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文档介绍
中考数学试题分类解析汇编
中考数学试题分类解析汇编 一、选择题 1. (2012四川资阳3分)如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是【 】 A. B. C.且 D.或 【答案】D。 【考点】二次函数与不等式(组),二次函数的性质。 【分析】利用二次函数的对称性,可得出图象与x轴的另一个交点坐标,结合图象可得出的解集: 由图象得:对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5,0), ∴图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,0)。 由图象可知:的解集即是y<0的解集, ∴x<-1或x>5。故选D。 二、填空题 1. (2012浙江绍兴5分)教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为,由此可知铅球推出的距离是 ▲ m。 【答案】10。 【考点】二次函数的应用。 【分析】在函数式中,令,得 ,解得,(舍去), ∴铅球推出的距离是10m。 2. (2012湖北襄阳3分)某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2,该型号飞机着陆后滑行 ▲ m才能停下来. 【答案】600。 【考点】二次函数的应用。1028458 【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程,即是求函数的最大值。 ∵﹣1.5<0,∴函数有最大值。 ∴,即飞机着陆后滑行600米才能停止。 3. (2012山东济南3分)如图,济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 ▲ 秒. 【答案】36。 【考点】二次函数的应用 【分析】设在10秒时到达A点,在26秒时到达B, ∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同, ∴A,B关于对称轴对称。 则从A到B需要16秒,从A到D需要8秒。 ∴从O到D需要10+8=18秒。∴从O到C需要2×18=36秒。 三、解答题 1. (2012重庆市10分)企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6,且x取整数)之间满足的函数关系如下表: 7至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7≤x≤12,且x取整数)之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0).其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水的费用:z1(元)与月份x之间满足函数关系式:,该企业自身处理每吨污水的费用:z2(元)与月份x之间满足函数关系式:;7至12月,污水厂处理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元. (1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出y1,y2与x之间的函数关系式; (2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用; (3)今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a﹣30)%,为鼓励节能降耗,减轻企业负担,财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用为18000元,请计算出a的整数值. (参考数据:≈15.2,≈20.5,≈28.4) 【答案】解:(1)根据表格中数据可以得出xy=定值, 则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系:。 将(1,12000)代入得:k=1×12000=12000, ∴(1≤x≤6,且x取整数)。 根据图象可以得出:图象过(7,10049),(12,10144)点,代入y2=ax2+c得: ,解得:。 ∴y2=x2+10000(7≤x≤12,且x取整数)。 (2)当1≤x≤6,且x取整数时: =﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000(x﹣5)2+2200。 ∵a=﹣1000<0, 1≤x≤6,∴当x=5时,W最大=22000(元)。 当7≤x≤12时,且x取整数时: W=2×(12000﹣y1)+1.5y2=2×(12000﹣x2﹣10000)+1.5(x2+10000)=﹣x2+1900。 ∵a=﹣<0,对称轴为x=0,当7≤x≤12时,W随x的增大而减小, ∴当x=7时,W最大=18975.5(元)。 ∵22000>18975.5, ∴去年5月用于污水处理的费用最多,最多费用是22000元。 (3)由题意得:12000(1+a%)×1.5××(1﹣50%)=18000, 设t=a%,整理得:10t2+17t﹣13=0,解得:。 ∵≈28.4,∴t1≈0.57,t2≈﹣2.27(舍去)。 ∴a≈57。 答:a整数值是57。 【考点】二次函数的应用,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,解一元二次方程。 【分析】(1)利用表格中数据可以得出xy=定值,则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系,求出即可。