山东省临沂市中考数学试卷及答案与解析

山东省临沂市中考数学试卷及答案与解析

‎2017年山东省临沂市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）‎ ‎1．（3分）（2017•临沂）﹣的相反数是（　　）‎ A． B．﹣ C．2017 D．﹣2017‎ ‎【解答】解：﹣的相反数是：．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2017•临沂）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）‎ A．50° B．60° C．70° D．80°‎ ‎【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°，‎ ‎∴∠BEF=∠1+∠F=50°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2=∠BEF=50°，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2017•临沂）下列计算正确的是（　　）‎ A．﹣（a﹣b）=﹣a﹣b B．a2+a2=a4 C．a2•a3=a6 D．（ab2）2=a2b4‎ ‎【解答】解：A、括号前是负号，去括号全变号，故A不符合题意；‎ B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故B不符合题意；‎ C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C不符合题意；‎ D、积的乘方等于乘方的积，故D符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2017•临沂）不等式组中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：解不等式①，得：x＜1，‎ 解不等式②，得：x≥﹣3，‎ 则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2017•临沂）如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：该几何体的三视图如下：‎ 主视图：；俯视图：；左视图：，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2017•临沂）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，‎ ‎∴小华获胜的概率是：=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（　　）‎ A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 ‎【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得 ‎（n﹣2）•180°=360°×2‎ 解得n=6．‎ 则这个多边形是六边形．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2017•临沂）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（　　）‎ A．= B．= C．= D．=‎ ‎【解答】解：设乙每小时做x个，甲每小时做（x+6）个，‎ 根据甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，得 ‎=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2017•临沂）某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：‎ 部门 人数 每人创年利润（万元）‎ A ‎1‎ ‎10‎ B ‎3‎ ‎8‎ C ‎7‎ ‎5‎ D ‎4‎ ‎3‎ 这15名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（　　）‎ A．10，5 B．7，8 C．5，6.5 D．5，5‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 这15名员工的每人创年利润为：10、8、8、8、5、5、5、5、5、5、5、3、3、3、3，‎ ‎∴这组数据的众数是5，中位数是5，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2017•临沂）如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（　　）‎ A．2 B．﹣π C．1 D．+π ‎【解答】解：∵BT是⊙O的切线；‎ 设AT交⊙O于D，连结BD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 而∠ATB=45°，‎ ‎∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，‎ ‎∴AD=BD=TD=AB=，‎ ‎∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，‎ ‎∴阴影部分的面积=S△BTD=××=1．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2017•临沂）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎【解答】解：第1个图形有1个小圆；‎ 第2个图形有1+2=3个小圆；‎ 第3个图形有1+2+3=6个小圆；‎ 第4个图形有1+2+3+4=10个小圆；‎ 第n个图形有1+2+3+…+n=个小圆；‎ ‎∵第n个图形中“○”的个数是78，‎ ‎∴78=，‎ 解得：n1=12，n2=﹣13（不合题意舍去），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2017•临沂）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）‎ A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形 ‎【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；‎ 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；‎ 若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；‎ 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2017•临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：‎ ‎ t ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎…‎ ‎ h ‎ 0‎ ‎ 8‎ ‎ 14‎ ‎ 18‎ ‎ 20‎ ‎ 20‎ ‎ 18‎ ‎ 14‎ ‎…‎ 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，‎ ‎∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，‎ ‎∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，‎ ‎∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，‎ ‎∵t=9时，y=0，‎ ‎∴足球被踢出9s时落地，故③正确，‎ ‎∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．