北京数学中考一模 新定义创新题带答案

北京数学中考一模 新定义创新题带答案

西城29、给出如下规定：两个图形和，点P为上任一点，点Q为上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．‎ ‎（1）点A的坐标为A（1，0）则点B（2，3）和射线OA之间的距离为__________，‎ 点C（-2,3）和射线OA之间的距离为_________；‎ ‎（2）如果直线y=x和双曲线之间的距离为，那么k=_______；（可在图1中进行研究）‎ ‎（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O逆时针旋转，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．‎ ‎①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）‎ ‎②将射线OE,OF组成的图形记为图形W，抛物线与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离．‎ 解析：‎ ‎29.解：‎ ‎（1）3，（每空各1分）‎ ‎（2）-1；‎ ‎（3）①如图9，过点O分别作射线OE,OF的垂线OG、OH，则图形M为：y轴正半轴，的边及其内容的所有点（图中的阴影部分）.‎ 说明：（画图2分，描述1分）（图形M也可以描述为：y轴正半轴，直线下方与直线下方重叠的部分（含边界））‎ ‎②‎ 东城29．定义符号的含义为：当时, ；当时, ．如：，．‎ ‎(1)求; ‎ ‎(2)已知, 求实数的取值范围;‎ ‎(3) 已知当时，.直接写出实数的取值范围.‎ 解析：‎ ‎29．解：（1）∵，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ┉┉2分 ‎ (2) ∵,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ┉┉5分 ‎ (3) . ┉┉8分 朝阳29．定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．‎ ‎ （1）若P(1，2)，Q(4，2) ．‎ ‎①在点A(1，0)，B(，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是 ；‎ ‎②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.‎ ‎ （2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接 写出点Q的坐标．‎ 解析：‎ ‎29. 解:（1）A、B ……………………………………………………………………………2分 ‎（2）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接P′Q，P′Q与x轴的交点即为“等高点”M，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q的长. ………………………3分 ‎∵P (1，2)，‎ ‎∴ P′ (1，－2).‎ 设直线P′Q的表达式为，‎ 根据题意，有 ‎，解得.‎ ‎∴直线P′Q的表达式为. ……………4分 当时，解得. ‎ 即. ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP′＝4，PQ＝3， PQ⊥PP′，‎ ‎∴.‎ ‎∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分 ‎（3）Q（，）或Q（，）. ………………………………8分 海淀29．在平面直角坐标系xOy中，对于点和点，给出如下定义：‎ 若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．‎ ‎（1）①点的限变点的坐标是___________；‎ ‎②在点，中有一个点是函数图象上某一个点的限变点，‎ 这个点是_______________‎ ‎（2）若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围；‎ ‎（3）若点在关于的二次函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是或，其中 ‎．令，求关于的函数解析式及的取值范围．‎ 解析：‎ ‎29．(本小题满分8分)‎ 解：（1）① ；………………………………1分 ‎② 点B． ………………………………2分 ‎（2）依题意，图象上的点P的限变点必在函数的图象上．‎ ‎，即当时，取最大值2．‎ 当时，．‎ ‎． ………………………………………3分 当时，或．‎ 或． ………………………………4分 ‎，‎ 由图象可知，的取值范围是．‎ ‎……………………………………………5分 （3） ‎，‎ 顶点坐标为．……………………………………6分 若，的取值范围是或，与题意不符．‎ 若，当时，的最小值为，即；‎ ‎ 当时，的值小于，即．‎ ‎．‎ 关于的函数解析式为 ． ……………………………7分 当t=1时，取最小值2．‎ 的取值范围是≥2． ………………………………………………………8分 丰台29. 设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.例如正方形ABCD满足A(1，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(1，1)，那么点O(0，0)到正方形ABCD的距离为1.‎ ‎（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O(0，0)到⊙P的距离为 ； ‎ ‎（2）①求点到直线的距离；‎ ②如果点到直线的距离为3，那么a的值是 ；‎ ‎（3）如果点到抛物线的距离为3，请直接写出的值. ‎ 解析：‎ ‎29. （1）4；.