中考压轴题归类总结代数几何综合板块

中考压轴题归类总结代数几何综合板块

代几综合 知识点精 一、二次函数的定义 黑体小四 ‎ 一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，、、分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．‎ ‎ 注意：和一元二次方程类似，二次项系数，而、可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．‎ 黑体小四 二、二次函数的图象 黑体小四 ‎ 1．二次函数图象与系数的关系 ‎ （1）决定抛物线的开口方向 ‎ 当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然．‎ ‎ 决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．‎ ‎ 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反．‎ ‎ （2）和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）‎ ‎ 当时，抛物线的对称轴为轴；‎ ‎ 当、同号时，对称轴在轴的左侧；‎ ‎ 当、异号时，对称轴在轴的右侧．‎ ‎ （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）‎ ‎ 当时，抛物线与轴的交点为原点；‎ ‎ 当时，交点在轴的正半轴；‎ ‎ 当时，交点在轴的负半轴．‎ ‎2.二次函数图象的画法 五点绘图法：‎ 利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对 称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．‎ 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点．‎ ‎3.点的坐标设法 ‎⑴ 一次函数（）图像上的任意点可设为.其中时，该点为直线与轴交点.‎ ‎⑵ 二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点．‎ ‎⑶ 点关于的对称点为．‎ ‎4.二次函数的图象信息 ‎⑴ 根据抛物线的开口方向判断的正负性．‎ ‎⑵ 根据抛物线的对称轴判断的大小．‎ ‎⑶ 根据抛物线与轴的交点，判断的大小．‎ ‎⑷ 根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性．‎ ‎⑸ 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于的等式．‎ ‎⑹ 根据抛物线的顶点，判断的大小．‎ 三、二次函数的图象及性质 ‎1． 二次函数的性质：‎ ‎⑴抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（ 轴）．‎ ‎⑵函数的图像与的符号关系．‎ ‎①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；‎ ‎②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；‎ 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．‎ 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．‎ ‎2．二次函数的性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．‎ 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．‎ ‎3． 二次函数或（）的性质 ‎⑴开口方向： ‎ ‎⑵对称轴：（或）‎ ‎⑶顶点坐标：（或）‎ ‎⑷最值：‎ ‎ ‎ 时有最小值（或）（如图1）； 时有最大值（或）（如图2）；‎ ‎⑸单调性：二次函数（）的变化情况（增减性）‎ ‎①如图1所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧 ，‎ 随的增大而增大；‎ ‎②如图2所示，当时，对称轴左侧， y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，‎ 随的增大而减小；‎ ‎⑹与坐标轴的交点：①与轴的交点：（0，C）；②与轴的交点：使方程（或）‎ 成立的值．‎ 点睛提分 一、动点与特殊图形的存在性问题 这部分压轴题的主要特别是先求函数的解析式，然后在函数的图象上探求符合几何条件的点。‎ ‎1、动点与等腰三角形问题 兵法：1.画出图形，需要分类讨论，①已知边为底，则利用中垂线找出另一个点②已知边为腰时，有两种情况，分两个端点去画圆，交点即为要求的点．‎ ‎2.设出要求点的坐标，然后利用两点间距离公式求出点的坐标．或者作出高线利用相似三角形来求解．‎ 【例1】 已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.