中考压轴题与新颖题

中考压轴题与新颖题

‎ 学思堂教育 个性化 教程教案 学生姓名 ‎ ‎ 教师姓名 ‎ ‎ 学管师/班主任 ‎ ‎ 日期 时间段 年级 ‎ ‎ 课时 ‎2h 教学内容 ‎ ‎ 教学目标 ‎ ‎ 重点 ‎ ‎ 难点 教 学 过 程 ‎ ‎ ‎27.如图，抛物线1 :y=-x2平移得到抛物线，且经过点O(0.0)和点A(4.0)，的顶点为点B，它的对称轴与相交于点C,设、与BC围成的阴影部分面积为S,解答下列问题：‎ ‎（1）求表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标。‎ ‎（2）求点C的坐标，并直接写出S的值。‎ ‎（3）在直线AC上是否存在点P，使得S△POA＝S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 教 学 效 果 分 析 ‎28.如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠BAD=90°，CE⊥AD于点E,AD=8cm，BC=4cm,AB=5cm。从初始时刻开始，动点P,Q 分别从点A,B同时出发，运动速度均为1 cm /s, 动点P沿A-B--C--E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B--C--E--D的方向运动，到点D停止，设运动时间为s，PA Q的面积为y cm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形)‎ 解答下列问题：‎ ‎(1) 当x=2s时，y=_____ cm2;当= s时，y=_______ cm2 (2）当5 ≤ x ≤ 14 时，求y与之间的函数关系式。‎ ‎(3）当动点P在线段BC上运动时，求出S梯形ABCD时的值。‎ ‎（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．‎ ‎28、（2011•常州）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．‎ ‎（1）若点E与点P重合，求k的值；‎ ‎（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；‎ ‎（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．‎ 分析：（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；‎ ‎（2）当k＞2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE=k2﹣k+1，根据S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGD﹣S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；‎ ‎（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；‎ ‎②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，=，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．‎ 解答：解：（1）若点E与点D重合，则k=1×2=2；‎ ‎（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，‎ ‎∵PF⊥PE，‎ ‎∴S△FPE=PE•PF=（﹣1）（k﹣2）=k2﹣k+1，‎ ‎∴四边形PFGE是矩形，‎ ‎∴S△PFE=S△GEF，‎ ‎∴S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGD﹣S△OCE=•k﹣（k2﹣k+1）﹣k=k2﹣1‎ ‎∵S△OEF=2S△PEF，‎ ‎∴k2﹣1=2（k2﹣k+1），‎ 解得k=6或k=2，‎ ‎∵k=2时，E、F重合，‎ ‎∴k=6，‎ ‎∴E点坐标为：（3，2）；‎ ‎（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，‎ ‎①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，‎ ‎∵△FHM∽△MBE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵FH=1，EM=PE=1﹣，FM=PF=2﹣k，‎ ‎∴=，BM=，‎ 在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，‎ ‎∴（1﹣）2=（）2+（）2，‎ 解得k=，此时E点坐标为（，2），‎ ‎②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，‎ ‎△FQM∽△MBE得，=，‎ ‎∵FQ=1，EM=PF=k﹣2，FM=PE=﹣1，‎ ‎∴=，BM=2，‎ 在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，‎ ‎∴（k﹣2）2=（）2+22，解得k=或0，但k=0不符合题意，‎ ‎∴k=．‎ 此时E点坐标为（，2），‎ ‎∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．‎ 点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质解答．‎ ‎27．(12分)已知A(1，0)、B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)、E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过其中的三个点．‎ ‎(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上；‎ ‎(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？‎ ‎(3)求a和k的值．‎ ‎ a(－1－1)2＋k＝2‎ ‎ a(4－1)2＋k＝2‎ ‎【答案】解：(1)证明：用反证法。假设C(－1，2)和E(4，2)都在抛物线y＝a(x－1)2＋k ‎(a＞0)上，联立方程 ，‎ ‎ 解之得a＝0，k＝2。这与要求的a＞0不符。‎ ‎ ∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。‎ ‎ (2)点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。