ ‎6.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】角平分线的性质；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A，再由特殊角的三角函数的定义求得结论．‎ ‎【解答】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，‎ ‎∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，‎ ‎∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2（∠OBC+∠OCB）=180°﹣2×=180°﹣2×=60°，‎ ‎∴tanA=tan60°=，‎ 故选A．‎ ‎7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（　　）‎ A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE ‎【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质．‎ ‎【分析】过点D作DH⊥BC，利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE∽△BEC，设BE=x，由相似三角形的性质可解得x，易得CE，DE 的关系．‎ ‎【解答】解：过点D作DH⊥BC，‎ ‎∵AD=1，BC=2，‎ ‎∴CH=1，‎ DH=AB===2，‎ ‎∵AD∥BC，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠A=90°，‎ ‎∵DE⊥CE，‎ ‎∴∠AED+∠BEC=90°，‎ ‎∵∠AED+∠ADE=90°，‎ ‎∴∠ADE=∠BEC，‎ ‎∴△ADE∽△BEC，‎ ‎∴，‎ 设BE=x，则AE=2，‎ 即，‎ 解得x=，‎ ‎∴，‎ ‎∴CE=，‎ 故选B．‎ ‎8.如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（　　）‎ A．4 B． C．3 D．2‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠C，‎ ‎∵∠DAC=∠ACD，‎ ‎∴∠DAC=∠ABC，‎ ‎∵∠C=∠C，‎ ‎∴△CAD∽△CBA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CD=，BD=BC﹣CD=，‎ ‎∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，‎ ‎∴△ADM∽△BDA，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴DM=，MB=BD﹣DM=，‎ ‎∵∠ABM=∠C=∠MED，‎ ‎∴A、B、E、D四点共圆，‎ ‎∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，‎ ‎∴△ABD∽△MBE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BE===．‎ 故选B．‎ ‎9.如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】（1）图1，根据折叠得：DE是线段AC的垂直平分线，由中位线定理的推论可知：DE是△ABC的中位线，得出DE的长，即a的长；‎ ‎（2）图2，同理可得：MN是△ABC的中位线，得出MN的长，即b的长；‎ ‎（3）图3，根据折叠得：GH是线段AB的垂直平分线，得出AG的长，再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的长，即c的长．‎ ‎【解答】解：第一次折叠如图1，折痕为DE，‎ 由折叠得：AE=EC=AC=×4=2，DE⊥AC ‎∵∠ACB=90°‎ ‎∴DE∥BC ‎∴a=DE=BC=×3=‎ 第二次折叠如图2，折痕为MN，‎ 由折叠得：BN=NC=BC=×3=，MN⊥BC ‎∵∠ACB=90°‎ ‎∴MN∥AC ‎∴b=MN=AC=×4=2‎ 第三次折叠如图3，折痕为GH，‎ 由勾股定理得：AB==5‎ 由折叠得：AG=BG=AB=×5=，GH⊥AB ‎∴∠AGH=90°‎ ‎∵∠A=∠A，∠AGH=∠ACB ‎∴△ACB∽△AGH ‎∴=‎ ‎∴=‎ ‎∴GH=，即c=‎ ‎∵2＞＞‎ ‎∴b＞c＞a 故选（D）‎ ‎10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（　　）‎ A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 ‎【考点】动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．‎ ‎【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，‎ ‎∴AB===2，设PD=x，AB边上的高为h，‎ h==，‎ ‎∵PD∥BC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD=2x，AP=x，‎ ‎∴S1+S2=•2x•x+（2﹣1﹣x）•=x2﹣2x+4﹣=（x﹣1）2+3﹣，‎ ‎∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，‎ 当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．‎ 故选C．‎ 二、填空题 ‎11.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′=　46　度．‎ ‎【考点】旋转的性质．‎ ‎【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACA′=67°，再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，得到△ABC≌△A′B′C，证明∠BCB′=∠ACA′，利用平角即可解答．‎ ‎【解答】解：∵∠A=27°，∠B=40°，‎ ‎∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°，‎ ‎∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，‎ ‎∴△ABC≌△A′B′C，‎ ‎∴∠ACB=∠A′CB′，‎ ‎∴∠ACB﹣∠B′CA=∠A′CB﹣∠B′CA，‎ 即∠BCB′=∠ACA′，‎ ‎∴∠BCB′=67°，‎ ‎∴∠ACB′=180°∠ACA′﹣∠BCB′=180°﹣67°﹣67°=46°，‎ 故答案为：46．‎ ‎12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是　5　．‎ ‎【考点】作图—基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．