中考二轮复习之证明两角相等的方法

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中考二轮复习之证明两角相等的方法

中考二轮复习之证明两角相等的方法 ‎【相关定理或常见结论】‎ ‎1、相交线、平行线:‎ ‎(1)对顶角相等;‎ ‎(2)等角的余角(或补角)相等;‎ ‎(3)两直线平行,同位角相等、内错角相等;‎ ‎(4)凡直角都相等;‎ ‎(5)角的平分线分得的两个角相等.‎ ‎2、三角形 ‎(1)等腰三角形的两个底角相等;‎ ‎(2)等腰三角形底边上的高(或中线)平分顶角(三线合一);‎ ‎(3)三角形外角和定理:三角形外角等于和它不相邻的内角之和 ‎(4)全等三角形的对应角相等;‎ ‎(5)相似三角形的对应角相等.‎ ‎3、四边形 ‎(1)平行四边形的对角相等;‎ ‎(2)菱形的每一条对角线平分一组对角;‎ ‎(3)等腰梯形在同一底上的两个角相等.‎ ‎4、圆 ‎(1)在同圆或等圆中,若有两条弧相等或有两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等;‎ ‎(2)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等. ,圆心角相等.‎ ‎(3)圆周角定理:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.‎ ‎(4)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.‎ ‎(5)三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.‎ ‎(6)正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.‎ ‎(7)从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角;‎ ‎5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等.‎ ‎6、利用三角函数计算出角的度数相等 ‎【典题精析】‎ ‎(一) 利用全等相关知识证明角相等 例1 已知:如图,于点,于点,与交于点,且.‎ ‎ 求证:平分.‎ 例2 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是四边形内一点,ED⊥AD,BE=DC,∠ECB=45 ‎ 求证:∠EBC=∠EDC 例3 如图,已知四边形ABCD中AC=BD,CD∥BA,四边形AEBC是平行四边形.‎ 求证:∠ABD=∠ABE.‎ ‎(二)利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系 例4.已知:△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE,G是垂足, ‎ 求证:⑴G是CE的中点;⑵∠B=2∠BCE. ‎ 例5 如图,直线,连结,直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点落在某个部分时,连结,构成,,三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角.)‎ ‎(1)当动点落在第①部分时,求证:;‎ ‎(2)当动点落在第②部分时,是否成立(直接回答成立或不成立)?‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎④‎ ‎(3)当动点在第③部分时,全面探究,,之间的关系,并写出动点的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.‎ ‎(三)利用四边形的相关知识证明角的有关问题 例6 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使,连结FC.求证:∠F=∠A.‎ ‎(四)利用圆的相关知识 例7如图,已知BC是直径,,AD⊥BC.‎ 求证:(1)∠EAF=∠AFE ‎ (2)BE=AE=EF 例8 已知:如图,AD为锐角△ABC外接圆的直径,AE⊥BC于E,交⊙O于F。‎ ‎ 求证:∠1=∠2‎ 例9 已知:如图,AB为⊙O的直径,AC为弦,CD⊥AB于D,若AE=AC,BE交⊙O于点F,连结EF、DE.‎ ‎  求证:(1)AE2=AD·AB;‎ ‎  (2)∠ACF=∠AED.‎ ‎(五)利用三角函数求两角之间的关系 例10 已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,3),过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D,抛物线的顶点为M,直线y= x+5经过D、M两点.