2017年度中考数学（二次函数）押轴题专练1
二次函数的押轴题解析汇编一
二次函数
1. （2011黑龙江绥化，19，3分）已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：① ②a>0 ③b>o ④c>0 ⑤9a+3b+c<0,则其中结论正确的是 （ ）
A．2个 B. 3个 C. 4个 D.5个
【解题思路】因图象与x有两上交点，所以，①正确；图象开口向上，a>0,②正确；因对对称轴，a、b异号，所以b<0,③错；图象与y轴交于负半轴，c<0,④错；根据对称性，图象与x轴正半轴的交点的横坐标应大3而小于4，所以当x=3，y<0,即9a+3b+c<0,⑤正确；综上可知正确的是①②⑤。
【答案】B
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，理解图象与系数的关系是解题的关键。难度较大。
2、（2011山西，12，2分）已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）
A、ac>0 B、方程 的两根是x1=﹣1，x2=3
C、2a﹣b=0 D、当x>0时y随x的增大而减小。
【解题思路】由图像可知a<0，c>0所以ac<0,因此A是错误的。因为对称轴为直线x=1，图像与x轴的一个交点是（3,0）根据对称性图像与x轴的另一个交点是（﹣1,0）所以方程 的两根是x1=﹣1，x2=3因此B是正确的。因为对称轴为直线x=1，即所以2a+b=0，因此C是错误的。因为对称轴为直线x=1，根据图像0
l C．≥l D．≤l
【解题思路】本题主要考察二次函数图像的性质，因a=1>0,所以当x≤m时随的增大而减小，当x≥m时随的增大而减大，由题意得m≥1，故选C.
【答案】C
【点评】本题主要考察二次函数图像的性质,和变量取值范围结合是一道较好的题目，中等难度
B
C
A
D
N
M
5.（山东省威，12,3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD-DC-CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积y（cm2）,运动时间x（秒），则下列图像中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）.
1
x
y
O
1
2
3
－1
B．
1
x
y
O
1
2
3
－1
A．
1
x
y
O
1
2
3
－1
C．
1
x
y
O
1
2
3
－1
D．
【解题思路】分三种情况，即N在AD、DC、CB上分别表示出△AMN，即y与x的关系，结合表达式来判断图形.
【答案】B.
【点评】分三种情况，点N在AD上时，y=×AM·AN=x·3x=x2(0≤x≤1) ; N在DC上时，y=×AM·AD=x·3=x(1＜x≤2) ; N在CB上时，y=×AM·BN=x·(9-3x)=-x
+x (2＜x≤3).结合三个解析式得到相应图形.难度较小.
9．（2011四川绵阳12，3）若x1，x2(x1＜x2)是方程(x－a)(x－b)＝1(a0，x2>0，又因为x1+x2=4，所以两根应全为正数，即x1>0，x2>0，所以二次函数图象为C选项．
【答案】C．
【点拨】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c，与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系．解决此题的关键是：一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是二次函数y=ax2+bx+c与x轴两交点的横坐标．难度中等．
y
x
1
1
O
（A）
y
x
1
-1
O
（B）
y
x
-1
-1
O
（C）
1
-1
x
y
O
（D）
15．（2011山东德州，6，3分）已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象可能正确的是
第6题图
【解题思路】由二次函数图像，开口向上，a＞0，再由对称轴得：b<0，再由一次函数易得D．
【答案】D
【点评】对于抛物线图像与a，b，c有如下关系：a决定开口，开口向上a>0，开口向下，a<0；b看对称轴，左同右异（与a的符号）；c看与y轴的交点，正半轴c>0，负半轴c<0，过原点c=0．本题是一次函数和二次函数的综合题，考查了学生对图象的理解运用能力，有一定难度．
16．（2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x
－7
－6
－5
－4
－3
－2
y
－27
－13
－3
3
5
3
则当x=1时，y的值为 （ ）
A.5 B.－3 C.－13 D.－27
【解题思路】由于当x=－4与－2时，y的值总等于3，结合抛物线的轴对称性，得抛物线的对称轴为直线x=－3. 显然当x=1与x=－7的函数值也相等.
【答案】D
【点评】本题假如从三组x、y的值求出此题解答，那么较繁. 根据抛物线的对称性巧妙求解当x=1时y的值.，这里渗透了数形结合的数学思想. 难度较高.
17．（2011山东聊城 12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为（ ）．
A． B． C．D．
B
D
O
x
y
C
A
【解题思路】建立如上图所示的直角坐标系，可以求得抛物线解析式为，A点的坐标为（），C点坐标为（）。把代入抛物线解析式得，即把代入抛物线解析式得，这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为
.
