中考数学试题按知识点分类汇编反比例函数的实际应用一次函数与反比例函数的综合应用
知识点：反比例函数的实际应用，一次函数与反比例函数的综合应用
一、选择题
1. (2008佳木斯市)用电器的输出功率与通过的电流、用电器的电阻之间的关系是，下面说法正确的是（ ）
A．为定值，与成反比例 B．为定值，与成反比例
C．为定值，与成正比例 D．为定值，与成正比例
【答案】B
2、（2008襄樊市）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图3所示，当时，气体的密度是（ ）
A．5kg/m3 B．2kg/m3
C．100kg/m3 D，1kg/m3
【答案】D
3、（2008恩施自治州）如图5,一次函数ｙ=ｘ－1与反比例函数ｙ=的图像交于点A(2,1),B(－1,－2),则使ｙ＞ｙ的ｘ的取值范围是
A. ｘ＞2 B. ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0
C. －1＜ｘ＜2 D. ｘ＞2 或ｘ＜－1
【答案】B
4、（2008泰安市）函数的图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ）
A．该函数的图象是中心对称图形
B．当时，该函数在时取得最小值2
C．在每个象限内，的值随值的增大而减小
D．的值不可能为1
【答案】C
5. （2008山东省济南市）如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y= (k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）
A．1
4
5、(2008郴州市)已知一次函数y=ax＋b的图像与反比例函数 的图像交于A（2，2），B(－1，m)，求一次函数的解析式．
【答案】因为B（－1，m）在上， 所以
所以点B的坐标为（－1，－4）
又A、B两点在一次函数的图像上，
所以
所以所求的一次函数为y=2x-2
6、（2008甘肃省兰州市）已知正比例函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2．
（1）求两个函数图象的交点坐标；
（2）若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小．
【答案】解：（1）由题意，得，解得．
所以正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为．
解，得．由，得．
所以两函数图象交点的坐标为（2，2），．
（2）因为反比例函数的图象分别在第一、三象限内，
的值随值的增大而减小，
所以当时，．
当时，．
当时，因为，，所以．
7、（2008四川乐山）题乙：图（14）是反比例函数的图象，当－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1
（1） 求该反比例函数的解析式
（2） 若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围
【答案】（1）因为反比例函数的图象经过点
有，
．
所以反比例函数的解析式为，
（2）当为一、三象限角平分线与反比例函数图像的交点时，
线段最短．
将代入，解得，即，．
，
则，
又为反比例函数图像上的任意两点，
由图象特点知，线段无最大值，即．
8、（2008聊城市）已知一次函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求这两个函数的函数关系式；
（2）在给定的直角坐标系（如图）中，画出这两个函数的大致图象；
（3）当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
【答案】（1）设一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为，
反比例函数的图象经过点，
．
所求反比例函数的关系式为．
将点的坐标代入上式得，
点的坐标为．
由于一次函数的图象过
和，
解得
所求一次函数的关系式为．
（2）两个函数的大致图象如图．
（3）由两个函数的图象可以看出．
当和时，一次函数的值大于反比例函数的值．
当和时，一次函数的值小于反比例函数的值．
9、 (2008内江市) 如图，一次函数
的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于两点，与轴交于点，与轴交于点，．且点横坐标是点纵坐标的2倍．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点横坐标为，面积为，
求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
【答案】（1）设点B坐标为（2t,t），由题意得
，解得t = －1
故反比例函数的解析式是.