‎ ‎（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；‎ ‎（3）如图②，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M，N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．‎ A Q C B P OA x y 图①‎ A M C B N OA x y 图②‎ A Q C B P OA x y 图①‎ E D 【解析】 ‎（1）如图①，过点C作CD⊥OA于点D ‎∵OC＝AC，∠ACO＝120°，∴∠AOC＝∠OAC＝30°‎ ‎∵OC＝AC，CD⊥OA，∴OD＝DA＝1‎ 在Rt△ODC中，OC＝＝＝ ‎ ‎（ⅰ）当0＜t ＜时，OQ＝t，AP＝3t，OP＝2－3t 过点Q作QE⊥OA于点E，则EQ＝t ‎∴S△OPQ ＝OP·EQ＝(2－3t)·t＝－t 2＋t A Q C B P OA x y 图②‎ 即S ＝－t 2＋t ‎ ‎（ⅱ）当＜t ≤时，如图②，OQ＝t，OP＝3t－2‎ ‎∵∠BOA＝60°，∠AOC＝30°，∴∠POQ＝90°‎ ‎∴S△OPQ ＝OQ·OP＝t·(3t－2)＝t 2－t 即S ＝t 2－t 故当0＜t ＜时，S ＝－t 2＋t，当＜t ≤时，S ＝t 2－t ‎ ‎（2）D（，1）或（，0）或（，0）或（，）‎ A M C B N OA x y 图③‎ F ‎（3）BMN的周长不发生变化 如图③，延长BA至点F，使AF＝OM，连结CF ‎∵∠MOC＝∠FAC＝90°，OC＝AC，∴△MOC≌△FAC ‎∴MC＝CF，∠MCO＝∠FCA ‎ ‎∴FCN＝∠FCA＋∠NCA＝∠MCO＋∠NCA ‎＝∠OCA－∠MCN＝60°‎ ‎∴FCN＝∠MCN 又∵MC＝CF，CN＝CN，∴△MCN≌△FCN∴MN＝NF ‎ ‎∴BM＋MN＋BN＝BM＋NF＋BN＝BO－OM＋BA＋AF＝BA＋BO＝4‎ ‎∴BMN的周长不变，其周长为4‎ ‎ ‎ 【例1】 如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ ‎（3）若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？‎ A B C D E F 【解析】 ‎（1）∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠BEF＋∠CED＝90°‎ ‎∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BFE＝∠CED 又∵∠B＝∠C＝90°，∴Rt△BFE∽Rt△CED A B C D E F ‎∴＝，即＝‎ ‎∴y＝－x 2＋x ‎ ‎（2）若m＝8，则y＝－x 2＋x＝－( x－4)2＋2‎ ‎∴当x＝4时，y的值最大，y最大＝2 ‎ ‎（3）若y＝，则－x 2＋x＝‎ ‎∴x 2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6 ‎ ‎∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF为等腰三角形，只能DE＝EF 此时Rt△BFE≌Rt△CED ‎∴当EC＝2时，m＝CD＝BE＝6 ‎ 当EC＝6时，m＝CD＝BE＝2‎ 即m的值应为6或2时，△DEF是等腰三角形 ‎ 【例1】 已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式：‎ ‎（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ C A B y x O P D Q 【解析】 ‎（1）方法一：∵抛物线过C（0，－6），∴c＝－6，即y＝ax 2＋bx－6‎ 由 解得a＝，b＝－‎ C A B y x O P D Q H E F M2‎ M4‎ M5‎ M3‎ M1‎ x＝1‎ ‎∴该抛物线的解析式为y＝x 2－x－6 ‎ 方法二：∵A、B关于x＝2对称，∴A（－8，0）‎ 设y＝a(x＋8)(x－12)，∵C（0，－6）在抛物线上 ‎∴－6＝a(0＋8)(0－12)，∴a＝‎ ‎∴该抛物线的解析式为y＝(x＋8)(x－12)‎ 即y＝x 2－x－6 ‎ ‎（2）存在，设直线CD垂直平分PQ 在Rt△AOC中，AC＝＝10＝AD ‎∴点D在对称轴上，连结DQ，显然∠PDC＝∠QDC 由已知∠PDC＝∠ACD ‎∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC ‎ DB＝AB－AD＝20－10＝10‎ ‎∴DQ为△ABC的中位线，∴DQ＝AC＝5 ‎ AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5，∴t＝5÷1＝5（秒）‎ ‎∴存在t＝5秒时，线段PQ被直线CD垂直平分 在Rt△BOC中，BC＝＝，∴CQ＝‎ ‎∴点Q的运动速度为每秒单位长度 ‎（3）存在 过点Q作QH⊥x轴于H，则QH＝3，PH＝9‎ 在Rt△PQH中，PQ＝＝ ‎ ‎①当MP＝MQ，即M为顶点时 