【答案】C
【点评】首先根据题意建立合适的平面直角坐标系,确定抛物线解析式,然后根据二次函数的对称性进行解决，本题主要考查了学生建立合适的坐标系，运用二次函数解决实际问题的能力，具有一点难度．
18（2011山东 济宁8、3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…
点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数的图象上，则当1 y2 B. y1 < y2 C. y1 ≥ y2 D. y1 ≤ y2
【解题思路】观察表格当x=2时y=0，x=1、x=3时y=1，x=0、x=4时y=4可以看出抛物线的对称轴为x=2，并且x离对称轴x=2距离越大，y值越大，所以答案选B。
【答案】B
【点评】此题考查二次函数图象的增减性，关键是通过表格分析对称轴的位置以及函数值随自变量变化的规律。难度中等。
19．（2011山东枣庄，18,4分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）．
①抛物线与轴的一个交点为（3,0）； ②函数的最大值为6；
③抛物线的对称轴是； ④在对称轴左侧，随增大而增大．
【解题思路】先用待定系数法求得二次函数解析式为y＝－x2＋x＋6，由此可知，抛物线与x轴的2个交点分别为(－2，0)、(3，0)，抛物线最大值为，故③不正确，又抛物线的对称轴是x＝，∵a＝－1，∴在对称轴左侧y随x增大而增大．因此①③④正确．
【答案】①③④．
【点评】本题综合考察了二次函数的有关知识，由于考察的知识点较多，因此难度相应也增加了，解题的关键是确定二次函数的解析式，掌握二次函数的有关图像、性质，难度较大．
20.(2011内蒙古呼和浩特,8,3分)已知一元二次方程的一根为,在二次函数的图象上有三点、、,y1、y2、y3的大小关系是( )
A. B. C. D.
【解题思路】把根代入一元二次方程可求出的值,从而得出二次函数的对称轴为直线,当 时,随的增大而增大.而关于对称轴的对称点为,从而比较出y1、y2、y3的大小.
【答案】A
【点评】本题是考查二次函数图象特征的题目,亮点是所给的三个点不在对称轴的同一侧,要利用对称的特征将比较的点放在对称轴的同一侧,或结合二次函数图象描点解决此题.难度中等.
21．（2011山东日照，17，5分）如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：
①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；
④a-2b+c＞0． 其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）
【解题思路】由图像可以知道，a＞0，b＞0，c＜0，当x=1时，y=0，所以a+b+c=0；①正确。对称轴，所以b=2a②错误。有图像可以确定y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的两个交点分别为（-3，0）,(1,0)。所以ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；由b=2a。a＞0，b＞0，c＜0可以知道a-2b+c=-3a+c＜0.
【答案】①③
【点评】这道题重点考察了运用待定系数法求解二次函数解析式，以及运用二次函数图象求解不等式的问题，这是新教材编写时增加的内容，设计本题，有利于检查师生对教材新增内容的理解及教学情况．
22．（2011广东省，15，6分）已知抛物线与x轴没有交点．
（1）求c的取值范围；
（2）试确定直线经过的象限，并说明理由．
【解题思路】（1）已知抛物线与x轴没有交点，可知△＜0即可；（2）直线过定点（0，1）只要知道的范围即可
【答案】（1）因为抛物线与x轴没有交点，即方程无实数根，所以△==1＜0，解得＞
（2）因为＞，所以函数为增函数，因为直线过定点（0，1），所以直线过一、二和三象限。
【点评】本题是考查二次函数的增减性，同时也考查函数图像的象限。本题考查了函数到方程的转化。难度中等．
23如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y= 相交于点A，B. 已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4. 过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
【解题思路】解：（1）把点B（-2，-2）的坐标，代入y=，
得：-2=，∴k=4．
即双曲线的解析式为：y= ． ………………………………2分
设A点的坐标为（m，n）。∵A点在双曲线上，∴mn=4．…①
又∵tan∠AOx=4，∴=4， 即m=4n．…②
又①，②，得：n2=1,∴n=±1.
∵A点在第一象限，∴n=1,m=4 ， ∴A点的坐标为（1，4）
把A、B点的坐标代入y=ax2+b x，得：解得a=1，b=3；
∴抛物线的解析式为：y=x2+3x ；…………………………………………4分
（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4，
代入y=x2+3x，得方程x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1（舍去）．
∴C点的坐标为（-4，4），且AC=5，……………………………………6分
又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=×5×6=15 ； ……………………7分
（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积.
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D ．
因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（-4，4），CD∥AB，
所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12.……………………………9分
解方程组 得所以点D的坐标是（3，18）…10分
【答案】
【点评】这是一道典型的数形结合的试题，综合考查了二次函数、一次函数、点的坐标、方程、平行线以及特殊的四边形菱形的判定，知识的综合运用能力强，要求学生有直觉猜想、空间想象、合情推理、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎证明等综合能力.