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)连接AM、AC、BC,试比较∠MAB和∠ACB的大小,并说明你的理由.‎ ‎【智能巧练】‎ ‎⒈如图,△ABC中,∠B的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,则∠D与 ‎∠A的比是________‎ ‎⒉.已知,如图,在△ABC中,AC2=AD AB。‎ 求证:∠ACD=∠ABC。 ‎ ‎⒊ 如图,已知:平行四边形ABCD中,E是CA延长线上的点,‎ F是AC延长线上的点,且AE=CF 求证:⑴∠E=∠F;‎ ‎⑵BE=DF ‎⒋ 如图,△ABC中,高BD、CE交于点F,且CG=AB,BF=AC,连接AF, ‎ 求证:AG⊥AF ‎ ‎ ‎ 第4题 第5题 ‎ ‎⒌ Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC上任意一点,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足分别为F、E,M为BC中点,试判断△MEF是什么形状的三角形,并说明之.‎ B C D E A F ‎6.已知:如图,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D. 延长DA交△ABC的外接圆于点F.‎ ‎ ⑴求证:∠FBC=∠FCB;‎ ‎⑵若,求FB的长.‎ 图(1)‎ B O A F D C G E l ‎·‎ ‎7.⑴如图,已知直线AB过圆心O,交⊙O于A、B,直线AF交⊙O于F(不与B重合),直线l交⊙O于C、D,交AB于E,且与AF垂直,垂足为G,连结AC、AD.‎ 求证:①∠BAD=∠CAG;②AC·AD=AE·AF.‎ ‎⑵在问题⑴中,直线l向下平行移动,与⊙O相切,其他条件不变.‎ ‎①请你画出变化后的图形,并对照图,标记字母;‎ ‎②问题⑴中的两个结论是否仍成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D,DF⊥AC,垂足为F,DE⊥BC,垂足为E,给出下列4个结论:‎ ‎①CE=CF;②∠ACB=∠EDF;③DE是⊙O的切线;④=;‎ 其中一定成立的是( )‎ A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D . ①②④‎ ‎9.已知,如图,在四边形ABCD中,AB=DC,E、F分别为BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别与EF的延长线交于K、H 求证:∠BKE=∠CHE ‎10.已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于M,点E是上一动点.‎ ‎⑴ 如图1,若DE交AB于N,交AC于F,且DE=AC,连结AD、CE,‎ 求证:①∠CED=∠ADE ②=NF·NE ‎⑵ 如图2,若DE与AC的延长线交于F,且DE=AC,那么=NF·NE的结论是否成立?若成立请证明,若不成立请说明理由.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【自主检测】‎ ‎1.已知如左图,在ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC,M为AC的中点,AD⊥BM。‎ 求证:∠AMB=∠DMC ‎ ‎ ‎ 2. 如右图在△ABC中,EF⊥AB,CD⊥AB,G在AC边上并且∠GDC=∠EFB,‎ 求证:∠AGD=∠ACB ‎ ‎ ‎3、如图,△ABC內接于圆,D是弧BC的中点,AD交BC于E,‎ 求证:∠ABD=∠AEC ‎ ‎4、已知:AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,过点C作直线CD⊥AB于点D,E是AB上一点,直线CE与⊙O交于点F,连结AF,与直线CD交于点G.‎ 求证:∠ACD=∠F.‎ 证明两角相等的方法 ‎【重点解读】‎ 证明两角相等是中考命题中常见的一种题型,此类证明看似简单,但方法不当也会带来麻烦,特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法,可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理(或常见结论)以及几种处理方法,仅供参考。‎ ‎【相关定理或常见结论】‎ ‎1、相交线、平行线:‎ ‎(1)对顶角相等;‎ ‎(2)等角的余角(或补角)相等;‎ ‎(3)两直线平行,同位角相等、内错角相等;‎ ‎(4)凡直角都相等;‎ ‎(5)角的平分线分得的两个角相等.