2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷(含解析）

2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷(含解析）

‎2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分）‎ ‎1．（3分）﹣8的倒数是（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎8‎ B．﹣8 C．8 D．‎‎1‎‎8‎ ‎2．（3分）下列运算一定正确的是（　　）‎ A．a2+a2＝a4 B．a2•a4＝a8 ‎ C．（a2）4＝a8 D．（a+b）2＝a2+b2‎ ‎3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A．扇形 B．正方形 ‎ C．等腰直角三角形 D．正五边形 ‎4．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．（3分）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（　　）‎ A．25° B．20° C．30° D．35°‎ 第22页（共22页）‎ ‎6．（3分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（　　）‎ A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3‎ ‎7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　）‎ A．10° B．20° C．30° D．40°‎ ‎8．（3分）方程‎2‎x+5‎‎=‎‎1‎x-2‎的解为（　　）‎ A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9‎ ‎9．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是（　　）‎ A．‎2‎‎3‎ B．‎1‎‎2‎ C．‎1‎‎3‎ D．‎‎1‎‎9‎ ‎10．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）‎ A．AEEC‎=‎EFCD B．EFCD‎=‎EGAB C．AFFD‎=‎BGGC D．‎CGBC‎=‎AFAD 二、填空题（每小题3分，共计30分）‎ ‎11．（3分）将数4790000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎12．（3分）在函数y‎=‎xx-7‎中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎13．（3分）已知反比例函数y‎=‎kx的图象经过点（﹣3，4），则k的值为　 　．‎ ‎14．（3分）计算‎24‎‎+‎6‎1‎‎6‎的结果是　 　．‎ ‎15．（3分）把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是　 　．‎ 第22页（共22页）‎ ‎16．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　 　．‎ ‎17．（3分）不等式组x‎3‎‎≤-1，‎‎3x+5＜2‎的解集是　 　．‎ ‎18．（3分）一个扇形的面积是13πcm2，半径是6cm，则此扇形的圆心角是　 　度．‎ ‎19．（3分）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6‎3‎，CD＝1，则BC的长为　 　．‎ ‎20．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为　 　．‎ 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）‎ ‎21．（7分）先化简，再求代数式（1‎-‎‎2‎x+1‎）‎÷‎x‎2‎‎-1‎‎2x+2‎的值，其中x＝4cos30°﹣1．‎ ‎22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上；‎ ‎（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG，点G在小正方形的顶点上，且△CDG的周长为10‎+‎‎10‎．连接EG，请直接写出线段EG的长．‎ ‎23．（8分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%．请你根据图中提供的信息回答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？‎ 第22页（共22页）‎ ‎（2）请通过计算补全条形统计图；‎ ‎（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．‎ ‎24．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD、AE．‎ ‎（1）如图1，求证：AD＝AE；‎ ‎（2）如图2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．‎ ‎25．（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．‎ ‎（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；‎ ‎（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？