中考数学压轴题及答案教师专用

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中考数学压轴题及答案教师专用

‎1.如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点.‎ ‎ (1) 求抛物线的解析式.‎ ‎ (2)已知AD = AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t 秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值;‎ ‎ (3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎(注:抛物线的对称轴为)‎ 解:设抛物线的解析式为,‎ 依题意得:c=4且 解得 ‎ 所以 所求的抛物线的解析式为 ‎(2)连接DQ,在Rt△AOB中,‎ 所以AD=AB= 5,AC=AD+CD=3 + 4 = 7,CD = AC - AD = 7 – 5 = 2‎ 因为BD垂直平分PQ,所以PD=QD,PQ⊥BD,所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB,所以∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB,所以△CDQ∽ △CAB ‎ 即 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= , ‎ 所以t的值是 ‎(3)答对称轴上存在一点M,使MQ+MC的值最小 理由:因为抛物线的对称轴为所以A(- 3,0),C(4,0)两点关于直线对称连接AQ交直线于点M,则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x 轴,于E,所以∠QED=∠BOA=90 DQ∥AB,∠ BAO=∠QDE, △DQE ∽△ABO 即 所以QE=,DE=,所以OE = OD + DE=2+=,所以Q(,)‎ 设直线AQ的解析式为则 由此得 ‎ 所以直线AQ的解析式为 联立 由此得 所以M则:在对称轴上存在点M,使MQ+MC的值最小。‎ ‎2.如图9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC ,tan∠ACO=.‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式.‎ ‎(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.‎ ‎(1)由已知得:C(0,-3),A(-1,0)‎ 将A、B、C三点的坐标代入得 解得: ‎ 所以这个二次函数的表达式为: ‎ ‎(2)存在,F点的坐标为(2,-3) ‎ 理由:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:‎ ‎∴E点的坐标为(-3,0) ‎ 由A、C、E、F四点的坐标得:AE=CF=2,AE∥CF ‎∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ‎∴存在点F,坐标为(2,-3) ‎ ‎(3)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,‎ 易得G(2,-3),直线AG为.‎ 设P(x,),则Q(x,-x-1),PQ.‎ ‎ ‎ 当时,△APG的面积最大 此时P点的坐标为,. ‎ ‎3.如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。‎ ‎⑴求抛物线的解析式;‎ ‎⑵设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ⑶ 若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标。‎ 解:⑴抛物线与y轴交于点C(0,3),‎ ‎∴设抛物线解析式为 根据题意,得,解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎ ‎⑵存在。‎ 由得,D点坐标为(1,4),对称轴为x=1。‎ 以CD为底边,则PD=PC,设P点坐标为(x,y),根据勾股定理,‎ 得,即y=4-x。‎ 又P点(x,y)在抛物线上,∴,即 ‎ 解得,,应舍去。∴。‎ ‎∴,即点P坐标为。‎ ‎②若以CD为一腰,因为点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,此时点P坐标为(2,3)。‎ ‎∴符合条件的点P坐标为或(2,3)。‎ ‎⑶由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理,‎ 得CB=,CD=,BD=,‎ ‎∴,‎ ‎∴∠BCD=90°,‎ 设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中,‎ ‎∵CF=DF=1,‎ ‎∴∠CDF=45°,‎ 由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点坐标M为(2,3),‎ ‎∴DM∥BC,‎ ‎∴四边形BCDM为直角梯形,由∠BCD=90°及题意可知,‎ 以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;‎ 以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。