2013青岛中考数学题(含答案)

2013青岛中考数学题(含答案)

山东省青岛市2013年中考数学试卷 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）‎ ‎1．（3分）（2013•青岛）﹣6的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣6‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎﹣‎ D．‎ ‎2．（3分）（2013•青岛）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎3．（3分）（2013•青岛）如图所示的几何体的俯视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎4．（3分）（2013•青岛）“十二五”以来，我国积极推进国家创新体系建设．国家统计局《2012年国民经济和社会发展统计公报》指出：截止2012年底，国内有效专利达8750000件，将8750000件用科学记数法表示为（　　）件．‎ ‎　‎ A．‎ ‎8.75×104‎ B．‎ ‎8.75×105‎ C．‎ ‎8.75×106‎ D．‎ ‎8.75×107‎ ‎5．（3分）（2013•青岛）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：现将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有（　　）个．‎ ‎　‎ A．‎ ‎45‎ B．‎ ‎48‎ C．‎ ‎50‎ D．‎ ‎55‎ ‎6．（3分）（2013•青岛）已知矩形的面积为36cm2，相邻的两条边长分别为xcm和ycm，则y与x之间的函数图象大致是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．（3分）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ r＜6‎ B．‎ r=6‎ C．‎ r＞6‎ D．‎ r≥6‎ ‎8．（3分）（2013•青岛）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（，n）‎ B．‎ ‎（m，n）‎ C．‎ ‎（m，）‎ D．‎ ‎（）‎ 二、填空题（本题满分18分共有6道题，每小题3分）‎ ‎9．（3分）（2013•青岛）计算：2﹣1+=　　．‎ ‎10．（3分）（2013•青岛）某校对甲、乙两名跳高运动员的近期调高成绩进行统计分析，结果如下：=1.69m，=1.69m，S2甲=0.0006，S2乙=0.00315，则这两名运动员中　 　的成绩更稳定．‎ ‎11．（3分）（2013•青岛）某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元．设这两年该企业交税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程　 　．‎ ‎12．（3分）（2013•青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=﹣x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是　 　．‎ ‎13．（3分）（2013•青岛）如图，AB是⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是　 　．‎ ‎14．（3分）（2013•青岛）要把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要切3刀，因为这8个小正方体都只有三个面是现成的．其他三个面必须用三刀切3次才能切出来．那么，要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需用刀切　 　次；分割成64个小正方体，至少需要用刀切　 　次．‎ 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写做法，但要保留作图痕迹。‎ ‎15．（4分）（2013•青岛）已知：如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点．‎ 求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等．（在题目的原图中完成作图）‎ ‎ ‎ 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎16．（8分）（2013•青岛）（1）解方程组：； （2）化简：（1+）•．‎ ‎17．（6分）（2013•青岛）请根据所给信息，帮助小颖同学完成她的调查报告 ‎2013年4月光明中学八年级学生每天干家务活平均时间的调查报告 调查目的 ‎ 了解八年级学生每天干家务活的平均时间 ‎ 光明中学八年级学生干家务活的平均时间 调查内容 调查方式 ‎ 抽样调查 调查步骤 ‎ 1．数据的收集 ‎（1）在光明中学八年级每班随机调查5名学生 ‎（2）统计这些学生2013年4月每天干家务活的平均时间（单位：min）结果如下（其中A表示10min，B表示20min，C表示30min）‎ ‎ B ‎ A ‎ A ‎ B ‎ B ‎ B ‎ B ‎ A ‎ C ‎ B B ‎ ‎ A ‎ B ‎ B ‎ C ‎ A ‎ B ‎ A ‎ A ‎ C ‎ A ‎ B ‎ B ‎ C ‎ B ‎ A ‎ B ‎ B ‎ A ‎ C ‎2．数据的处理：‎ 以频数分布直方图的形式呈现上述统计结果 请补全频数分布直方图 ‎3．数据的分析：‎ 列式计算所随机调查学生每天干家务活平均时间的平均数（结果保留整数）‎ 调查结论 ‎ 光明中学八年级共有240名学生，其中大约有　 名学生每天干家务活的平均时间是20min ‎18．（6分）（2013•青岛）小明和小刚做摸纸牌游戏．如图，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是2和3，将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏．当两张牌的牌面数字之积为奇数，小明的2分，否则小刚得1分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．‎ ‎19．