24． （2011山东潍坊，22，10分）2010年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落．其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x呈二次函数关系．已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克．
（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；
（2）2010年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？
（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？
【解题思路】因为1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系，所以可设出其关系式为：y=kx+m，再利用1月和7月对应的平均价格分别为8元/千克、26元/千克，即（1，8）、（7，26）求得解析式；同样的思路可求得7月份至12月份的二次函数关系式．（2）分别利用这两个函数的增减性确定
2010年的12个月中，这种农产品的月平均价格最低月及最低价格．（3）先求得这12个月的平均价格，及各月的月平均价格，进而确定符合要求的月份．
【答案】解：（1）当时，设，将点（1，8）、（7，26）分别代入，得
解之，得
∴函数解析式为．
当时，设，
将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入，得：
解之，得
∴函数解析式为．
（2）当时，函数中y随x的增大而增大，
∴当时，．
当时，，
∴当时，．
所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克．
（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，
∴时的月平均价格17是前7个月的平均值．
将和分别代入，得和．
∴后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11．
∴年平均价格为（元/千克）．
当时，，
∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数、平均数等知识．此题以现实生活问题为背景综合考查相关知识，解决此类问题，要注意把实际问题数学化，转化为数学模型，利用相关知识解决．．难度中等．
25. （2011山东菏泽，20，9分）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠 ；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20-10)=1(元),因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元.
(1).求一次至少买多少只，才能以最低价购买？
(2).写出该专卖店当一次销售x(时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？
【解题思路】（1）设一次购买x(x>10)只，可得到每只应降低0.1(x-10)元，若按最低价购买，则应就降低20-16=4元，即有0.1(x-10)=4；（2）应根据x的取值情况分成三种情况，当050时，每只售价为16元，所以y=16x-13x=3x；（3）由二次函数的性质可求出最大利润。
【答案】(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有：0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50;
答一次至少买50只，才能以最低价购买；
(2)
（说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可）；
(3)将配方得，所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元。（也可用公式法求得）。
【点评】在实际问题中，要充分借助相应的数量关系列出函数关系式。解本题的关键是对x的取值进行讨论，从而求出每只计算器的实际售价。难度较大。
26（2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4O米，点B到水平面距离为2米，OC=8米。
（1） 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2） 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）
（3） 为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）
【解题思路】问题一、建立适当的直角坐标系：以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系使的二次函数的解析式最简单。只要A点的坐标即可求出函数的解析式。
问题二、求在OC上一点到A、B两点距离之和最短，需做A关于OC 的对称点D，在连接对称点D和另外一点B与OC 的交点即为所求。
问题三、求O、P之间的距离就是直线DB与y轴交点纵坐标的长度，需要求出DB的解析式。
【答案】
解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系………………1分
设抛物线的函数解析式为,………………2分
由题意知点A的坐标为（4，8）。且点A在抛物线上，………………3分
所以8=a×，解得a=,故所求抛物线的函数解析式为………………4分
（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D, ………………5分
则点A、D关于OC对称。
连接BD交OC于点P，则点P即为所求。………………6分
（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，
所以点B的坐标为（2，2）………………7分
又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（-4，8）………………8
设直线BD的函数解析式为 y=kx+b，………………9
则有………………10
解得k=-1,b=4.
故直线BD的函数解析式为 y=-x+4，………………11
把x=0代入 y=-x+4，得点P的坐标为（0，4）
两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。………………12
【点评】本题为二次函数、几何作图相联系的一个问题，学生只有对这两部分掌握的比较好才能顺利完成，注意作图和坐标系的联系，还有坐标和线段长度的联系。难度较大。
27．（2011山东泰安，28 ，10分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5元.
（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？
（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？
【解题思路】（1）一个月的获利等于该月每件小商品的利润与售出的小商品的数量之积，即：利润=（售价－进价）×销售量；（2）先构造二次函数，然后通过配方或利用顶点坐标公式求出最值.
【答案】（1）获利：（30－20）[105－5（30－25）]=800（元）；
（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元.
由题意，得：y=(x－20)[105－5（x－25）]
=－5x2+330x－4600
=－5(x－33)2+845
当x=33时，y的最大值是845.
故当售价为定价格为33元时，一个月获利最大，最大利润是845元.
【点评】利用二次函数解决最优化问题时，首先要根据题意构建二次函数关系式，然后再求出的其最值. 本题以实际生活中商品买卖为问题情景，考查学生数学建模能力，渗透了数学来源于生活的理念. 难度较小.