再利用函数图象得出:图象过(7,10049),(12,10144)点,求出二次函数解析式即可。 (2)利用当1≤x≤6时,以及当7≤x≤12时,分别求出处理污水的费用,即可得出答案。 (3)利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a一30)%,得出等式12000(1+a%)×1.5××(1-50%)=18000,进而求出即可。 2. (2012安徽省14分)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m。 (1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围) (2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由; (3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围。 【答案】解:(1)把x=0,y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h,即2=a(0-6)2+2.6,∴ ∴当h=2.6时, y与x的关系式为y= (x-6)2+2.6 (2)当h=2.6时,y= (x-6)2+2.6 ∵当x=9时,y= (9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能越过网。 ∵当y=0时,即 (18-x)2+2.6=0,解得x=>18,∴球会过界。 (3)把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得。 x=9时,y= (9-6)2+h>2.43 ① x=18时,y= (18-6)2+h=≤0 ② 由① ②解得h≥。 ∴若球一定能越过球网,又不出边界, h的取值范围为h≥。 【考点】二次函数的性质和应用。 【分析】(1)利用h=2.6,将(0,2)点,代入解析式求出即可。 (2)利用h=2.6,当x=9时,y= (9-6)2+2.6=2.45与球网高度比较;当y=0时,解出x值与球场的边界距离比较,即可得出结论。 (3)根据球经过点(0,2)点,得到a与h的关系式。由x=9时球一定能越过球网得到y>2.43;由x=18时球不出边界得到y≤0。分别得出h的取值范围,即可得出答案。 3. (2012浙江嘉兴、舟山12分)某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出工辆车时,日收益为y元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出) (1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为 元(用含x的代数式表示); (2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元? (3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏? 4. (2012浙江台州12分)某汽车在刹车后行驶的距离s(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系得部分数据如下表: 时间t(秒) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … 行驶距离s(米) 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 … (1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点; (2)选择适当的函数表示s与t之间的关系,求出相应的函数解析式; (3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止? ②当t分别为t1,t2(t1<t2)时,对应s的值分别为s1,s2,请比较与的大小,并解释比较结果的实际意义. 【答案】解:(1)描点图所示: (2)由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为:s=at2+bt+c, ∵抛物线经过点(0,0),∴c=0。 又由点(0.2,2.8),(1,10)可得: ,解得:。 经检验,其余各点均在s=-5t2+15t上。 ∴二次函数的解析式为:。 (3)①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。 ∵,∴当t=时,滑行距离最大,为。 因此,刹车后汽车行驶了米才停止。 ②∵,∴。 ∴。 ∵t1<t2,∴。∴。 其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质和应用,不等式的应用。 【分析】(1)描点作图即可。 (2)首先判断函数为二次函数。用待定系数法,由所给的任意三点即可求出函数解析式。 (3)将函数解析式表示成顶点式(或用公式求),即可求得答案。 (4)求出与,用差值法比较大小。 5. (2012江苏常州7分)某商场购进一批L型服装(数量足够多),进价为40元/件,以60元/件销售,每天销售20件。根据市场调研,若每件每降1元,则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动,每件降价x元(x为正整数)。在促销期间,商场要想每天获得最大销售利润,每件降价多少元?每天最大销售毛利润为多少?(注:每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差) 【答案】解:根据题意,商场每天的销售毛利润Z=(60-40-x)(20+3x)=-3x2+40x+400 ∴当时,函数Z取得最大值。 ∵x为正整数,且, ∴当x=7时,商场每天的销售毛利润最大,最大销售毛利润为-3·72+40·7+400=533。 答:商场要想每天获得最大销售利润,每件降价7元,每天最大销售毛利润为533元。 【考点】二次函数的应用,二次函数的最值。 【分析】求出二次函数的最值,找出x最接近最值点的整数值即可。 6. (2012江苏无锡8分)如图,在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A.B.C.D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E、F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x(cm). (1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V; (2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大,试问x应取何值? 【答案】解:(1)根据题意,知这个正方体的底面边长a=x,EF=a=2x, ∴x+2x+x=24,解得:x=6。则 a=6, ∴V=a3=(6)3=432(cm3); (2)设包装盒的底面边长为acm,高为hcm,则a= x,, ∴S=4ah+a2=。 ∵0<x<12,∴当x=8时,S取得最大值384cm2。 【考点】二次函数的应用。 【分析】(1)根据已知得出这个正方体的底面边长a=x,EF=a=2x,再利用AB=24cm,求出x即可得出这个包装盒的体积V。 (2)利用已知表示出包装盒的表面,从而利用函数最值求出即可。 7. (2012江苏盐城12分) 知识迁移: 当且时,因为≥,所以≥,从而≥(当 时取等号).记函数,由上述结论可知:当时,该函数有最小值为. 直接应用:已知函数与函数, 则当_________时,取得最小值 为_________. 变形应用:已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该 最小值时相应的的值. 实际应用:已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分:一是固定费用,共元;二是燃油费,每 千米为元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米, 求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低?最低是多少元? 【分析】直接运用:可以直接套用题意所给的结论,即可得出结果: ∵函数,由上述结论可知:当时,该函数有最小值为, ∴函数与函数,则当时,取得最小值为。 变形运用:先得出的表达式,然后将看做一个整体,再运用所给结论即可。 实际运用:设该汽车平均每千米的运输成本为元,则可表示出平均每千米的运输成本,利用所 给的结论即可得出答案。 8. (2012江苏扬州12分)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴. (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标; (3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)∵A(-1,0)、B(3,0)经过抛物线y=ax2+bx+c, ∴可设抛物线为y=a(x+1)(x-3)。 又∵C(0,3) 经过抛物线,∴代入,得3=a(0+1)(0-3),即a=-1。 ∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3。 (2)连接BC,直线BC与直线l的交点为P。 则此时的点P,使△PAC的周长最小。 设直线BC的解析式为y=kx+b, 将B(3,0),C(0,3)代入,得: ,解得:。 ∴直线BC的函数关系式y=-x+3。 当x-1时,y=2,即P的坐标(1,2)。 (3)存在。点M的坐标为(1,),(1,-),(1,1),(1,0)。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,线段中垂线的性质,三角形三边关系,等腰三角形的性质。 【分析】(1)可设交点式,用待定系数法求出待定系数即可。 (2)由图知:A、B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知:若连接BC,那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。 (3)由于△MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC;可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长,再按上面的三种情况列式求解: ∵抛物线的对称轴为: x=1,∴设M(1,m)。 ∵A(-1,0)、C(0,3),∴MA2=m2+4,MC2=m2-6m+10,AC2=10。 ①若MA=MC,则MA2=MC2,得:m2+4=m2-6m+10,得:m=1。 ②若MA=AC,则MA2=AC2,得:m2+4=10,得:m=±。 ③若MC=AC,则MC2=AC2,得:m2-6m+10=10,得:m=0,m=6, 当m=6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去。 综上可知,符合条件的M点,且坐标为(1,),(1,-),(1,1),(1,0)。 