这是因为如果点A在抛物线上，则k＝0。B(0，－1)在抛物线上，得到a＝－1，D(2，－1)在抛物线上，得到a＝－1，这与已知a＞0不符；而由(1)知，C、E两点不可能同时在抛物线上。‎ ‎ 因此点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。‎ ‎ (3)综合(1)(2)，分两种情况讨论：‎ ‎ ①抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)三个点，‎ ‎ a(0－1)2＋k＝－1‎ ‎ 联立方程 a(－1－1)2＋k＝2， ‎ ‎ a(2－1)2＋k＝－1‎ ‎ 解之得a＝1，k＝－2。‎ ‎ ②抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、D(2，－1)、E(4，2)三个点，‎ ‎ a(0－1)2＋k＝－1‎ ‎ 联立方程 a(2－1)2＋k＝－1，‎ ‎ a(4－1)2＋k＝2‎ ‎ 解之得a＝，k＝。‎ 因此，抛物线经过B、C、D三个点时，a＝1，k＝－2。抛物线经过B、D、E三个点时，‎ a＝，k＝。‎ ‎【考点】二次函数，二元一次方程组。‎ ‎【分析】(1)用反证法证明只要先假设结论成立，得到与已知相矛盾的结论即可。‎ ‎ (2)要证点A不在抛物线上，只要证点A和其他任意两点不在同一抛物线上即可。‎ ‎ (3)分别列出任意三点在抛物线上的所有情况，由(2)去掉点A，还有B、C、D、E四个点，可能情况有 ①B、C、D， ②B、C、E， ③B、D、E和④C、D、E。而由(1)去掉②B、C、E和④C、D、E两种C、E两点同时在抛物线上的情况。这样只剩下①B、C、D 和③B、D、E两种情况，分别联立方程求解即可。‎ O A B l x y ‎28．如图，已知直线l经过点A(1，0)，与双曲线y＝ ‎(x＞0)交于点B(2，1)．过点P(p，p－1)(p＞1)作x轴的平 行线分别交双曲线y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于点M、N．‎ ‎(1)求m的值和直线l的解析式；‎ ‎(2)若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；‎ ‎(3)是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若 不存在，请说明理由．‎ 答案】解：(1)由点B(2，1)在y＝上，有2＝，即m＝2。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设直线l的解析式为，由点A(1，0)，点B(2，1)在上，得 ‎ ， ，解之，得 ‎ ∴所求 直线l的解析式为 。‎ ‎ (2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，∴P在直线l上，是直线y＝2和l的交点，见图（1）。‎ ‎ ∴根据条件得各点坐标为N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。‎ ‎ ∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，‎ ‎ BP＝ ‎ ‎ ∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。‎ ‎ ∴△PMB∽△PNA。‎ ‎ (3)S△AMN＝。下面分情况讨论：‎ ‎ 当1＜p＜3时，延长MP交X轴于Q，见图（2）。‎ 设直线MP为则有 ‎ 解得 则直线MP为 ‎ 当y＝0时，x＝，即点Q的坐标为（，0）。 ‎ ‎ 则，‎ 由2＝4有，解之，p＝3（不合，舍去），p＝。‎ ‎ ‚当p＝3时，见图（1）S△AMP＝＝S△AMN。不合题意。‎ ‎ ƒ当p>3时，延长PM交X轴于Q，见图（3）。‎ ‎ 此时，S△AMP大于情况‚当p＝3时的三角形面积S△AMN。故不存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP。 ‎ ‎ 综上，当p＝时，S△AMN＝4S△AMP。‎ ‎【考点】反比例函数，一次函数，待定系数法，二元一次方程组，勾股定理，相似三角形一元二次方程。‎ ‎【分析】(1)用点B(2，1)的坐标代入y＝即可得m值，用待定系数法，求解二元一次方程组可得直线l的解析式。‎ ‎ (2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，实际上表示了点是直线y＝2和l的交点，这样要求证△PMB∽△PNA只要证出对应线段成比例即可。‎ ‎ (3)首先要考虑点P的位置。实际上，当p＝3时，易求出这时S△AMP＝S△AMN，当p>3时，注意到这时S△AMP大于p＝3时的三角形面积，从而大于S△AMN，。所以只要主要研究当1＜p＜3时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用p表示），然后求出面积表达式，代入S△AMN＝4S△AMP后求出p值。 ‎ ‎26．（11·无锡）(本题满分6分)如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．‎ ‎ (1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；‎ ‎ (2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）如右图所示， …………………………………3分 ‎（2）S＝2[ π·12＋π·()2＋1＋π·12 ]＝π＋2 ……………………………6分 ‎27．（11·无锡）(本题满分10分)如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)．动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边‎0A、AB、B0作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动．‎ ‎(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；‎ ‎ (2)当P在线段AB上运动时，设直线l分到与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形．