课改实验区中考数学中的格点图形

课改实验区中考数学中的格点图形

‎2006年课改实验区中考数学中的格点图形 网格是学生从小就熟悉的图形，在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，这和新课程的理念相符合，因此它也成为近几年新课程中考的热点问题．‎ 格点图形问题常见的题型有：‎ 一、考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．‎ ‎【例1】（2006，大连）如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标是（　　　）． ‎ A．(1， 2) ； B．(2， 1) ； C．(－1， 2) ； D．(1，－2)．‎ ‎[解析] 过点E向轴画垂线，垂足在轴上对应的实数是1，因此点E的横坐标为1；同理，过点E向轴画垂线，点E的纵坐标为2．所以点E的坐标为(1， 2)．选A．‎ ‎【例2】（2006，苏州）如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)，则白棋⑨的位置应记为___________ ． ‎ ‎[解析] 这是一道用两个有序量来表达点的位置的情景题目，题目已经确定了两个量的顺序，因此白棋⑨的位置应记为(D，6)．‎ ‎【例3】(2006,青岛) 已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于y轴对称，那么点A的对应点A'的坐标为（ ）．‎ A．(－4，2)； 　 B．(－4，－2)；　 C．(4，－2)； 　 D．(4，2) ．‎ ‎[解析] 根据轴对称的性质， ‎ y轴垂直平分线段AA'，因此点A与点A'的横坐标互为相反数，纵坐标相等．点A(－4，2) ，因此A'(4，2)．选D．‎ 二、在网格中运用勾股定理进行计算．‎ ‎【例4】（2006，河北）图7是由边长为‎1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中 所示的折线从A→B→C所走的路程为_______m．（结果保留根号）‎ A B C ‎  ‎ ‎1m ‎[解析] 推导两点间的距离公式是以勾股定理为基础的，网格中两个格点间的距离当然离不开构造直角三角形，可以看到，AB、BC分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，容易计算AB+BC=．‎ ‎【例5】（2006，海南）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是( ).‎ ‎ A. ； B. ； C. ； D. ．‎ ‎ ‎ ‎[解析] 本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．选C．‎ ‎【例6】（2006，福州）如图5，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC 边上的高是（ ）．‎ A． ； B． ； C． ； D． ．‎ ‎[解析] 这是一道比较复杂的计算题，要借用△ABC的面积来计算AC 边上的高．以AC、AB、BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1、1、，因此△ABC的面积为；用勾股定理计算AC的长为，因此AC 边上的高为．选C．‎ ‎【例7】（2006，苏州）如图1，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点 坐标为(2，－1)，则△ABC的面积为＿＿＿＿平方单位．‎ ‎ ‎ ‎[解析] 如图2，在网格中构造不规则三角形的外接矩形，是计算不规则三角形面积常用的办法．容易计算△ABC的面积为7平方单位．‎ ‎【例8】（2006，广州）如图1，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图2的图案，则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的( )．‎ ‎ 图1 图2‎ ‎[解析] 题目中的图2是对思维的干扰，如果直接提问“图1中小正方形的面积是大正方形面积的几分之几”，问题就变得简单明了．在图1中可以体会到，小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三角形的面积之和，计算得小正方形的面积等于，因此小正方形的面积是大正方形面积的．选D．‎ ‎【例9】（2006，常州）在平面直角坐标系中描出下列各点A（2，1），B（0，1），C（－4，－3），D（6，－3），并将各点用线段顺次连接构成一个四边形ABCD．‎ ‎（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？‎ ‎（2）在四边形ABCD内找一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形，请写出P点的坐标．‎ ‎[解析] 这是一道很好地体现新课程理念的动手操作题，只要画图规范准确，奥妙尽在不言中．如图，很容易判断四边形ABCD是等腰梯形，那么点P一定在两底的垂直平分线上．如果点P也在两腰的中垂线上，两腰的特殊性就在于它与坐标轴的夹角为45°，并且两腰的中点恰在格点上，从图形中很容易看出点P的坐标为（－1，－4）．然而点P在四边形ABCD内吗？你掉进了陷阱．设点P（），显然只有DA=DP的可能了，由两点间的距离公式，‎ 得，解得．点P（1，）在四边形ABCD内．‎ 三、分类讨论思想在格点问题中的运用．‎ ‎【例10】（2006，日照）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为 A．3个； B．4个； C．5个； D．6个．‎ ‎[解析] 怎样选取分类的标准，才能做到点C的个数不遗不漏？按照点C所在的直线分为两种情况：当点C与点A在同一条直线上时，AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点C有4个；当点C与点B在同一条直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有2个．选D．