‎ 综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3)。‎ ‎4.已知:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y 轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB0,-y表示点E到OA的距离.‎ ‎∵OA是的对角线,‎ ‎∴.‎ 因为抛物线与轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以,自变量的取值范围是1<<6.‎ ①根据题意,当S = 24时,即.‎ 化简,得 解之,得 故所求的点E有两个,分别为E1(3,-4),E2(4,-4).点E1(3,-4)满足OE = AE,所以是菱形;点E2(4,-4)不满足OE = AE,所以不是菱形.‎ ②当OA⊥EF,且OA = EF时,是正方形,此时点E的坐标只能是(3,-3).而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点E,使为正方形.‎ ‎13.如图,直线与轴交于点,与轴交于点,已知二次函数的图象经过点、和点.‎ ‎(1)求该二次函数的关系式;‎ ‎(2)设该二次函数的图象的顶点为,求四边形的面积;‎ ‎(3)有两动点、同时从点出发,其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按→→的路线运动,点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动,当、两点相遇时,它们都停止运动.设、同时从点出发秒时,的面积为S .‎ ‎①请问、两点在运动过程中,是否存在∥,若存在,请求出此时的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎②请求出S关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;‎ ‎③设是②中函数S的最大值,那么 = .‎ 解:(1)令,则;‎ 令则.∴.‎ ‎∵二次函数的图象过点,‎ ‎∴可设二次函数的关系式为 又∵该函数图象过点.‎ ‎∴‎ 解之,得,.‎ ‎∴所求二次函数的关系式为 ‎ ‎(2)∵‎ ‎=‎ ‎∴顶点M的坐标为 ‎ 过点M作MF轴于F ‎∴‎ ‎=‎ ‎∴四边形AOCM的面积为10 ‎ ‎(3)①不存在DE∥OC ‎ ‎∵若DE∥OC,则点D,E应分别在线段OA,CA上,此时,在中,.‎ 设点E的坐标为∴,∴ ∵,‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∵>2,不满足.‎ ‎∴不存在.‎ ‎②根据题意得D,E两点相遇的时间为(秒)‎ 现分情况讨论如下:‎ ⅰ)当时,;‎ ⅱ)当时,设点E的坐标为 ‎∴,∴‎ ‎∴ ‎ ⅲ)当2 <<时,设点E的坐标为,类似ⅱ可得 设点D的坐标为 ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎= ‎ ‎③‎ ‎14.已知:如图,抛物线经过、、三点.‎ ‎(1)求抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)若过点C的直线与抛物线相交于点E (4,m),请求出△CBE的面积S的值;‎ ‎(3)在抛物线上求一点使得△ABP0为等腰三角形并写出点的坐标;‎ ‎(4)除(3)中所求的点外,在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形?若存在,请求出一共有几个满足条件的点(要求简要说明理由,但不证明);若不存在这样的点,请说明理由.‎ 解:(1)∵抛物线经过点、,‎ ‎∴.‎ 又∵抛物线经过点,‎ ‎∴,.‎ ‎∴抛物线的解析式为.‎ ‎(2)∵E点在抛物线上,‎ ‎∴m = 42–4×6+5 = -3.‎ ‎∵直线y = kx+b过点C(0, 5)、E(4, –3),‎ ‎∴ 解得k = -2,b = 5. ‎ 设直线y=-2x+5与x轴的交点为D,‎ 当y=0时,-2x+5=0,解得x=.‎ ‎∴D点的坐标为(,0). ‎ ‎∴S=S△BDC + S△BDE ‎=‎ ‎=10.‎ ‎(3)∵抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上,‎ ‎∴点为所求满足条件的点.‎ ‎(4)除点外,在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形.‎ 理由如下:‎ ‎∵,‎ ‎∴分别以、为圆心半径长为4画圆,分别与抛物线交于点、、、、、、、,除去、两个点外,其余6个点为满足条件的点 ‎15.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连接OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;‎ ‎(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.