雅安市2014年中考数学卷

雅安市2014年中考数学卷

四川省雅安市2014年中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）（2014•雅安）π0的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ π B．‎ ‎0‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎3.14‎ 考点：‎ 零指数幂．.‎ 分析：‎ 根据零指数幂的运算法则计算即可．‎ 解答：‎ 解：π0=1，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了零指数幂的运算．任何非0数的0次幂等于1．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2014•雅安）在下列四个立体图形中，俯视图为正方形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单几何体的三视图．.‎ 分析：‎ 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．‎ 解答：‎ 解：A、俯视图是一个圆，故本选项错误；‎ B、俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；‎ C、俯视图是一个圆，故本选项错误；‎ D、俯视图是一个正方形，故本选项正确；‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图的定义．从上面看得到的图形是俯视图．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2014•雅安）某市约有4500000人，该数用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0.45×107‎ B．‎ ‎4.5×106‎ C．‎ ‎4.5×105‎ D．‎ ‎45×105‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．.‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于4500000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．‎ 解答：‎ 解：4 500 000=4.5×106．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2014•雅安）数据0，1，1，x，3，4的平均数是2，则这组数据的中位数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎1.5‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 中位数；算术平均数．.‎ 分析：‎ 根据平均数的计算公式求出x的值，再把这组数据从小到大排列，根据中位数的定义即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵数据0，1，1，x，3，4的平均数是2，‎ ‎∴（0+1+1+x+3+4）÷6=2，‎ 解得：x=3，‎ 把这组数据从小到大排列0，1，1，3，3，4，‎ 最中间两个数的平均数是（1+3）÷2=2，‎ 则这组数据的中位数是2；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了中位数和平均数，根据平均数的计算公式求出x的值是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2014•雅安）下列计算中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎+=‎ B．‎ ‎=3‎ C．‎ a6=（a3）2‎ D．‎ b﹣2=﹣b2‎ 考点：‎ 幂的乘方与积的乘方；有理数的加法；立方根；负整数指数幂．‎ 分析：‎ 根据分数的加法，可判断A；‎ 根据开方运算，可判断B；‎ 根据幂的乘方底数不变指数相乘，可判断C；‎ 根据负整指数幂，可判断D．‎ 解答：‎ 解：A、先通分，再加减，故A错误；‎ B、负数的立方根是负数，故B错误；‎ C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C正确；‎ D、b﹣2=，故D错误；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了幂的乘方，幂的乘方底数不变指数相乘．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2014•雅安）若m+n=﹣1，则（m+n）2﹣2m﹣2n的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 代数式求值．.‎ 专题：‎ 整体思想．‎ 分析：‎ 把（m+n）看作一个整体并代入所求代数式进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵m+n=﹣1，‎ ‎∴（m+n）2﹣2m﹣2n ‎=（m+n）2﹣2（m+n）‎ ‎=（﹣1）2﹣2×（﹣1）‎ ‎=1+2‎ ‎=3．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2014•雅安）不等式组的最小整数解是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 一元一次不等式组的整数解．.‎ 分析：‎ 分别解两个不等式，然后求出不等式组的解集，最后找出最小整数解．‎ 解答：‎ 解：，‎ 解①得：x≥1，‎ 解②得：x＞2，‎ 则不等式的解集为x＞2，‎ 故不等式的最小整数解为3．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2014•雅安）如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 顺时针旋转90°‎ B．‎ 顺时针旋转45°‎ C．‎ 逆时针旋转90°‎ D．‎ 逆时针旋转45°‎ 考点：‎ 旋转的性质．.‎ 分析：‎ 因为四边形ABCD为正方形，所以∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，则△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，据此可得答案．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，‎ ‎∴△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了旋转的性质，旋转要找出旋转中心、旋转方向、旋转角．