‎ ‎【例11】（2006，重庆）如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．‎ ‎[解析] 心动不如行动，赶快拿起圆规：以A为圆心，AB长为半径画圆，圆弧经过格点C1、C2 ；以B为圆心，AB长为半径画圆，圆弧经过格点C3 ．用勾股定理可以验证AC1=AC2 =BC3=AB=，也可以根据全等三角形的对应边相等证得AC1=AC2 =BC3‎ ‎=AB．AB的垂直平分线会经过格点吗？因为AB的中点不在格点上，因此AB的垂直平分线不会经过格点．‎ ‎【例12】（2006，佛山）已知Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．‎ 问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？‎ ‎（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标）‎ ‎[解析] 按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠B为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况．如图，‎ C1（3，0），C2（6，4），C3（6，）．‎ 四、网格中图形变换的画图与描述．‎ ‎【例13】(2006,北京海淀区)在5×5方格纸中将图1中的图形N平移后的位置如图2所示，那么下面平移中正确的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 ‎ ‎ A. 先向下移动1格，再向左移动1格； B. 先向下移动1格，再向左移动2格；‎ ‎ C. 先向下移动2格，再向左移动1格； D. 先向下移动2格，再向左移动2格．‎ ‎[解析] 图形的平移归根到底是对应点的平移，图形在平移的过程中对应点的连线平行且相等．图1中的图形N平移到图2，就是点A平移到点A′，先向下移动2格，再向左移动1格，选C．‎ ‎【例14】（2006，大连）如图1，点O、B的坐标分别为(0， 0)、(3， 0)，将△OAB绕O点逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．‎ ‎⑴画出△OA′B′；‎ ‎⑵点A′的坐标为________________；‎ ‎⑶求BB′的长．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎[解析] 如图2，点B′的位置很容易确定，如何简捷准确地确定点A′的位置？将OA为对角线的矩形绕O点逆时针方向旋转90°，就可以确定点A′的位置．要用坐标描述点A′的位置，先要按点O、B的坐标建立坐标系，按照全等形的对应边相等及数形结合思想，点A′的坐标为（－2， 4）．BB′的长就是等腰直角三角形OBB′的斜边长，BB′=．‎ ‎【例15】（2006，云南）在如图1的方格纸中，每个小正方形的边长都为l， △ABC与△A1B‎1C1构成的图形是中心对称图形．‎ ‎ （1）画出此中心对称图形的对称中心O；‎ ‎ （2）画出将△A1B‎1C1，沿直线DE方向向上平移5格得到的△A2B‎2C2；‎ ‎ （3）要使△A2B‎2C2与△CC‎1C2重合，则△A2B‎2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？（不要求证明）‎ ‎ 图1 图2（两个图大小一致）‎ ‎[解析] 中心对称图形对应点的连线经过对称中心，如图2，BB1、CC1的交点就是对称中心O．△A1B‎1C1向上平移5格得到的△A2B‎2C2，恰好C‎2C1=C2B2，△A2B‎2C2≌△CC‎1C2，△A2B‎2C2绕点C2顺时针方向至少旋转90°可与△CC‎1C2重合.‎ ‎【例16】（2006，成都）如图1，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（－1，－1）．‎ ‎（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B‎1C1，画出△A1B‎1C1的图形并写出点B1的坐标；‎ ‎（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B‎2C，画出△A2B‎2C的图形并写出点B2的坐标；‎ ‎（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为12，画出△AB‎3C3的图形．‎ ‎ 图1‎ ‎ 图2（两个图大小一致）‎ ‎[解析] 如图2，把△ABC以点A为位似中心放大，就是在AB、AC的延长线上取点B3、C3，使B‎3C3=2BC，也就是说，BC是△A B‎3C3的中位线．‎ ‎【例17】（2006，广东）如图1，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC与△A′ B′ C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．‎ ‎（1)画出位似中心点O；‎ ‎（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；‎ ‎（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B‎1C1，使它与△ABC的位似比等于1．5．‎ ‎ 图1 图2 （两个图大小一致）‎ ‎[解析] 位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O．△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即．要画△A1B‎1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B‎1C1与△ABC的位似比等于1．5，因此OA1=1．5OA，所以OA1=9．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A‎1C1∥AC交O C′于C1．‎ 网格问题是近几年新课程中考数学命题的热点问题，新颖的题目不断涌现，但是归根到底，中考题还是来源于课本，网格问题是课本知识的情景再现，我们一定要围绕课本开展复习．‎