（2）由一次函数经过、得
， 解得，
所以函数解析式为
故点D坐标为（m-2,0），
则
因为b＞0,所以有或，
解得，
故
10、(2008山西省太原市)人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄．当车速为50km/h时，视野为80度．如果视野（度）是车速（km/h）的反比例函数，求之间的关系式，并计算当车速为
100km/h时视野的度数．
【答案】设之间的关系式为．
时，．
解，得．
所以，．
当时，（度）．
答：当车速为100km/h时视野为40度．
11、（2008苏州）如图，帆船和帆船在太湖湖面上训练，为湖面上的一个定点，教练船静候于点．训练时要求两船始终关于点对称．以为原点，建立如图所示的坐标系，轴，轴的正方向分别表示正东、正北方向．设两船可近似看成在双曲线上运动．湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与两船恰好在直线上时，三船同时发现湖面上有一遇险的船，此时教练船测得船在东南方向上，船测得与的夹角为，船也同时测得船的位置（假设船位置不再改变，三船可分别用三点表示）．
（1）发现船时，三船所在位置的坐标分别为和；
（2）发现船，三船立即停止训练，并分别从三点出发船沿最短路线同时前往救援，设两船的速度相等，教练船与船的速度之比为，问教练船是否最先赶到？请说明理由．
【答案】（1）；；．
（2）作轴于，连和．
的坐标为，，．
在的东南方向上，．
，．又．
为正三角形．．
．
由条件设：教练船的速度为，两船的速度均为4．
则教练船所用的时间为：，两船所用的时间均为：．
，，．
教练船没有最先赶到．
12、(2008江苏省宿迁)如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，．
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)在直线上是否存在一点，使∽，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 (1) ∵双曲线过点
∴
∵双曲线过点
∴
由直线过点得,解得
∴反比例函数关系式为,一次函数关系式为.
(2)存在符合条件的点,.理由如下:
∵∽
∴∴，如右图,设直线与轴、轴分别相交于点、,过点作轴于点,连接，则,
故,再由得,从而,因此,点的坐标为.
13、（2008泰州市）已知二次函数y1=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像经过三点（1，0），（－3，0），（0，－）．
（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；
（2）若反比例函数y2=（x＞0）的图像与二次函数y1=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像在第一象限内交于点A(x0，y0)，x0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；
（3）若反比例函数y2=（x＞0，k＞0）的图像与二次函数y1=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像在第一象限内的交点A，点A的横坐标x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．
图
【答案】（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)
（只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）
将（0，—）代入，解得a=.
∴抛物线解析式为y=x2+x-
画图（略）。
（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像
由图像可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。
（3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，
对y1=x2+x-, y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），
y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，
即＞×22+2-，解得K＞5。
同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，
即×32+3—＞，解得K＜18。
所以K的取值范围为5 ＜K＜18
14、（2008威海市）如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数的图象上．
（1）求m，k的值；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，
以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
试求直线MN的函数表达式．
【答案】（1）由题意可知，．
解，得 m＝3．
∴ A（3，4），B（6，2）；
∴ k＝4×3=12．
（2）存在两种情况，如图：
①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴
上时，设M1点坐标为（x1，0），N1点坐标为（0，y1）．
∵ 四边形AN1M1B为平行四边形，
∴ 线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，
再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．
由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），
∴ N1点坐标为（0，4－2），即N1（0，2）；
M1点坐标为（6－3，0），即M1（3，0）．
设直线M1N1的函数表达式为，把x＝3，y＝0代入，解得．
∴ 直线M1N1的函数表达式为．
②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2）．
∵ AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2，
∴ N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．
∴ 线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．
∴ M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2）．
设直线M2N2的函数表达式为，把x＝-3，y＝0代入，解得，
∴ 直线M2N2的函数表达式为．
所以，直线MN的函数表达式为或．
15、（2008云南省）已知，在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图像交于点．
（1）求、的值；
（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
【答案】（1）∵点A在函数的图像上，∴． 2分
∴点A坐标为．
∵点A在二次函数图像上，∴，．
（2）∵二次函数的解析式为，∴．
∴对称轴为直线，顶点坐标为．
16、（2008盐城）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵≥0， ∴≥0，
∴≥，只有当a＝b时，等号成立．
结论：在≥（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，只有当a＝b时，a+b有最小值．
根据上述内容，回答下列问题：
若m＞0，只有当m＝ ▲ 时， ▲ ．
思考验证：如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点（与点A、B不重合），过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD＝a，DB＝b．试根据图形验证≥，并指出等号成立时的条件．
探索应用：如图2，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P为双曲线（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
【答案】解：阅读理解：m= 1 （填不扣分），最小值为 2 ；
思考验证：∵AB是的直径，∴AC⊥BC,又∵CD⊥AB,∴∠CAD=∠BCD=90°-∠B,
∴Rt△CAD∽Rt△BCD, CD2=AD·DB, ∴CD=
若点D与O不重合，连OC，在Rt△OCD中，∵OC>CD, ∴，
若点D与O重合时，OC=CD,∴
综上所述，，当CD等于半径时，等号成立.