‎ ‎26．（10分）已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．‎ ‎（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD；‎ ‎（2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为‎9‎‎2‎‎5‎，求线段CG 第22页（共22页）‎ 的长．‎ ‎27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y‎=‎‎3‎‎4‎x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．‎ ‎（1）如图1，求直线AB的解析式；‎ ‎（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求PEOD的值；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG‎=‎‎2‎AF，求点P的坐标．‎ 第22页（共22页）‎ ‎2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共计30分）‎ ‎1．（3分）﹣8的倒数是（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎8‎ B．﹣8 C．8 D．‎‎1‎‎8‎ ‎【解答】解：﹣8的倒数是‎-‎‎1‎‎8‎，‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）下列运算一定正确的是（　　）‎ A．a2+a2＝a4 B．a2•a4＝a8 ‎ C．（a2）4＝a8 D．（a+b）2＝a2+b2‎ ‎【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不合题意；‎ B、a2•a4＝a6，原计算错误，故此选项不合题意；‎ C、（a2）4＝a8，原计算正确，故此选项合题意；‎ D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A．扇形 B．正方形 ‎ C．等腰直角三角形 D．正五边形 ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；‎ B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（　　）‎ A．25° B．20° C．30° D．35°‎ ‎【解答】解：∵AB为圆O的切线，‎ ‎∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，‎ ‎∵∠ADC＝35°，‎ ‎∴∠AOB＝2∠ADC＝70°，‎ ‎∴∠ABO＝90°﹣70°＝20°．‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（　　）‎ A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3‎ ‎【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；‎ 由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式 第22页（共22页）‎ 为：y＝（x﹣5）2+3；‎ 故选：D．‎ ‎7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　）‎ A．10° B．20° C．30° D．40°‎ ‎【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，‎ ‎∴∠C＝40°，‎ ‎∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，‎ ‎∴∠AB'B＝∠B＝50°，‎ ‎∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°，‎ 故选：A．‎ ‎8．（3分）方程‎2‎x+5‎‎=‎‎1‎x-2‎的解为（　　）‎ A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9‎ ‎【解答】解：方程的两边同乘（x+5）（x﹣2）得：‎ ‎2（x﹣2）＝x﹣5，‎ 解得x＝9，‎ 经检验，x＝9是原方程的解．‎ 故选：D．‎ ‎9．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是（　　）‎ A．‎2‎‎3‎ B．‎1‎‎2‎ C．‎1‎‎3‎ D．‎‎1‎‎9‎ ‎【解答】解：∵袋子中一共有9个除颜色不同外其它均相同的小球，其中红球有6个，‎ ‎∴摸出的小球是红球的概率是‎6‎‎9‎‎=‎‎2‎‎3‎，‎ 故选：A．‎ ‎10．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF 第22页（共22页）‎ ‎∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）‎ A．AEEC‎=‎EFCD B．EFCD‎=‎EGAB C．AFFD‎=‎BGGC D．‎CGBC‎=‎AFAD ‎【解答】解：∵EF∥BC，‎ ‎∴AFFD‎=‎AEEC，‎ ‎∵EG∥AB，‎ ‎∴AEEC‎=‎BGGC，‎ ‎∴AFFD‎=‎BGGC，‎ 故选：C．