‎ ‎【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，‎ ‎∴AD=DB，‎ Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，‎ ‎∴AB===10，‎ ‎∵AD=DB，∠ACB=90°，‎ ‎∴CD=AB=5．‎ 故答案为5．‎ ‎13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．‎ ‎【考点】相似三角形，勾股定理 ‎【答案】2‎ ‎【解析】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC ‎＝5，又CD＝10，DA＝，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD，则CH＝6，DH＝8，∴BD＝．‎ ‎14.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：‎ ‎①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若AC=1，则四边形CEOD的面积为；④AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE，其中所有正确结论的序号是　①②③④　．‎ ‎【考点】勾股定理；四点共圆．‎ ‎【分析】①正确．由ADO≌△CEO，推出DO=OE，∠AOD=∠COE，由此即可判断．‎ ‎②正确．由D、C、E、O四点共圆，即可证明．‎ ‎③正确．由S△ABC=×1×1=，S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC=S△ABC即可解决问题．‎ ‎④正确．由D、C、E、O四点共圆，得OP•PC=DP•PE，所以2OP2+2DP•PE=2OP2+2OP•PC=2OP（OP+PC）=2OP•OC，由△OPE∽△OEC，得到=，即可得到2OP2+2DP•PE=2OE2=DE2=CD2+CE2，由此即可证明．‎ ‎【解答】解：①正确．如图，∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB ‎∴AO=OB=OC，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，‎ 在△ADO和△CEO中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADO≌△CEO，‎ ‎∴DO=OE，∠AOD=∠COE，‎ ‎∴∠AOC=∠DOE=90°，‎ ‎∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．‎ ‎②正确．∵∠DCE+∠DOE=180°，‎ ‎∴D、C、E、O四点共圆，‎ ‎∴∠CDE=∠COE，故②正确．‎ ‎③正确．∵AC=BC=1，‎ ‎∴S△ABC=×1×1=，S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC=S△ABC=，‎ 故③正确．‎ ‎④正确．∵D、C、E、O四点共圆，‎ ‎∴OP•PC=DP•PE，‎ ‎∴2OP2+2DP•PE=2OP2+2OP•PC=2OP（OP+PC）=2OP•OC，‎ ‎∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°，∠POE=∠COE，‎ ‎∴△OPE∽△OEC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OP•OC=OE2，‎ ‎∴2OP2+2DP•PE=2OE2=DE2=CD2+CE2，‎ ‎∵CD=BE，CE=AD，‎ ‎∴AD2+BE2=2OP2+2DP•PE，‎ ‎∴AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE．‎ 故④正确．‎ ‎15.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G．下列结论：‎ ‎①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，则GF=2EG．其中正确的结论是　①②③④　．（填写所有正确结论的序号）‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．‎ ‎【分析】①正确．根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判断．‎ ‎②正确．只要证明四边形ABDF是平行四边形即可．‎ ‎③正确．只要证明△BCE≌△FDC．‎ ‎④正确．只要证明△BDE∽△FGE，得=，由此即可证明．‎ ‎【解答】解：①正确．∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，‎ ‎∵DE=DC，‎ ‎∴△DEC是等边三角形，‎ ‎∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，‎ ‎∵EF=AE，‎ ‎∴△AEF是等边三角形，‎ ‎∴AF=AE，∠EAF=60°，‎ 在△ABE和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ACF，故①正确．‎ ‎②正确．∵∠ABC=∠FDC，‎ ‎∴AB∥DF，‎ ‎∵∠EAF=∠ACB=60°，‎ ‎∴AB∥AF，‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形，‎ ‎∴DF=AB=BC，故②正确．‎ ‎③正确．∵△ABE≌△ACF，‎ ‎∴BE=CF，S△ABE=S△AFC，‎ 在△BCE和△FDC中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCE≌△FDC，‎ ‎∴S△BCE=S△FDC，‎ ‎∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△BCE=S△ABC=S△ACF+S△DCF，故③正确．‎ ‎④正确．∵△BCE≌△FDC，‎ ‎∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG，‎ ‎∴△BDE∽△FGE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BD=2DC，DC=DE，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴FG=2EG．故④正确．‎ 三、解答题 ‎16.如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．‎ 求证：AF∥CE．‎ ‎【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵BF=DE，‎ ‎∴BF+BD=DE+BD，‎ 即DF=BE，‎ 在△ADF和△CBE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADF≌△CBE（SAS），‎ ‎∴∠AFD=∠CEB，‎ ‎∴AF∥CE．‎ ‎17.