中考数学专题复习导学案尺规作图含答案

中考数学专题复习导学案尺规作图含答案

中考数学专题练习《尺规作图》‎ ‎【知识归纳】‎ 一）尺规作图 ‎1．定义 只用没有刻度的 和 作图叫做尺规作图．‎ ‎2．步骤 ‎①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分； ‎ ‎②分析作图的方法和过程；‎ ‎③用直尺和圆规进行作图；‎ ‎④写出作法步骤，即作法．‎ 二）五种基本作图 ‎1．作一条线段等于已知线段；‎ ‎2．作一个角等于已知角；‎ ‎3．作已知角的平分线；‎ ‎4．过一点作已知直线的垂线；‎ ‎5．作已知线段的垂直平分线．‎ 三）基本作图的应用 ‎1．利用基本作图作三角形 ‎(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．‎ ‎2．与圆有关的尺规作图 ‎(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．‎ ‎(2)作三角形的内切圆．‎ ‎【基础检测】‎ ‎1．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（‎2a，b+1），则a与b的数量关系为（　　）‎ A．a=b B．‎2a+b=﹣‎1C．‎2a﹣b=1D．‎2a+b=1‎ ‎2.如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（ ）‎ A B C A．‎2.5cm ‎ B．‎3.0cm ‎ C．‎3.5cm ‎ D．‎‎4.0cm ‎3.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎4.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B‎1C．‎ ‎（1）画出△A1B‎1C，直接写出点A1、B1的坐标；‎ ‎（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．‎ ‎5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．‎ ‎（1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；‎ ‎（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．‎ ‎6．已知：线段a及∠ACB．‎ 求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．‎ ‎7．如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC ‎ ‎（1）线段BC的长等于　　；‎ ‎（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：‎ ‎①以点　　为圆心，以线段的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于 ‎②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于，请写出画法，并说明理由．‎ ‎【达标检测】‎ 一、选择题 ‎1．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）‎ A．65° B．60° C．55° D．45°‎ ‎2.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.‎ 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧；‎ 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧，将弧于点D；‎ 步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.‎ 下列叙述正确的是（ ）‎ 第10题图 A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD C．S△ABC=BC·AH D．AB=AD 二、填空题 ‎3.如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB=　　． ‎ ‎4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是 。‎ ‎①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．‎ 三、解答题 ‎5.（12分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）‎ ‎（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；‎ ‎（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）‎ ‎6.（7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；‎ ‎（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．‎ ‎7.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎8. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．‎ ‎（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．‎ ‎（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．‎ ‎9.如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．‎ ‎（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B‎1C1；‎ ‎（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B‎2C2；‎ ‎（3）求△A1B‎1C1与△A2B‎2C2重合部分的面积．‎ ‎【知识归纳答案】‎ 一）尺规作图 ‎1．定义 只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．‎ ‎2．步骤 ‎①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．‎ 二）五种基本作图 ‎1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线． ‎ 三）基本作图的应用 ‎1．利用基本作图作三角形 ‎(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．‎ ‎2．与圆有关的尺规作图 ‎(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．‎ ‎(2)作三角形的内切圆．‎ ‎【基础检测答案】‎ ‎1．）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（‎2a，b+1），则a与b的数量关系为（　　）‎ A．a=b B．‎2a+b=﹣‎1C．‎2a﹣b=1D．‎2a+b=1‎ ‎【解析】作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|‎2a|=|b+1|，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系．‎ ‎【解答】解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，‎ 则P点横纵坐标的和为0，‎ 故‎2a+b+1=0，‎ 整理得：‎2a+b=﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|．‎ ‎2.如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（ ）‎ A B C A．‎2.5cm ‎ B．‎3.0cm ‎ C．‎3.5cm ‎ D．‎‎4.0cm ‎【答案】B ‎【解析】首先根据题意画出图形，由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质对角线相等，得出AD＝BC．最后利用刻度尺进行测量即可．‎ ‎【方法指导】此题主要考查了复杂作图以及平行四边形的判定和性质，关键是正确理解题意，画出图形．‎ ‎3.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎【考点】作图—相似变换．‎ ‎【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．‎ ‎【解答】解：如图，AD为所作．‎ ‎　‎ ‎4. （8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B‎1C．‎ ‎（1）画出△A1B‎1C，直接写出点A1、B1的坐标；‎ ‎（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．‎ ‎【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．‎ ‎【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；‎ ‎（2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）所求作△A1B‎1C如图所示：‎ 由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，‎ 则点A1的坐标为（﹣1，4），点B1的坐标为（1，4）；‎ ‎（2）∵AC===，∠ACA1=90°‎ ‎∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：‎ S扇形CAA1+S△ABC ‎=+×3×2‎ ‎=+3．‎ ‎5．(8分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC． ‎ ‎（1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；‎ ‎（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．‎ ‎【考点】作图-平移变换．‎ ‎【分析】（1）画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题．‎ ‎（2）将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′．‎ ‎【解答】解：（1）点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．‎ ‎（2）得到的四边形A′B′C′D′如图所示．‎ ‎6．（2016.山东省青岛市,4分）已知：线段a及∠ACB．‎ 求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．