天津中考数学试卷及答案

天津中考数学试卷及答案

2010 年天津市初中毕业生学业考试试卷 数 学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷第 1 页至第 3 页，第Ⅱ卷第 4 页至第 8 页。试卷 满分 120 分。考试时间 100 分钟。 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试 用条形码。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并 交回。 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 注意事项： 每题选出答案后，用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号的信息点。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1） 的值等于 （A） （B） （C） （D）1 （2）下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为 （A） （B） （C） （D） （3）上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会．据统计自 2010 年 5 月 1 日开 幕至 5 月 31 日，累计参观人数约为 8 030 000 人，将 8 030 000 用科学记数法表示 应为 （A） （B） （C） （D） （4）在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员 10 次射击的平均成绩都是 7 环，其中甲的成绩的方差为 1.21，乙的成绩的 方差为 3.98，由此可知 （A）甲比乙的成绩稳定 （B）乙比甲的成绩稳定 （C）甲、乙两人的成绩一样稳定 （D）无法确定谁的成绩更稳定 sin30° 1 2 2 2 3 2 4803 10× 580.3 10× 68.03 10× 70.803 10× （5）右图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为 （A） （B） （C） （D） （6）下列命题中正确的是 （A）对角线相等的四边形是菱形 （B）对角线互相垂直的四边形是菱形 （C）对角线相等的平行四边形是菱形 （D）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （7）如图，⊙O 中，弦 、 相交于点 ， 若 ， ，则 等于 （A） （B） （C） （D） （8）比较 2， ， 的大小，正确的是 （A） （B） （C） （D） （9）如图，是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度， 人们根据壶中水面的位置计算时间．若用 表示时间， 表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间 内 与 的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响） AB CD P 30A∠ = ° 70APD∠ = ° B∠ 30° 35° 40° 50° 5 3 7 3 2 5 7< < 3 2 7 5< < 3 7 2 5< < 3 5 7 2< < x y y x 第（5）题 第（7）题 B C A D P O （A） （B） （C） （D） （10）已知二次函数 ( )的图象如图所示，有下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 其中，正确结论的个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2y ax bx c= + + 0a ≠ 2 4 0b ac− > 0abc > 8 0a c+ > 9 3 0a b c+ + < x 第（9）题 y O x y O x y Ox y O 第（10）题 y xO 1x = 1−2− 2010 年天津市初中毕业生学业考试试卷 数 学 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 注意事项： 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上。 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分． （11）若 ，则 的值为 ． （12）已知一次函数 与 的图象交于点 ， 则点 的坐标为 ． （13）如图，已知 ， ，点 A、D、B、F 在一 条直线上，要使△ ≌△ ，还需添加一个条件， 这个条件可以是 ． （14）如图，已知正方形 的边长为 3， 为 边上一点， ．以点 为中心，把△ 顺时针旋转 ，得 △ ，连接 ，则 的长等于 ． （15）甲盒装有 3 个乒乓球，分别标号为 1，2，3；乙盒装有 2 个乒乓球，分别标号为 1，2．现分别从每个盒中随机地取出 1 个球，则取出的两球标号之和为 4 的概率是 ． （16）已知二次函数 ( )中自变量 和函数值 的部分对应值如下表： … 0 1 … … 0 … 则该二次函数的解析式为 ． （17）如图，等边三角形 中， 、 分别为 、 边上 的点， ， 与 交于点 ， 于点 ， 则 的值为 ． （18）有一张矩形纸片 ABCD，按下面步骤进行折叠： 第一步：如图①，将矩形纸片 折叠，使点 B、D 重合，点 C 落在点 处，得折痕 EF； 第二步：如图②，将五边形 折叠，使 AE、 重合，得折痕 DG，再打开； 第三步：如图③，进一步折叠，使 AE、 均落在 DG 上，点 A、 落在点 处，点 E、F 落在点 处，得折 痕 MN、QP. 这样，就可以折出一个五边形 . 