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=‎1.5米，CD=‎2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM 方向走了‎16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=‎2.5米，FG=‎1.65米．‎ 如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．‎ ‎【考点】相似三角形的应用．‎ ‎【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．‎ ‎【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，‎ ‎∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，‎ 故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，‎ 则=， =，‎ 即=， =，‎ 解得：AB=99，‎ 答：“望月阁”的高AB的长度为‎99m．‎ ‎18.如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论．‎ ‎【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，‎ ‎∵∠A=45°，CD⊥AB，‎ ‎∴AD=CD=x米，‎ ‎∴AC=x．‎ 在Rt△BCD中，‎ ‎∵∠B=30°，‎ ‎∴BC===2x，‎ ‎∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，‎ ‎∴=，解得a=‎1米/秒．‎ 答：小明的行走速度是‎1米/秒．‎ ‎19.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=‎6米，CD=‎4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．‎ ‎【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，‎ ‎∵∠BCD=150°，‎ ‎∴∠DCF=30°，又CD=4，‎ ‎∴DF=2，CF==2，‎ 由题意得∠E=30°，‎ ‎∴EF==2，‎ ‎∴BE=BC+CF+EF=6+4，‎ ‎∴AB=BE×tanE=（6+4）×=（2+4）米，‎ 答：电线杆的高度为（2+4）米．‎ ‎20.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．‎ ‎（1）若∠A=60°，求BC的长；‎ ‎（2）若sinA=，求AD的长．‎ ‎（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；‎ ‎（2）要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，‎ ‎∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，‎ 又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，‎ ‎∴CE==8，‎ ‎∴BC=BE﹣CE=6﹣8；‎ ‎（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，‎ ‎∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，‎ ‎∴3x=6，得x=2，‎ ‎∴BE=8，AE=10，‎ ‎∴tanE====，‎ 解得，DE=，‎ ‎∴AD=AE﹣DE=10﹣=，‎ 即AD的长是．‎ ‎21.如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△FCE．‎ ‎（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．‎ ‎【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；‎ ‎（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AB∥CD，‎ ‎∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，‎ ‎∵E是▱ABCD的边CD的中点，‎ ‎∴DE=CE，‎ 在△ADE和△FCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△FCE（AAS）；‎ ‎（2）解：∵ADE≌△FCE，‎ ‎∴AE=EF=3，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠AED=∠BAF=90°，‎ 在▱ABCD中，AD=BC=5，‎ ‎∴DE===4，‎ ‎∴CD=2DE=8．‎ ‎22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．‎ ‎（1）求证：△ACD∽△BFD；‎ ‎（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．‎ ‎（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，‎ ‎∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，‎ ‎∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，‎ ‎∴∠DBF=∠DAC，‎ ‎∴△ACD∽△BFD．‎ ‎（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°‎ ‎∴=1，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∵△ACD∽△BFD，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴BF=AC=3．‎ ‎23.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．‎ ‎（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；‎ ‎（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．‎ ‎①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；‎ ‎②求EF的长；‎ ‎（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=，求的值．‎ ‎【考点】三角形综合题．‎ ‎【分析】（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF≌S△DEF，则易得S△ABC=4S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到=（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；‎ ‎（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；‎ ‎②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，先证明△CME∽△CBA得到==，解出x后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；‎ ‎（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出的值．