‎ ‎【答案】（1）当点P在线段OA上时，P(3t，0)， …………………………………1分 ‎ ⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t－1，0)、(3t＋1，0)，直线l为x＝4－t，‎ ‎ 若直线l与⊙P相交，则． …………………………………3分 ‎ 解得＜t＜． …………………………………5分 ‎（2）点P与直线l运动t秒时，AP＝3t－4，AC＝t，若要四边形CPBD为菱形，则CP∥OB，‎ ‎∴∠PCA＝∠BOA，∴Rt△APC∽△ABO，∴＝，∴＝，解得t＝…6分 此时，AP＝，AC＝，∴PC＝，而PB＝7－3t＝≠PC，‎ 故四边形CPBD不可能是菱形…………………7分 现改变直线l的出发时间，高直线l比点P晚出发a秒，‎ 若四边形CBPD为菱形，则CP∥OB，‎ ‎∴Rt△APC∽△ABO，∴＝＝，∴＝＝，‎ 即，解得 教 学 过 程 ‎28、（2011•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t/秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．‎ ‎（1）当时t=1时，正方形EFGH的边长是　1　．当t=3时，正方形EFGH的边长是　4　．‎ ‎（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？‎ 分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；‎ ‎（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤时；②当＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）当t=5时，面积最大；‎ 解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，∴正方形EFGH的边长是2；‎ 当t=3时，PE=1，PF=3，∴正方形EFGH的边长是4；‎ ‎（2）：①当0＜t≤时，S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2；‎ ‎②当＜t≤时，S与t的函数关系式是：y=4t2﹣[2t﹣（2﹣t）]×[2t﹣（2﹣t）]=﹣t2+11t﹣3；‎ ‎③当＜t≤2时；S与t的函数关系式是：y=（t+2）×（t+2）﹣（2﹣t）（2﹣t）=3t；‎ ‎（3）当t=5时，最大面积是：s=16﹣××=；‎ ‎28．（本题满分12分）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：‎ ‎（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；‎ ‎（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；‎ ‎…‎ 现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）‎ ‎ 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．‎ 教 学 效 果 分 析 A B C 图2‎ P1‎ P2‎ R2‎ R1‎ D Q1‎ Q2‎ A B C 图1‎ P1‎ P2‎ R2‎ R1‎ 经探究知＝S△ABC，请证明．‎ ‎ ‎ ‎ 问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．‎ ‎ 问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若 S四边形ABCD＝1，求．‎ ‎ 问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3‎ A D P1‎ P2‎ P3‎ B Q1‎ Q2‎ Q3‎ C 图4‎ S1‎ S2‎ S3‎ S4‎ 将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．‎ A D C B P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ Q1‎ Q2‎ Q3‎ Q4‎ 图3‎ ‎【答案】解：问题1：∵P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，‎ ‎ ∴P1R1∥P2R2∥BC．∴△AP1 R1∽△AP2R2∽△ABC，且面积比为1:4:9．‎ A B C 图2‎ P1‎ P2‎ R2‎ R1‎ D Q1‎ Q2‎ ‎ ∴＝S△ABC＝S△ABC 问题2：连接Q1R1，Q2R2，如图，由问题1的结论，可知 ‎ ∴＝S△ABC ，＝S△ACD ‎ ∴＋＝S四边形ABCD ‎ 由∵P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，Q1，Q2三等分边DC，‎ ‎ 可得P1R1:P2R2＝Q2R2:Q1R1＝1:2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1．‎ ‎ ∴∠P1R1A＝∠P2R2A，∠Q1R1A＝∠Q2R2A．∴∠P1R1Q1＝∠P2R2 Q2．‎ ‎ 由结论（2），可知＝．‎ ‎ ∴＝＋＝S四边形ABCD．‎ ‎ 问题3：设＝A，＝B，设＝C，‎ ‎ 由问题2的结论，可知A＝，B＝．‎ ‎ A＋B＝(S四边形ABCD＋C)＝(1＋C)．‎ ‎ 又∵C＝(A＋B＋C)，即C＝[(1＋C)＋C]．‎ ‎ 整理得C＝，即＝ ‎ 问题4：S1＋S4＝S2＋S3．‎ ‎26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，‎ P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运A B C P Q O 动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．‎ ‎⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；‎ ‎⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．‎ ‎【答案】解:⑴直线与⊙P相切．‎ 如图，过点P作PD⊥AB, 垂足为D．‎ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=6cm，BC=8cm，‎ ‎∴．∵P为BC的中点，∴PB=4cm．‎ ‎∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC．‎ ‎∴,即，∴PD =2.4(cm) ．‎ 当时，(cm) ‎ ‎∴，即圆心到直线的距离等于⊙P的半径． ‎ ‎∴直线与⊙P相切．‎ ‎⑵ ∠ACB＝90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径．