‎ ‎2、三角形 ‎(1)等腰三角形的两个底角相等;‎ ‎(2)等腰三角形底边上的高(或中线)平分顶角(三线合一);‎ ‎(3)三角形外角和定理:三角形外角等于和它不相邻的内角之和 ‎(4)全等三角形的对应角相等;‎ ‎(5)相似三角形的对应角相等.‎ ‎3、四边形 ‎(1)平行四边形的对角相等;‎ ‎(2)菱形的每一条对角线平分一组对角;‎ ‎(3)等腰梯形在同一底上的两个角相等.‎ ‎4、圆 ‎(1)在同圆或等圆中,若有两条弧相等或有两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等;‎ ‎(2)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等. ,圆心角相等.‎ ‎(3)圆周角定理:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.‎ ‎(4)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.‎ ‎(5)三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.‎ ‎(6)正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.‎ ‎(7)从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角;‎ ‎5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等.‎ ‎6、利用三角函数计算出角的度数相等 ‎【典题精析】‎ ‎(一) 利用全等相关知识证明角相等 例1 已知:如图,于点,于点,与交于点,且.‎ ‎ 求证:平分.‎ 分析:要证平分,因为于点,于点,所以只要证明OD=OE;若能证明若能证△OBD≌△OCE 即可,因为可证 ‎∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE,而BD=CE,故问题得到解决.‎ 证明:∵于点,于点 ‎∴∠ODB=∠OEC=90°‎ 在△OBD和△OCE中 ‎∠ODB=∠OEC ‎∠BOD=∠COE BD=CE ‎∴△OBD≌△OCE ‎∴OD=OE ‎∵于点,于点 ‎∴平分.‎ 说明:本例的证明运用了对顶角相等,角的平分线性质的逆定理 例2 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是梯形内一点,ED⊥AD,BE=DC,∠ECB=45 o.‎ 求证:∠EBC=∠EDC 分析:要证明∠EBC=∠EDC,容易想到证全等,而图中没有全等的三角形,如果能构造出两个全等的三角形即可。延长DE与BC交于点于点F, 这样就很容易证△BEF≌△DCF,从而问题得到解决。‎ 证明:延长DE与BC交于点于点F AD∥BC,ED⊥AD ‎ ∴DF⊥BC ‎∴∠BFE=∠DFC=90°‎ ‎∵∠ECB=45 o ‎∴∠ECB=∠CEB=45 o ‎ ∴CF=EF 在Rt△BEF和Rt△DCF中 EF=CF ,BE=DC ‎∴Rt△BEF≌Rt△DCF ‎∴∠EBC=∠EDC 说明:本例运用全等三角形的对应角相等,来证明两角相等 例3 如图,已知四边形ABCD是等腰梯形,CD∥BA,四边形AEBC是平行四边形.‎ 求证:∠ABD=∠ABE.‎ 分析:要证∠ABD=∠ABE,若能证△ABD≌△ABE即可.因为可证BE=AC=BD,AE=BC=AD,而AB为公共边,故问题得到解决.‎ 证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AD=BC,AC=BD.‎ ‎∵四边形AEBC是平行四边形,∴BC=AE,AC=BE.‎ ‎∴AD=AE,BD=BE.‎ 又∵AB=AB,∴△ABD≌△ABE.‎ ‎∴∠ABD=∠ABE.‎ 说明:本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等.‎ 总结:这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质,在中考中也是常考的题型,在证明过程中,特别要抓住一些基本图形,同时还要注意常用辅助线的作法。‎ ‎(二)利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系 例4.已知:△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE,G是垂足, ‎ 求证:⑴G是CE的中点;⑵∠B=2∠BCE. ‎ 分析:⑴已知中多垂直和中线条件,‎ 可联想直角三角形斜边上的中线性质;‎ 要证明G是CE的中点,结合已知条件DG⊥CE,‎ 符合等腰三角形三线合一中的两个条件,‎ 故连结DE,证明△DCE是等腰三角形,由DG⊥CE,‎ 可得G是CE的中点.