‎ ‎∴正确的有②③，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2017•临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（　　）‎ A．6 B．10 C．2 D．2‎ ‎【解答】解：∵正方形OABC的边长是6，‎ ‎∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，‎ ‎∴M（6，），N（，6），‎ ‎∴BN=6﹣，BM=6﹣，‎ ‎∵△OMN的面积为10，‎ ‎∴6×6﹣×6×﹣6×﹣×（6﹣）2=10，‎ ‎∴k=24，‎ ‎∴M（6，4），N（4，6），‎ 作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，‎ ‎∵AM=AM′=4，‎ ‎∴BM′=10，BN=2，‎ ‎∴NM′===2，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）‎ ‎15．（3分）（2017•临沂）分解因式：m3﹣9m=　m（m+3）（m﹣3）　．‎ ‎【解答】解：m3﹣9m，‎ ‎=m（m2﹣9），‎ ‎=m（m+3）（m﹣3）．‎ 故答案为：m（m+3）（m﹣3）．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2017•临沂）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO=　4　．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴==，即=，‎ 解得，AO=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2017•临沂）计算：÷（x﹣）=　　．‎ ‎【解答】解：原式=÷‎ ‎=•‎ ‎=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2017•临沂）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是　24　．‎ ‎【解答】解：作OE⊥CD于E，如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，‎ ‎∵sin∠BDC==，‎ ‎∴OE=3，‎ ‎∴DE==4，‎ ‎∵CD=4，‎ ‎∴点E与点C重合，‎ ‎∴AC⊥CD，OC=3，‎ ‎∴AC=2OC=6，‎ ‎∴▱ABCD的面积=CD•AC=4×6=24；‎ 故答案为：24．‎ ‎　‎ ‎19．（3分）（2017•临沂）在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为=（m，n）．‎ 已知：=（x1，y1），=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么与互相垂直，下列四组向量：‎ ‎①=（2，1），=（﹣1，2）；‎ ‎②=（cos30°，tan45°），=（1，sin60°）；‎ ‎③=（﹣，﹣2），=（+，）；‎ ‎④=（π0，2），=（2，﹣1）．‎ 其中互相垂直的是　①③④　（填上所有正确答案的符号）．‎ ‎【解答】解：①因为2×（﹣1）+1×2=0，所以与互相垂直；‎ ‎②因为cos30°×1+tan45°•sin60°=×1+1×=≠0，所以与不互相垂直；‎ ‎③因为（﹣）（+）+（﹣2）×=3﹣2﹣1=0，所以与互相垂直；‎ ‎④因为π0×2+2×（﹣1）=2﹣2=0，所以与互相垂直．‎ 综上所述，①③④互相垂直．‎ 故答案是：①③④．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共63分）‎ ‎20．（7分）（2017•临沂）计算：|1﹣|+2cos45°﹣+（）﹣1．‎ ‎【解答】解：‎ ‎|1﹣|+2cos45°﹣+（）﹣1‎ ‎=﹣1+2×﹣2+2‎ ‎=﹣1+﹣2+2‎ ‎=1．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）（2017•临沂）为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计9要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表：‎ ‎ 学生最喜爱的节目人数统计表 ‎ 节目 ‎ 人数（名）‎ ‎ 百分比 ‎ 最强大脑 ‎ 5‎ ‎ 10%‎ ‎ 朗读者 ‎ 15‎ ‎ b%‎ ‎ 中国诗词大会 ‎ a ‎ 40%‎ ‎ 出彩中国人 ‎ 10‎ ‎ 20%‎ 根据以上提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）x=　50　，a=　20　，b=　30　；‎ ‎（2）补全上面的条形统计图；‎ ‎（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：x=5÷10%=50，a=50×40%=20，b=×100=30；‎ 故答案为：50；20；30；‎ ‎（2）中国诗词大会的人数为20人，补全条形统计图，如图所示：‎ ‎（3）根据题意得：1000×40%=400（名），‎ 则估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有400名．‎ ‎　‎ ‎22．（7分）（2017•临沂）如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．‎ ‎【解答】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，‎ 在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°，‎ ‎∴ED=AEtan30°=10m，‎ 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m，‎ ‎∴AB=30m，‎ 则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30﹣10=20m．