宜宾市中考数学试卷参考答案与解析

宜宾市中考数学试卷参考答案与解析

宜宾市 2018 年高中阶段招生统一考试 数 学 试 题 参 考 答 案 及 解 析 第 I 卷 选择题（共 24 分） 一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。 （注意：在试题卷上作答无效） 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A D B C A D 1．3 的相反数是（ ） A． B．3 C． D． 【解答】只有符号不同的两个数互为相反数，故选 C. 2．我国首艘国产航母于 2018 年 4 月 26 日正式下水，排水量为 65000 吨.将 65000 用科学记 数法表示为（ ） A． B． C． D． 【解答】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形 式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，故选 B. 3．一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球 【解答】解：圆柱的三视图分别是长方形，长方形，圆，故选 A. 4．一元二次方程 的两根分别为 和 ，则 为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 【解答】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键， ∴x1 x2 = 0，故选 D. 3 1 3− 3 1± 4105.6 −× 4105.6 × 4105.6 ×− 41065.0 × 022 =− xx 1x 2x 21xx 2− 5．在 中，若 与 的角平分线交于点 ，则 的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【解答】解：如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠EAD= ∠BAD，∠ADE= ∠ADC， ∴∠EAD+∠ADE= （∠BAD+∠ADC）=90°， ∴∠E=90°， ∴△ADE 是直角三角形，故选：B． 6．某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市 2017 年“竹文 化”旅游收入约为 2 亿元．预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计 该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　） A．2% B．4.4% C．20% D．44% 【解答】解：设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x， 根据题意得：2（1+x）2=2.88， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为 20%． 故选：C． 7．如图，将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC 的 面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4．若 AA'=1，则 A'D 等于（　　） A．2 B．3 C． D． 【解答】解：如图， ∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且 AD 为 BC 边的中线， ABCD BAD∠ CDA∠ E AED△ ∴S△A′DE= S△A′EF=2，S△ABD= S△ABC= ， ∵将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到△A'B'C'， ∴A′E∥AB， ∴△DA′E∽△DAB， 则（ ）2= ，即（ ）2= ， 解得 A′D=2 或 A′D=﹣ （舍），故选：A． 8．在△ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2 成立．依 据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2 的最小值为（　　） A． B． C．34 D．10 【解答】 解：设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN 交半圆于点 P，此时 PN 取最小值． ∵DE=4，四边形 DEFG 为矩形， ∴GF=DE，MN=EF， ∴MP=FN= DE=2， ∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1， ∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10． 故选：D． 第 II 卷 非选择题（共 96 分） 二、填空题：（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）请把答案直接填写在 答题卡对应题中横线上。（注意：在试题卷上作答无效） 9．分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3=　2ab（a﹣b）2　． 【解答】解：2a3b﹣4a2b2+2ab3， =2ab（a2﹣2ab+b2）， =2ab（a﹣b）2． 10．不等式组 1＜ x﹣2≤2 的所有整数解的和为　15　． 【解答】解：由题意可得 ， 解不等式①，得：x＞6， 解不等式②，得：x≤8， 则不等式组的解集为 6＜x≤8， 所以不等式组的所有整数解的和为 7+8=15，故答案为：15． 11．某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师师 笔试、面试成绩如右表所示，综合成绩按照笔试占 60%、面试占 40%进行计算， 学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为分　78.8 分　． 【解答】解：∵甲的综合成绩为 80×60%+76×40%=78.4（分）， 乙的综合成绩为 82×60%+74×40%=78.8（分）， 丙的综合成绩为 78×60%+78×40%=78（分）， ∴被录取的教师为乙，其综合成绩为 78.8 分，故答案为：78.8 分． 12．已知点 A 是直线 y=x+1 上一点，其横坐标为﹣ ，若点 B 与点 A 关于 y 轴对 称，则点 B 的坐标为　 （ ， ）． 　． 【解答】解：由题意 A（﹣ ， ）， ∵A、B 关于 y 轴对称， ∴B（ ， ），故答案为（ ， ）． 13．