‎ ‎(注意:本题中的结果均保留根号)‎ 解:(1)过点B作BD⊥x轴于点D,由已知可得:‎ OB=OA=2,∠BOD=60°‎ 在Rt△OBD中,∠ODB=90°,∠OBD=30°‎ ‎ ∴OD=1,DB=‎ ‎ ∴点B的坐标是(1,)‎ ‎(2)设所求抛物线的解析式为,由已知可得:‎ ‎ 解得:‎ ‎∴所求抛物线解析式为 ‎ ‎(3)存在 由 配方后得:‎ ‎∴抛物线的对称轴为 ‎ ‎(也可用顶点坐标公式求出)‎ ‎∵点C在对称轴上,△BOC的周长=OB+BC+CO;‎ ‎∵OB=2,要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小,‎ ‎∵点O与点A关于直线对称,有CO=CA ‎△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA ‎∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小。‎ 设直线AB的解析式为,则有:‎ 解得:‎ ‎∴直线AB的解析式为 当时,‎ ‎∴所求点C的坐标为(-1,)‎ ‎(4)设P(),则 ①‎ 过点P作PQ⊥y轴于点Q, PG⊥x轴于点G,过点A作AF⊥PQ轴于点F,过点B作BE⊥PQ轴于点E,则PQ=,PG=,由题意可得:‎ ‎ ‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎= ②‎ ‎ 将①代入②,化简得: ‎ ‎=‎ ‎∴当时,△PAB得面积有最大值,最大面积为。‎ 此时 ‎∴点P的坐标为 ‎16.如图,已知与轴交于点和的抛物线的顶点为,抛物线与关于轴对称,顶点为.‎ ‎(1)求抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)已知原点,定点,上的点与上的点始终关于轴对称,则当点运动到何处时,以点为顶点的四边形是平行四边形?‎ ‎(3)在上是否存在点,使是以为斜边且一个角为的直角三角形?若存,求出点的坐标;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)由题意知点的坐标为.‎ 设的函数关系式为.‎ 又点在抛物线上,‎ ‎,解得.‎ 抛物线的函数关系式为(或).‎ ‎(2)与始终关于轴对称,‎ ‎ 与轴平行.‎ 设点的横坐标为,则其纵坐标为,‎ ‎,,即.‎ 当时,解得.‎ 当时,解得.‎ 当点运动到或或或时,‎ ‎,以点为顶点的四边形是平行四边形.‎ ‎(3)满足条件的点不存在.理由如下:若存在满足条件的点在上,则 ‎,(或),‎ ‎.‎ 过点作于点,可得.‎ ‎,,.‎ 点的坐标为.‎ 但是,当时,.‎ 不存在这样的点构成满足条件的直角三角形.‎ ‎17.如图,抛物线y=-x 2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在(1)中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P,使△PBC的面积最大?,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)将A(1,0),B(-3,0)代入y=-x 2+bx+c得 ‎ ‎ 解得 ‎∴该抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3. ‎ ‎(2)存在. ‎ 该抛物线的对称轴为x=-=-1‎ ‎∵抛物线交x轴于A、B两点,∴A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称.‎ 由轴对称的性质可知,直线BC与x=-1的交点即为所求的Q点,此时△QAC的周长最小,如图1.‎ 将x=0代入y=-x 2-2x+3,得y=3.‎ ‎∴点C的坐标为(0,3).‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b1,‎ 将B(-3,0),C(0,3)代入,得 ‎ 解得 ‎∴直线BC的解析式为y=x+3. ‎ 联立 解得 ‎∴点Q的坐标为(-1,2). ‎ ‎(3)存在. ‎ 设P点的坐标为(x,-x 2-2x+3)(-3<x<0),如图2.‎ ‎∵S△PBC =S四边形PBOC -S△BOC =S四边形PBOC -×3×3=S四边形PBOC -‎ 当S四边形PBOC有最大值时,S△PBC就最大.‎ ‎∵S四边形PBOC =SRt△PBE+S直角梯形PEOC ‎ ‎=BE·PE+(PE+OC)·OE ‎=(x+3)(-x 2-2x+3)+(-x 2-2x+3+3)(-x)‎ ‎=-(x+)2++‎ 当x=-时,S四边形PBOC最大值为+.‎ ‎∴S△PBC最大值=+-=. ‎ 当x=-时,-x 2-2x+3=-(-)2-2×(-)+3=.‎ ‎∴点P的坐标为(-,). ‎ ‎18.如图,已知抛物线y=a(x-1)2+(a≠0)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C,B在轴正半轴上,连结BC.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问:当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?‎ ‎(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.‎ 解:(1)把A(-2,0)代入y=a(x-1)2+,得0=a(-2-1)2+.‎ ‎∴a=-‎ ‎∴该抛物线的解析式为y=-(x-1)2+‎ 即y=-x 2+x+. ‎ ‎(2)设点D的坐标为(xD,yD),由于D为抛物线的顶点 ‎∴xD=-=1,yD=-×1 2+×1+=.‎ ‎∴点D的坐标为(1,).‎ 如图,过点D作DN⊥x轴于N,则DN=,AN=3,∴AD==6.‎ ‎∴∠DAO=60°‎ ‎∵OM∥AD ‎①当AD=OP时,四边形DAOP为平行四边形.‎ ‎∴OP=6‎ ‎∴t=6(s)‎ ‎②当DP⊥OM时,四边形DAOP为直角梯形.