‎ 二、填空题（每小题3分，共计30分）‎ ‎11．（3分）将数4790000用科学记数法表示为　4.79×106　．‎ ‎【解答】解：4790000＝4.79×106，‎ 故答案为：4.79×106．‎ ‎12．（3分）在函数y‎=‎xx-7‎中，自变量x的取值范围是　x≠7　．‎ ‎【解答】解：由题意得x﹣7≠0，‎ 解得x≠7．‎ 故答案为：x≠7．‎ ‎13．（3分）已知反比例函数y‎=‎kx的图象经过点（﹣3，4），则k的值为　﹣12　．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y‎=‎kx的图象经过点（﹣3，4），‎ ‎∴k＝﹣3×4＝﹣12，‎ 第22页（共22页）‎ 故答案为：﹣12．‎ ‎14．（3分）计算‎24‎‎+‎6‎1‎‎6‎的结果是　‎3‎‎6‎　．‎ ‎【解答】解：原式‎=2‎6‎+‎6‎=3‎‎6‎．‎ 故答案为：‎3‎‎6‎．‎ ‎15．（3分）把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是　n（m+3）2　．‎ ‎【解答】解：原式＝n（m2+6m+9）‎ ‎＝n（m+3）2．‎ 故答案为：n（m+3）2．‎ ‎16．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　（1，8）　．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，‎ ‎∴顶点坐标是（1，8）．‎ 故答案为：（1，8）．‎ ‎17．（3分）不等式组x‎3‎‎≤-1，‎‎3x+5＜2‎的解集是　x≤﹣3　．‎ ‎【解答】解：x‎3‎‎≤-1①‎‎3x+5＜2②‎，‎ 由①得，x≤﹣3；‎ 由②得，x＜﹣1，‎ 故此不等式组的解集为：x≤﹣3．‎ 故答案为：x≤﹣3．‎ ‎18．（3分）一个扇形的面积是13πcm2，半径是6cm，则此扇形的圆心角是　130　度．‎ ‎【解答】解：设这个扇形的圆心角为n°，‎ nπ×‎‎6‎‎2‎‎360‎‎=‎‎13π，‎ 解得，n＝130，‎ 故答案为：130．‎ ‎19．（3分）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6‎3‎，CD＝1，则BC的长为　5或7　．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝6‎3‎，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴BD‎=ADtanB=‎6‎‎3‎‎3‎=‎6，‎ 如图1、图2所示：‎ BC＝BD+CD＝6+1＝7，‎ BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，‎ 故答案为：7或5．‎ ‎20．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为　2‎2‎　．‎ ‎【解答】解：设BE＝x，则CD＝2x，‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，‎ ‎∵∠DAE＝∠DEA，‎ ‎∴DE＝DA＝2x，‎ ‎∴BD＝3x，‎ ‎∴OB＝OD‎=‎‎3‎‎2‎x，‎ ‎∵OE+BE＝BO，‎ ‎∴1+x‎=‎‎3‎‎2‎x，解得x＝2，‎ 即AB＝4，OB＝3，‎ 在Rt△AOB中，OA‎=‎4‎‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎=‎‎7‎，‎ 在Rt△AOE中，AE‎=‎1‎‎2‎‎+(‎‎7‎‎)‎‎2‎=‎2‎2‎．‎ 第22页（共22页）‎ 故答案为2‎2‎．‎ 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）‎ ‎21．（7分）先化简，再求代数式（1‎-‎‎2‎x+1‎）‎÷‎x‎2‎‎-1‎‎2x+2‎的值，其中x＝4cos30°﹣1．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎x-1‎x+1‎•‎‎2(x+1)‎‎(x-1)(x+1)‎ ‎=‎‎2‎x+1‎‎，‎ ‎∵x＝4cos30°﹣1＝4‎×‎3‎‎2‎-‎1＝2‎3‎‎-‎1，‎ ‎∴原式‎=‎2‎‎2‎3‎-1+1‎=‎‎3‎‎3‎．‎ ‎22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上；‎ ‎（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG，点G在小正方形的顶点上，且△CDG的周长为10‎+‎‎10‎．连接EG，请直接写出线段EG的长．‎ ‎【解答】解：（1）如图，正方形ABEF即为所求．‎ ‎（2）如图，△CDG即为所求．EG‎=‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎‎5‎．‎ ‎23．（8分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%．请你根据图中提供的信息回答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）请通过计算补全条形统计图；‎ 第22页（共22页）‎ ‎（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．‎ ‎【解答】解：（1）15÷30%＝50（名），‎ 答：在这次调查中，一共抽取了50名学生；‎ ‎（2）50﹣15﹣20﹣5＝10（名），补全条形统计图如图所示：‎ ‎（3）800‎×‎20‎‎50‎=‎320（名），‎ 答：冬威中学800名学生中最喜欢剪纸小组的学生有320名．