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”， 即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O 的半径为 1， 若用圆 O 的外切正六边形的面积来近似估计圆 O 的面积，则 S=　2 　．（结果 保留根号） 【解答】解：依照题意画出图象，如图所示． ∵六边形 ABCDEF 为正六边形， ∴△ABO 为等边三角形， ∵⊙O 的半径为 1， ∴OM=1， ∴BM=AM= ， ∴AB= ，∴S=6S△ABO=6× × ×1=2 ． 故答案为：2 ． 14．已知：点 P（m，n）在直线 y=﹣x+2 上，也在双曲线 y=﹣ 上，则 m2+n2 的 值为　6　 【解答】解：∵点 P（m，n）在直线 y=﹣x+2 上， ∴n+m=2， ∵点 P（m，n）在双曲线 y=﹣ 上， ∴mn=﹣1， ∴m2+n2=（n+m）2﹣2mn=4+2=6．故答案为：6． 15．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE⊥AB 于点 E 且 DE 交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G，若 = ，则 =　 　． 菁优网版权所有 【分析】由 AB 是直径，推出∠ADG=∠GCB=90°，因为∠AGD=∠CGB，推出 cos∠CGB=cos∠AGD，可得 = ，设 EF=3k，AE=4k，则 AF=DF=FG=5k，DE=8k， 想办法求出 DG、AG 即可解决问题； 【解答】解：连接 AD，BC． ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ADB=90°，又 DE⊥AB， ∴∠ADE=∠ABD， ∵D 是 的中点， ∴∠DAC=∠ABD， ∴∠ADE=∠DAC， ∴FA=FD； ∵∠ADE=∠DBC，∠ADE+∠EDB=90°，∠DBC+∠CGB=90°， ∴∠EDB=∠CGB，又∠DGF=∠CGB， ∴∠EDB=∠DGF， ∴FA=FG， ∵ = ，设 EF=3k，AE=4k，则 AF=DF=FG=5k，DE=8k， 在 Rt△ADE 中，AD= =4 k， ∵AB 是直径， ∴∠ADG=∠GCB=90°， ∵∠AGD=∠CGB， ∴cos∠CGB=cos∠AGD， ∴ = ， 在 Rt△ADG 中，DG= =2 k， ∴ = = ， 故答案为： ． 16．如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，CB=2，点 E 为线段 AB 上的动点，将△CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是　①②③　（写出所 有正确结论的序号） ①当 E 为线段 AB 中点时，AF∥CE； ②当 E 为线段 AB 中点时，AF= ； ③当 A、F、C 三点共线时，AE= ； ④当 A、F、C 三点共线时，△CEF≌△AEF． 【解答】解：如图 1 中，当 AE=EB 时， ∵AE=EB=EF， ∴∠EAF=∠EFA， ∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA， ∴∠BEC=∠EAF， ∴AF∥EC，故①正确， 作 EM⊥AF，则 AM=FM， 在 Rt△ECB 中，EC= = ， ∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB， ∴△CEB∽△EAM， ∴ = ， ∴ = ， ∴AM= ，∴AF=2AM= ，故②正确， 如图 2 中，当 A、F、C 共线时，设 AE=x． 则 EB=EF=3﹣x，AF= ﹣2，在 Rt△AEF 中，∵AE2=AF2+EF2， ∴x2=（ ﹣2）2+（3﹣x）2， ∴x= ， ∴AE= ，故③正确， 如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④ 错误，故答案为①②③． 三、解答题：（本大题共 8 小题，共 72 分）解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。（注意：在试题卷上作答无效） 17．（10 分）（1）计算：sin30°+（2018﹣ ）0﹣2﹣1+|﹣4|； （2）化简：（1﹣ ）÷ ． 【解答】解：（1）原式= +1﹣ +4 = 5； （2）原式= • = x+1． 18．（6 分）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD． 【解答】证明：如图，∵∠1=∠2， ∴∠ACB=∠ACD． 在△ABC 与△ADC 中， ， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴CB=CD． 【点评】考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意 三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 19．某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为必修学科，另外 还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为 A、B、C、D、E、F） 六门选修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对调查结果进行了 分析统计，并制作了两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）该班共有学生人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该班某同学物理成绩特别优异，已经从选修学科中选定物理，还需从余下 选修学科中任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化 学、历史两科的概率． 【解答】解：（1）该班学生总数为 10÷20%=50 人； （2）历史学科的人数为 50﹣（5+10+15+6+6）=8 人， 补全图形如下： （3）列表如下： 化学 生物 政治 历史 地理 化学 生物、化学 政治、化学 历史、化学 地理、化学 生物 化学、生物 政治、生物 历史、生物 地理、生物 政治 化学、政治 生物、政治 历史、政治 地理、政治 历史 化学、历史 生物、历史 政治、历史 地理、历史 地理 化学、地理 生物、地理 政治、地理 历史、地理 由表可知，共有 20 种等可能结果，其中该同学恰好选中化学、历史两科的有 2 种结果，所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为 = ． 20．