‎ ‎⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,BE=DE,∠B转化为∠EDB.‎ 证明:⑴连结DE,‎ ‎∵∠ADB=90°,E是AB的中点,‎ ‎∴DE=AE=BE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),‎ 又∵DC=BE,∴DC=DE,‎ 又∵DG⊥CE,‎ ‎∴G是CE中点(等腰三角形底边上的高平分底边).‎ ‎⑵∵DE=DC,∴∠DCE=∠DEC(等边对等角),‎ ‎∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE(三角形的外角等于两不相邻内角的和),‎ 又∵DE=BE,∴∠B=∠EDB,∴∠B=2∠BCE 直角三角形、等腰三角形等特殊三角形,其特殊性质有:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式:已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.‎ 例5 如图,直线,连结,直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点落在某个部分时,连结,构成,,三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角.)‎ ‎(1)当动点落在第①部分时,求证:;‎ ‎(2)当动点落在第②部分时,是否成立(直接回答成立或不成立)?‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎④‎ ‎(3)当动点在第③部分时,全面探究,,之间的关系,并写出动点的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.‎ 分析:本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理和外角性质 图1‎ ‎(1)解法一:如图1‎ 延长BP交直线AC于点E ‎ ‎∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD . ‎ ‎∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA , ‎ ‎∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD . ‎ 图2‎ 解法二:如图2‎ 过点P作FP∥AC , ‎ ‎∴ ∠PAC = ∠APF . ‎ ‎∵ AC∥BD , ∴FP∥BD . ‎ ‎∴ ∠FPB =∠PBD . ‎ 图3‎ ‎ ∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD .‎ 解法三:如图3,‎ ‎∵ AC∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180° ‎ 即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°. ‎ 又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°, ‎ ‎∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD . ‎ ‎(2)不成立. ‎ 图4‎ ‎(3)(a)当动点P在射线BA的右侧时,结论是 ‎∠PBD=∠PAC+∠APB .‎ ‎(b)当动点P在射线BA上,‎ 结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .‎ 或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°,‎ ‎∠PAC =∠PBD(任写一个即可).‎ ‎(c) 当动点P在射线BA的左侧时,‎ 图5‎ 结论是∠PAC =∠APB +∠PBD . ‎ 选择(a) 证明:‎ 如图4,连接PA,连接PB交AC于M ‎ ∵ AC∥BD ,‎ ‎∴ ∠PMC =∠PBD .‎ 又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,‎ ‎∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB . ‎ 选择(b) 证明:如图5 ‎ 图6‎ ‎∵ 点P在射线BA上,∴∠APB = 0°.