探索应用：设, 则,，
，化简得：
，只有当
∴S≥2×6＋12＝24，
∴S四边形ABCD有最小值24.
此时，P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5,∴四边形ABCD是菱形．
17、（2008四川省资阳市）若一次函数y＝2x－1和反比例函数y＝的图象都经过点（1，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）利用（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．·
【答案】(1) ∵反比例函数y=的图象经过点(1，1)，
∴1=
解得k=2，
∴反比例函数的解析式为y=．
(2) 解方程组得
∵点A在第三象限，且同时在两个函数图象上，
∴A(，–2)．
(3) P1(，–2)，P2(，–2)，P3(，2)．(每个点各1分)
18、（2008义乌市）已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为（），点B的坐标为（－6，0）.
（1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形O，请直接写出A、B的对称点的坐标；
（2）若将三角形沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数的图像上，求a的值；
（3）若三角形绕点O按逆时针方向旋转度（）.
①当=时点B恰好落在反比例函数的图像上，求k的值．
②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出
的值；若不能，请说明理由.
【答案】（1）
（2） ∵ ，∴，∴ ，∴
(3) ① ∵，∴相应B点的坐标是 ，∴.
② 能，当时，相应,点的坐标分别是，
经经验：它们都在的图像上，∴
19、(2008永州)如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．
（1）求证：△APC∽△COD．
（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．
（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．
【答案】解:（1）∵是⊙O的直径，CD是⊙O的切线
∠PAC＝∠OCD＝90°，显然△DOA≌△DOC
∴∠DOA＝∠DOC
∴∠APC＝∠COD
（2）由，得
，
（3）若是一个等边三角形，则
于是，可得，
故，当时，是一个等边三角形
20、（2008肇庆市）已知点A（2，6）、B（3，4）在某个反比例函数的图象上.
（1） 求此反比例函数的解析式；
（2）若直线与线段AB相交，求m的取值范围.
【答案】解：（1）设所求的反比例函数为，
依题意得: 6 =，
∴k=12．
∴反比例函数为．
（2） 设P（x，y）是线段AB上任一点，则有2≤x≤3，4≤y≤6．∵m = ， ∴≤m≤．
所以m的取值范围是≤m≤3．
21、（2008重庆市）已知：如图，反比例函数的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，3），点B的纵坐标为1，点C的坐标为（2，0）.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求直线BC的解析式.
【答案】（1）设所求反比例函数的解析式为：．
点在此反比例函数的图象上，
，
．
故所求反比例函数的解析式为：．
（2）设直线的解析式为：．
点的反比例函数的图象上，点的纵坐标为1，设，
，．
点的坐标为．
由题意，得
解得：
直线的解析式为：．
22、（2008巴中市）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（mg）与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧时与的函数关系式．
（2）求药物燃烧后与的函数关系式．
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？
【答案】（1）设药物燃烧阶段函数解析式为，由题意得：
．此阶段函数解析式为
（2）设药物燃烧结束后的函数解析式为，由题意得：
．此阶段函数解析式为
（3）当时，得
从消毒开始经过50分钟后学生才可回教室．
23、(2008金华市)如图1，已知双曲线与直线交于A,B两点，点A在第一象限.试解答下列问题:
（1）若点A的坐标为（4,2）,则点B的坐标为 ▲ ；若点A的横坐标为m, 则点B的坐标可表示为 ▲ ；
（2）如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线于P,Q两点,点P在第一象限.
①说明四边形APBQ一定是平行四边形；
②设点A,P的横坐标分别为m,n, 四边形APBQ可能是矩形吗?
可能是正方形吗?若可能, 直接写出m,n应满足的条件；若不
可能，请说明理由.