设直线CD的解析式为y＝kx＋m（k≠0）则：‎ ‎ 解得 ∴y＝3x－6‎ 当x＝1时，y＝－3，∴M1（1，－3）‎ ‎②当PQ为等腰△MPQ的腰且P为顶点时 设直线x＝1上存在点M（1，y），由勾股定理得：‎ ‎4 2＋y 2＝()2，∴y＝±‎ ‎∴M2（1，），M3（1，－）‎ ‎③当PQ为等腰△MPQ的腰且Q为顶点时 过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x＝1于F，则F（1，－3）‎ 设直线x＝1上存在点M（1，y），由勾股定理得：‎ ‎5 2＋( y＋3)2＝()2，∴y＝－3±‎ ‎∴M4（1，－3＋），M5（1，－3－）‎ 综上所述，存在点M，使△MPQ为等腰三角形，点M的坐标为：‎ M1（1，－3），M2（1，），M3（1，－），M4（1，－3＋），M5（1，－3－）‎ 【例1】 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90º，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．‎ ‎（1）求点D到BC的距离DH的长；‎ ‎（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．‎ A B C D P Q E H R 【解析】 ‎（1）∵∠A＝90º，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10‎ ‎∵点D为AB中点，∴BD＝AB＝3‎ ‎∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B ‎∴△BHD∽△BAC，∴＝‎ ‎∴DH＝·AC＝×8＝ ‎ ‎（2）∵QR∥AB，∴∠QRC＝∠A＝90°‎ ‎ ‎ A B C D P Q E H R 图2‎ 又∠C＝∠C，∴△RQC∽△ABC ‎∴＝，即＝‎ ‎∴y关于x的函数关系式为y＝－x＋6 8分 ‎（3）存在，分三种情况：‎ ‎①当PQ＝PR时，过点P作PM⊥QR于M（如图1），则QM＝RM A B C D P Q E H R 图3‎ ‎∵∠PQM＋∠RQC＝90°，∠C＋∠RQC＝90°，∴∠PQM＝∠C ‎∴cos∠PQM＝cosC＝＝，∴＝‎ ‎∴＝，∴x＝ ‎ ‎②当PQ＝RQ时（如图2），＝－x＋6，∴x＝6 ‎ ‎③当PR＝QR时（如图3），则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点 ‎∴CR＝CE＝AC＝2‎ ‎∵tanC＝＝，∴＝，∴x＝‎ 综上所述，当x＝或6或时，△PQR为等腰三角形 【例1】 如图，已知抛物线y＝x 2＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，－1）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．‎ D B C O A y x E B C O A 备用图 y x 【解析】 ‎（1）∵抛物线y＝x 2＋bx＋c经过点A（2，0），C（0，－1）‎ ‎∴‎ 解得：b＝－，c＝－1 ‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝x 2－x－1 ‎ ‎（2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2），则OD＝m，AD＝2－m 由△ADE∽△AOC得，＝‎ ‎∴＝‎ ‎∴DE＝ ‎ ‎∴△DCE的面积＝××m＝－m 2＋m＝－(m－1)2＋‎ 当m＝1时，△DCE的面积最大 ‎∴点D的坐标为（1，0）‎ B C O A 图1‎ y x P2‎ P1‎ H ‎（3）存在 在y＝x 2－x－1中，令y＝0，得x 2－x－1＝0‎ 解得x1＝－1，x2＝2，∴点B的坐标为（－1，0）‎ 设直线BC的解析式为y＝kx＋b 则 解得k＝－1，b＝－1‎ ‎∴直线BC的解析式为y＝－x－1‎ 在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC＝＝‎ ‎∵点B（－1，0），点C（0，－1），∴OB＝OC ∠BCO＝45°‎ B C O A 图2‎ y x P3‎ GA ‎①当以C为顶点且PC＝AC＝时，如图1‎ 设P（n，－n－1），过点P作PH⊥y轴于H 则∠HCP＝∠BCO＝45°，CH＝PH＝| n |‎ 在Rt△PCH中，n 2＋n 2＝()2，‎ 解得n1＝，n2＝－‎ ‎∴P1（，－－1），P2（－，－1）‎ ‎②当以A为顶点且AC＝AP＝时，如图2‎ 设P（t，－t－1），过点P作PG⊥x轴于G 则AG＝| 2－t|，GP＝| －t－1|‎ B C O A 图3‎ y x M N P4‎ 在Rt△APG中，∵AG 2＋PG 2＝AP 2‎ ‎∴(2－t)2＋(－t－1)2＝5，解得：t1＝1，t2＝0（舍去）‎ ‎∴P3（1，－2）‎ ‎③当以P为顶点时，PC＝PA，如图3‎ 设P（x，－x－1），过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N 则N（x，0）‎ ‎∵△C为等腰直角三角形，∴PM＝CM＝x，PA＝PC＝x ‎∴AN＝| x－2|，PN＝| －x－1|‎ 在Rt△PAN中，∵AN 2＋PN 2＝PA 2‎ ‎∴(x－2)2＋(x＋1)2＝(x)2，解得：x＝‎ ‎∴P4（，－）‎ 综上所述，在直线BC上存在点P，使△ACP为等腰三角形，点P的坐标为：‎ P1（，－－1），P2（－，－1），P3（1，－2），P4（，－）‎ ‎2、动点与直角三角形问题 兵法：1．