28.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3,0），点B（1,0），交y轴于点E（0，-3），点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，直线y=-x+m过点C，交y轴于点D.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
A
x
B
C
D
H
E
F
G
K
O
x
y
l
A
B
C
D
H
E
F
G
K
O
y
l
备用图
图①
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.
【解题思路】第（1）小题用交点式表示出二次函数的表达式，再将抛物线与y轴的交点坐标代入求得a的值，得出二次函数的表达式；第（2）小题中，H、G的横坐标相同，用一字母t表示出H、G两点的坐标，其长度就是两点纵坐标之差，这样得到长度关于t的二次三项式，结合t的取值范围，求的HG的最大值；第（3）小题要分AC是对角线和边两种情况来讨论，AC为边时，点M、N的左右位置不一样，结果又不一样，考虑要周到，运算一定要仔细．
【答案】解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a(x-1)(x+3).
∵抛物线交y轴于点E（0，-3），将该点坐标代入得a=1,
∴抛物线的函数表达式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.
(2) ∵点C是点A关于点B的对称点，点A的坐标为（-3,0），点B的坐标（1,0），
∴点C的坐标（5,0）.
将点C的坐标代入y=-x+m,得m=5，
∴直线CD的函数表达式为y=-x+5.
设K点的坐标为（t,0）,则H点坐标为(t,-t+5),点G的坐标为（t,t2+2t-3）.
∵点K为线段AB上一动点，∴-3≤t≤1.
∴HG=(-t+5)-(t2+2t-3)=-t2-3t+8=-(t+)2+.
∵-3≤t≤1.
∴当t=-时，线段HG的长度有最大值.
（3）∵点F是线段BC的中点.点B（1,）），点C（5,0），
∴点F的坐标为（3,0），
∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的函数表达式为x=3,
∵点M在直线l上，点N在抛物线上，
∴设点M的坐标为（3，m）,点N的坐标为（n,n2+2n-3）.
∵点A（-3,0），点C（5,0）. ∴AC=8.
分情况讨论：
①若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的边，则须MN∥AC,且MN=AC=8，当点N在点M的左侧时，MN=3-n，∴3-n=8，解得n=-5，∴点N的坐标为（-5，,1）；
当点N在点M的右侧时，MN= n-3，∴n-3=8，解得n=11，∴点N的坐标为（11，140）.
②若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C是点A关于点B的对称点”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于B的对称点P，则P的坐标为（-1,0），过P作NP⊥x轴，交抛物线于点N，
将x=-1代入y=x2+2x-3.得y=-4，
过点N，B作直线NB交直线l于点M，
在△BPN与△BFM中，
∠NBP=∠MBF
BF=BP
∠BPN=∠BFM=90°
∴△BPN≌△BFM, ∴NB=MB.
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴坐标为（-1，-4）的点N符合条件.
∴当N点的坐标为（-5,12），（11,140），（-1，-4）时，以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.
【点评】本题属于有一定难度的代数与几何的综合型问题，具有一定的挑战性．它综合考查了用变量t表示点的坐标、直线抛物线的解析式的求法、平行四边形的判别及相关情况的讨论．重点考查学生审题，挖掘出题目中的隐含条件，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用转化的思想、方程的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力．由于此题入口比较高，不少学生在第（2）小题中就受到阻力；在第（3）小题中更是“畏缩不前”了，尤其是这一问中AC位边为对角线的讨论、AC为边时点M、N位置的考虑，让一些学生思维紊乱，糊涂难做．难度较大．
29、（2011年四川省南充市20题8分）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图：
（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？
（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？
【解题思路】由函数图象上的两个点很容易用代定系数法求出一次函数关系式，利用二次函数的性质求最值。
【答案】解：（1）工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价(元/千度)的函数解析式为：
该函数图象过点
∴，解得 ∴
当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润（元/千度）
（3）设工厂每天消耗电产生利润为w元，由题意得：
化简配方，得：
由题意，，∴当时，
即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为5000元。
【点评】试题充分体现了函数知识在生活中的广泛应用，用函数知识可以解决生活中的很多问题。
30. （2011山东菏泽，21，9分）如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断的形状，证明你的结论；
（3）点是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．
A
B
C
D
x
y
O
（第21题图）
1
1
【解题思路】（1）将A点坐标代入函数解析式，可求出字母b的值，从而求出函数解析，进而求出点D的坐标；（2）先由对称性求出AB的长，确定点B的坐标，利用勾股定理分别求出,,由勾股定理的逆定理可确定它是一个直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点,连接,与x轴的交点就是要求的点M；利用相似三角形的性质或先求出直线的解析式，都可以求出m的值。
【答案】（1）把点A(－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y＝x2＋bx－2，整理后解得，所以抛物线的解析式为 ，顶点；（2）．，，，
是直角三角形；（3）作出点关于轴的对称点，则，．连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小．
设抛物线的对称轴交轴于点．．
．．。
【点评】解综合题时，可先钭其划分成若干个小问题，然后采取各个击破的方式来进行。难度较大。
36.（2011年四川省南充市22题8分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m－4,0）和B(m,0)，与直线y=－x+p相交于点A和点C(2m－4,m－6).