9. (2012福建莆田8分)如图,某种新型导弹从地面发射点L处发射,在初始竖直加速飞行阶段,导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的关系式为 .发射3 s后,导弹到达A点,此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是2 km,再过3s后,导弹到达B点. (1)(4分)求发射点L与雷达站R之间的距离; (2)(4分)当导弹到达B点时,求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值. 【答案】解:(1)把x=3代入,得y=1,即AL=1。 在Rt△ARL中,AR=2,∴ LR= 。 (2)把x=3+3=6代入,得y=3,即BL=3 。 ∴tan∠BRL=。 答:发射点L与雷达站R之间的距离为km,雷达站测得的仰角的正切值。 【考点】二次函数的应用,解直角三角形的应用(仰角俯角问题),勾股定理,锐角三角函数定义。 【分析】(1)在解析式中,把x=3代入函数解析式,即可求得AL的长,在直角△ALR中,利用勾股定理即可求得LR的长。 (2)在解析式中,把x=6代入函数解析式,即可求得AL的长,在直角△BLR中,根据正切函数的定义即可求解。 10. (2012湖北武汉10分)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和 矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的 距离是11m,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的解析式; (2)已知从某时刻开始的40h内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:h)的变化满足函数 关系且当水面到顶点C的距离不大于5m时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行? 【答案】解:(1)设抛物线的为y=ax2+11,由题意得B(8,8),∴64a+11=8,解得。 ∴抛物线的解析式y= x2+11。 (2)画出的图象: 水面到顶点C的距离不大于5米时,即水面与河底ED的距离h≥6, 当h=6时,,解得t1=35,t2=3。 ∴35-3=32(小时)。 答:需32小时禁止船只通行。 【考点】二次函数的应用,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】(1)根据抛物线特点设出二次函数解析式,把B坐标代入即可求解。 (2)水面到顶点C的距离不大于5米时,即水面与河底ED的距离h至多为6,把6代入所给二次函数关系式,求得t的值,相减即可得到禁止船只通行的时间。 11. (2012湖北黄冈12分)某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2400 元,销售单价 定为3000 元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种 新型产品不超过10 件时,每件按3000 元销售;若一次购买该种产品超过10 件时,每多购买一件,所购 买的全部产品的销售单价均降低10 元,但销售单价均不低于2600 元. (1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600 元? (2)设商家一次购买这种产品x 件,开发公司所获的利润为y 元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并 写出自变量x 的取值范围. (3)该公司的销售人员发现:当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多,公司所获的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) 【答案】解:(1)设件数为x,依题意,得3000-10(x-10)=2600,解得x=50。 答:商家一次购买这种产品50件时,销售单价恰好为2600元。 (2)当0≤x≤10时,y=(3000-2400)x=600x; 当10<x≤50时,y=x,即y=-10x2+700x; 当x>50时,y=(2600-2400)x=200x。 ∴。 (3)由y=-10x2+700x可知抛物线开口向下,当时,利润y有最大值, 此时,销售单价为3000-10(x-10)=2750元, 答:公司应将最低销售单价调整为2750元。 【考点】二次函数的应用。 【分析】(1)设件数为x,则销售单价为3000-10(x-10)元,根据销售单价恰好为2600元,列方程求解。 (2)由利润y=销售单价×件数,及销售单价均不低于2600元,按0≤x≤10,10<x≤50,x>50三种情况列出函数关系式。 (3)由(2)的函数关系式,利用二次函数的性质求利润的最大值,并求出最大值时x的值,确定销售单价。 12. (2012湖南岳阳10分)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直接坐标系如图①所示,如果把锅纵断面的抛物线的记为C1,把锅盖纵断面的抛物线记为C2. (1)求C1和C2的解析式; (2)如图②,过点B作直线BE:y=x﹣1交C1于点E(﹣2,﹣),连接OE、BC,在x轴上求一点P,使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,求出P点的坐标; (3)如果(2)中的直线BE保持不变,抛物线C1或C2上是否存在一点Q,使得△EBQ的面积最大?若存在,求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)∵抛物线C1、C2都过点A(﹣3,0)、B(3,0), ∴设它们的解析式为:y=a(x﹣3)(x+3)。 ∵抛物线C1还经过D(0,﹣3),∴﹣3=a(0﹣3)(0+3),解得a=。 ∴抛物线C1:y=(x﹣3)(x+3),即y=x2﹣3(﹣3≤x≤3)。 ∵抛物线C2还经过A(0,1),∴1=a(0﹣3)(0+3),a=﹣ ∴抛物线C2:y=﹣(x﹣3)(x+3),即y=﹣x2+1(﹣3≤x≤3)。 (2)∵直线BE:y=x﹣1必过(0,﹣1),∴∠CBO=∠EBO(tan∠CBO=tan∠EBO=)。 ∵由E点坐标可知:tan∠AOE≠,即∠AOE≠∠CBO, ∴它们的补角∠EOB≠∠CBx。 若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,只需考虑两种情况: ①∠CBP1=∠EBO,且OB:BE=BP1:BC, 由已知和勾股定理,得OB=3,BE=,BC=。 ∴3:=BP1:, 得:BP1=,OP1=OB﹣BP1=。∴P1(,0) ②∠P2BC=∠EBO,且BC:BP2=OB:BE,即: :BP2=3:,得:BP2=,OP2=BP2﹣OB=。∴P2(﹣,0). 综上所述,符合条件的P点有:P1(,0)、P2(﹣,0)。 (3)如图,作直线l∥直线BE,设直线l:y=x+b。 ①当直线l与抛物线C1只有一个交点时: x+b=x2﹣3,即:x2﹣x﹣(3b+9)=0。 由△=(-1)2+4(3b+9)=0。得。 此时,。 ∴该交点Q2()。 过点Q2作Q2F⊥BE于点F,则由BE:y=x﹣1可用相似得Q2F的斜率为-3, 设Q2F:y=-3x+m。将Q2()代入,可得。∴Q2F:y=-3x。 联立BE和Q2F,解得。∴F()。 ∴Q2到直线 BE:y=x﹣1的距离Q2F:。 ②当直线l与抛物线C2只有一个交点时:x+b=﹣x2+1,即:x2+3x+9b﹣9=0。 由△=32+4(9b-9)=0。得。 此时,。∴该交点Q1()。 同上方法可得Q1到直线 BE:y=x﹣1 的距离:。 ∵, ∴符合条件的Q点为Q1()。 ∴△EBQ的最大面积:。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,勾股定理,一元二次方程根的判别式,点到直线的距离,平行线的性质。 【分析】(1)已知A、B、C、D四点坐标,利用待定系数法即可确定两函数的解析式。 13. (2012四川达州8分)问题背景 若矩形的周长为1,则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x,面积为s,则s与x的函数关系式为: ,利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值. 提出新问题 若矩形的面积为1,则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少? 分析问题 若设该矩形的一边长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为:,问题就转化为研究该函数的最大(小)值了. 解决问题 借鉴我们已有的研究函数的经验,探索函数的最大(小)值. (1)实践操作:填写下表,并用描点法画出函数的图象: x ··· 1 2 3 4 ··· y (2)观察猜想:观察该函数的图象,猜想当x= 时,函数有最 值(填 “大”或“小”),是 . (3)推理论证:问题背景中提到,通过配方可求二次函数的最大值,请你尝试通过配方求函数的最大(小)值,以证明你的猜想. 〔提示:当时,〕 【答案】解:(1)填表如下: x ··· 1 2 3 4 ··· y ··· 5 4 5 ··· (2)1,小,4。 (3)证明:∵, ∴当时,y的最小值是4,即x =1时,y的最小值是4。 【考点】二次函数的最值,配方法的应用。 【分析】(1)分别把表中x的值代入所得函数关系式求出y的对应值填入表中,并画出函数图象即可。 (2)根据(1)中函数图象的顶点坐标直接得出结论即可。 (3)利用配方法把原式化为平方的形式,再求出其最值即可。 14. (2012四川巴中9分)某商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件。如果每 件商品的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)。设每件商品的售价上涨x元(x 为整数),每个月的销售利润为y元, (1)求y与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大月利润是多少元? 【答案】解:(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),则每件商品的利润为:(60-50+x)元, 总销量为:(200-10x)件, 商品利润为:y=(60-50+x)(200-10x)=-10x2+100x+2000。 ∵原售价为每件60元,每件售价不能高于72元,∴0<x≤12。 (2)∵y=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250, ∴当x=5时,最大月利润y=2250。 答:每件商品的售价定为5元时,每个月可获得最大利润,最大月利润是2250元。 【考点】二次函数的应用,二次函数的最值。 【分析】(1)根据题意,得出每件商品的利润以及商品总的销量,即可得出y与x的函数关系式。 (2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式(或用公式法),从而得出当x=5时得出y的 最大值。 15. (2012辽宁锦州10分)某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是20元.