‎ ‎∴．‎ 连接OP．∵P为BC的中点，∴． ‎ ‎∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切． ‎ ‎∴或，∴=1或4． ‎ ‎∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4． ‎ ‎【考点】直线和圆的位置关系, 圆和圆的位置关系,勾股定理, 相似三角形, 三角形中位线, 直径所对的圆周角是900. ‎ ‎【分析】(1) 判断直线AB与⊙P的位置关系, 即要求圆心P到直线AB的距离与圆半径PQ的关系即可. PQ很易求出为2.4; 求圆心P到直线AB的距离就应作辅助线:过点P作PD⊥AB,垂足为D ,由△PBD∽△ABC求出, 从而得出结论.‎ ‎⑵⊙P与⊙O相切, 两圆的圆心距等于两半径之差, 故只要求出圆心距0P和两圆半径即可求得.‎ ‎27．（9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，‎ 如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．‎ B B B C C C A A A D P E ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，‎ ‎∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．‎ ‎⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．‎ ‎①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点 P（写出作法并保留作图痕迹）；‎ ‎②若△ABC的内心P是该三角形的自相似 点，求该三角形三个内角的度数．‎ ‎【答案】解: ⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴，∴CD=BD．‎ ‎∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．‎ ‎∴E是△ABC的自相似点． ‎ ‎⑵①作图略． 作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．则P为△ABC的自相似点．‎ ‎②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，．‎ ‎∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．‎ ‎∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A， ∠ACB＝2∠BCP=4∠A．‎ ‎∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°． ∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．‎ ‎∴．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．‎ ‎【考点】直角三角形斜边的一半等于斜边的一半, 等腰三角形, 相似三角形, 尺规作图, 三角形内心, 三角形内角和定理。‎ ‎【分析】⑴由直角三角形斜边的一半等于斜边的一半知△CDB是等腰三角形, 从而得对应角∠BCE＝∠ABC．从而由两个都是直角三角形证.‎ ‎⑵①由相似三角形两个角相等的判定, 分别作出两个角昂即可得到. ‎ ‎②由三角形内心是角平分线的交点和相似三角形对应角相等的性质推出三个角之间的关系, 再应用三角形内角和定理求解.‎ ‎28．（11分）问题情境:已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？‎ 数学模型:设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．‎ 探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．‎ ‎1‎ x y O ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎－1‎ ‎－1‎ ① 填写下表，画出函数的图象：‎ x ‎……‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ y ‎……‎ ‎……‎ ‎②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；‎ ‎③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还 可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．‎ 解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．‎ ‎【答案】 解:⑴①‎ x ‎……‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ y ‎……‎ ‎2‎ ‎……‎ 函数的图象如图．‎ ‎②本题答案不唯一，下列解法供参考．‎ 当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2．‎ ‎③==‎ ‎=‎ 当=0，即时，函数的最小值为2． ‎ ‎⑵仿⑴③==‎ ‎=‎ 当=0，即时，函数的最小值为． ‎ ‎⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为． ‎ ‎【考点】画和分析函数的图象, 配方法求函数的最大(小)值．‎ ‎【分析】⑴将x值代入函类数关系式求出y值, 描点作图即可. 然后分析函数图像.‎ ‎⑵仿⑴③=‎ ‎==‎ 所以, 当=0，即时，函数的最小值为 ‎28．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。