(1)求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP
面积为12，求点P,Q的坐标；
（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM的面积最大时，请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。
【解题思路】(1)求函数关系式的三种方法是一般式，顶点式和交点式。此题可由A,C两点在一次函数图象上，求得m值，从而得出A,C两个点的坐标，进一步确定出B的坐标，然后选取任意一种方法求出抛物线的解析式。
(2)由平行四边形的面积，及一边长，很容易求得高，再由特殊角求出PQ与y轴的交点。结合二次函数求出P,Q的坐标。可能有两种情况，分别讨论。
（3）△PQM中PQ一定，只需PQ上的高最大则△PQM的面积最大。
【答案】解：点和在直线y=－x+p上
∴解得∴
设抛物线∵∴
∴抛物线解析式为
（2）AC=，AC所在直线的解析式为：，∠BAC=45°
∵的面积为12
∴中AC边上的高为
过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=,∴DN=4
∵的边PQ所在直线在直线AC的两侧可能各有一条，
∴PQ的解析式为或
∴解得或
方程组无解
即,
∵四边形ACQP是平行四边形，
∴当时，
当时，
∴满足条件的P,Q点是,或,
（3）设，过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线点T，则，
过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，
=
∴当时，，△PQM中PQ边上高的最大值为
【点评】本题综合性较强，考查了很多基础知识、还要具备较高的空间想象能力、必须考虑到各种情况，此题的运算量和难度都比较大。
37． （2011四川广安，30，12分）如图9所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1．0），B( -1.2)，D( 3.0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到O/V，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N。
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。
（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值。
A
B
C
D
O
E
N
M
x
y
图9
【解题思路】1）待定系数法求二次函数解析式
2） 求线段AC垂直平分线与抛物线的交点
3） 为直线上一点到直线外两点距离差最小 利用轴对称解题
【答案】（1）解：由题意可得M（0．2），N（-3．2）
∴
解得：
∴y=
（2）∵PA= PC ∴P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过（-1．2）（1．0） 所在的直线为y=－x+1
解得：
∴P1（）P2（）
（3）D为E关于对称轴x=1.5对称
CD所在的直线y=－x+3
∴yQ=4.5 ∴Q（-1.5．4.5）
最大值为QC==
【点评】本题综合性较强。为难题
38． （2011四川内江，加7，12分）如图，抛物线y＝x2―mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交与点C（0，-1）且对称轴是x=1.
（1）求抛物线解析式及A，B两点的坐标；
（2）在x轴下方抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积是3？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由（使用图1）；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）.
x
x=1
A
B
C
y
O
图2
x
x=1
A
B
C
y
O
图1
【思路分析】（1）根据对称轴公式可求解m,代入C点坐标可求解n；（2）将四边形分割成三角形AOC、OCD、OBD，三角形AOC面积可求，三角形OCD、OBD，的底已知，高分别为点D的横坐标和纵坐标的相反数，根据三个三角形面积和是3列方程求解；（3）通过画图可观察以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形时，点Q只能在y轴正半轴上，且PQ=AB=4 , PQ ∥AB ,即已知点P横坐标，代入抛物线解析式可求纵坐标．
【答案】解：（1）x==1,∴m=，∴y＝x2―x+n.把C（0，-1）代入得n= -1,∴求抛物线解析式是y＝x2―x-1；
令0＝x2―x-1，得x=3或-1，∴A，B两点的坐标分别是（-1,0）（3,0）；
（2）存在.
设D的坐标是（x，y），则y＝x2―x-1，连接AC、CD、OD、BD.
∴S△AOC+ S△OCD+ S△OBD=3，∴×1×1+×1×x+×3×(-y)=3,
∴+x+×3×(―x2+x+1)=3,
解得x=2或1，所以y=-1或-，∴D的坐标是（2，-1）、（1, -）.
（3）（3）1°当AB为边时：设PQ =AB=4 , PQ ∥AB ,则P点的横坐标是4或-4，把x=4代入y＝x2―x-1得y=;把x= -4代入y＝x2-x-1得y=7，即当P的坐标是（4，）或（-4，7）时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形.