1 2a = 2 2 1 ( 1) ( 1) a a a ++ + 2 6y x= − 3y x= − + P P AC FE= BC DE= ABC FDE ABCD E CD 1DE = A ADE 90° ABE′ EE′ EE′ 2y ax bx c= + + 0a ≠ x y x 3 2 − 1− 1 2 − 1 2 3 2 y 5 4 − 2− 9 4 − 2− 5 4 − 7 4 ABC D E AB BC AD BE= AE CD F AG CD⊥ G AG AF ABCD C′ AEFC D′ C F′ C F′ C′ A′ E′ DMNPQ 第（13）题 A CD B E F 第（14）题 E A D E′ B C 第（17）题 D C A F B E G （Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段 （写出一组即可）； （Ⅱ）若这样折出的五边形 DMNPQ（如图③）恰好是一个正五边形，当 ， ， 时，有下列结 论： ① ； ② ； ③ ； ④ . 其中，正确结论的序号是 （把你认为正确结论的序号都填上）. 三、解答题：本大题共 8 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． （19）（本小题 6 分） 解不等式组 （20）（本小题 8 分） 已知反比例函数 （ 为常数， ）． （Ⅰ）若点 在这个函数的图象上，求 的值； （Ⅱ）若在这个函数图象的每一支上， 随 的增大而减小，求 的取值范围； （Ⅲ）若 ，试判断点 ， 是否在这个函数的图象上，并说明理由． （21）（本小题 8 分） 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的 50 名同学中，随机调查了 10 名同学家庭中一年的月均用水量（单位：t），并将调查结果绘成了如下的条形统计图． AB a= AD b= DM m= 2 2 2 tan18a b ab− = ° 2 2 tan18m a b= + ⋅ ° tan18b m a= + ° 3 tan182b m m= + ° 2 1 1, 8 4 1. x x x x − > +  + < − 1ky x −= k 1k ≠ 2A( 1 )， k y x k 13k = 3 4B( )， 2 5C( )， 第（18）题 A D C′ C BE F G A D C′ C BE F 图① 图② 图③ C′ D F C A E N P B E′A′ M Q G （Ⅰ）求这 10 个样本数据的平均数、众数和中位数； （Ⅱ）根据样本数据，估计小刚所在班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7 t 的约有多少户． （22）（本小题 8 分） 已知 是⊙ 的直径， 是⊙ 的切线， 是切点， 与⊙ 交于点 . （Ⅰ）如图①，若 ， ，求 的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，若 为 的中点，求证直线 是⊙ 的切线. （23）（本小题 8 分） 永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高 度．如图，他们在 C 处测得摩天轮的最高点 A 的仰角为 ，再往摩天轮的方向前进 50 m 至 D 处，测得最高点 A 的仰角为 ． 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度 AB（ ， 结果保留整数）． （24）（本小题 8 分） 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本 题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． 青山村种的水稻 2007 年平均每公顷产 8 000 kg，2009 年平均每公顷产 9 680 kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增 长率. 解题方案： 设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 . （Ⅰ）用含 的代数式表示： ① 2008 年种的水稻平均每公顷的产量为 ； AB O AP O A BP O C 2AB = 30P∠ = ° AP D AP CD O 45° 60° 3 1.732≈ x x A B C O P 图① A B C O PD 图② 第（22）题 A B CD 45°60° 第（23）题 第（21）题 户数 月均用水量/t 1 2 3 4 0 6 6.5 7 7.5 8 ② 2009 年种的水稻平均每公顷的产量为 ； （Ⅱ）根据题意，列出相应方程 ； （Ⅲ）解这个方程，得 ； （Ⅳ）检验： ； （Ⅴ）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %. （25）（本小题 10 分） 在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 轴、 轴的正半轴上， ， ，D 为边 OB 的中点. （Ⅰ）若 为边 上的一个动点，当△ 的周长最小时，求点 的坐标； （Ⅱ）若 、 为边 上的两个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，求点 、 的坐标. （26）（本小题 10 分） 在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于点 、 （点 在点 的左侧），与 轴的正半轴交于 点 ，顶点为 . （Ⅰ）若 ， ，求此时抛物线顶点 的坐标； （Ⅱ）将（ Ⅰ ） 中 的 抛 物 线 向 下 平 移 ， 若 平 移 后 ， 在 四 边 形 ABEC 中 满 足 S△BCE = S△ABC，求此时直线 的解析式； （ Ⅲ ） 将 （ Ⅰ ） 中 的 抛 物 线 作 适 当 的 平 移 ， 若 平 移 后 ， 在 四 边 形 A B E C 中 满 足 S△BCE = 2S△AOC，且顶点 恰好落在直线 上，求此时抛物线的解析式. OACB x y 3OA = 4OB = E OA CDE E E F OA 2EF = CDEF E F 2y x bx c= − + + x A B A B y C E 2b = 3c = E BC E 4 3y x= − + 第（25）题 y B O D C A xE D′ y B O D C A x 温馨提示：如图，可以作点 D 关于 x 轴的对称点 D′，连接 CD′ 与 x 轴交于点 E，此时△ CDE 的周长是最小的.