…….2分 ‎（2）①直线记为，过点作，垂足为点，‎ 设与轴的交点分别为，则．‎ ‎∴．.…….3分 ‎∵ ‎ ‎∴，即．∴．‎ ‎∴点到直线的距离为．.…….4分 ‎②．.…….6分 ‎（3）或．.…….8分 通州29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)、B(6，3)，连结AB. 若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“邻近点”．‎ ‎（1）判断点D，是否线段AB的“邻近点” （填“是”或“否”）；‎ ‎（2）若点H (m，n)在一次函数的图象上，且是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围．‎ ‎（3）若一次函数的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b的取值范围.‎ 解析：‎ ‎29.（1）点D是线段AB的“邻近点”； …………………..(2分)‎ ‎（2）∵点H（m，n）是线段AB的“邻近点”，点H（m，n）在直线y＝x－1上，‎ ‎∴ n＝m－1; ………………………………………..(3分)‎ 直线y＝x－1与线段AB交于（4，3）‎ ‎① 当m≥4时，有n＝m－1≥3，‎ 又AB∥x轴，∴ 此时点H（m，n）到线段AB的距离是n－3，‎ ‎∴0≤n－3≤1，∴4 ≤m≤5，…………………………………..(4分)‎ ‎② 当m≤4时，‎ 有n＝m－1 ∴n≤3，‎ 又AB∥x轴， ∴ 此时点H（m，n）到线段AB的距离是3－n，‎ ‎∴0≤3－n≤1， ‎ ‎ ∴ 3≤m≤4， ………………………………………..(5分)‎ 综上所述，3≤m≤5; ………………………………………..(6分)‎ ‎(3) ………………………………………..(8分)‎ ‎ ‎ 房山29.【探究】如图1，点是抛物线上的任意一点，l是过点且与轴平行的直线，过点N作直线NH⊥l，垂足为H. ‎ ‎①计算: m=0时，NH= ; m=4时，NO= .‎ ‎②猜想: m取任意值时，NO NH(填“＞”、“＝”或“＜”).‎ ‎【定义】我们定义：平面内到一个定点F和一条直线l（点F不在直线l上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F叫做抛物线的“焦点”，直线l叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O即为抛物线的“焦点”，直线l:即为抛物线的“准线”.可以发现“焦点”F在抛物线的对称轴上.‎ ‎【应用】（1）如图2，“焦点”为F(-4，-1)、“准线”为l的抛物线与y轴交于点N（0，2），点M为直线FN与抛物线的另一交点.MQ⊥l于点Q，直线l交y轴于点H.‎ ‎①直接写出抛物线y2的“准线”l： ；‎ ‎②计算求值： 图2‎ 图3‎ 图1‎ ‎（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，半径为1的⊙O与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），直线与⊙O只有一个公共点F，求以F为“焦点”、x轴为“准线”的抛物线的表达式.‎ 解析：‎ ‎29.‎ 解：【探究】① 1 ; 5 ; ……………2分 图3‎ ‎② ＝ . …………………3分 ‎ ‎ ‎ 【应用】（1）①； ……………………4分 ‎ ② 1 . ……………………5分 ‎ （2）如图3，设直线与x轴相交于点C. ‎ ‎ 由题意可知直线CF切⊙O于F，连接OF.‎ ‎∴∠OFC=90° ‎ ‎∴∠COF=60°‎ 又∵OF=1，‎ ‎∴OC=2 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴“焦点”、.………6分 ‎ ∴抛物线的顶点为. ‎ ‎①当“焦点”为，顶点为， 时，‎ 易得直线CF1：. ‎ 过点A作AM⊥x轴，交直线CF1于点M.‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴在抛物线上.‎ ‎ 设抛物线，将M点坐标代入可求得：‎ ‎ ∴………………………7分 ‎②当“焦点”为，顶点为，时，‎ 由中心对称性可得：‎ ‎ …………………………8分 综上所述：抛物线或.‎ 怀柔29. 对某种几何图形给出如下定义： 符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.例如,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.‎ 图2‎ 图1‎ ‎（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，A(0，2)，B是x轴上一动点，当点B在x轴上运动时，点C在坐标系中运动，点C运动形成的轨迹是直线DE，且DE⊥x轴于点G.　‎ ‎　 则直线DE的表达式是 . ‎ ‎（2）当△ABC是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C形成的轨迹也是一条直线.　　 ‎ ‎①当点B运动到如图2的位置时，AC∥x轴，则C点的坐标是 .‎ ‎②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.‎ ‎③设②中这条直线分别与x,y轴交于E,F两点，当点C在线段EF上运动时，点H在线段OF上运动，（不与O、F重合），且CH=CE,则CE的取值范围是 .‎ 备用图1‎ 备用图2‎ 解析：‎ ‎29. 解：（1）x=2. …………………………1分.‎ ‎（2）①C点坐标为: …………………………3分.‎ ‎②由①C点坐标为: ‎ 再求得其它一个点C的坐标，如（，1），或（0，-2）等 代入表达式y=kx+b，解得.‎ ‎∴直线的表达式是.