2°当AB为对角线时，则AB与PQ互相平分，线段AB中点是G，PQ过G与y轴交于Q点，过点P作x轴垂线交x轴于H，则△PHG≌△QOC，所以OG=GH，又因为点G的横坐标是1，所以点P的横坐标是2，把x=2代入y＝x2-x-1得y= -1，即当P的坐标是（2，-1），即当P的坐标是（2，-1））时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形.
综上，当P的坐标是（4，）、（-4，7）或（2，-1））时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形.
【点评】这类探究类问题首先假设存在，根据图形的存在性，求出符合条件的点的坐标．如果不存在，经过推理论证或计算，能够得出与已知条件或公里相矛盾的结论，从而推出假设错误．
39．（2011四川绵阳24，12）(本题满分12分）
已知抛物线：y＝x2－2x+m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
(1)求m的值；
(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证△ABC是等腰直角三角形；
(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图，请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．
【解题思路】(1)由抛物线与x轴只有一个交点，则b2－4ac＝0，得出关于m的方程，求出m的值．(2)求出点A、B的坐标，得出OA＝OB，再根据AC∥x轴，得出∠BAC＝45°，根据点C和点A是关于抛物线对称轴的对称点，得出AB＝BC，则△ABC为等腰直角三角形．或分别计算出AB、AC、BC的长度，由勾股定理的逆定理确定为等腰直角三角形．(3)由平移规律，得出抛物线C′的解析式，得出点E、F的坐标；待定系数法求出直线EF的解析式，根据互相垂直的两条直线的系数之间的关系，设出过点E、F的EF的垂线的解析式；分别解两条垂线与抛物线解析式构成的方程组，得出点P的坐标．
【解】（1）∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴△＝b2－4ac＝22－4×1×(m－1)＝0，解得m＝2．
（2）方法一：∵m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x²－2x+1．
把x＝0代入y＝x²－2x+1，得y＝1，
∴点A的坐标为（0，1）．
把y＝0代入y＝x²－2x+1，得x＝1，
∴点B的坐标为（1，0）．
∴△AOB是等腰直角三角形．
又AC∥OB，∴∠BAC＝∠OAB＝45°．
A，C是对称点，∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二：∵m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x²－2x+1．
把x＝0代入y＝x²－2x+1，得y＝1，
∴点A的坐标为（0，1）．
把y＝0代入y＝x²－2x+1，得x＝1，
∴点B的坐标为（1，0）．
∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标为1．
把y＝1代入y＝x²－2x+1，得x1＝0，x2＝2．
∴点C的坐标为(2，1)．
∴AC＝2，AB＝＝，BC＝＝．
∴AB＝BC．
又∵AB2+BC2＝+＝2+2＝4＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．
（3）平移后解析式为y＝x2－2x－3，可知F(0，－3)．
把y＝0代入y＝x2－2x－3，得x1＝－1，x2＝3．
又点E在x轴得左半轴上，∴E(－1，0)．
设直线EF的解析式为y＝kx－3，把E(－1，0)代入y＝kx－3，得k＝－3，
∴EF的解析式为：y＝－3x－3．
平面内互相垂直的两条直线的系数k值相乘等于－1，
∴过E点或F点的直线为y＝+b．
把E点和F点分别代入可得b＝或－3，
∴或y＝－3．
解方程解得x1＝－1，x2＝．x1是E点横坐标，舍去．
把x2＝代入，得y＝，∴P1（，）．
同理，解方程解得x1＝0(舍去)，x2＝．
把x2＝代入，得y＝－，∴P2(，－)．
【点评】①b2－4ac＝0二次函数y＝ax2+bx+c与x轴只有一个交点；②对称轴是关于直线对称的两个点的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两个端点到距离相等；③把抛物线上下平移，就是纵坐标进行加减运算，即“上加下减”；④平面上互相垂直的两条直线的比例系数的乘积等于－1．
30．（2011四川眉山，26，11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（-4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．
【解题思路】（1）设抛物线的解析式：y=ax2，把B（-4，4）代入即可得到a的值；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C点坐标（3，5）；
（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d1= a2，又AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2= a2+1，即有结论d2=d1+1；
（3）△PAC的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，得到△PAC的周长的最小值=5+6=11．
【答案】（1）设抛物线的解析式：y=ax2，
∵拋物线经过点B（-4，4），
∴4=a•42，解得a=，
所以抛物线的解析式为：y= x2；
过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，
∴Rt△BAE≌Rt△ACD，
∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，
∴OD=AD+OA=5，
∴C点坐标为（3，5）；
（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，
∵点P在抛物线y= x2上，
∴b= a2，
∴d1= a2，
∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a，
在Rt△PAF中，PA=d2=
= a2+1，
∴d2=d1+1；
（3）由（1）得AC=5，
∴△PAC的周长=PC+PA+5
=PC+PH+6，
则C、P、H三点共线时，PC+PH最小，
∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y= x2，得到y=，
即P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，
∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．
【点评】本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax2；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．本题第（3）小题的关键是将△PAC的周长转化为PC与PH和的关系，从而求出三角形周长的最小值．难度较大．
40.(2011内蒙古呼和浩特,25,12分)已知抛物线的图象向上平移m个单位()得到的
新抛物线过点(1,8).