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2014•雅安）a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c=1：：，则cosB的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．.‎ 分析：‎ 先由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用余弦函数的定义即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵a：b：c=1：：，‎ ‎∴b=a，c=a，‎ ‎∴a2+b2=a2+（a）2=3a2=c2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，‎ ‎∴cosB===．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，同时考查了余弦函数的定义：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2014•雅安）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），P点关于x轴的对称点为P2（a、b），则=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎﹣4‎ 考点：‎ 关于原点对称的点的坐标；立方根；关于x轴、y轴对称的点的坐标．.‎ 分析：‎ 利用关于原点对称点的坐标性质得出P点坐标，进而利用关于x轴对称点的坐标性质得出P2坐标，进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），‎ ‎∴P（3，），‎ ‎∵P点关于x轴的对称点为P2（a，b），‎ ‎∴P2（3，﹣），‎ ‎∴==﹣2．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了关于原点对称点的性质以及关于x轴对称点的性质，得出P点坐标是解题关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2014•雅安）在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AFE：S四边形ABCE为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3：4‎ B．‎ ‎4：3‎ C．‎ ‎7：9‎ D．‎ ‎9：7‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．.‎ 分析：‎ 利用平行四边形的性质得出△FAE∽△FBC，进而利用相似三角形的性质得出=，进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵在平行四边形ABCD中，‎ ‎∴AE∥BC，AD=BC，‎ ‎∴△FAE∽△FBC，‎ ‎∵AE：ED=3：1，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴S△AFE：S四边形ABCE=9：7．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，得出=是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2014•雅安）如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．.‎ 分析：‎ 过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=CD，再利用勾股定理列式求出CE，根据正方形的性质求出OC=OD=a，然后利用四边形OCED的面积列出方程求出a2，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，‎ ‎∵∠CED=90°，‎ ‎∴四边形OMEN是矩形，‎ ‎∴∠MON=90°，‎ ‎∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，‎ ‎∴∠COM=∠DON，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴OC=OD，‎ 在△COM和△DON中，‎ ‎，‎ ‎∴△COM≌△DON（AAS），‎ ‎∴OM=ON，‎ ‎∴四边形OMEN是正方形，‎ 设正方形ABCD的边长为2a，则OC=OD=×2a=a，‎ ‎∵∠CED=90°，∠DCE=30°，‎ ‎∴DE=CD=a，‎ 由勾股定理得，CE===a，‎ ‎∴四边形OCED的面积=a•a+•（a）•（a）=×（）2，‎ 解得a2=1，‎ 所以，正方形ABCD的面积=（2a）2=4a2=4×1=4．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）‎ ‎13．（3分）（2014•雅安）函数y=的自变量x的取值范围为　x≥﹣1　．‎ 考点：‎ 函数自变量的取值范围．.‎ 分析：‎ 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：由题意得，x+1≥0，‎ 解得x≥﹣1．‎ 故答案为：x≥﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2014•雅安）已知：一组数1，3，5，7，9，…，按此规律，则第n个数是　2n﹣1　．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．.‎ 分析：‎ 观察1，3，5，7，9，…，所给的数，得出这组数是从1开始连续的奇数，由此表示出答案即可．‎ 解答：‎ 解：1=2×1﹣1，‎ ‎3=2×2﹣1，‎ ‎5=2×3﹣1，‎ ‎7=2×3﹣1，‎ ‎9=2×5﹣1，‎ ‎…，‎ 则第n个数是2n﹣1．‎ 故答案为：2n﹣1．‎ 点评：‎ 此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决实际问题．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2014•雅安）若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“V”数，如756，326，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为　　．‎ 考点：‎ 概率公式．.‎ 分析：‎ 首先将所有由2，3，4这三个数字组成的无重复数字列举出来，然后利用概率公式求解即可．