‎ ‎∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC . ‎ ‎∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB ‎ 或∠PAC =∠PBD+∠APB ‎ 或∠APB = 0°,∠PAC =∠PBD. ‎ 选择(c) 证明:‎ 如图6,连接PA,连接PB交AC于F ‎∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .‎ ‎∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA , ‎ ‎∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD 总结:这类题主要考查平行线的性质,三角形的内角和,外角性质及其应用,在求解角的度数时,一般运用三角形的角及外角的关系,把所求的角集中在同一个三角形中,然后利用内角和求角度,在证明角之间的关系时,常考虑利用三角形的内角和定理和外角性质,若题中没有三角形,常通过作辅助线构造三角形。‎ ‎(三)利用四边形的相关知识证明角的有关问题 例6 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使,连结FC.求证:∠F=∠A.‎ 分析:要证明∠F=∠A,由图知只要证明四边形AEFC是平行四边形即可。‎ 证明:∵AB=AC ‎∴∠ABC=∠ACB ‎∵EB=ED ‎∴∠EBD=∠EDB ‎ ∴∠EDB=∠ACB ‎ ∴EF∥AC E是AB的中点 ‎ ∴AE=EB ‎ ∵DF=DE,EB=ED ‎ ∴AE=EB= DF=DE ‎∴AE+EB= DF+DE 即AB=EF ‎∵AB=AC ‎∴EF=AC 又∵EF∥AC ‎∴四边形AEFC是平行四边形 ‎∴∠F=∠A 说明:本例的证明用到了等腰三角形的两底角相等,平行四边形的对角相等。‎ ‎(四)利用圆的相关知识 例7如图,已知BC是直径,,AD⊥BC.‎ 求证:(1)∠EAF=∠AFE ‎ (2)BE=AE=EF 分析:由BC是直径,得到∠BAC是直角,再利用,‎ ‎ 得到∠ABE=∠BAE;再证∠EAF=∠FAE。‎ 证明:(1)∵BC是直径 ‎∴∠BAC=90 o ‎∴∠ABE+∠EFA=90 o ,∠BAE+∠EAF=90 o ‎∵‎ ‎∴∠ABE=∠BAE ‎∴∠EAF=∠AFE ‎ (2)略 说明:本例的证明用到了等弧所对的圆周角相等,等角的余角相等 例8 已知:如图,AD为锐角△ABC外接圆的直径,AE⊥BC于E,交⊙O于F。‎ ‎ 求证:∠1=∠2‎ 分析:∠1和∠2分别是和所对的两个圆周角,故只需证=,但不易证明,由于∠2+∠C=90 o ,联想到把∠1放到直角三角形中,连结BD,可得∠ABD=90 o,从而问题得证。‎ 证明:连结BD ‎∵AD为直径 ‎∴∠ABD=90 o ‎∴∠1+∠D=90 o ‎∵AE⊥BC于E ‎∴∠2+∠C=90 o ‎∵∠C=∠D ‎∴∠1=∠2‎ 总结:此题关键是见直径构造90 o的圆周角 例9 已知:如图,AB为⊙O的直径,AC为弦,CD⊥AB于D,若AE=AC,BE交⊙O于点F,连结EF、DE.‎ ‎  求证:(1)AE2=AD·AB;‎ ‎  (2)∠ACF=∠AED.‎ 分析:(1)因为AE=AC,要证AE2=AD·AB,实际上证AC2=AD·AB,可转化成比例式,放入三角形中用相似三角形来证明。‎ ‎(2)欲证∠ACF=∠AED,又知∠ACF=∠ABE,则只需证∠AED=∠ABE,由(1)得 ‎△ADE∽△AEB,对应角相等得证 证明:(1)连结BC.‎ ‎  ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.‎ ‎  又∵CD⊥AB于D,∴∠ADC=90°.‎ ‎  而∠CAB=∠DAC,∴△CAB∽△DAC.‎ ‎  ∴,∴AC2=AD·AB.‎ ‎  又AE=AC,∴AE2=AD·AB.‎ ‎  (2)由(1),AE2=AD·AB,∴.‎ ‎  在△AED和△ABE中,∠EAB=∠DAE,‎ ‎  ∴△EAB∽△DAE.∴∠ABE=∠AED.‎ 而∠ABE=∠ACF,‎ ‎∴∠ACF=∠AED.‎ 总结:圆周角定理可提供等角、直角等结论,进而可用于相似三角形判定,从而可得比例式,求线段长等结论,解决此类问题是灵活选用圆周角定理和相似等内容,并适时添加辅助线。‎ ‎(五)利用三角函数求两角之间的关系 例10 已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,3),过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D,抛物线的顶点为M,直线y= x+5经过D、M两点.