(1)求m的值,并将平移后的抛物线解析式写成的形式；
(2)将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解析式,并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图,同时写出该函数在≤时对应的函数值y的取值范围；
(3)设一次函数,问是否存在正整数使得(2)中函数的函数值时,对应的x的值为,若存在,求出的值；若不存在,说明理由.
x
5
4
3
2
1
-1
O
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
y
【解题思路】第(1)小题得出平移后含的解析式是关键,再用待定系数法、配方法,求解问题；第(2)小题要理解好题意,构造出分段函数,用数形结合思想方法得出的取值范围；第(3)小题根据自变量的取值范围,得出相应的二次函数解析式,与一次函数联立列出二次方程,再次结合自变量的取值范围解出答案.
【答案】解:(1)由题意可得
又点(1,8)在图象上
∴
∴ ………………………………………………………(1分)
∴………………………………………………(3分)
(2)
x
5
4
3
2
1
-1
O
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
y
如图 ………………………………………………(7分)
当时, ………………(9分)
(3)不存在 ………………………………………………(10分)
理由:当且对应的时
∴, ………………………………………(11分)
且 得
∴不存在正整数满足条件 ……………………………(12分)
【点评】本题以抛物线为载体,结合图形的平移与对称,考查了初中数学的主干知识:函数、方程与不等式；考查了学生综合运用数学知识以及运用转化思想、数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力；考查了待定系数法、配方法等数学方法.试题入口宽,三个小题层层深入,有一定的梯度,第(2)小题学生易用两端点的值代入求的取值范围,容易造成失分,第(3)小题是本卷的制高点,对学生要求较高,具有很好的区分度.综合可得,本试题用存在性问题连接着一次函数与二次函数,连接着方程与不等式,试题呈现方式新颖,难度较大.
41．（2011广西桂林，26，12分）已知二次函数的图象如图.
（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.
【解题思路】（1）用配方或公式可得对称轴，即得D点的坐标。
（2）向上平移抛物线中的a、b不变，只有c变，所以只要求出c即可得。由题知三角形ACB为直角三角形，CO为斜边上的高，用射影定理或相似三角形都易得CO2＝AO×BO，再由一元二次方程根与系数的关系得AO×BO＝即可求出C
（3）由（2）知三角形ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作圆，此圆过直角顶点C
只要能证明DC垂直CM，就可以得到CM与圆相切。而CD、CMDM的长都可以求出，再看是否满足勾股定理的逆定理就行了。或者用圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。
【答案】解: （1）由得 …………1分
∴Ｄ（３，０）…………2分
（2）
如图1, 设平移后的抛物线的解析式为
…………3分
则C OC=
令 即
得 OA×OB＝-x1×x2=4c…………4分
∵Co是Rt⊿ABC斜边上的高
∴⊿OAC∽⊿OCB
∴
∴OC2＝OA×OB………5分
即c2=4c
∴c=0(舍去)，或c=4……………………7分
∴抛物线的解析式为 ……………8分
（3）方法一:
如图2, 由抛物线的解析式可得
A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M …………9分
过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H,
则
∴
在Rt△COD中,CD==AD
∴点C在⊙D上 …………………10分
∵
……11分
∴
∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM
∴直线CM与⊙D相切 …………12分
方法二:
如图3, 由抛物线的解析式可得
A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M …………9分
作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H,则, , 由勾股定理得
∵DM∥OC
∴∠MCH=∠EMD
∴Rt△CMH∽Rt△DME …………10分
∴ 得 …………11分
由(2)知 ∴⊙D的半径为5
∴直线CM与⊙D相切 …………12分
【点评】本题考查了二次函数的对称轴求法，考查了抛物线的平移，即：向上平移抛物线，其解析式中的a、b不变，只有c变，所以只要求出c即可得，利用相似或者射影定理都可求得，第3问可用直线与圆相切的两各方法来证明，即过半径的外端点且垂直此半径的直线是圆的切线，圆心到直线的距离等于圆的半径，此直线也是圆的切线。难度较大．
42（2011海南省，24，14分）24、（满分14分）如图11，已知抛物线经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E，其顶点M在第一象限。
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥X轴于点B，DC⊥X轴于点C。
①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；
②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；