（6分）（2013•青岛）某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为6600元，第二次捐款总额为7260元，第二次捐款人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等．求第一次的捐款人数．‎ ‎20．（8分）（2013•青岛）如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°．‎ ‎（1）求CD与AB之间的距离；‎ ‎（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．‎ ‎（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）‎ ‎21．（8分）（2013•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．‎ ‎（1）求证：△ABM≌△DCM；‎ ‎（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；‎ ‎（3）当AD：AB=　 　时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）‎ ‎22．（10分）（2013•青岛）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．‎ ‎（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；‎ ‎（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：‎ 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；‎ 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．‎ ‎23．（10分）（2013•青岛）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．‎ 这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．‎ ‎【研究速算】‎ 提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？‎ 几何建模：‎ 用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：‎ ‎（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．‎ ‎（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．‎ 用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．‎ 归纳提炼：‎ 两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）　 ．‎ ‎【研究方程】‎ 提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35=0（x＞0）？‎ 几何建模：‎ ‎（1）变形：x（x+2）=35．‎ ‎（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4‎ ‎（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．‎ 即（x+x+2）2=4x（x+2）+22‎ ‎∵x（x+2）=35‎ ‎∴（x+x+2）2=4×35+22‎ ‎∴（2x+2）2=144‎ ‎∵x＞0‎ ‎∴x=5‎ 归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．‎ 要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）‎ ‎【研究不等关系】‎ 提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？‎ 几何建模：‎ ‎（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割 ‎（2）变形：2y+5=（y+3）+（y+2）‎ ‎（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5‎ 归纳提炼：‎ 当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．‎ 根据题意，设a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）‎ ‎24．（12分）（2013•青岛）已知：如图，▱ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？‎ ‎（2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式：‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．‎ ‎（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．‎ 山东省青岛市2013年中考数学试卷 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）‎ ‎1．B．2．D．3．A．4．C．5．A．6．A．7．C．8．D．‎ 二、填空题（本题满分18分共有6道题，每小题3分）‎ ‎9．5 10．甲．11．40（1+x）2=48.4．12．k=﹣2‎ ‎13．﹣　．‎ ‎14．6；9．‎ 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎17．解：从图表中可以看出C的学生数是5人，‎ 如图：‎ 每天干家务活平均时间是：（10×10+15×20+5×30）÷30≈18（min）；‎ 根据题意得：240×=120（人），‎ 光明中学八年级共有240名学生，其中大约有120名学生每天干家务活的平均时间是20min；‎ 故答案为：120．‎ ‎18．解：根据题意，画出树状图如下：‎ 一共有4种情况，积是偶数的有3种情况，积是奇数的有1种情况，‎ 所以，P（小明胜）=×2=，‎ P（小刚胜）=×1=，‎ ‎∵≠，‎ ‎∴这个游戏对双方不公平．‎ ‎19．解：设第一次的捐款人数是x人，根据题意得：‎ ‎=，‎ 解得：x=300，‎ 经检验x=300是原方程的解，‎ ‎20．