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)连接AM、AC、BC,试比较∠MAB和∠ACB的大小,并说明你的理由.‎ 解:(1)∵CD∥x轴且点C(0,3),‎ ‎∴设点D的坐标为(x,3) .‎ ‎∵直线y= x+5经过D点,‎ ‎∴3= x+5.∴x=-2.‎ 即点D(-2,3) .‎ 根据抛物线的对称性,设顶点的坐标为M(-1,y),‎ 又∵直线y= x+5经过M点,‎ ‎∴y =-1+5,y =4.即M(-1,4).‎ ‎∴设抛物线的解析式为.‎ ‎∵点C(0,3)在抛物线上,∴a=-1.‎ 即抛物线的解析式为. ‎ ‎(2)作BP⊥AC于点P,MN⊥AB于点N.‎ 由(1)中抛物线可得 点A(-3,0),B(1,0),‎ ‎∴AB=4,AO=CO=3,AC=.‎ ‎∴∠PAB=45°.‎ ‎∵∠ABP=45°,∴PA=PB=.‎ ‎∴PC=AC-PA=.‎ 在Rt△BPC中,tan∠BCP==2.‎ 在Rt△ANM中,∵M(-1,4),∴MN=4.∴AN=2.‎ tan∠NAM==2.‎ ‎∴∠BCP=∠NAM.‎ 即∠ACB=∠MAB ‎ 说明:本例第二问判断∠ACB和∠MAB的大小关系是通过构造直角三角形,通过计算这两个角的三角函数值来解决问题的。在解决这类问题时如果不能用全等等方法来寻找思路时,不妨从直角三角形入手,分别计算所求角的三角函数值,从而使问题得到解决.同时还要注意通过一些特殊的点,可能构成特殊的三角形。‎ ‎【智能巧练】‎ ‎⒈如图,△ABC中,∠B的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,则∠D与 ‎∠A的比是________‎ ‎ ‎ ‎⒉.已知,如图,在△ABC中,AC2=AD AB。‎ 求证:∠ACD=∠ABC。 ‎ ‎⒊ 如图,已知:平行四边形ABCD中,E是CA延长线上的点,‎ F是AC延长线上的点,且AE=CF 求证:⑴∠E=∠F;‎ ‎⑵BE=DF ‎⒋ 如图,△ABC中,高BD、CE交于点F,且CG=AB,BF=AC,连接AF, ‎ 求证:AG⊥AF ‎ ‎ ‎ 第4题 第5题 ‎ ‎⒌ Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC上任意一点,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足分别为F、E,M为BC中点,试判断△MEF是什么形状的三角形,并说明之.‎ ‎6.已知:如图,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D. 延长DA交△‎ ABC的外接圆于点F.‎ ‎ ⑴求证:∠FBC=∠FCB;‎ ‎⑵若,求FB的长.‎ B C D E A F ‎ ‎ ‎ 第7题 第8题 ‎7.梯形ABCD中AB//CD,对角线AC、BD垂直相交于H,M是AD上的点,MH所 在直线交BC于N. 在以上前提下,试将下列设定中的两个作为题设,另一个作为结论 组成一个正确的命题,并证明这个命题. ①AD=BC ②MN⊥BC ③AM=DM ‎8.⑴如图,已知直线AB过圆心O,交⊙O于A、B,直线AF交⊙O于F(不与B重 合),直线l交⊙O于C、D,交AB于E,且与AF垂直,垂足为G,连结AC、AD.‎ 求证:①∠BAD=∠CAG;②AC·AD=AE·AF.‎ ‎⑵在问题⑴中,直线l向下平行移动,与⊙O相切,其他条件不变.‎ ‎①请你画出变化后的图形,并对照图,标记字母;‎ ‎②问题⑴中的两个结论是否仍成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.‎ B O A 图(2)‎ ‎·‎ 图(1)‎ B O A F D C G E l ‎·‎ ‎9.如图,⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D,DF⊥AC,垂足为F,DE⊥BC,垂足为E,给出下列4个结论:‎ ‎①CE=CF;②∠ACB=∠EDF;③DE是⊙O的切线;④=;‎ 其中一定成立的是( )‎ A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D . ①②④‎ ‎ ‎ ‎10.已知,如图,在四边形ABCD中,AB=DC,E、F分别为BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别与EF的延长线交于H、G.‎ 求证:∠BHE=∠CGE ‎11.已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于M,点E是上一动点.‎ ‎⑴ 如图1,若DE交AB于N,交AC于F,且DE=AC,连结AD、CE,‎ 求证:①∠CED=∠ADE ②=NF·NE ‎⑵ 如图2,若DE与AC的延长线交于F,且DE=AC,那么=NF·NE的结论是否成立?