………………………5分. ‎ 动点C运动形成直线如图所示. ……………6分.‎ ‎③.…………………………8分.‎ 门头沟29．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A和点B，如果△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为碟顶，线段AB的长称为碟宽．‎ ‎（1）抛物线的碟宽为 ，抛物线y=ax2（a＞0）的碟宽为 ．‎ ‎（2）如果抛物线y=a(x－1)2－6a（a＞0）的碟宽为6，那么a= ．‎ ‎（3）将抛物线yn=anx2+bnx+cn（an＞0）的准蝶形记为Fn（n=1，2，3，…），我们定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果Fn与Fn-1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．‎ ‎① 求抛物线y2的表达式；‎ ‎② 请判断F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的表达式；如果不是，说明理由．‎ 解析：‎ ‎29．（本小题满分8分）‎ 解：（1）4，；………………………………………………………………………2分 ‎（2）；…………………………………………………………………………3分 ‎（3）① ∵ F1的碟宽︰F2的碟宽=2：1，‎ ‎∴ . ‎ ‎∵ a1=，‎ ‎∴ a2=.………………………………………………………………4分 又∵ 由题意得F2的碟顶坐标为（1，1），…………………………5分 ‎∴ .……………………………………………………6分 ‎② F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点在一条直线上；……………………7分 其解析式为y=－x+5．……………………………………………………8分 ‎ ‎ 石景山29．在平面直角坐标系中，点在直线上，以为圆心，为半径的圆与轴的另一个交点为．给出如下定义：若线段，⊙和直线上分别存在点，点和点，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线的“‎ 理想矩形”．‎ 例如,下图中的矩形为直线的“理想矩形”．‎ 备用图 ‎（1）若点，四边形为直线的“理想矩形”，则点的坐标为 ；‎ ‎（2）若点，求直线的“理想矩形”的面积；‎ ‎（3）若点，直线的“理想矩形”面积的最大值为 ，‎ 此时点的坐标为 ． ‎ 解析：‎ ‎29．解：（1）．…………………………………………………………2分 ‎（2）连结，‎ 过点作轴于点．‎ 则，．‎ ‎∴在中，由勾股定理 ‎．‎ ‎∴在中，由勾股定理 得，．‎ ‎∴所求“理想矩形”面积为 ．‎ ‎……………………………………………………5分 ‎（3）“理想矩形”面积的最大值是5． ………………………………6分 ‎． ………………………………8分 延庆29. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：在线段AB外有一点P，如果在线段AB上存在两点C、D，使得∠CPD=90°，那么就把点P叫做线段AB的悬垂点．‎ ‎（1）已知点A（2，0），O（0，0）‎ ‎①若，D（1，1），E（1，2），在点C，D，E中，线段AO的悬垂点是______；‎ ‎②如果点P（m，n）在直线上，且是线段AO的悬垂点，求的取值范围；‎ ‎（2）如下图是帽形M（半圆与一条直径组成，点M是半圆的圆心），且圆M的半径是1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围．‎ ‎-----------2分 解析：‎ ‎29.‎ ‎（1）线段AO的悬垂点是C，D；‎ ‎（2）以点D为圆心，以1为半径做圆，‎ 设与⊙D 交于点B，C 与x轴，y轴的交点坐标为（1,0），（0，-1）‎ ‎-----------3分 ‎∴∠ODB=45°‎ ‎ ∴DE=BE ‎ 在Rt△DBE中，‎ ‎-----------4分 由勾股定理得：DE=‎ ‎-----------6分 ‎ ∴‎ ‎（3）设这条线段的长为a ‎ ①当时，如图1，凡是⊙D外的点不满足条件；‎ ‎ ②当时，如图2，所有的点均满足条件；‎ ‎-----------8分 ‎ ③当时，如图3，所有的点均满足条件；‎ ‎ 综上所述：‎ 图2‎ 图1‎ 图3‎ 燕山29．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），(，)，(，)，…，都是和谐点．‎ ‎（1）分别判断函数和的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；‎ ‎（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点(，)，且当时，函数的最小值为－3，最大值为1，求的取值范围．‎ ‎（3）直线经过和谐点P，与轴交于点D，与反比例函数的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且，请直接写出的取值范围．‎ 图2‎ 解析：‎ ‎29．解：（1）令，解得，‎ ‎∴函数的图象上有一个和谐点(，)； ………………………2分 令，即，‎ ‎∵根的判别式Δ＝＝－3<0，‎ ‎∴方程无实数根，‎ ‎∴函数的图象上不存在和谐点． ………………………3分 ‎（2）令，即，‎ 由题意，Δ＝＝0，即，‎ 又方程的根为，‎ 解得，． ………………………4分 ‎∴函数，即，‎ 如图，该函数图象顶点为(2，1)，与y轴交点为(0，－3)， 由对称性，该函数图象也经过点(4，－3)． ………………………5分 由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当时，函数的最小值为－3，最大值为1，‎ ‎∴． ………………………6分 ‎（3），或． ………………………8分