分直角顶点进行讨论，分别画出图形 ‎2．利用相似或勾股定理逆定理 ‎3.利用直线垂直，斜率k相乘为-1‎ 【例1】 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．‎ ‎（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；‎ ‎（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？‎ ‎（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；‎ ‎（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．‎ A D C B OA P x y 【解析】 ‎（1）过D作DE⊥x轴于E，则△PED∽△COP．‎ A D C B OA ‎∴＝＝＝，∴PE＝CO＝1，DE＝PO＝t．故D（t＋1，）．‎ ‎（2）S＝PA·DE＝(4－t)·＝－t 2＋t＝－(t－2)2＋1． ‎ ‎∴当t＝2时，S最大，最大值为1． ‎ ‎（3）∵∠CPD＝90°，∴∠DPA＋∠CPO＝90°，‎ ‎∴∠DPA≠90°，故有以下两种情况：‎ ‎①当∠PDA＝90°时，由勾股定理得PD 2＋DA 2＝PA 2．‎ 又PD 2＝PE 2＋DE 2＝1＋t 2，DA 2＝DE 2＋EA 2＝t 2＋(3－t)2，PA 2＝(4－t)2．‎ ‎∴1＋t 2＋t 2＋(3－t)2＝(4－t)2， ‎ 即t 2＋4t－12＝0，解得t1＝2，t2＝－6（不合题意，舍去）．‎ ‎②当∠PAD＝90°时，点D在BA上，故AE＝3－t＝0，得t＝3．‎ 综上所述，当t＝2秒或3秒时，△DPA为直角三角形． ‎ ‎（4）． ‎ 【例1】 如图，直线y＝－x－1与抛物线y＝ax 2＋bx－4都经过点A（－1，0）、C（3，－4）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；‎ ‎（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x y C B A O EC PC ‎（1）∵抛物线y＝ax 2＋bx－4经过点A（－1，0）、C（3，－4）‎ x y C B A O EC PC DC Q1‎ Q2‎ ‎(Q3)‎ FC GC H ‎∴ 解得 ‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝x 2－3x－4‎ ‎（2）设P（m，－m－1），则E（m，m 2－3m－4）‎ ‎∴PE＝－m－1－(m 2－3m－4)‎ ‎＝－m 2＋2m＋3＝－(m－1)2＋4 ‎ ‎∴当m＝1时，线段PE的长度有最大值4 ‎ ‎（3）假设存在符合条件的Q点，有两种情况：‎ 设直线PE交x轴于点D，由（2）知点P的坐标为（1，－2），‎ ‎∴DP＝2，过点P作AC的垂线，交抛物线于点Q1、Q2，交x轴于点F 在Rt△ADP中，∵AD＝DP＝2，∴∠DAP＝45°‎ ‎∴∠AFP＝45°，∴DF＝DP＝2∴点F的坐标为（3，0）‎ ‎∴直线PF的解析式为y＝x－3 ‎ 令x－3＝x 2－3x－4，解得 ‎∴Q1（2＋，－1），Q2（2－，－－1）过点C作AC的垂线，交抛物线于点Q3、交y轴于点G，过点C作y轴的垂线，垂足为H 则HG＝HC＝3，∴OG＝4＋3＝7‎ ‎∴点G的坐标为（0，－7）∴直线CG的解析式为y＝x－7 ‎ 令x－7＝x 2－3x－4，解得 （即为C点，舍去）‎ ‎∴Q3（1，－6）综上所述，满足条件的点Q有三个：‎ Q1（2＋，－1），Q2（2－，－－1），Q3（1，－6）‎ 【例1】 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x 2＋x＋m 2－3m＋2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．‎ ‎①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；‎ ‎②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．‎ 若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．