‎ ‎（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；‎ ‎（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；‎ ‎（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）当∠BAO=45°时，四边形OAPB为正方形 OA=OB=a·cos45°=a ∴P点坐标为（a，a）‎ ‎（2）作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,‎ 设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（0,n）[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°∴∠DAE=∠ABO 在△AOB和△DEA中：‎ ‎ ∴△AOB≌和△DEA（AAS） ‎ ‎ ∴AE=0B=n,DE=OA=m,‎ 则D点坐标为（m+n,m）‎ ‎∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0,n）‎ ‎∴P点坐标为（,）∴PF=OF= ∴∠POF=45°,‎ ‎∴OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；‎ ‎（3）当A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为α，‎ 则0°≤α＜45° h=PF=PA·cosα=a·cosα ‎∵0°≤α＜45° ∴＜cosα≤1 ∴a＜h≤a ‎【考点】正方形性质, 特殊角三角函数, 全等三角形,, 直角梯形．‎ ‎【分析】⑴ 根据已知条件, 用特殊角三角函数可求.‎ ‎ （2）根据已知条件, 假设A点坐标为（m,0）, B点坐标为（0,n）并作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F, 用全等三角形等知识求出点D,P,E,F坐标(用m,n表示), 从而证出PF=OF, 进而∠POF=45°.因此得证.‎ ‎ （3）由（2）知∠OPF=45°,故0°≤∠OPA＜45°,＜cos∠OPA≤1,‎ ‎ 在Rt△APF中PF=PA·cos∠OPA,从而得求.‎ ‎26．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．‎ ‎（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；‎ ‎（2）求△AOB的面积；‎ ‎（3）Q是反比例函数y＝（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．‎ ‎【答案】解：（1）点P在线段AB上，理由如下：‎ ‎ ∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°∴AB是⊙P的直径 ‎∴点P在线段AB上．‎ ‎（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，‎ 由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线，‎ 故S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1×PP2‎ ‎ ∵P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点 ‎∴S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1×2PP2＝2 PP1×PP2＝12．‎ ‎（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON＝S△AOB＝12．‎ ‎∴OA·OB＝OM·ON ∴‎ ‎∵∠AON＝∠MOB ∴△AON∽△MOB ∴∠OAN＝∠OMB ∴AN∥MB．‎ ‎【考点】直径所对的圆周角是直角，三角形中位线，反比例函数，相似三角形，平行．‎ ‎【分析】⑴利用直径所对的圆周角是直角证明AB是⊙P的直径即可。‎ ‎ （2）要求△AOB的面积，就要把OA，OB与P点坐标相联系，过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线，而点P在y＝（x＞0）图象上，从而PP1×PP2＝6．‎ ‎ （3）利用（2）S△MON＝S△AOB＝12推出从而△AON∽△MOB ‎∴∠OAN＝∠OMB ∴AN∥MB．‎ ‎27．（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．‎ ‎ （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；‎ ‎ （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求 出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．‎ ‎【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB ‎∵QE⊥AB，MF⊥BC ∴∠AEQ＝∠MFB＝90°‎ ‎ ∴四边形ABFM、AEQD都是矩形 ∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE ‎ 又∵PQ⊥MN ∴∠EQP＝∠FMN 又∵∠QEP＝∠MFN＝90° ∴△PEQ≌△NFM．‎ ‎ （2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t ‎∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2‎ 由勾股定理，得PQ＝＝‎ ‎∵△PEQ≌△NFM ∴MN＝PQ＝‎ 又∵PQ⊥MN ∴S＝＝＝t2－t＋‎ ‎∵0≤t≤2 ∴当t＝1时，S最小值＝2．‎ 综上：S＝t2－t＋，S的最小值为2．‎ ‎27．（本题满分12分）‎ 情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．‎ 问题探究如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.‎ 拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由. ‎ ‎【答案】解：情境观察 AD（或A′D），90 ‎ 问题探究 结论：EP=FQ. ‎ 证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.‎ ‎∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.‎ ‎∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.‎ 同理AG=FQ. ∴EP=FQ. ‎ 拓展延伸 结论： HE=HF. ‎ 理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.‎ ‎∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，‎ ‎∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，‎ ‎∴∠ABG=∠EAP.