‎ 解答：‎ 解：由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个，‎ 故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为=，‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查的是用列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2014•雅安）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为　相切　．‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．.‎ 分析：‎ 首先求得直线与坐标轴的交点坐标，然后求得原点到直线的距离，利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系求解．‎ 解答：‎ 解：令y=x+=0，解得：x=﹣，‎ 令x=0，解得：y=，‎ 所以直线y=x+与x轴交于点（﹣，0），与y轴交于点（0，），‎ 设圆心到直线y=x+的距离为r，‎ 则r==1，‎ ‎∵半径为1，‎ ‎∴d=r，‎ ‎∴直线y=x+与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切，‎ 故答案为：相切．‎ 点评：‎ 本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形的性质，属于基础题，比较简单．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2014•雅安）关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=　0　．‎ 考点：‎ 根与系数的关系；根的判别式．.‎ 分析：‎ 根据方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，得出x1+x2与x1x2的值，再根据x12+x22=3，即可求出m的值．‎ 解答：‎ 解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=2m﹣1，x1x2=m2﹣1，‎ ‎∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m﹣1）2﹣2（m2﹣1）=3，‎ 解得：x1=0，x2=2（不合题意，舍去），‎ ‎∴m=0；‎ 故答案为：0．‎ 点评：‎ 本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．‎ ‎　‎ 三、解答题（共69分，解答时要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）‎ ‎18．（12分）（2014•雅安）（1）|﹣|+（﹣1）2014﹣2cos45°+．‎ ‎（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中x=+1，y=﹣1．‎ 考点：‎ 分式的化简求值；实数的运算；特殊角的三角函数值．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果；‎ ‎（2）原式括号中两项通分并利用同分母 分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：（1）原式=+1﹣2×+4=5；‎ ‎（2）原式=÷=•=，‎ 当x=+1，y=﹣1时，xy=1，x+y=2，‎ 则原式==．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2014•雅安）某老师对本班所有学生的数学考试成绩（成绩为整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：‎ 分组 ‎49.5～59.5‎ ‎59.5～69.5‎ ‎69.5～79.5‎ ‎79.5～89.5‎ ‎89.5～100.5 ‎ 频数 ‎2‎ a ‎20‎ ‎16‎ ‎8‎ 频率 ‎0.04‎ ‎0.08‎ ‎0.40‎ ‎0.32‎ b ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）补全频数分布直方图；‎ ‎（3）老师准备从成绩不低于80分的学生中选1人介绍学习经验，那么被选中的学生其成绩不低于90分的概率是多少？‎ 考点：‎ 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；概率公式．.‎ 分析：‎ ‎（1）根据第一组的频数和频率求出总人数，再用总人数乘以59.5～69.5的频率，求出a的值，再用8除以总人数求出b的值；‎ ‎（2）根据（1）求出的a的值可补全频数分布直方图；‎ ‎（3）根据图表所给出的数据得出成绩不低于80分的学生中选1人有24种结果，其成绩不低于90分的学生有8种结果，再根据概率公式即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）学生总数是：=50（人），‎ a=50×0.08=4（人），‎ b==0.16；‎ ‎（2）根据（1）得出的a的值，补图如下：‎ ‎（3）从成绩不低于80分的学生中选1人有24种结果，‎ 其中成绩不低于90分的学生有8种结果，故所求概率为=．‎ 点评：‎ 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2014•雅安）某地要在规定的时间内安置一批居民，若每个月安置12户居民，则在规定时间内只能安置90%的居民户；若每个月安置16户居民，则可提前一个月完成安置任务，问要安置多少户居民？规定时间为多少个月？（列方程（组）求解）‎ 考点：‎ 二元一次方程组的应用．.‎ 分析：‎ 设安置x户居民，规定时间为y个月．等量关系为：，若每个月安置12户居民，则在规定时间内只能安置90%的居民户；若每个月安置16户居民，则可提前一个月完成安置任务．‎ 解答：‎ 解：设安置x户居民，规定时间为y个月．‎ 则：，‎ 所以 12y=0.9×16（y﹣1），‎ 所以 y=6，‎ 则x=16（y﹣1）=80．‎ 即原方程组的解为：．‎ 答：需要安置80户居民，规定时间为6个月．‎ 点评：‎ 本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．‎ ‎　‎ ‎21．（9分）（2014•雅安）如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△DCE；‎ ‎（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．‎ 考点：‎ 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用AAS判定两三角形全等即可；‎ ‎（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AB平行且等于CD，∠B=∠DAC，‎ ‎∴∠B=∠1，‎ 又∵DE∥AC ‎∴∠2=∠E，‎ 在△ABC与△DCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DCE；‎ ‎（2）∵平行四边形ABCD中，‎ ‎∴AD∥BC，‎ 即AD∥CE，‎ 由DE∥AC，‎ ‎∴ACED为平行四边形，‎ ‎∵AC=BC，‎ ‎∴∠B=∠CAB，‎ 由AB∥CD，‎ ‎∴∠CAB=∠ACD，‎ 又∵∠B=∠ADC，‎ ‎∴∠ADC=∠ACD，‎ ‎∴AC=AD，‎ ‎∴四边形ACED为菱形．