‎ y x O ‎1‎ ‎1‎ 【解析】 ‎（1）∵抛物线y＝－x 2＋x＋m 2－3m＋2经过原点 ‎∴m 2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2‎ 由题意知m1≠1，∴m＝2‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋x ‎∵点B（2，n）在抛物线y＝－x 2＋x上，∴n＝4‎ ‎∴点B的坐标为（2，4） 2分 ‎（2）①设直线OB的解析式为y＝k1x 求得直线OB的解析式为y＝2x ‎∵A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为（10，0）‎ 设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a）‎ 根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1‎ ‎ ‎ D B C O A ‎1‎ ‎1‎ 图1‎ y x P E 可求得点C的坐标为（3a，2a）‎ 由C点在抛物线上，得2a＝－×(3a)2＋×3a 即a 2－a＝0，解得a1＝，a2＝0（舍去）‎ ‎∴OP＝ ‎ ‎②依题意作等腰直角三角形QMN 设直线AB的解析式为y＝k2x＋b 由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y＝－x＋5‎ 当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，‎ 有以下三种情况：‎ 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上，如图2所示 D B C O A ‎1‎ ‎1‎ 图2‎ y x E M Q N F P 可证△DPQ为等腰直角三角形 此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位 ‎∴PQ＝DP＝4t，∴t＋4t＋2t＝10‎ ‎∴t＝‎ 第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示 D B C O A ‎1‎ ‎1‎ 图3‎ y x M Q N F P ‎(E)‎ ‎(C)‎ 可证△PQM为等腰直角三角形 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位 ‎∴OQ＝10－2t ‎∵F点在直线AB上，∴FQ＝t，∴MQ＝2t ‎∴PQ＝MQ＝CQ＝2t，∴t＋2t＋2t＝10‎ ‎∴t＝2‎ 第三种情况：点P、Q重合时，PD与QM在同一条直线上，‎ 如图4所示 D B C O A ‎1‎ ‎1‎ 图4‎ y x M E F N Q ‎(P)‎ 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位 ‎∴t＋2t＝10‎ ‎∴t＝‎ 综上，符合题意的t值分别为，2，‎ 【例1】 如图，对称轴为x＝3的抛物线y＝ax 2＋2x与x轴相交于点B、O．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；‎ ‎（2）连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l，点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ x y O A B ‎（1）∵点B与O（0，0）关于x＝3对称，∴点B的坐标为（6，0）‎ 把B（6，0）代入y＝ax 2＋2x得：36a＋12＝0‎ ‎∴a＝－‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋2x 当x＝3时，y＝－×3 2＋2×3＝3‎ ‎∴顶点A的坐标为（3，3）‎ ‎（说明：可用对称轴为x＝－求a的值，用顶点式求顶点A的坐标）‎ ‎（2）设直线AB的解析式为y＝kx＋b ‎∵A（3，3），B（6，0）‎ x y O A B P M 图1‎ ‎∴ 解得 ‎∴y＝－x＋6‎ ‎∵直线l∥AB且过点O，∴直线l的解析式为y＝－x ‎∵点P是l上一动点且横坐标为t ‎∴点P的坐标为（t，－t）‎ 当P在第四象限时（t＞0），如图1‎ S＝S△AOB ＋ S△BOP ＝×6×3＋×6×|－t|＝9＋3t ‎∵0＜S≤18，∴0＜9＋3t≤18‎ x y O A B P M N 图2‎ ‎∴－3＜t≤3，又t＞0‎ ‎∴0＜t≤3 5分 当P在第二象限时（t＜0），如图2‎ S＝S△AOB ＋ S△AOP ＝S△AOB ＋ S△BOP ‎＝×6×3＋×6×|－t|‎ ‎＝－3t＋9‎ ‎∵0＜S≤18，∴0＜－3t＋9≤18‎ ‎∴－3＜t≤3，又t＜0‎ ‎∴－3≤t＜0 ‎ ‎∴t的取值范围是－3≤t＜0或0＜t≤3‎ ‎（3）存在，点Q的坐标为（3，3）或（6，0）或（－3，－9）‎ 【例1】 如图，抛物线y＝mx 2－2mx－3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．‎ ‎（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；‎ ‎（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；‎ ‎（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由．