‎ ‎∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = . ‎ 同理△ACG∽△FAQ，∴ = . ‎ ‎∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ = . ∴EP=FQ. ‎ ‎∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF ‎ ‎【考点】拼图，旋转，矩形性质，直角三角形两锐角关系，等量代换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】情境观察：易见与BC相等的线段是AD，它们是矩形的对边。‎ ‎ ∠C′AC=1800-∠C′AD-∠C′AB=1800-900=900。‎ ‎ 问题探究：找一个可能与EP和FQ都相等的线段AG。考虑Rt△ABG≌Rt△EAP，这用ASA易证，得出 EP=AG。同样考虑Rt△ACG≌Rt△FAQ，得出FQ=AG。从而得证。‎ ‎ 拓展延伸：与问题探究相仿，只不过将全等改为相似，证出FQ=AG。再证 Rt△EPH≌Rt△FQH，从而得证。‎ ‎28．（本题满分12分）在中，是边的中点，交于点．动点从点出发沿射线以每秒厘米的速度运动．同时，动点从点出发沿射线运动，且始终保持设运动时间为秒（）．‎ ‎（1）与相似吗？以图１为例说明理由；‎ ‎（2）若厘米．‎ ‎①求动点的运动速度；‎ ‎②设的面积为（平方厘米），求与的函数关系式；‎ ‎（3）探求三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．‎ A B P N Q C M A B C N M 图1‎ 图2（备用图）‎ ‎【答案】解：（1） 理由如下： 如图1，‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎（2）cm．‎ 又垂直平分，cm．‎ ‎＝‎4cm．‎ ‎①设点的运动速度为 cm/s．‎ 如图１，当时，由（1）知 即 如图2，易知当时，．‎ 综上所述，点运动速度为‎1 cm/s．‎ ‎②‎ 如图1，当时，‎ ‎．‎ 如图2，当时，,,‎ ‎．‎ A B P N Q C M A B C N M 图1‎ 图2（备用图）‎ D P Q 综上所述，‎ ‎（3）. 理由如下：‎ 如图1，延长至，使，连结、. ‎、互相平分，四边形是平行四边形，.‎ ‎，，．‎ 垂直平分，．‎ ‎【考点】相似三角形的判定,。‎ ‎【分析】（1）由得到 ‎ ‎ ‎ 从而 ‎ （2）①由于厘米，点从点出发沿射线以每秒厘米的速度运动，故点从点出发沿射线到达点的时间为4秒,从而应分两种情况和分别讨论。②分两种情况和，把。‎ ‎ （3）要探求三者之间的数量关系就要把放到一个三角形中，故作辅助线延长至，使，连结、得到，，从而在，‎ ‎27、（2011•镇江）在平面直角坐标系XOY中，一次函数的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．‎ ‎（1）写出A点的坐标和AB的长；‎ ‎（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值．‎ 考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：几何动点问题；分类讨论。‎ 分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可；‎ ‎（2）根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案．‎ 解答：解：（1）∵一次函数的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，‎ ‎∴y=0时，x=﹣4，‎ ‎∴A（﹣4，0），AO=4，‎ ‎∵图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，‎ ‎∴AB=5；‎ ‎（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，==t，‎ 又∠PAQ=∠OAB，‎ ‎∴△APQ∽△AOB，‎ ‎∴∠APQ=∠AOB=90°，‎ ‎∵点P在l1上，‎ ‎∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切，‎ ‎①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：‎ ‎∴，‎ ‎∴PQ=6；‎ 连接QF，则QF=PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB，‎ 得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴QC=，‎ ‎∴a=OQ+QC=，‎ ‎②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=，‎ ‎∴PQ=，‎ 连接QE，则QE=PQ，由△QEC∽△APQ∽△AOB得：=，‎ 六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）‎ ‎24.将抛物线c1：y=沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示.‎ ‎（1）请直接写出抛物线c2的表达式.‎ ‎（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.‎ ‎①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；‎ ‎②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.‎ y x O c1‎ c2‎ ‎ ‎y x O 备用图 ‎25.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：‎ 设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.‎ 活动一：‎ ‎ 如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直. （A‎1A2为第1根小棒）‎ 数学思考：‎ ‎（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”)‎ ‎（2）设AA1=A‎1A2=A‎2A3=1.