‎ 过点O作OE⊥AD轴于E.‎ 在Rt△AOE中,∵AO=2,∠EAO=60°,∴AE=1.‎ ‎(注:也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE=1)‎ ‎∵四边形DEOP为矩形,∴OP=DE=6-1=5.‎ ‎∴t=5(s)‎ ‎③当PD=OA时,四边形DAOP为等腰梯形,此时OP=AD-2AE=6-2=4.‎ ‎∴t=4(s)‎ 综上所述,当t=6s、5s、4s时,四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形.‎ ‎(3)∵∠DAO=60°,OM∥AD,∴∠COB=60°.‎ 又∵OC=OB,∴△COB是等边三角形,∴OB=OC=AD=6.‎ ‎∵BQ=2t,∴OQ=6-2t(0<t<3)‎ 过点P作PF⊥x轴于F,则PF=t.‎ ‎∴S四边形BCPQ =S△COB -S△POQ ‎=×6×-×(6-2t)×t ‎=(t-)2+‎ ‎∴当t=(s)时,S四边形BCPQ的最小值为.‎ 此时OQ=6-2t=6-2×=3,OP=,OF=,∴QF=3-=,PF=.‎ ‎∴PQ=== ‎ ‎19.如图,已知直线y=-x+1交坐标轴于A、B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线另一个交点为E.‎ ‎(1)请直接写出点C,D的坐标;‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止.设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围;‎ ‎(4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,直至顶点D落在x轴上时停止,求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积.‎ 解:(1)C(3,2),D(1,3);‎ ‎(2)设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c,把A(0,1),D(1,3),C(3,2)代入 得 解得 ‎∴抛物线的解析式为y=-x 2+x+1; ‎ ‎(3)①当点A运动到点F(F为原B点的位置)时 ‎∵AF==,∴t==1(秒).‎ 当0< t ≤1时,如图1.‎ B′F=AA′=t ‎∵Rt△AOF∽Rt△∠GB ′F,∴=.‎ ‎∴B ′G=·B ′F=×t=t 正方形落在x轴下方部分的面积为S即为△B ′FG的面积S△B′FG ‎∴S=S△B′FG=B ′F·B ′G=×t×t=t 2‎ ‎②当点C运动到x轴上时 ‎∵Rt△BCC ′∽Rt△∠AOB,∴=.‎ ‎∴CC ′=·BC=×=,∴t==2(秒).‎ 当1< t ≤2时,如图2.‎ ‎∵A ′B ′=AB=,∴A ′F=t-.‎ ‎∴A ′G=‎ ‎∵B ′H=t ‎∴S=S梯形A′B′HG=(A ′G+B ′H)·A ′B ′‎ ‎=(+t)·‎ ‎=t- ‎ ‎③当点D运动到x轴上时 DD′=‎ t==3(秒)‎ 当2< t ≤3时,如图3.‎ ‎∵A ′G=‎ ‎∴GD′=-=‎ ‎∴D′H=- ‎ ‎∴S△D′GH =()(-)=()2‎ ‎∴S=S正方形A′B′C′D′ -S△D′GH ‎=()2-()2‎ ‎=-t 2+t-‎ ‎(4)如图4,抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积为图中阴影部分的面积.‎ ‎∵t=3,BB′=AA′=DD′=‎ ‎∴S阴影=S矩形BB′C′C ‎ ‎=BB′·BC ‎=×‎ ‎=15‎ ‎20.已知:抛物线y=x 2-2x+a(a <0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y=x-a分别与x轴,y轴相交于B,C两点,并且与直线AM相交于点N.‎ ‎(1)填空:试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标,则M( , ),N( , );‎ ‎(2)如图,将△NAC沿轴翻折,若点N的对应点N ′恰好落在抛物线上,AN ′与轴交于点D,连结CD,求a的值和四边形ADCN的面积;‎ ‎(3)在抛物线y=x 2-2x+a(a <0)上是否一点P,使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,试说明理由.‎ 解:(1)M(1,a-1),N(a,-a).‎ ‎(2)∵点N ′是△NAC沿轴翻折后点N的对应点 ‎∴点N ′与点N关于y轴对称,∴N ′(-a,-a).‎ 将N ′(-a,-a)代入y=x 2-2x+a,得-a=(-a)2-2×(-a)+a 整理得‎4a 2+‎9a=0,解得a1=0(不合题意,舍去),a2=-.‎ ‎∴N ′(3,),∴点N到轴的距离为3.‎ ‎∵a=-,抛物线y=x 2-2x+a与y轴相交于点A,∴A(0,-).‎ ‎∴直线AN ′的解析式为y=x -,将y=0代入,得x =.‎ ‎∴D(,0),∴点D到轴的距离为.‎ ‎∴S四边形ADCN =S△ACN +S△ACN =××3+××= ‎ ‎(3)如图,当点P在y轴的左侧时,若四边形ACPN是平行四边形,则PN平行且等于AC.‎ ‎∴将点N向上平移-‎2a个单位可得到点P,其坐标为(a,-a),代入抛物线的解析式,得:-a=(a)2-2×a+a,整理得‎8a 2+‎3a=0.‎ 解得a1=0(不合题意,舍去),a2=-.