‎ ‎24．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD、AE．‎ ‎（1）如图1，求证：AD＝AE；‎ ‎（2）如图2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB＝AC，‎ ‎∵∠B＝∠C，‎ 在△ABD和△ACE中，‎ 第22页（共22页）‎ AB=AC‎∠B=∠CBD=CE‎，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SAS），‎ ‎∴AD＝AE；‎ ‎（2）∵AD＝AE，‎ ‎∴∠ADE＝∠AED，‎ ‎∵BF∥AC，‎ ‎∴∠FDB＝∠C＝45°，‎ ‎∵∠ABC＝∠C＝∠DAE＝45°，∠BDF＝∠ADE，‎ ‎∴∠F＝∠BDF，∠BEA＝∠BAE，∠CDA＝∠CAD，‎ ‎∴满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE，△DBF．‎ ‎25．（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．‎ ‎（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；‎ ‎（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？‎ ‎【解答】解：（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意可得：‎ x+3y=136‎‎2x+y=132‎‎，‎ 解得：x=52‎y=28‎，‎ 答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；‎ ‎（2）设大地球仪为a台，则小地球仪为（30﹣a）台，根据题意可得：‎ ‎52a+28（30﹣a）≤960，‎ 解得：a≤5，‎ 答：最多可以购买5个大地球仪．‎ ‎26．（10分）已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．‎ ‎（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD；‎ ‎（2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：‎ 第22页（共22页）‎ BE＝OH；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为‎9‎‎2‎‎5‎，求线段CG的长．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AD为⊙O的直径，AD⊥BC，‎ ‎∴BE＝EC，‎ ‎∴AB＝AC，‎ 又∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴∠BAD＝∠ABO，‎ ‎∴∠BAD＝∠ABO＝∠CAD，‎ ‎∵∠BFC＝∠BAC+∠ABO，‎ ‎∴∠BFC＝∠BAD+∠EAD+∠ABO＝3∠CAD；‎ ‎（2）如图2，连接AG，‎ ‎∵AD是直径，‎ ‎∴∠AGD＝90°，‎ ‎∵点H是DG中点，‎ ‎∴DH＝HG，‎ 又∵AO＝DO，‎ ‎∴OH∥AG，AG＝2OH，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴∠AGD＝∠OHD＝90°，‎ ‎∵DG∥BF，‎ ‎∴∠BOE＝∠ODH，‎ 又∵∠OEB＝∠OHD＝90°，BO＝DO，‎ ‎∴△BOE≌△ODH（AAS），‎ ‎∴BE＝OH；‎ ‎（3）如图3，过点F作FN⊥AD，交AD于N，‎ 设DG＝DE＝2x，‎ ‎∴DH＝HG＝x，‎ ‎∵△BOE≌△ODH，‎ ‎∴OE＝DH＝x，‎ ‎∴OD＝3x＝OA＝OB，‎ ‎∴BE‎=OB‎2‎-OE‎2‎=‎9x‎2‎-x‎2‎=‎2‎2‎x，‎ ‎∵∠BAE＝∠CAE，‎ ‎∴tan∠BAE＝tan∠CAE‎=BEAE=‎NFAN，‎ ‎∴‎2‎2‎x‎4x‎=‎NFAN，‎ ‎∴AN‎=‎‎2‎NF，‎ ‎∵∠BOE＝∠NOF，‎ ‎∴tan∠BOE＝tan∠NOF‎=BEOE=‎NFON，‎ ‎∴‎2‎2‎xx‎=‎NFON，‎ ‎∴ON‎=‎‎2‎‎4‎NF，‎ ‎∴AO＝AN+ON‎=‎‎5‎‎2‎‎4‎NF，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∵△AOF的面积为‎9‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎×‎AO×NF‎=‎1‎‎2‎×‎‎5‎‎2‎‎4‎NF2‎=‎‎9‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴NF‎=‎‎6‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴AO‎=‎‎5‎‎2‎‎4‎NF＝3＝3x，‎ ‎∴x＝1，‎ ‎∴BE＝2‎2‎‎=‎OH，AE＝4，DG＝DE＝2，‎ ‎∴AC‎=AE‎2‎+CE‎2‎=‎16+8‎=‎2‎6‎，‎ 如图3，连接AG，过点A作AM⊥CG，交GC的延长线于M，‎ 由（2）可知：AG＝2OH＝4‎2‎，‎ ‎∵四边形ADGC是圆内接四边形，‎ ‎∴∠ACM＝∠ADG，‎ 又∵∠AMC＝∠AGD＝90°，‎ ‎∴△ACM∽△ADG，‎ ‎∴ADAC‎=AGAM=‎DGCM，‎ ‎∴‎6‎‎2‎‎6‎‎=‎4‎‎2‎AM=‎‎2‎CM，‎ ‎∴CM‎=‎‎2‎‎6‎‎3‎，AM‎=‎‎8‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴GM‎=AG‎2‎-AM‎2‎=‎32-‎‎64‎‎3‎=‎‎4‎‎6‎‎3‎，‎ ‎∴CG＝GM﹣CM‎=‎‎2‎‎6‎‎3‎．