中考总复习八圆

中考总复习八圆

中考总复习八：圆 一、目标与策略 ‎ 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！‎ 学习目标：‎ l 理解圆及其有关概念，掌握垂径定理和推论，了解弧、弦、圆心角的关系，并会利用这些性质解题；‎ l 探索圆的性质，掌握过不在同一条直线上的三点画一个圆；‎ l 了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征；‎ l 探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；‎ l 了解三角形的内心和外心，外接圆和内切圆；‎ l 了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线． ‎ l 会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积．‎ 复习策略：‎ l 本专题内容突出点在于知识点多，题目变化灵活，是中考的考查重点.复习时，应准确理解与本专题有关的所有概念、性质及有关的定理等.会利用圆心角、圆周角、弦切角解证与角、线段相等的几何问题；利用垂径定理、切线长定理证明一类与圆有关的几何问题；借助于分割与转化的思想方法巧解弧长、扇形面积、圆柱、圆锥有关的问题；综合运用圆、方程、函数、三角、相似等知识解决一类与圆有关的中考压轴题．‎ 二、学习与应用 ‎“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．‎ 知识框图 通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。‎ 知识考点梳理 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。‎ 详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#245792‎ ‎。‎ 详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#210828‎ 知识点一：圆的有关概念和性质 ‎（一）圆的有关概念 ‎（1）圆的定义：‎ ‎①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 ．‎ ‎②圆可以看成是所有到 的距离等于 的点的 .定点是 ，定长是 ．‎ 圆心确定圆的 ，半径确定圆的 ．‎ ‎（2）弦、弧、圆心角、圆周角 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦．‎ 直径：经过 的弦叫做直径．‎ 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．‎ 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．‎ 优弧：大于 的弧叫做优弧；‎ 劣弧：小于 的弧叫做劣弧．‎ 圆心角：顶点在 的角叫做圆心角．‎ 圆周角：顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫圆周角．‎ ‎（二）圆的有关性质 ‎（1）圆是轴对称图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心是 ．‎ ‎（2）垂径定理：‎ ‎①垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的 ；‎ ‎②平分弦(不是直径)的 垂直于 ，并且平分弦所对的 ．‎ ‎（3）弧、弦、圆心角之间的关系 ‎①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也 ；‎ ‎②同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 ，它们所对应的其余各组量也 ．‎ ‎（4）圆周角定理及推论 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 ，都等于这条弧所对的 ．‎ 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ．‎ 知识点二：与圆有关的位置关系 ‎（一）点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d，则有：‎ ‎（1）点P在圆外d r；‎ ‎（2）点P在圆上d r；‎ ‎（3）点P在圆内d r．‎ ‎（二）直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离 直线和圆有 个公共点，我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的 ．‎ 直线和圆有 个公共点，我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的 ，这个点叫做 ．‎ 直线和圆 公共点，我们说这条直线和圆相离．‎ ‎（1）直线和圆公共点的个数：‎ ‎①直线与圆相交 个公共点；‎ ‎②直线与圆相切 个公共点；‎ ‎③直线与圆相离 公共点．‎ ‎（2）d与r的关系：‎ 设⊙O的半径为r,圆心到直线的距离OP=d，则有：‎ ‎①直线与圆相交d r；‎ ‎②直线与圆相切d r；‎ ‎③直线与圆相离d r.‎ ‎（三）切线的判定和性质 ‎（1）切线长的概念：经过圆外一点作圆的 ，这点和 之间的长，叫做这点到圆的切线长；‎ ‎（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条 ，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的 ．