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2014•雅安）如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．‎ ‎（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；‎ ‎（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；‎ ‎（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．.‎ 分析：‎ ‎（1）把点A的坐标代入y=求出m的值，再运用A的坐标求出k，两函数解析式联立得出B点的坐标．‎ ‎（2）把k的值代入不等式，讨论当a＞0和当a＜0时分别求出不等式的解．‎ ‎（3）讨论当C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，当C在第三象限时，根据|OA|=|OC|，求出点C的坐标，再看AC的值看是否构成等边三角形．‎ 解答：‎ 解：（1）把A（m，﹣2）代入y=，得﹣2=，‎ 解得m=﹣1，‎ ‎∴A（﹣1，﹣2）代入y=kx，‎ ‎∴﹣2=k×（﹣1），解得，k=2，‎ ‎∴y=2x，‎ 又由2x=，得x=1或x=﹣1（舍去），‎ ‎∴B（1，2），‎ ‎（2）∵k=2，‎ ‎∴≥kx为≥2x，‎ ‎①当x＞0时，2x2≤2，解得0＜x≤1，‎ ‎②当x＜0时，2x2≥2，解得x≤﹣1；‎ ‎（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，‎ ‎②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则|OA|=|OC|，设C（t，）（t＜0），‎ ‎∵A（﹣1，﹣2）‎ ‎∴OA=‎ ‎∴t2+=5，则t4﹣5t2+4=0，‎ ‎∴t2=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去，‎ t2=4，t=﹣2，C（﹣2，﹣1），而此时|AC|=，|AC|≠|AO|，‎ ‎∴不存在符合条件的点C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点C的坐标，看是否构成等边三角形．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2014•雅安）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB．‎ ‎（1）求证：FB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=8，CE=2，求sin∠F．‎ 考点：‎ 切线的判定；相似三角形的判定与性质．.‎ 分析：‎ ‎（1）连接OB，根据圆周角定理证得∠CBD=90°，然后根据等边对等角以及等量代换，证得∠OBF=90°即可证得；‎ ‎（2）首先利用垂径定理求得BE的长，然后根据△OBE∽△OBF，利用相似三角形的性质求得OF的长，则sinF即可求解．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OB．‎ ‎∵CD是直径，‎ ‎∴∠CBD=90°，‎ 又∵OB=OD，‎ ‎∴∠OBD=∠D，‎ 又∠CBF=∠D，‎ ‎∴∠CBF=∠OBD，‎ ‎∴∠OBF=90°，即OB⊥BF，‎ ‎∴FB是圆的切线；‎ ‎（2）解：∵CD是圆的直径，CD⊥AB，‎ ‎∴BE=AB=4，‎ 设圆的半径是R，在直角△OEB中，根据勾股定理得：R2=（R﹣2）2+42，‎ 解得：R=5，‎ ‎∵∠BOE=∠FOB，∠BEO=∠OBF，‎ ‎∴△OBE∽△OBF，‎ ‎∴OB2=OE•OF，‎ ‎∴OF==，‎ 则在直角△OBF中，sinF===．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2014•雅安）如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点．‎ ‎（1）试求点A、C的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．.‎ 分析：‎ ‎（1）根据直线解析式y=﹣3x﹣3，将y=0代入求出x的值，得到直线与x轴交点A的坐标，将x=0代入求出y的值，得到直线与y轴交点C的坐标；‎ ‎（2）根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，且过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3），列出方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式；‎ ‎（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（xP，﹣t），先证明△CPN∽△CAO，根据相似三角形对应边成比例列出比例式=，求出xP=﹣1．再过点P作PD⊥x轴于点D，则D（﹣1，0），在△PDM中利用勾股定理得出PM2=MD2+PD2=（﹣+4）2+（﹣t）2=（25t2﹣96t+144），利用二次函数的性质可知当t=时，PM2最小值为，即在运动过程中，线段PM的长度存在最小值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵y=﹣3x﹣3，‎ ‎∴当y=0时，﹣3x﹣3=0，解得x=﹣1，‎ ‎∴A（﹣1，0）；‎ ‎∵当x=0时，y=﹣3，‎ ‎∴C（0，﹣3）；‎ ‎（2）∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（xP，﹣t）．‎ ‎∵PN∥OA，‎ ‎∴△CPN∽△CAO，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴xP=﹣1．‎ 过点P作PD⊥x轴于点D，则D（﹣1，0），‎ ‎∴MD=（3﹣t）﹣（﹣1）=﹣+4，‎ ‎∴PM2=MD2+PD2=（﹣+4）2+（﹣t）2=（25t2﹣96t+144），‎ 又∵﹣=＜3，‎ ‎∴当t=时，PM2最小值为，‎ 故在运动过程中，线段PM的长度存在最小值．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一次函数图象上点的坐标特征，运用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．‎ ‎　‎