③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否出同时取得最大值？请判断并说明理由。
【解题思路】（1）据图发现抛物线过特殊点O（0，0）代入便可得b值，但本小问还要根据图象判断a、b的符号特征才能准确确定b值。（2）此问分三个小问，第①问要严格根据已知确定的范围（0＜＜）才能快速求出答案。第②问主要涉及函数图象上的点如何用未知数表示。而本小问A、B、D三点可以用同一未知数表示，进而表示出矩形的周长，利用二次函数求最值便能得出答案。第③问是存在性问题，通常是先假设存在。根据②的A（，）求出，再由=AB·BC≤，当且仅当AB=BC时，有最大值，求出，看与是否相等。
【答案】 （1）把O（0，0）代入得b=；∵a=-1＜0,由图可知：b ＞0； b=3；∴抛物线的函数解析式为：
（2）①由可知：其对称轴为：直线；又由题意可知：；
∴A（1，2）；故：AB=2，BC=1；=2（2+1）=6
②设A（x,）则D（3-x, ）； ∴AB=，BC=3-2x；
=2（+3-2x）=
配方得：=；当x=时，最大值为：
此时：A（，）
③假设当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积也同时取得最大值。
由②可知：当A（，）时，AB=，BC=3–2×=2
此时=×2=
而=AB·BC≤，当且仅当AB=BC时，有最大值
则有：=3-2x
解得： （舍）
∴=≠
综上所述：当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值。
或：由=求得：AB=BC=
此时：=AB·BC==＞，故也不存在。
【点评】此题属于有一定难度的函数与几何的综合型问题，同时也考查了代数的相关知识。它综合考查了求二次函数的解析式，用同一未知数表示两个或多个点的坐标（根据需要表示点的坐标），由点的坐标表示线段的长，二次函数最值等知识。重点考查学生是否认真审题，挖掘出题目中的隐含条件，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用数形结合思想、转化思想、方程思想解决实际问题的能力．本题第一问对于学生来说：能求但有可能求不准。第二问中②③关键是要会用同一未知数表示两个或多个点的坐标，对于学生来说有点难度，第③问是存在性问题，对于学生来说具有一定的挑战性。难度较大
44．（2011，天津，24， 8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可。
某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件。请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？
设每件商品降价x元时，每天的销售额为y元。
（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：
原价
每天降价1元
每天降价2元
…
每天降价x元
每天售价(元)
35
34
33
…
每天销量（件）
50
52
54
…
（Ⅱ）（由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）
【解题思路】：
【答案】：（Ⅰ）35－x；50＋2x；
（Ⅱ）依条件有y=（35－x）（50＋2x），展开、整理、配方后，y=－2（x－5）2＋1800，
∴当x=5时，y有最大值1800；
答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是1800元。
【点评】：（Ⅰ）本题考察了实际问题中的列代数式，难度较小；
（Ⅱ）本题考察了实际问题转化为数学问题的建模能力，代数变形的基本功；难度中等。
45．（2011，天津，25， 10分）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD。记旋转角为α，∠ABO为β。
（Ⅰ）如图，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；
（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）。
【解题思路】：（Ⅰ）依点的坐标意义，作出垂线；利用相似三角形的判定与性质可求；
（Ⅱ）利用图形旋转变换的性质、三角形内角和定理，作代数变形（消元），找到α与β之间的数量关系；
（Ⅲ）
【答案】：（Ⅰ）由已知A、B点坐标，得OA=3，OB=4，
在Rt△ABO中，由勾股定理求得AB=5。
如图，过点D作DM⊥x轴于M点，则MD∥OB，
∴△ADM∽ABO，有，
得AM=·AO=×3=，DM=·BO=×4=，
又OM=OA－AM=3－=，故点D的坐标是D（，）；
（Ⅱ）如图，由已知得∠CAB=α，AC=AB，∴∠ABC=∠ACB。
一方面，在△ABC中，由于∠ABC＋∠ACB＋∠CAB=180°，得α=180°－2∠ABC；
另一方面，由于BC∥x轴，则∠OBC=90°，有∠ABC=90°－∠ABO=90°－β；
故α=180°－2（90°－β），即α与β之间的数量关系是α=2β。
（Ⅲ）直线CD的解析式为y=－x＋4或y=x－4。
【点评】：（Ⅰ）本题考察了三角形相似的判定与性质，坐标含义，勾股定理、推理论证能力等；难度中等。
（Ⅱ）本题综合考察了图形旋转变换的性质、三角形内角和定理、代换消元等相关知识点，以及探究推理等能力；难度较大。
（Ⅲ）
46．（2011，天津，26， 10分）已知抛物线C1：y1=x2－x＋1，点F（1，1）。
（Ⅰ）求抛物线C1的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证＋=2；
取抛物线C1上任意一点P（xP，yP）（0
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