调查发现:销售单价是30元时,月销售量是230件,而销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时(x为正整数),月销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围. (2)每件玩具的售价定为多少元时,月销售利润恰为2520元? (3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大?最大的月利润是多少? 【答案】解:(1)依题意得 自变量x的取值范围是:0<x≤10且x为正整数。 (2)当y=2520时,得, 解得x1=2,x2=11(不合题意,舍去)。 当x=2时,30+x=32。 ∴每件玩具的售价定为32元时,月销售利润恰为2520元。 (3) ∵a=-10<0 ∴当x=6.5时,y有最大值为2722.5 。 ∵0<x≤10且x为正整数, ∴当x=6时,30+x=36,y=2720, 当x=7时,30+x=37,y=2720。 ∴每件玩具的售价定为36元或37元时,每个月可获得最大利润。 最大的月利润是2720元。 【考点】二次函数的应用,二次函数的最值,解一元二次方程。 【分析】(1)根据销售利润=销售量×销售单价即可得y与x的函数关系式。因为x为正整数,所以x>0; 因为每件玩具售价不能高于40元,所以x≤40-30=10。故自变量x的取值范围是:0<x≤10且x为正整数。 (2)求出函数值等于2520时自变量x的值即可。 (3)将函数式化为顶点式即可求。 16. (2012河北省9分)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为正方形,边长(单位:cm)在5~50之间.每张薄板的成本价(单位:元)与它的面积(单位:cm2)成正比例,每张薄板的出厂价(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的.浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据. 薄板的边长(cm) 20 30 出厂价(元/张) 50 70 (1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式; (2)已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得的利润为26元(利润=出厂价-成本价), ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式. ②当边长为多少时,出厂一张薄板所获得的利润最大?最大利润是多少? 参考公式:抛物线:y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为- 【答案】解:(1)设一张薄板的边长为xcm,它的出厂价为y元,基础价为n元,浮动价为kx元,则y=kx+n。 由表格中的数据,得,解得。 ∴一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式为y=2x+10。。 (2)①设一张薄板的利润为p元,它的成本价为mx2元,由题意,得: p=y-mx2=2x+10-mx2, 将x=40,p=26代入p=2x+10-mx2中,得26=2×40+10-m×402,解得m=。 ∴一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式为。 ②∵a=-<0,∴当x=(在5~50之间)时, p最大值=。 ∴出厂一张边长为25cm的薄板,获得的利润最大,最大利润是35元。 【考点】二次函数的应用,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值。 【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案。 (2)①首先假设一张薄板的利润为p元,它的成本价为mx2元,由题意,得:p=y-mx2,进而得出m的值,求出函数解析式即可。 ②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可。 17. (2012黑龙江大庆6分)将一根长为16厘米的细铁丝剪成两段.并把每段铁丝围成圆,设所得两圆半径分别为和. (1)求与的关系式,并写出的取值范围; (2)将两圆的面积和S表示成的函数关系式,求S的最小值. 【答案】解:(1)由题意,有2πr1+2πr2=16π,则r1+r2=8。 ∵r1>0,r2>0,∴0<r1<8。 ∴r1与r2的关系式为r1+r2=8,r1的取值范围是0<r1<8厘米。 (2)∵r1+r2=8,∴r2=8﹣r1。 又∵, ∴当r1=4厘米时,S有最小值32π平方厘米。 【考点】二次函数的应用。119281 【分析】(1)由圆的周长公式表示出半径分别为r1和r2的圆的周长,再根据这两个圆的周长之和等于16π厘米列出关系式即可。 (2)先由(1)可得r2=8﹣r1,再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和S表示成r1的函数关系式,然后根据函数的性质即可求出S的最小值。 18. (2012黑龙江哈尔滨6分)小磊要制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形中,长度为x(单位:cm)的边与这条边上的高之和为40 cm,这个三角形的面积S(单位:cm2)随x(单位:cm)的变化而变化. (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围); (2)当x是多少时,这个三角形面积S最大?最大面积是多少?查看更多