解：（1）CD与AB之间的距离为x，‎ 则在Rt△BCF和Rt△ADE中，‎ ‎∵=tan37°，=tan67°，‎ ‎∴BF==x，AE==x，‎ 又∵AB=62，CD=20，‎ ‎∴x+x+20=62，‎ 解得：x=24，‎ 答：CD与AB之间的距离为24米；‎ ‎（2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，‎ ‎∵BC===40，‎ AD===26，‎ ‎∴AD+DC+CB﹣AB=40+20+26﹣62=24（米），‎ 答：他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走24米．‎ ‎21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB=DC，∠A=∠D=90°，‎ ‎∵M为AD中点，‎ ‎∴AM=DM，‎ 在△ABM和△DCM，‎ ‎∴△ABM≌△DCM（SAS）；‎ ‎（2）答：四边形MENF是菱形．‎ 证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，‎ ‎∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM，‎ ‎∴NE=FM，NE∥FM，‎ ‎∴四边形MENF是平行四边形，‎ ‎∵△ABM≌△DCM，‎ ‎∴BM=CM，‎ ‎∵E、F分别是BM、CM的中点，‎ ‎∴ME=MF，‎ ‎∴平行四边形MENF是菱形；‎ ‎（3）解：当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．‎ 理由是：∵M为AD中点，‎ ‎∴AD=2AM，‎ ‎∵AD：AB=2：1，‎ ‎∴AM=AB，‎ ‎∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45°，‎ 同理∠DMC=45°，‎ ‎∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°，‎ ‎∵四边形MENF是菱形，‎ ‎∴菱形MENF是正方形，‎ 故答案为：2：1．‎ ‎22．解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，‎ 则w=（x﹣20）（﹣10x+500）‎ ‎=﹣10x2+700x﹣10000；‎ ‎（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．‎ ‎∵﹣10＜0，‎ ‎∴函数图象开口向下，w有最大值，‎ 当x=35时，wmax=2250，‎ 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；‎ ‎（3）甲方案利润高．理由如下：‎ 甲方案中：20＜x≤30，‎ 故当x=30时，w有最大值，‎ 此时w甲=2000；‎ 乙方案中：，‎ 故x的取值范围为：45≤x≤49，‎ ‎∵函数w=﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为x=35，‎ ‎∴当x=45时，w有最大值，‎ 此时w乙=1250，‎ ‎∵w甲＞w乙，‎ ‎∴甲方案利润更高．‎ ‎23．‎ 归纳提炼：‎ 十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果．‎ ‎【研究方程】‎ 归纳提炼：‎ 画四个长为x+b，宽为x的矩形，构造答图1，则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式：（x+x+b）2或四个长为x+b，宽为x的矩形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积．‎ 即：（x+x+b）2=4x（x+b）+b2‎ ‎∵x（x+b）=c，‎ ‎∴（x+x+b）2=4c+b2‎ ‎∴（2x+b）2=4c+b2‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴x=．‎ ‎【研究不等关系】‎ 归纳提炼：‎ ‎（1）画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按答图2方式分割．‎ ‎（2）变形：a+b=（2+m）+（2+n）‎ ‎（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n），阴影部分面积可表示为2+m与2+n的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．‎ ‎　‎ ‎24‎ 解答：‎ 解：（1）∵当AP=PD时，四边形AQDM是平行四边形，‎ 即3t=3﹣3t，‎ t=，‎ ‎∴当t=s时，四边形AQDM是平行四边形．‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴△AMP∽△DQP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AM=t，‎ ‎∵MN⊥BC，‎ ‎∴∠MNB=90°，‎ ‎∵∠B=45°，‎ ‎∴∠BMN=45°=∠B，‎ ‎∴BN=MN，‎ ‎∵BM=1+t，‎ 在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=（1+t），‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∵MN⊥BC，‎ ‎∴MN⊥AD，‎ ‎∴y=×AP×MN ‎=•3t•（1+t）‎ 即y与t之间的函数关系式为y=t2+t（0＜t＜1）．‎ ‎（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．‎ 此时t2+t=×3×，‎ 整理得：t2+t﹣1=0，‎ 解得t1=，t2=（舍去）‎ ‎∴当t=s时，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．‎ ‎（4）存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，‎ 理由是：假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴△APW∽△CNW，‎ ‎∴=，‎ 即=或=，‎ ‎∴t=或，‎ ‎∵两数都在0＜t＜1范围内，即都符合题意，‎ ‎∴当t=s或s时，NP与AC的交点把线段AC分成的两部分．‎