‎ ‎①=_________度；‎ A1‎ A2‎ A B C A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ a1‎ a2‎ a3‎ 图甲 ‎②若记小棒A2n‎-1A2n的长度为an（n为正整数，如A‎1A2=a1，A‎3A4=a2，…）， 求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.‎ 活动二：‎ 如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A‎1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1.‎ 数学思考：‎ ‎（3）若已经摆放了3根小棒，则1 =_________，2=________， 3=________；（用含 的式子表示）‎ A1‎ A2‎ A B C 图乙 A3‎ A4‎ ‎（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.‎ 六、24．解：（1）. ………………2分 ‎（2）①令，得：，‎ ‎ 则抛物线c1与轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）.‎ ‎∴A（-1-m，0），B（1-m，0）.同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）.‎ 当时，如图①，，∴. ……4分 当时，如图②，， ∴. …………6分 y x O A D B E M N 图①‎ y x O A D B E M N 图②‎ ‎∴当或2时，B，D是线段AE的三等分点. ‎ ‎②存在. ………………7分 方法一 理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：.‎ 即M，N关于原点O对称， ∴. ‎ ‎∵， ∴A，E关于原点O对称， ∴，‎ ‎∴四边形ANEM为平行四边形. ………………8分 要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足,‎ 即， ∴.‎ ‎∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. …………10分 方法二 理由：连接AN、NE、EM、MA. 依题意可得：.‎ 即M，N关于原点O对称， ∴. ‎ ‎∵， ∴A，E关于原点O对称， ∴，‎ ‎∴四边形ANEM为平行四边形. ………………8分 ‎∵，‎ ‎，‎ ‎，‎ 若，则，∴.‎ 此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°.‎ ‎∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. …………10分 ‎25.解: （１）能． ………………1分 ‎ （２）① 22.5°. ………………2分 ‎ ②方法一 ‎∵A A1=A‎1A2=A‎2A3=1，A‎1A2⊥A‎2A3，‎ ‎ ∴A‎1A3=，AA3=.‎ ‎ 又∵A‎2A3⊥A‎3A4 ，∴A‎1A2∥A‎3A4.‎ 同理：A‎3A4∥A‎5A6，‎ ‎∴∠A=∠AA‎2A1=∠AA‎4A3=∠AA‎6A5，‎ ‎∴AA3=A‎3A4，AA5=A‎5A6‎ ‎ ∴a2=A‎3A4=AA3=，‎ ‎ a3=AA3+ A‎3A5=a2+ A‎3A5. ………………3分 ‎∵A‎3A5=a2，‎ ‎ ∴a3=A‎5A6=AA5=. ………………4分 方法二 ‎∵A A1=A‎1A2=A‎2A3=1，A‎1A2⊥A‎2A3，‎ ‎ ∴A‎1A3=，AA3=.‎ ‎ 又∵A‎2A3⊥A‎3A4 ，∴A‎1A2∥A‎3A4.‎ 同理：A‎3A4∥A‎5A6.‎ ‎∴∠A‎2A3A4=∠A‎4A5A6=90°，∠A‎2A4A3=∠A‎4 A6A5，‎ ‎ ∴△A‎2A3A4∽△A‎4A5A6，‎ ‎ ∴，∴a3=. ………………4分 ‎ ………………5分 ‎（３） ………………6分 ‎ ………………7分 ‎ ………………8分 ‎（４）由题意得：‎ ‎ ∴. ………………10分 ‎25.某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：‎ ‎ 定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.‎ ‎ 结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：‎ ‎ 甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、________个、________个大小不同的内接正方形.‎ ‎ 乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.‎ ‎ 丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.‎ 任务：（1）填充甲同学结论中的数据；‎ ‎ （2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；‎ ‎ （3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明（如图，设锐角△ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.若你对本小题证明有困难，可直接用“”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.‎ A B C D E F 图①‎ ‎25.解: （１）1,2,3. ………………3分 ‎ （２）乙同学的结果不正确. ………………4分 ‎ 例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，则.‎ A B C D E F H 图②‎ ‎ 如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形.设它的边长为a,则依题意可得：，∴.‎ ‎ 如图②，四边形DEFH 两个顶点都在斜边上的内接正方形.设它的边长为,则依题意可得：，∴.‎ ‎ ∴. ………………7分 ‎（３）丙同学的结论正确.‎ ‎ 设△ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.‎ ‎ 依题意可得：， ∴.同理 .‎ ‎ ∵ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎=‎ ‎ 又∵， ∴，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小. ………………10分