‎ ‎∴P(-,) ‎ 当点P在y轴的右侧时,若四边形APCN是平行四边形,‎ 则AC与PN互相平分.‎ ‎∴OA=OC,OP=ON,点P与点N关于原点对称.‎ ‎∴P(-a,a),代入y=x 2-2x+a,得 a=(-a)2-2×(-a)+a,整理得‎8a 2+‎15a=0.‎ 解得a1=0(不合题意,舍去),a2=-.‎ ‎∴P(,-)‎ ‎∴存在这样的点P,使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标为 ‎(-,)或(,-).‎ ‎21.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax 2+bx过A、C两点.‎ ‎(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)动点P从点A出发,沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动,速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.‎ ‎① 过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?‎ ‎② 连接EQ,在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.‎ 解:(1)点A的坐标为(4,8).‎ 将A(4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax 2+bx,‎ 得 解得a=-,b=4.‎ ‎∴抛物线的解析式为y=-x 2+4x.‎ ‎(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE==,即==.‎ ‎∴PE=AP=t,PB=8-t.‎ ‎∴点E的坐标为(4+t,8-t).2‎ ‎∴点G的纵坐标为-(4+t)2+4(4+t)=-t 2+8. ‎ ‎∴EG=-t 2+8-(8-t)=-t 2+t ‎∵-<0,∴当=4时,线段EG最长为2.‎ ‎②共有三个时刻. t1=,t2=,t3=40-. ‎ ‎22.如图,抛物线y=-x 2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.‎ ‎(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;‎ x y D C A O B ‎(2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.‎ ‎①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,‎ 四边形PEDF为平行四边形?‎ ‎②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.‎ 解:(1)A(-1,0),B(3,0),C(0,3).‎ 抛物线的对称轴是:x=1.‎ x y D C A O B F M P E ‎(2)①设直线BC的解析式为:y=kx+b.‎ 将B(3,0),C(0,3)分别代入得:‎ ‎ 解得 ‎∴直线BC的解析式为y=-x+3.‎ 当x=1时,y=-1+3=2,∴E(1,2).‎ 当x=m时,y=-m+3,∴P(m,-m+3).‎ 将x=1代入y=-x 2+2x+3,得y=4,‎ ‎∴D(1,4).‎ 将x=m代入y=-x 2+2x+3,‎ 得y=-m 2+‎2m+3.‎ ‎∴F(m,-m 2+‎2m+3).‎ ‎∴线段DE=4-2=2,线段PF=-m 2+‎2m+3-(-m+3)=-m 2+3m ‎ ‎∵PF∥DE,∴当PF=DE时,四边形PEDF为平行四边形.‎ 由-m 2+‎3m=2,解得:m1=2,m2=1(不合题意,舍去).‎ ‎∴当m=2时,四边形PEDF为平行四边形.②设直线PF与x轴交于点M.‎ 由B(3,0),O(0,0),可得:OB=OM+MB=3.‎ 则S=S△BPF +S△CPF ‎=PF·BM+PF·OM ‎=PF·OB ‎=(-m 2+‎3m)×3‎ ‎=-m 2+m(0≤m≤3)‎ 即S与m的函数关系式为:S=-m 2+m(0≤m≤3).‎ ‎23.如图,在矩形OABC中,已知A、C两点的坐标分别为A(4,0)、C(0,2),D为OA的中点.设点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).‎ ‎(1)试证明:无论点P运动到何处,PC总与PD相等;‎ ‎(2)当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式;‎ ‎(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点,当点P运动到何处时,△PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和△PDE的周长;‎ ‎(4)设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P,使∠CPN=90°?若存在,请直接写出点P的坐标.‎ 解:(1)∵点D是OA的中点,∴OD=2,∴OD=OC.‎ 又∵OP是∠COD的角平分线,∴∠POC=∠POD=45°.‎ ‎∴△POC≌∠POD,∴PC=PD;‎ ‎(2)如图,过点B作∠AOC的平分线的垂线,垂足为P,点P即为所求.‎ 易知点F的坐标为(2,2),故BF=2,作PM⊥BF.‎ ‎∵△PBF是等腰直角三角形,∴PM=BF=1.‎ ‎∴点P的坐标为(3,3).