这样，你 只需求出OE 的长，就可以确定点 E 的坐标 了. 2010 年天津市初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分标准 评分说明： 1．各题均按参考答案及评分标准评分。 2．若考生的非选择题答案与参考答案不完全相同但言之有理，可酌情评分，但不得超过该题所分配的分数。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分． （1）A （2）B （3）C （4）A （5）B （6）D （7）C （8）C （9）B （10）D 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分． （11） （12）（3，0） （13） （答案不惟一，也可以是 或 ） （14） （15） （16） （17） （18）（Ⅰ） (答案不惟一，也可以是 等)；（Ⅱ）①②③ 三、解答题：本大题共 8 小题，共 66 分． （19）（本小题 6 分） 解： ∵ 解不等式①，得 ． ……………………………………… 2 分 解不等式②，得 ． ……………………………………… 4 分 ∴ 原不等式组的解集为 ． ……………………………………… 6 分 （20）（本小题 8 分） 解：（Ⅰ）∵ 点 在这个函数的图象上， ∴ ．解得 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分 （Ⅱ）∵ 在函数 图象的每一支上， 随 的增大而减小， ∴ ．解得 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分 2 3 C E∠ = ∠ AB FD= AD FB= 2 5 1 3 2 2y x x= + − 3 2 AD C D′= AE C F′= 2 1 1, 8 4 1. x x x x − > +  + < − 2x > 3x > 3x > 2A( 1 )， 2 1k= − 3k = 1ky x −= y x 1 0k − > 1k > ① ② （Ⅲ）∵ ，有 ． ∴ 反比例函数的解析式为 ． 将点 的坐标代入 ，可知点 的坐标满足函数关系式， ∴ 点 在函数 的图象上． 将点 的坐标代入 ，由 ，可知点 的坐标不满足函数关系式， ∴ 点 不在函数 的图象上． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分 （21）（本小题 8 分） 解：（Ⅰ）观察条形图，可知这组样本数据的平均数是 ． ∴ 这组样本数据的平均数为 ． ∵ 在这组样本数据中， 出现了 4 次，出现的次数最多， ∴ 这组数据的众数是 ． ∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 ， 有 ， ∴ 这组数据的中位数是 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （Ⅱ）∵ 10 户中月均用水量不超过 7 t 的有 7 户， 有 ． ∴ 根 据 样 本 数 据 ， 可 以 估 计 出 小 刚 所 在 班 50 名 同 学 家 庭 中 月 均 用 水 量 不 超 过 7 t 的 约 有 35 户． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分 （22）（本小题 8 分） 解：（Ⅰ）∵ 是⊙ 的直径， 是切线， ∴ . 在 Rt△ 中， ， ， ∴ . 由勾股定理，得 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分 (Ⅱ)如图，连接 、 ， ∵ 是⊙ 的直径， ∴ ，有 . 在 Rt△ 中， 为 的中点， ∴ . 13k = 1 12k − = 12y x = B 12y x = B B 12y x = C 12y x = 125 2 ≠ C C 12y x = 6 2 6.5 4 7 1 7.5 2 8 1 6.810x × + × + × + × + ×= = 6.8 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.52 + = 6.5 750 3510 × = AB O AP 90BAP∠ = ° PAB 2AB = 30P∠ = ° 2 2 2 4BP AB= = × = 2 2 2 24 2 2 3AP BP AB= − = − = OC AC AB O 90BCA∠ = ° 90ACP∠ = ° APC D AP 1 2CD AP AD= = A B C O PD ∴ . 又 ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . 即 . ∴ 直线 是⊙ 的切线. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分 （23）（本小题 8 分） 解：根据题意，可知 ， ， . 在 Rt△ 中，由 ，得 . 在 Rt△ 中，由 ， 得 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 又 ∵ ， ∴ ，即 . ∴ . 答：该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为 118 m. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分（24）（本小题 8 分） （24）（本小题 8 分） 解：（Ⅰ）① ；② ； （Ⅱ） ； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分 （Ⅲ） ， ； （Ⅳ） ， 都是原方程的根，但 不符合题意，所以只取 ； （Ⅴ）10 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分 （25）（本小题 10 分） 解：（Ⅰ）如图，作点 D 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于点 E，连接 . 若在边 上任取点 （与点 E 不重合），连接 、 、 . 