‎ ‎【考点】作图—复杂作图．‎ ‎【分析】首先作出∠ACB的平分线CD，再截取CO=a得出圆心O，作OE⊥CA，由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可． ‎ ‎【解答】解：①作∠ACB的平分线CD，‎ ‎②在CD上截取CO=a，‎ ‎③作OE⊥CA于E，以O我圆心，OE长为半径作圆；‎ 如图所示：⊙O即为所求．‎ ‎7．如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC ‎（1）线段BC的长等于　　；‎ ‎（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：‎ ‎①以点　A　为圆心，以线段　BC　的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于 ‎②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于，请写出画法，并说明理由．‎ ‎【考点】作图—复杂作图．‎ ‎【分析】（1）由圆的半径为1，可得出AB=AC=1，结合勾股定理即可得出结论；‎ ‎（2）①结合勾股定理求出AD的长度，从而找出点D的位置，根据画图的步骤，完成图形即可；‎ ‎②根据线段的三等分点的画法，结合OA=‎2AC，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△BAC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，‎ ‎∴BC==．‎ 故答案为：．‎ ‎（2）①在Rt△OAD中，OA=2，OD=，∠OAD=90°，‎ ‎∴AD===BC．‎ ‎∴以点A为圆心，以线段BC的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于．‎ 依此画出图形，如图1所示．‎ 故答案为：A；BC．‎ ‎②∵OD=，OP=，OC=OA+AC=3，OA=2，‎ ‎∴．‎ 故作法如下：‎ 连接CD，过点A作AP∥CD交OD于点P，P点即是所要找的点．‎ 依此画出图形，如图2所示．‎ ‎【达标检测答案】‎ 一、选择题 ‎1．）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）‎ A．65° B．60° C．55° D．45°‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，‎ 则AD=DC，故∠C=∠DAC，‎ ‎∵∠C=30°，‎ ‎∴∠DAC=30°，‎ ‎∵∠B=55°，‎ ‎∴∠BAC=95°，‎ ‎∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． ‎ ‎2.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.‎ 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧；‎ 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧，将弧于点D；‎ 步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.‎ 下列叙述正确的是（ ）‎ 第10题图 A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD C．S△ABC=BC·AH D．AB=AD 答案：A 解析：AD相当于一个弦，BH、CH⊥AD；B、D两项不一定；C项面积应除以2。‎ 知识点：尺规作图 二、填空题 ‎3.如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB=　5　． ‎ ‎【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线的作法可知直线CD是线段AB的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质即可解决问题． ‎ ‎【解答】解：由题意直线CD是线段AB的垂直平分线，‎ ‎∵点F在直线CD上，‎ ‎∴FA=FB，‎ ‎∵FA=5，‎ ‎∴FB=5．‎ 故答案为5．‎ ‎4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是 。‎ ‎①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．‎ ‎【解析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；‎ ‎②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；‎ ‎③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；‎ ‎④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．‎ ‎【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．‎ 故①正确；‎ ‎②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，‎ ‎∴∠CAB=60°．‎ 又∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴∠1=∠2=∠CAB=30°，‎ ‎∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．‎ 故②正确；‎ ‎③∵∠1=∠B=30°，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴点D在AB的中垂线上．‎ 故③正确；‎ ‎④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，‎ ‎∴CD=AD，‎ ‎∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．‎ ‎∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，‎ ‎∴S△DAC：S△ABC=AC•AD： AC•AD=1：3．‎ 故④正确．‎ 综上所述，正确的结论是：①②③④．‎ ‎【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质． ‎ 三、解答题 ‎5.（12分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）‎ ‎（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；‎ ‎（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）‎ ‎【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理的应用．‎ ‎【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；‎ ‎（2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据图1可得：，，CD=3‎ ‎∴A站到B站的路程=≈9.7；‎ ‎（2）从A站到D站的路线图如下：‎ ‎6.（7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；‎ ‎（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上． ‎ ‎【考点】作图-轴对称变换．‎ ‎【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；‎ ‎（2）直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为：4×=4；‎ ‎（2）如图2所示：四边形ABCD即为所求．‎ ‎7.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎【考点】作图—相似变换．‎ ‎【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．‎ ‎【解答】解：如图，AD为所作．‎ ‎8.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．‎ ‎（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．‎ ‎（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．‎ ‎【考点】矩形的性质；作图—基本作图．‎ ‎【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；‎ ‎（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；‎ ‎（2）四边形BEDF为菱形，理由为：‎ 证明：∵EF垂直平分BD，‎ ‎∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DEF=∠BFE，‎ ‎∴∠BEF=∠BFE，‎ ‎∴BE=BF，‎ ‎∵BF=DF，‎ ‎∴BE=ED=DF=BF，‎ ‎∴四边形BEDF为菱形．‎ ‎9．如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．‎ ‎（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B‎1C1；‎ ‎（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B‎2C2；‎ ‎（3）求△A1B‎1C1与△A2B‎2C2重合部分的面积．‎ ‎【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．‎ ‎【分析】（1）将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B‎1C1．‎ ‎（2）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B‎2C2．‎ ‎（3）B‎2C2与A1B1相交于点E，B‎2A2与A1B1相交于点F，如图，求出直线A1B1，B‎2C2，A2B2，列出方程组求出点E、F坐标即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图，△A1B‎1C1为所作；‎ ‎（2）如图，△A2B‎2C2为所作；‎ ‎（3）B‎2C2与A1B1相交于点E，B‎2A2与A1B1相交于点F，如图，‎ ‎∵B2（0，1），C2（2，3），B1（1，0），A1（2，5），A2（5，0），‎ ‎∴直线A1B1为y=5x﹣5，‎ 直线B‎2C2为y=x+1，‎ 直线A2B2为y=﹣x+1，‎ 由解得，∴点E（1.5，2.5），‎ 由解得，∴点F（，）．‎ ‎∴S△BEF=．‎ ‎∴△A1B‎1C1与△A2B‎2C2重合部分的面积为．‎