‎ ‎（四）圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系有五种：外离、内含、相交、内切、外切 ‎（1）两圆公共点的个数：‎ ‎①两圆外离 公共点 ‎②两圆内含 公共点 ‎③两圆相交 个公共点 ‎④两圆外切 个公共点 ‎⑤两圆内切 个公共点 ‎（2）圆心距、半径及两圆的位置关系 设两圆的半径分别为R、r(R＞r)，圆心距为d，则 ‎①两圆外离d R+r；‎ ‎②两圆内含d R-r；‎ ‎③两圆相交R-r d R+r；‎ ‎④两圆外切d R+r；‎ ‎⑤两圆内切d R-r．‎ 知识点三：圆与正多边形 ‎（一）三角形的外接圆和内切圆 ‎（1）不在 上的 个点确定一个圆.‎ ‎（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做 三角形.三角形外接圆的圆心是三角形三条边 线的交点，叫做这个三角形的 ．‎ ‎（3）三角形的内切圆：与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做 三角形.三角形内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的 ．‎ ‎（二）圆与正多边形 顺次连接圆上的n 点得到的多边形是正n边形．‎ ‎（1）一个正多边形的各个顶点都在圆上，这个圆是这个正多边形的 圆；把一个正多边形的外接圆的 叫做这个正多边形的中心；外接圆的 叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫正多边形的 角；中心到正多边形的一边的 叫做正多边形的边心距．‎ ‎（2）圆内接四边形的对角 ．‎ ‎（3）圆内接正n边形都是 图形，有 条对称轴.圆内接正2n边形是 图形，对称中心是正多边形的 ，即外接圆的圆心．‎ ‎（4）任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，它们是 圆．‎ ‎（5）常见圆的内接正多边形半径与正多边形边心距的关系：‎ 设正n边形的半径为r，边心距为d．‎ ‎（1）圆内接正三角形中，r= 或d= r；‎ ‎（2）圆内接正四边形中，r= d或d= r；‎ ‎（3）圆内接正六边形中，d= r．‎ 知识点四：与圆有关的计算 ‎（一）弧长公式：‎ 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 ‎（二）扇形的定义：‎ 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.‎ 在半径为R，为扇形的弧长，n°的圆心角所对的扇形的周长：．‎ 扇形的面积：．‎ ‎（三）圆锥 ‎（1）连接圆锥 和底面 上任意一点的线段叫做圆锥的母线．‎ ‎（2）圆锥的侧面展开图是一个扇形，若为圆锥母线长，r为底面半径，则 圆锥的母线=扇形的半径R；圆锥底面圆周长2πr=扇形弧长.圆锥的侧面积：‎ 圆锥的全面积：‎ 经典例题-自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。‎ 更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#245792‎ 考点一：圆的有关概念和性质 例1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有（ ）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点：本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念．‎ 解析：‎ 例2．下列判断中正确的是（ ）‎ A．平分弦的直线垂直于弦 B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 考点：垂径定理．‎ 解析：‎ 例3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB=∠A′OB′=60°，则（ ）‎ A． B．‎ C．的度数=的度数 D．的长度=的长度 解析：‎ 例4．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（ ）‎ A．80° B．100° C．120° D．130°‎ 考点：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的对角互补．‎ 解析：‎ 总结升华： ．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 ．‎ 考点：垂径定理．‎ 思路点拨：本题可用几何语言叙述为：如图，AB为⊙O的弦，CD为拱高，AB=24米，半径OA=13米，求拱高CD的长．‎ 解析：‎ ‎【变式2】如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD= °．‎ 考点：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90°．‎ 思路点拨：AB是直径，则∠ADB=90°，∠ACD=∠ABD=15°，可求得∠BAD．‎ 解析：‎ ‎【变式3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm， ∠DEB=60°，求CD的长．‎ 思路点拨：因为AE=1cm，EB=5cm，所以OE=(1+5)-1=2(cm)，半径等于3cm.