由 ， 可知△ 的周长最小. ∵ 在矩形 中， ， ， 为 的中点， ∴ ， ， . DAC DCA∠ = ∠ OC OA= OAC OCA∠ = ∠ 90OAC DAC PAB∠ + ∠ = ∠ = ° 90OCA DCA OCD∠ + ∠ = ∠ = ° OC CD⊥ CD O 45ACB∠ = ° 60ADB∠ = ° 50DC = ABC 45BAC BCA∠ = ∠ = ° BC AB= ABD tan ABADB BD ∠ = 3 tan tan60 3 AB ABBD ABADB = = =∠ ° BC BD DC− = 3 503AB AB− = (3 3) 150AB− = 150 118 3 3 AB = ≈ − 8 000(1 )x+ 28 000(1 )x+ 28 000(1 ) 9 680x+ = 1 0.1x = 2 2.1x = − 1 0.1x = 2 2.1x = − 2 2.1x = − 0.1x = x D′ CD′ x DE OA E′ CE′ DE′ D E′ ′ DE CE D E CE CD D E CE DE CE′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ = + > = + = + CDE OACB 3OA = 4OB = D OB 3BC = 2D O DO′ = = 6D B′ = y B O D C A xE E′ D′ ∵ OE∥BC， ∴ Rt△ ∽Rt△ ，有 . ∴ . ∴ 点 的坐标为（1，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （Ⅱ）如图，作点 关于 轴的对称点 ，在 边上截取 ，连接 与 轴交于点 ，在 上截取 . ∵ GC∥EF， ， ∴ 四边形 为平行四边形，有 . 又 、 的长为定值， ∴ 此时得到的点 、 使四边形 的周长最小. ∵ OE∥BC， ∴ Rt△ ∽Rt△ , 有 . ∴ . ∴ . ∴ 点 的坐标为（ ，0），点 的坐标为（ ，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10 分 （26）（本小题 10 分） 解：（Ⅰ）当 ， 时，抛物线的解析式为 ，即 . ∴ 抛物线顶点 的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分 （Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点 在对称轴 上，有 ， ∴ 抛物线的解析式为 （ ）． ∴ 此时，抛物线与 轴的交点为 ，顶点为 ． ∵ 方程 的两个根为 ， ， ∴ 此时，抛物线与 轴的交点为 ， ． 如图，过点 作 EF∥CB 与 轴交于点 ，连接 ，则 S△BCE = S△BCF． ∵ S△BCE = S△ABC， ∴ S△BCF = S△ABC． ∴ ． 设对称轴 与 轴交于点 ， 2EF = D OE′ D BC′ OE D O BC D B ′= ′ 2 3 16 D O BCOE D B ′ ⋅ ×= = =′ E D x D′ CB 2CG = D G′ x E EA GC EF= GEFC GE CF= DC EF E F CDEF D OE′ D BG′ OE D O BG D B ′= ′ ( ) 2 1 1 6 3 D O BG D O BC CGOE D B D B ′ ′⋅ ⋅ − ×= = = =′ ′ 1 723 3OF OE EF= + = + = E 1 3 F 7 3 2b = 3c = 2 2 3y x x= − + + 2( 1) 4y x= − − + E E 1x = 2b = 2 2y x x c= − + + 0c > y 0( )C c， 1( 1 )E c+， 2 2 0x x c− + + = 1 1 1x c= − + 2 1 1x c= + + x 1 1 0( )A c− + ， 1 1 0( )B c+ + ， E x F CF 2 1BF AB c= = + 1x = x D y B O D C A xE D′ G F E y xFBDA O C 1x = 则 ． 由 EF∥CB，得 ． ∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有 ． ∴ ．结合题意，解得 ． ∴ 点 ， ． 设直线 的解析式为 ，则 解得 ∴ 直线 的解析式为 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为 ，（ ， ） 则抛物线的解析式为 ， 此时，抛物线与 轴的交点为 ， 与 轴的交点为 ， .（ ） 过点 作 EF∥CB 与 轴交于点 ，连接 ， 则 S△BCE = S△BCF. 由 S△BCE = 2S△AOC， ∴ S△BCF = 2S△AOC. 得 . 设该抛物线的对称轴与 轴交于点 . 则 . 于是，由 Rt△EDF∽Rt△COB，有 ． ∴ ，即 ． 结合题意，解得 ． ① ∵ 点 在直线 上，有 ． ② ∴ 由①②，结合题意，解得 ． 有 ， ． ∴ 抛物线的解析式为 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 1 3 12DF AB BF c= + = + EFD CBO∠ = ∠ ED CO DF OB = 1 3 1 1 1 c c c c + = + + + 5 4c = 5 4( 0 )C ， 5 2( 0)B ， BC y mx n= + 5 ,4 50 .2 n m n  =  = + 1 ,2 5.4 m n  = −  = BC 1 5 2 4y x= − + ( )E h k， 0h > 0k > 2( )y x h k= − − + y 2( 0 )C h k− +， x 0( )A h k− ， 0( )B h k+ ， 0k h> > E x F CF 2 2( )BF AO k h= = − x D 1 3 22DF AB BF k h= + = − ED CO DF OB = 2 3 2 k h k k h h k − += − + 22 5 2 0h kh k− + = 1 2h k= ( )E h k， 4 3y x= − + 4 3k h= − + 1k = 1k = 1 2h = 2 3 4y x x= − + +