‎ ‎27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y‎=‎‎3‎‎4‎x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．‎ ‎（1）如图1，求直线AB的解析式；‎ 第22页（共22页）‎ ‎（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求PEOD的值；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG‎=‎‎2‎AF，求点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，‎ ‎∴y＝9时，9‎=‎‎3‎‎4‎x，解得x＝12，‎ ‎∴C（12，9），‎ ‎∵AC⊥x轴，‎ ‎∴A（12，0），‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴B（0，﹣12），‎ 设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有b=-12‎‎12k+b=0‎，‎ 解得k=1‎b=-12‎，‎ ‎∴直线AB的解析式为y＝x﹣12．‎ ‎（2）如图2中，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，‎ ‎∴四边形OACM是矩形，‎ ‎∴AO＝CM＝12，‎ ‎∵NC＝OM＝9，‎ ‎∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，‎ ‎∴N（3，9），‎ ‎∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），‎ ‎∴OD＝4a，‎ 把x＝4a，代入y‎=‎‎3‎‎4‎x中，得到y＝3a，‎ ‎∴E（4a，3a），‎ ‎∴DE＝3a，‎ 把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，‎ ‎∴P（4a，12a），‎ ‎∴PD＝12a，‎ ‎∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，‎ ‎∴PEOD‎=‎‎9‎‎4‎．‎ ‎（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．‎ 第22页（共22页）‎ ‎∵GF∥x轴，‎ ‎∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR，‎ ‎∴∠OFR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°，‎ ‎∴四边形OSRA是矩形，‎ ‎∴OS＝AR，‎ AR＝OA＝12，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴∠OBA＝∠OAB＝45°，‎ ‎∴∠FAR＝90°﹣45°＝45°，‎ ‎∴∠FAR＝∠AFR，‎ ‎∴FR＝AR＝OS，‎ ‎∵OF⊥FQ，‎ ‎∴∠OSR＝∠R＝∠OFQ＝90°，‎ ‎∴∠OFS+∠QFR＝90°，‎ ‎∵∠QFR+∠FQR＝90°，‎ ‎∴∠OFS＝∠FQR，‎ ‎∴△OFS≌△FQR（AAS），‎ ‎∴SF＝QR，‎ ‎∵∠SFB＝∠AFR＝45°，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴∠SBF＝∠SFB＝45°，‎ ‎∴SF＝SB＝QR，‎ ‎∵∠SGB＝∠QGR，∠BSG＝∠R，‎ ‎∴△BSG≌△QRG（AAS），‎ ‎∴SG＝GR＝6，‎ 设FR＝m，则AR＝m，AF‎=‎‎2‎m，QR＝SF＝12﹣m，‎ ‎∵GQ﹣FG‎=‎‎2‎AF，‎ ‎∴GQ‎=‎2‎×‎‎2‎m+6﹣m＝m+6，‎ ‎∵GQ2＝GR2+QR2，‎ ‎∴（m+6）2＝62+（12﹣m）2，‎ 解得m＝4，‎ ‎∴FS＝8，AR＝4，‎ ‎∵∠OAB＝∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，‎ ‎∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°，‎ ‎∴四边形OSFT是矩形，‎ ‎∴OT＝SF＝8，‎ ‎∵∠DHE＝∠DPH，‎ ‎∴tan∠DHE＝tan∠DPH，‎ ‎∴DEDH‎=‎DHPD，‎ 由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，‎ ‎∴‎3aDH‎=‎DH‎12a，‎ ‎∴DH＝6a，‎ ‎∴tan∠PHD‎=PDDH=‎12a‎6a=‎2，‎ ‎∵∠PHD＝∠FHT，‎ ‎∴tan∠FHT‎=TFHT=‎2，‎ ‎∴HT＝2，‎ ‎∵OT＝OD+DH+HT，‎ ‎∴4a+6a+2＝8，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴a‎=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴OD‎=‎‎12‎‎5‎，PD＝12‎×‎3‎‎5‎=‎‎36‎‎5‎，‎ ‎∴P（‎12‎‎5‎，‎36‎‎5‎）．‎ 第22页（共22页）‎