在Rt△OEF中可求EF的长，再求OF的长，连结OD，利用勾股定理求得FD，可得CD的长．‎ 解析：‎ 考点二：与圆有关的位置关系 例5．圆心O与直线AB上一点的距离等于半径，则直线AB与⊙O的位置关系是（ ）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 考点：直线和圆的位置关系．‎ 解析：‎ 例6．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC=60°，则∠D= ．‎ 解析：‎ 例7．若两圆半径分别为R和r(R>r)，圆心距为d，且R2+d2=r2+2Rd， 则两圆的位置关系为（ ）‎ A．内切 B．内切或外切 C．外切 D．相交 考点：圆和圆位置关系的判定．‎ 解析：‎ 例8．OA平分∠BOC，P是OA上任一点，P不与点O重合，且以P为圆心的圆与OC相离，那么圆P与OB的位置关系是（ ）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 考点：直线和圆的位置关系．‎ 解析：‎ 例9．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为( )‎ A．(a+b+c)r B．2(a+b+c)　 C．(a+b+c)r D．(a+b+c)r 考点：内心到三角形三边的距离相等．‎ 解析：‎ 总结升华： ．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（ ）‎ A．0＜d＜3r 　 B．r＜d＜3r C．r≤d＜3r D．r≤d≤3r 考点：相交两圆的圆心距与两圆半径之间的关系．‎ 解析：‎ ‎【变式2】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，试判断△AED的形状，并说明理由．‎ 考点：角平分线的性质和切线的性质．‎ 解析：‎ ‎【变式3】在射线OA上取一点A，使OA=4cm，以A为圆心，作一直径为4cm的圆，问：过O的射线OB与OA所夹的锐角取怎样的值时，⊙A与OB（1）相离；‎ ‎（2）相切；（3）相交．‎ 考点：直线与圆的位置关系的判定．‎ 思路点拨：判定直线与圆的位置关系，主要通过圆心到直线的距离与半径之间的比较：‎ 设⊙O的半径为r，圆心到直线的距离OP=d，则有：‎ ‎（1）直线与圆相交d＜r；‎ ‎（2）直线与圆相切d=r；‎ ‎（3）直线与圆相离d＞r．‎ 解析：‎ ‎【变式4】⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则∠O1AO2= ．‎ 考点：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．‎ 解析：‎ ‎【变式5】⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则O1O2= ．‎ 考点：相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理．‎ 解析：‎ ‎【变式6】⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，则O1O2= ．‎ 考点：相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理．‎ 思路点拨：分两种情况：1、圆心O1、O2在AB的同侧，如图1；2、圆心O1、O2在AB的两侧，如图2．‎ 图1 图2‎ 解析：‎ 考点三：圆与正多边形 例10．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为 ．‎ 考点：切线的性质和扇形面积公式．‎ 解析：‎ 例11．扇形的半径为6cm，面积为9cm2，那么扇形的弧长为 ，扇形的圆心角度数为 ．‎ 考点：弧长公式和扇形面积公式．‎ 解析：‎ 例12．用一张面积为900 cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径为 ．‎ 思路点拨：本题中圆柱的侧面展开图为正方形，圆柱底面圆的周长是正方形的边长．‎ 解析：‎ 例13．如图，已知扇形AOB的圆心角为60°，半径为6，C、D分别是弧AB的三等分点， 则阴影部分的面积等于 ．‎ 考点：扇形面积公式．‎ 思路点拨：可将阴影部分通过旋转得到一个扇形．‎ 解析：‎ 例14．圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是（ ）‎ A．180° B．200° C．225° D．216°‎ 考点：圆锥底面圆周长是侧面展开图的扇形的弧长．‎ 解析：‎ 总结升华： ．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是（ ）‎ A． B．1.5 C．2 D．2.5‎ 思路点拨：五个扇形(阴影部分)的面积之和可以看作是圆心角为五边形的内角和，半径为1的扇形面积．‎ 解析：‎ ‎【变式2】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）‎ A．60° B．90° C．120° D．180°‎ 考点：此题考查圆锥的侧面展开图的概念.注意理解圆锥、圆锥的侧面展开图的有关概念．‎ 解析：‎ ‎【变式3】如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，以AB为直径的圆交BC于D， 求图形阴影部分的面积．‎ 考点：会把不可求的阴影面积转化为可求面积．‎ 思路点拨：连接AD，则阴影面积等于△ACD的面积，即等于△ABC面积的一半．