‎ ‎【解答】解：（1）如图①，‎ ‎∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，‎ ‎∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，‎ ‎∴S△AEF≌S△DEF，‎ ‎∵S四边形ECBF=3S△EDF，‎ ‎∴S△ABC=4S△AEF，‎ 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，‎ ‎∴AB==5，‎ ‎∵∠EAF=∠BAC，‎ ‎∴Rt△AEF∽Rt△ABC，‎ ‎∴=（）2，即（）2=，‎ ‎∴AE=；‎ ‎（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：‎ 如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，‎ ‎∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，‎ ‎∵MF∥AC，‎ ‎∴∠AEF=∠MFE，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE，‎ ‎∴AE=AF，‎ ‎∴AE=EM=MF=AF，‎ ‎∴四边形AEMF为菱形；‎ ‎②连结AM交EF于点O，如图②，‎ 设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，‎ ‎∵四边形AEMF为菱形，‎ ‎∴EM∥AB，‎ ‎∴△CME∽△CBA，‎ ‎∴==，即==，解得x=，CM=，‎ 在Rt△ACM中，AM===，‎ ‎∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，‎ ‎∴EF=2×=；‎ ‎（3）如图③，作FH⊥BC于H，‎ ‎∵EC∥FH，‎ ‎∴△NCE∽△NFH，‎ ‎∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，‎ ‎∴FH：NH=4：7，‎ 设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，‎ ‎∵FH∥AC，‎ ‎∴△BFH∽△BAC，‎ ‎∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=，‎ ‎∴FH=4x=，BH=4﹣7x=，‎ 在Rt△BFH中，BF==2，‎ ‎∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，‎ ‎∴=．‎ ‎24.如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根 ‎（1）求线段BC的长度；‎ ‎（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；‎ ‎（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；‎ ‎（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】三角形综合题．‎ ‎【分析】（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；‎ ‎（2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；‎ ‎（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；‎ ‎（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．‎ ‎【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，‎ ‎∴x=3或x=﹣1，‎ ‎∴B（0，3），C（0，﹣1），‎ ‎∴BC=4，‎ ‎（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），‎ ‎∴OA=，OB=3，OC=1，‎ ‎∴OA2=OB•OC，‎ ‎∵∠AOC=∠BOA=90°，‎ ‎∴△AOC∽△BOA，‎ ‎∴∠CAO=∠ABO，‎ ‎∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ ‎∴AC⊥AB；‎ ‎（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ 把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，‎ ‎∵DB=DC，‎ ‎∴点D在线段BC的垂直平分线上，‎ ‎∴D的纵坐标为1，‎ ‎∴把y=1代入y=﹣x﹣1，‎ ‎∴x=﹣2，‎ ‎∴D的坐标为（﹣2，1），‎ ‎（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，‎ 把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴直线BD的解析式为：y=x+3，‎ 令y=0代入y=x+3，‎ ‎∴x=﹣3，‎ ‎∴E（﹣3，0），‎ ‎∴OE=3，‎ ‎∴tan∠BEC==，‎ ‎∴∠BEO=30°，‎ 同理可求得：∠ABO=30°，‎ ‎∴∠ABE=30°，‎ 当PA=AB时，如图1，‎ 此时，∠BEA=∠ABE=30°，‎ ‎∴EA=AB，‎ ‎∴P与E重合，‎ ‎∴P的坐标为（﹣3，0），‎ 当PA=PB时，如图2，‎ 此时，∠PAB=∠PBA=30°，‎ ‎∵∠ABE=∠ABO=30°，‎ ‎∴∠PAB=∠ABO，‎ ‎∴PA∥BC，‎ ‎∴∠PAO=90°，‎ ‎∴点P的横坐标为﹣，‎ 令x=﹣代入y=x+3，‎ ‎∴y=2，‎ ‎∴P（﹣，2），‎ 当PB=AB时，如图3，‎ ‎∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，‎ 若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，‎ 过点P1作P‎1F⊥x轴于点F，‎ ‎∴P1B=AB=2，‎ ‎∴EP1=6﹣2，‎ ‎∴sin∠BEO=，‎ ‎∴FP1=3﹣，‎ 令y=3﹣代入y=x+3，‎ ‎∴x=﹣3，‎ ‎∴P1（﹣3，3﹣），‎ 若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，‎ 过点P2作P‎2G⊥x轴于点G，‎ ‎∴P2B=AB=2，‎ ‎∴EP2=6+2，‎ ‎∴sin∠BEO=，‎ ‎∴GP2=3+，‎ 令y=3+代入y=x+3，‎ ‎∴x=3，‎ ‎∴P2（3，3+），‎ 综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．‎