‎ ‎　‎ ‎23．（9分）（2017•临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，‎ ‎（1）求证：DE=DB；‎ ‎（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．‎ ‎【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠DBC=∠CAD，‎ ‎∴∠DBC=∠BAE，‎ ‎∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，‎ ‎∴∠DBE=∠DEB，‎ ‎∴DE=DB；‎ ‎（2）解：连接CD，如图所示：‎ 由（1）得：，‎ ‎∴CD=BD=4，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴BC是直径，‎ ‎∴∠BDC=90°，‎ ‎∴BC==4，‎ ‎∴△ABC外接圆的半径=×4=2．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）（2017•临沂）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式；‎ ‎（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？‎ ‎【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx，‎ ‎15k=27，得k=1.8，‎ 即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x，‎ 当x＞15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，‎ ‎，得，‎ 即当x＞15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9，‎ 由上可得，y与x的函数关系式为y=；‎ ‎（2）设二月份的用水量是xm3，‎ 当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，‎ 解得，x无解，‎ 当0＜x≤15时，1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，‎ 解得，x=12，‎ ‎∴40﹣x=28，‎ 答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．‎ ‎　‎ ‎25．（11分）（2017•临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？‎ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．‎ 小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．‎ 在此基础上，同学们作了进一步的研究：‎ ‎（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．‎ ‎（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．‎ ‎【解答】解：（1）BC+CD=AC；‎ 理由：如图1，‎ 延长CD至E，使DE=BC，‎ ‎∵∠ABD=∠ADB=45°，‎ ‎∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，‎ ‎∵∠ACB=∠ACD=45°，‎ ‎∴∠ACB+∠ACD=45°，‎ ‎∴∠BAD+∠BCD=180°，‎ ‎∴∠ABC+∠ADC=180°，‎ ‎∵∠ADC+∠ADE=180°，‎ ‎∴∠ABC=∠ADE，‎ 在△ABC和△ADE中，，‎ ‎∴△ABC≌△ADE（SAS），‎ ‎∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，‎ ‎∴△ACE是等腰直角三角形，‎ ‎∴CE=AC，‎ ‎∵CE=CE+DE=CD+BC，‎ ‎∴BC+CD=AC；‎ ‎（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，‎ 延长CD至E，使DE=BC，‎ ‎∵∠ABD=∠ADB=α，‎ ‎∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，‎ ‎∵∠ACB=∠ACD=α，‎ ‎∴∠ACB+∠ACD=2α，‎ ‎∴∠BAD+∠BCD=180°，‎ ‎∴∠ABC+∠ADC=180°，‎ ‎∵∠ADC+∠ADE=180°，‎ ‎∴∠ABC=∠ADE，‎ 在△ABC和△ADE中，，‎ ‎∴△ABC≌△ADE（SAS），‎ ‎∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，‎ ‎∴∠AEC=α，‎ 过点A作AF⊥CE于F，‎ ‎∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，‎ ‎∴CE=2CF=2AC•cosα，‎ ‎∵CE=CD+DE=CD+BC，‎ ‎∴BC+CD=2AC•cosα．‎ ‎　‎ ‎26．（13分）（2017•临沂）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；‎ ‎（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），‎ ‎∴OC=3，‎ ‎∵OC=3OB，‎ ‎∴OB=1，‎ ‎∴B（﹣1，0），‎ 把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，‎ ‎∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），‎ ‎∴AF∥x轴，‎ ‎∴F（﹣1，﹣3），‎ ‎∴BF=3，AF=3，‎ ‎∴∠BAC=45°，‎ 设D（0，m），则OD=|m|，‎ ‎∵∠BDO=∠BAC，‎ ‎∴∠BDO=45°，‎ ‎∴OD=OB=1，‎ ‎∴|m|=1，‎ ‎∴m=±1，‎ ‎∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；‎ ‎（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），‎ ‎①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，‎ 则△ABF≌△NME，‎ ‎∴NE=AF=3，ME=BF=3，‎ ‎∴|a﹣1|=3，‎ ‎∴a=3或a=﹣2，‎ ‎∴M（4，5）或（﹣2，11）；‎ ‎②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，‎ 则N在x轴上，M与C重合，‎ ‎∴M（0，﹣3），‎ 综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．‎ ‎　‎