‎ 解析：‎ ‎【变式4】在ABCD中，AB=4，AD=2，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于F，则□ABCD被⊙O截得的阴影部分的面积为 ．‎ 思路点拨：本题考查了勾股定理、扇形面积公式、解直角三角形等知识.注意：求不规则图形面积，往往转化为规则图形的面积的和或差的形式．‎ 解析：‎ 考点四：与圆有关的计算 例15．边长为2a的正六边形的面积为 ．‎ 考点：正六边形的面积等于六个等边三角形的面积之和．‎ 解析：‎ 例16．下列命题正确的是（ ）‎ A．各边相等的多边形是正多边形 B．各内角分别相等的多边形是正多边形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形 D．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形 考点：正多边形的概念及对称性．‎ 解析：‎ 例17．同一个圆的内接正方形和外切正六边形的边长之比为 ．‎ 考点：圆和正多边形的关系，边长都用圆的半径表示．‎ 解析：‎ 例18．边长为a的正n边形的外接圆与内切圆围成的圆环的面积为 .‎ 考点：用正n边形的边长a 分另表示外接圆与内切圆的半径．‎ 解析：‎ 总结升华： ．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）个．‎ ‎①正三角形；②正方形；③正五边形； ④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形 A．3 B．4 C．5 D．6‎ 考点：会判断轴对称图形和中心对称图形．‎ 解析：‎ ‎【变式2】如图所示，木工师傅从一块边长为60cm的正三角形木板上锯出一块正六边形木板，那么这块正六边形木板的边长为（ ）．‎ A．24cm B．22cm C．20cm D．18cm 思路点拨：正六边形的边长为原正三角形边长的．‎ 解析：‎ ‎【变式3】如图所示，图①，②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON．‎ ‎（1）求图①中∠MON的度数；‎ ‎（2）图②中∠MON的度数是 ，图③中∠MON的度数是 ；‎ ‎（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．（直接写出答案）‎ 考点：正多边形和圆的有关计算 解析：‎ 三、总结与测评 要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．‎ 总结规律和方法---强化所学 认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。‎ 相关内容请参看网校资源ID：#tbjx20#245792‎ ‎（一）数形结合思想 结合圆的有关性质求角的度数和线段的长，利用弧长、扇形面积等公式求阴影部分的面积.都是结合图形的直观性解决数的抽象性，并进行形数互化．‎ ‎（二）分类讨论思想 在判断和圆有关的位置关系时，要注意有几种情况，或在求圆中一条弦所对的圆周角、圆中平行两弦的弦心距等都是利用分类讨论的思想，在不同条件和图形下得到不同的结论．‎ ‎（三）化归与转化思想 在解决有关圆的问题时，常需运用图中条件寻求线段间、角之间、弧之间的关系，从中探索出诸如等腰三角形、直角三角形、等信息，从而归结一个相对较容易解决的问题，达到解决问题的目的．‎ ‎（四）注意观察、分析、总结 ‎ 圆这一单元的知识点较多，要注重积累并会应用到实际问题中，总结各种题型之间的变化和联系，拓展解题思路，并会运用数学思想和方法及学会演绎推理的方法，提高推理和表达能力．‎ ‎ 成果测评 现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试．‎ 知识点：圆 测评系统分数：　　　 模拟考试系统分数：　　　 ‎ 如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：#cgcp0#245792做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试。也可以尝试做一下近几年各地的中考试题：#zktc0#245792。‎ 自我反馈 学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．‎ 我的收获 习题整理 题目或题目出处 所属类型或知识点 分析及注意问题 好题 错题 注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录．‎ 知识导学：中考总复习八：圆（ID:#245792）‎ 视听课堂：总复习 圆（ID:#14335）‎ 若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！和四中的学生同步学习，同步提高！‎ 更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用．‎ 对本知识的学案导学的使用率：‎ ‎□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）‎ ‎□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）‎ ‎□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）‎ 学生： 家长： 指导教师： ‎ 请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学