若成立请证明,若不成立请说明理由.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【答案点击】‎ ‎⒈ 1∶2; ⒉证明△ACD∽△ABC; ⒊证明△ABE≌△CDF,或连结ED、FB,证明平行四边形EBFD; ⒋证明△CAG≌△BFA,∴∠G=∠BAF,∵∠G+∠GAE=90°,∴∠BAF+∠GAE=90°,∴AG⊥AF; ⒌△MEF是等腰Rt△,连结AM,证△AME≌△BMF 6、⑴∵∠DAC=∠FBC,∠EAD=∠FAB=∠FCB,∵∠DAC =∠EAD,∴∠FBC=∠FCB ⑵证明△FBA∽△FDB,得FB=6 7、题设①② 结论③ 证明略8、⑴①略,②连结DF,可证得△ACE∽△AFD,⑵结论仍成立.‎ ‎9、分析 ①可证得△CDF≌△CDE,得CE=CF成立;‎ ‎②∠ACB和∠EDF(无直接关系,找相关的角):∠ACB与∠ACE邻角互补,∠EDF也和∠ACE互补(四边形的内角和360°),同角的补角相等,即∠ACB=∠EDF;‎ ‎④所对的圆周角为∠DCA,所对的圆周角为∠DAB,∵∠DAB=∠DCE(四边形的外角等于不相邻的内角),又∠DCA=∠DCE ,∴∠DCA=∠DCE,‎ ‎=,故选D. ‎ 一般的,证明线段相等或角相等,可根据条件寻找三角形,证三角形全等;无三角形全等时,可找与之相关连的线段或角,探索等量关系;证明弧相等,可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等,即转化为证明角相等的问题.‎ ‎10、提示:‎ 连结BD,取BD的中点M,连结FM、EM.只需证FM=EM,即可证得∠BHE=∠CGE.‎ ‎11、⑴证明:①∵DE=AC,‎ ‎∴,‎ ‎∴∠CED=∠ADE ‎②连结CN ‎∴CN=DN, ∠NCF=∠ADE(圆的轴对称性质)‎ ‎∵∠CED=∠ADE,∠CNF=∠ENC ‎∴△NCE∽△NFC ‎∴,‎ ‎∴=NF·NE ‎【自主检测】‎ ‎1.已知如左图,在ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC,M为AC的中点,AD⊥BM。‎ 求证:∠AMB=∠DMC ‎ ‎ ‎ 2. 如右图在△ABC中,EF⊥AB,CD⊥AB,G在AC边上并且∠GDC=∠EFB,‎ 求证:∠AGD=∠ACB ‎ ‎ ‎3、如图,在△ABC中,∠B=90,点G、E在BC边上,且AB=BG=GE=GC。‎ 求证:∠AGB=∠AEB+∠ACB ‎ ‎ ‎4、如图,△ABC內接于圆,D是弧BC的中点,AD交BC于E,‎ 求证:∠ABD=∠AEC ‎ ‎5、已知:AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,过点C作直线CD⊥AB 于点D,E是AB上一点,直线CE与⊙O交于点F,连结AF,与直线CD交于点G.‎ 求证:∠ACD=∠F.‎ 答案:‎ ‎1、过点C作CF⊥AC交AD的延长线于F. ‎ 证明:△ABM≌△ACF,再证△MCD≌△FCD ‎2、分析:CD∥EF ∵EF⊥AB,CD⊥AB ∴CD∥EF ‎∴∠DCB=∠EFB ∵∠GDC=∠EFB∴∠DCB=∠GDC ‎∴GD∥CB∴∠AGD=∠ACB ‎ ‎3、分析 先证明△AGE∽△CGA,再利用外角性质 ‎4、分析 要证明两个角相等,‎ 可放入两三角形△ABD、△AEC,证三角形相似,‎ 条件有两个:∠D=∠C,∠BAD=∠CAD(等弧所对的圆周角相等)‎ 证明:∵D是弧BC的中点,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD ‎∵∠D=∠C,∴△ABD∽△AEC ‎ ‎ ∴∠ABD=∠CEA ‎5、分析 要证明∠ACD=∠F,可通过角之间的转化,‎ 已知中AB是⊙O的直径是关键的条件,‎ 连结BC,得∠ACB=90°,∠ACD=∠B(直角三角形母子三角形中的对应角相等),‎ ‎∠F=∠B,(同弧所对的圆周角相等).‎ 证明:⑴连结BC,∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角为直角),‎ 即∠ACD+∠DCB=90°‎ ‎∵CD⊥AB ∴∠DCB+∠B=90°,∴∠ACD=∠B(同角的余角相等)‎ ‎∵∠F=∠B,∴∠ACD=∠F(等量代换).‎ 证明角相等时,如果没有三角形全等,我们常找与它们都相关或都有联系的角作为桥梁,实现角之间的转化,从而证明它们的等量关系. 直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.‎
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