【答案】（1）（-4,-2）
（-m,－k'm）或 （－m, ）
（2）① 由勾股定理OA= ，
OB= = ，
∴OA=OB
同理可得OP=OQ，
所以四边形APBQ一定是平行四边形.
②四边形APBQ可能是矩形
m,n应满足的条件是mn=k
四边形APBQ不可能是正方形
理由：点A,P不可能达到坐标轴,即∠POA≠900.
24、(2008东营、莱芜市)（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：
① 如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．
试证明：MN∥EF．
② 若①中的其他条件不变，只改变点M，N
的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行．
【答案】（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，
垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°．
∴ CG∥DH．
∵ △ABC与△ABD的面积相等，∴ CG＝DH．
∴ 四边形CGHD为平行四边形．
∴ AB∥CD．
（2）①证明：连结MF，NE．
设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2）．
∵ 点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，
∴ ，．
∵ ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴ OE＝y1，OF＝x2．
∴ S△EFM＝，
S△EFN＝．
∴S△EFM ＝S△EF N．
由（1）中的结论可知：MN∥EF．
② MN∥EF．
25、(2008四川绵阳)本题满分12分）已知如图，点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y = x对称，且都在反比例函数 的图象上，点D的坐标为（0，－2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若过B、D的直线与x轴交于点C，求sin∠DCO的值．
【答案】（1）∵ A（m，3）与B（n，2）关于直线y = x对称，
∴ m = 2，n = 3， 即 A（2，3），B（3，2）．
于是由 3 = k∕2，得 k = 6． 因此反比例函数的解析式为．
（2）设过B、D的直线的解析式为y = kx + b．
∴ 2 = 3k + b，且 －2 = 0 · k + b． 解得k =，b =－2．
故直线BD的解析式为 y =x－2．
∴ 当y = 0时，解得 x = 1.5．
即 C（1.5，0），于是 OC = 1.5，DO = 2．
在Rt△OCD中，DC =．
∴ sin∠DCO =．
26、（2008年浙江省台州市）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，直线分别交轴、轴于两点．
（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的值．
【答案】解：（1）把，代入，得：．
反比例函数的解析式为．
把，代入得．
把，；，分别代入
得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）过点作轴于点．
点的纵坐标为1，．
由一次函数的解析式为得点的坐标为，
．
在和中，，，
．
．
27、（2008福建泉州）已知反比例函数（k为常数，k≠0）的图象经过P(3,3),O为坐标原点。
（1）求k的值；
（2）过点P作PM⊥x轴于M,若点Q在反比例函数图象上，并且,试求Q
点的坐标。
【答案】解：（1）将点代入中，得k=9;
(2) 设Q点的纵坐标为y,则，解得：y=4
将y=4，k=9代入中，得.Q。
28、(2008呼和浩特)如图正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数 的图象上，点P(m，n)是函数的图象上异于B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
(1)设矩形OEPF的面积为Sl，判断Sl与点P的位置是否有关(不必说理由)．
(2)从矩形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为S2，写出S2与m的函数关系，并标明m的取值范围．
【答案】(1) 没有关系；(2) 当P在B点上方时，；当P在B点下方时，
29、(2008安顺) 如图11，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A(-4,2)、
B(2,n)两点，且与x轴交于点C。
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围。
【答案】(1)解：设反比例函数的解析式为y＝，因为经过A(-4,2)，
∴k＝－8，
∴反比例函数的解析式为y＝.
因为B(2,n)在y＝上，
∴n＝＝－4，
∴B的坐标是(2，－4)
把A(-4,2)、B(2,－4)代入，得
，
解得：，
∴y＝－x－2.
(2)y＝－x－2中，当y＝0时，x＝－2；
∴直线y＝－x－2和x轴交点是C(－2，0)，
∴OC＝2
∴S△AOB＝×2×4+×2×2＝6.
30、(2008甘肃甘南）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于A（1，4）、B（a,-1）两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图像回答：当x取何值时，反比例函数的值不大于一次函数的值.
【答案】（1），；（2）或