我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产 300 万部智能手机的订单， 为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了 50%，结 果比原计划提前 5 个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部． 【解答】解：设原计划每月生产智能手机 x 万部，则实际每月生产智能手机 （1+50%）x 万部， 根据题意得： ﹣ =5， 解得：x=20， 经检验，x=20 是原方程的解，且符合题意， ∴（1+50%）x=30． 答：每月实际生产智能手机 30 万部． 21．某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 AB、CD 均垂直于地面，点 E 在 线段 BD 上，在 C 点测得点 A 的仰角为 30°，点 E 的俯角也为 30°，测得 B、E 间距离为 10 米，立柱 AB 高 30 米．求立柱 CD 的高（结果保留根号） 【解答】解：作 CH⊥AB 于 H， 则四边形 HBDC 为矩形， ∴BD=CH， 由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°， 设 CD=x 米，则 AH=（30﹣x）米， 在 Rt△AHC 中，HC= = （30﹣x）， 则 BD=CH= （30﹣x）， ∴ED= （30﹣x）﹣10， 在 Rt△CDE 中， =tan∠CED，即 = ， 解得，x=15﹣ ， 答：立柱 CD 的高为（15﹣ ）米． 22．如图，已知反比例函数 y= （m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数 y=﹣x+b 的图象经过反比例函数图象上的点 Q（﹣4，n）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，与反比例函数图象的另 一个交点为 P 点，连结 OP、OQ，求△OPQ 的面积． 【解答】解：（1）反比例函数 y= （ m≠0）的图象经过点（1，4）， ∴ ，解得 m=4，故反比例函数的表达式为 ， 一次函数 y=﹣x+b 的图象与反比例函数的图象相交于点 Q（﹣4，n）， ∴ ，解得 ， ∴一次函数的表达式 y=﹣x﹣5； （2）由 ，解得 或 ， ∴点 P（﹣1，﹣4）， 在一次函数 y=﹣x﹣5 中，令 y=0，得﹣x﹣5=0，解得 x=﹣5，故点 A（﹣5，0）， S△OPQ=S△OPA﹣S△OAQ= =7.5． 23．如图，AB 为圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点，D 为 BC 延长线一点，且 BC=CD，CE⊥AD 于点 E． （1）求证：直线 EC 为圆 O 的切线； （ 2 ） 设 BE 与 圆 O 交 于 点 F ， AF 的 延 长 线 与 CE 交 于 点 P ， 已 知 ∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求 sin∠PEF 的值． 菁优网版权所有 【 分 析 】（ 1 ） 说 明 OC 是 △BDA 的 中 位 线 ， 利 用 中 位 线 的 性 质 ， 得 到 ∠OCE=∠CED=90°，从而得到 CE 是圆 O 的切线． （2）利用直径上的圆周角，得到△PEF 是直角三角形，利用角相等，可得到 △PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，从而得到 PC=PE=5．然后求出 sin∠PEF 的 值． 【解答】解：（1）证明：∵CE⊥AD 于点 E ∴∠DEC=90°， ∵BC=CD， ∴C 是 BD 的中点，又∵O 是 AB 的中点， ∴OC 是△BDA 的中位线， ∴OC∥AD ∴∠OCE=∠CED=90° ∴OC⊥CE，又∵点 C 在圆上， ∴CE 是圆 O 的切线． （2）连接 AC ∵AB 是直径，点 F 在圆上 ∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA ∵∠EPF=∠EPA ∴△PEF∽△PEA ∴PE2=PF×PA ∵∠FBC=∠PCF=∠CAF 又∵∠CPF=∠CPA ∴△PCF∽△PAC ∴PC2=PF×PA ∴PE=PC 在 Rt △PEF 中，sin∠PEF= = ． 24．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点 （4，1），如图，直线 y= x 与抛物线交于 A、B 两点，直线 l 为 y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在 l 上是否存在一点 P，使 PA+PB 取得最小值？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由． （3）知 F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等，求定点 F 的坐标． 优网版权所有 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为 y=a（x﹣2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1=4a，解得：a= ， ∴抛物线的解析式为 y= （x﹣2）2= x2﹣x+1． （2）联立直线 AB 与抛物线解析式成方程组，得： ，解得： ， ， ∴点 A 的坐标为（1， ），点 B 的坐标为（4，1）． 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′交直线 l 于点 P，此时 PA+PB 取得最小 值（如图 1 所示）． ∵点 B（4，1），直线 l 为 y=﹣1， ∴点 B′的坐标为（4，﹣3）． 设直线 AB′的解析式为 y=kx+b（k≠0）， 将 A（1， ）、B′（4，﹣3）代入 y=kx+b，得： ，解得： ， ∴直线 AB′的解析式为 y=﹣ x+ ， 当 y=﹣1 时，有﹣ x+ =﹣1， 解得：x= ， ∴点 P 的坐标为（ ，﹣1）． （3）∵点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等， ∴（m﹣x0）2+（n﹣y0）2=（n+1）2， ∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0n+y02=2n+1． ∵M（m，n）为抛物线上一动点， ∴n= m2﹣m+1， ∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0（ m2﹣m+1）+y02=2（ m2﹣m+1）+1， 整理得：（1﹣ ﹣ y0）m2﹣（2﹣2x0﹣2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3=0． ∵m 为任意值， ∴ ， ∴ ， ∴定点 F 的坐标为（2，1）．