‎ M C B O A y x 【解析】 ‎（1）∵y＝mx 2－2mx－3m＝m(x－1)2－4m ‎∴抛物线顶点M的坐标为（1，－4m）‎ ‎∵抛物线y＝mx 2－2mx－3m（m＞0）与x轴交于A、B两点 ‎∴当y＝0时，mx 2－2mx－3m＝0‎ ‎∵m＞0，∴x 2－2x－3＝0‎ 解得x1＝－1，x2＝3‎ ‎∴A、B两点的坐标为（－1，0）、（3，0）‎ ‎（2）当x＝0时，y＝－3m，∴点C的坐标为（0，－3m）‎ ‎∴S△ABC＝×|3－(－1)|×|3m|＝6|m|＝6m ‎ M C B O A y x N D 过点M作MD⊥x轴于点D，则OD＝1，BD＝OB－OD＝2，MD＝|－4m|＝4m ‎∴S△BCM＝S△BDM＋S梯形OCMD－S△OBC ‎＝BD·DM＋(OC＋DM)·OD－OB·OC ‎＝×2×4m＋(3m＋4m)×1－×3×3m ‎＝3m ∴S△BCM : S△ABC＝1 : 2 ‎ ‎（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线 过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，‎ CN＝OD＝1，DN＝OC＝3m ‎∴MN＝DM－DN＝m，∴CM 2＝CN 2＋MN2＝1＋m 2‎ 在Rt△OBC中，BC 2＝OB 2＋OC2＝9＋9m 2‎ 在Rt△BDM中，BM 2＝BD 2＋DM2＝4＋16m 2‎ ‎①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°，那么CM 2＋BM2＝BC 2‎ 即1＋m 2＋4＋16m 2＝9＋9m 2，解得m＝±‎ ‎∵m＞0，∴m＝‎ ‎∴存在抛物线y＝x 2－x－使△BCM为直角三角形 ‎②如果△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°，那么BC 2＋CM2＝BM 2‎ 即9＋9m 2＋1＋m 2＝4＋16m 2，解得m＝±1‎ ‎∵m＞0，∴m＝1‎ ‎∴存在抛物线y＝x 2－2x－3使△BCM为直角三角形 ‎③如果△BCM是直角三角形，且∠CBM＝90°，那么BC 2＋BM2＝CM 2‎ 即9＋9m 2＋4＋16m 2＝1＋m 2，整理得m 2＝－，此方程无解 ‎∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在 综上所述，存在抛物线y＝x 2－x－和y＝x 2－2x－3‎ 使△BCM为直角三角形 ‎3、动点与相似三角形问题 兵法：1．确定分类的角，直角或钝角，然后进行分类讨论，画出图形 ‎ 2．设出点坐标，算出线段长度，利用对应边成比例，列出方程 ‎ 3．如果出现直角三角形的相似问题，则常用锐角函数．‎ 【例1】 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；‎ ‎（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？‎ ‎（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ O A B x y C D 【解析】 ‎（1）设该抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c 由抛物线与y轴交于点C（0，－3），可知c＝－3‎ 即抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx－3 ‎ 把A（－1，0）、B（3，0）代入，得 解得a＝1，b＝－2，∴抛物线的解析式为y＝x 2－2x－3 ‎ ‎∵y＝x 2－2x－3＝(x－1 )2－4，∴顶点D的坐标为（1，－4）‎ ‎（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形 ，理由如下：‎ 如图1，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F 在Rt△BOC中，OB＝OC＝3，∴BC 2＝18‎ 在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF－OC＝4－3＝1，∴CD 2＝2‎ 在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB－OE＝3－1＝2，∴BD 2＝20 ‎ ‎∴BC 2＋CD 2＝CE 2，∴△BCD为直角三角形 ‎ ‎（3）如图2，连接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）‎ O A B x y C D 图1‎ E F O A B x y C D 图2‎ P2‎ P1‎ 过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD 求得符合条件的点为P1（0，）‎ 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD 求得符合条件的点为P2（9，0）‎ ‎∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1（0，），P2（9，0）‎ 【例1】 如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋1与x轴交于两点A（－1，0），B（1，0），‎ 与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；‎ ‎（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ C A B D y x O 【解析】 ‎（1）把A（－1，0），B（1，0）代入y＝ax 2＋bx＋1得：‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋1 ‎ ‎（2）令x＝0，得y＝1，∴C（0，1）‎ ‎∴OA＝OB＝OC＝1，∴∠BAC＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°‎ ‎∵BD∥CA，∴∠ABD＝∠BAC＝45°‎ 如图1，过点D作DE⊥x轴于E，则△EDB为等腰直角三角形 设EO＝x，则ED＝x＋1，∴D（－x，－x－1）‎ ‎∵点D在抛物线y＝－x 2＋1上，∴－x－1＝－(－x )2＋1‎ 解得x1＝2，x2＝－1（不合题意，舍去）‎ ‎∴ED＝3（说明：先求出直线BD的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可）‎ ‎∴S四边形ACBD＝AB·OC＋AB·ED ‎＝×2×1＋×2×3＝4 ‎ ‎（说明：也可直接求直角梯形ACBD的面积为4）‎ C A B D y x O E 图1‎ ‎（3）存在，∵∠ABC＝∠ABD＝45°，∴∠DBC＝90°‎ ‎∵MN⊥x轴，∴∠MNA＝∠DBC＝90°‎ BC＝＝，BD＝＝‎ 设M点的横坐标为m，则M（m，－m 2＋1）‎ ‎①当点M在y轴左侧时，如图2，则m＜－1‎ ⅰ)若△NMA∽△BCD，则＝‎ 即＝，整理得3m 2＋m－2＝0‎ 解得m1＝－1（舍去），m2＝（舍去）‎ ⅱ)若△NAM∽△BCD，则＝‎ 即＝，整理得m 2＋3m＋2＝0‎ 解得m1＝－1（舍去），m2＝－2‎ ‎∴－m 2＋1＝－(－2) 2＋1＝－3‎ ‎∴M1（－2，－3）‎ ‎②当点M在y轴右侧时，如图2，则m＞1‎ C A B D y x O 图2‎ ‎(M1)‎ N1‎ M2‎ N2‎ ⅰ)若△NMA∽△BCD，则＝‎ 即＝，整理得3m 2－m－4＝0‎ 解得m1＝－1（舍去），m2＝‎ ‎∴－m 2＋1＝－()＋1＝－∴M2（，－）‎ ⅱ)若NAM∽△BCD，则＝‎ 即∴＝，整理得m 2－3m－4＝0‎ 解得m1＝－1（舍去），m2＝4‎ ‎∴－m 2＋1＝－4＋1＝－15‎ ‎∴M3（4，－15）‎ ‎∴存在点M，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，M点的坐标分别为：‎ M1（－2，－3），M2（，－），M3（4，－15）‎ 【例1】 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．‎ ‎（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；‎ ‎（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S＝36时点A1的坐标；‎ ‎（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ O M A x y B C D 图1‎ O M x y D 图2‎ A1‎ O1‎ C1‎ B1‎ 【解析】 ‎（1）对称轴：直线x＝1解析式：y＝x 2－x或 y＝(x－1)2－ 顶点坐标：M（1，－）‎ ‎（2）由题意得y2－y1＝3即x 22－x2－x 12＋x1＝3‎ 整理得：(x2－x 1)[(x2＋x 1)－]＝3 ①‎ ‎∵S＝[2(x 1－1＋x 2－1)]·3＝3(x1＋x 2)－6‎ ‎∴x1＋x 2＝＋2 ②‎ 把②代入①并整理得：x2－x 1＝（S＞0）（事实上，更确切为S＞）‎ 当S＝36时， 解得： ‎ ‎（注：S＞0或S＞不写不扣分）‎ 把x 1＝6代入抛物线解析式得y1＝3 ∴点A1（6，3）‎ ‎（3）存在，解法一：易知直线AB的解析式为y＝x－‎ 可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为（1，－）‎ O M A x y B C D E G Q P F ‎∴BD＝5，DE＝，DP＝5－t，DQ＝t 当PQ∥AB时，＝‎ ‎∴＝，得t＝ ‎ 下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、x轴 的交点分别为点F、G ‎①当0＜t＜时∵△FQE∽△FAG，∴∠FGA＝∠FEQ ‎∴∠DPQ＝∠DEB，∴△DPQ∽△DEB，∴＝‎ ‎∴＝，得t＝＞，∴t＝舍去 ‎②当＜t＜时∵△FQE∽△FAG，∴∠FAG＝∠FQE ‎∵∠DQP＝∠FQE，∠FAG＝∠DBE ‎∴∠DQP＝∠DBE，∴△DPQ∽△DEB，∴＝‎ ‎∴＝，得t＝‎ 故当t＝秒时，使直线、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似 ‎（注：未求出t＝能得到正确答案不扣分）‎ 解法二：可将y＝x 2－x向左平移一个单位得到y＝x 2－，再用解法一类似的方法可求得x2′－x 1′＝，点A1′（5，3），t＝‎ ‎∴x2－x 1＝，点A1（6，3），t＝‎ 【例1】 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以AB所在直线为x轴，过C点的直线为y轴建立平面直角坐标系，此时，A点坐标为（－1，0），B点坐标为（4，0）．‎ ‎（1）试求点C的坐标；‎ ‎（2）若抛物线y＝ax 2＋bx＋c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y＝－x－1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．‎ C B O A y x E 【解析】 ‎（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCO＝90°‎ 又∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO 又∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB ‎ ‎∴＝，∴CO 2＝AO·BO＝1×4＝4‎ ‎∴CO＝2 ∴点C的坐标为（0，2）‎ ‎（2）设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)，把C（0，2）代入，得 ‎2＝a(0＋1)(0－4)，∴a＝－ ‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－4)‎ 即y＝－x 2＋x＋2 ‎ ‎（3）∵点D（1，m）在抛物线上，∴m＝－×1 2＋×1＋2＝3‎ ‎∴点D的坐标为（1，3）‎ ‎∴tan∠PBD＝＝＝1，∴∠PBD＝45°‎ ‎∴BD＝(xB－xD)＝(4－1)＝‎ 联立 解得 ‎∴点E的坐标为（6，－7）‎ C B O A y x E D P1‎ P2‎ ‎∴tan∠BAE＝＝＝1，∴∠BAE＝45°‎ ‎∴AE＝(xA＋xE)＝(1＋6)＝‎ 假设存在满足条件的点P，设点P的坐标为（x，0）‎ ‎∵∠PBD＝45°，∠BAE＝45°，‎ ‎∴∠PBD＝∠BAE 若△BPD∽△ABE，则有＝‎ 即＝，‎ 解得x＝∴P1（，0）‎ 若△BDP∽△ABE，则有＝‎ 即＝，‎ 解得x＝－∴P2（－，0）‎ 所以，在x轴上点B的左侧存在点P1（，0）和P2（－，0），‎ 使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似 【例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x 2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x－h)2＋k．所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．‎ ‎（1）求h、k的值；‎ ‎（2）判断△ACD的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．‎ B D A C M O x y ‎（1）∵y＝x 2的顶点坐标为（0，0）‎ ‎∴y＝(x－h)2＋k的顶点坐标D（－1，－4）‎ ‎∴h＝－1，k＝－4 ‎ ‎（2）由（1）得y＝(x＋1)2－4‎ 当y＝0时，(x＋1)2－4＝0，解得x1＝－3，x2＝1‎ ‎∴A（－3，0），B（1，0）‎ 当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3‎ ‎∴C点坐标为（0，－3）‎ 又∵顶点坐标D（－1，－4）‎ ‎ ‎ B E D A C M O F x y G 作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，作DF⊥y轴于点F 在Rt△AED中，AD 2＝2 2＋4 2＝20‎ 在Rt△AOC中，AC 2＝3 2＋3 2＝18‎ 在Rt△CFD中，CD 2＝1 2＋1 2＝2‎ ‎∵AC 2＋CD 2＝AD 2，∴△ACD是直角三角形 ‎ ‎（3）存在，由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝45°‎ 连接OM，过M点作MG⊥AB于点G AC＝＝‎ ‎①若△AOM∽△ABC，则＝‎ 即＝，∴AM＝＝‎ ‎∵MG⊥AB，∴AG 2＋MG 2＝AM 2‎ ‎∴AG＝MG＝＝，∴OG＝AO－AG＝3－＝‎ ‎∵M点在第三象限，∴M1（－，－）‎ ‎②若△AOM∽△ACB，则＝‎ 即＝，∴AM＝＝‎ ‎∴AG＝MG＝＝2，∴OG＝AO－AG＝3－2＝1‎ ‎∵M点在第三象限，∴M2（－1，－2）‎ 综上①、②所述，存在点M使△AOM与△ABC相似，且这样的点有两个，其坐标分别为：M1（－，－），M2（－1，－2）‎