‎ ‎∵抛物线经过原点 ‎∴可设抛物线的解析式为y=ax 2+bx.‎ 又∵抛物线经过点P(3,3)和点D(2,0)‎ ‎∴ 解得 ‎∴过O、P、D三点的抛物线的解析式为y=x 2-2x; ‎ ‎(3)由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点.‎ 连接EC,它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点(因为PE+PD=EC,而两点之间线段最短),此时△PED的周长最小.‎ ‎∵抛物线y=x 2-2x的顶点E的坐标(1,-1),C点的坐标(0,2)‎ 设CE所在直线的解析式为y=kx+b 则 解得 ‎∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2.‎ 联立,解得,故点P的坐标为(,).‎ ‎△PED的周长即是CE+DE=; ‎ ‎(4)存在点P,使∠CPN=90°,其坐标为(,)或(2,2).‎ ‎24.如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.‎ ‎(1)求该抛物线所对应的函数关系式;‎ ‎(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).‎ ‎①当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;‎ ‎②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)∵因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4)‎ ‎∴可设其对应的函数关系式为y=a(x -2)2+4. ‎ 又抛物线经过坐标原点O(0,0),∴a(0-2)2+4=0.‎ 解得a=-1.‎ ‎∴所求函数关系式为y=-(x -2)2+4,即y=-x 2+4x. ‎ ‎(2)①点P不在直线ME上,理由如下: ‎ 根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0).‎ 设直线ME的解析式为y=kx+b,将M(2,4),E(4,0)代入,得 ‎ 解得.‎ ‎∴直线ME的解析式为y=-2x+8.‎ 当t=时,OA=AP=,∴P(,).‎ ‎∵点P的坐标不满足直线ME的解析式y=-2x+8‎ ‎∴当t=时,点P不在直线ME上.‎ ‎②S存在最大值,理由如下:‎ ‎∵点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上,∴OA=AP=t.‎ ‎∴P(t,t),N(t,-t 2+4t),∴AN=-t 2+4t(0≤≤3)‎ ‎∴PN=AN-AP=-t 2+4t-t=-t 2+3t=t(3-t)≥0‎ ‎(ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD.‎ ‎∴S=DC·AD=×3×2=3.‎ ‎(ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形.‎ ‎∵PN∥CD,AD⊥CD.‎ ‎∴S=(CD+PN)·AD=(3-t 2+3t)×2=-t 2+3t+3=-(t-)2+(0<t<3).‎ 当t=时,S最大=. ‎ 综上所述,当t=时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积S有最大值,最大值为. ‎ 说明:(ⅱ)中的关系式,当t=0和t=3时也适合.‎ ‎25.如图1,已知抛物线y=ax 2-2ax-3与x轴交于A、B两点,其顶点为C,过点A的直线交抛物线于另一点D(2,-3),且tan∠BAD=1.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)连结CD,求证:AD⊥CD;‎ ‎(3)如图2,P是线段AD上的动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点E,求线段PE长度的最大值;‎ ‎(4)点Q是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使以A,D,F,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)如图1,过点D作DH⊥x轴于H,则OH=2,DH=3.‎ ‎∵tan∠BAD=1,∴AH=DH=3,∴AO=3-2=1.‎ ‎∴A(-1,0).‎ 把A(-1,0)代入y=ax 2-2ax-3,得a+‎2a-3=0.∴a=1. ‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x 2-2x-3.‎ ‎(2)∵y=x 2-2x-3=(x-1)2-4∴C(1,-4).‎ 连结AC,则AD 2=3 2+3 2=18,CD 2=(2-1)2+(-3+4)2=2,AC 2=(1+1)2+4 2=20.‎ ‎∴AD 2+CD 2=AC 2,∴△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°.‎ ‎∴AD⊥CD.‎ ‎(3)设直线AD的解析式为y=kx+b,把A(-1,0),D(2,-3)代入 求得直线BC的解析式为y=-x-1.‎ 设点P的横坐标为x,则P(x,-x-1),E(x,x 2-2x-3).‎ ‎∵点P在点E的上方 ‎∴EP=(-x-1)-(x 2-2x-3)=-x 2+x+2=-(x-)2+‎ ‎∴当x=时,线段PE长度的最大值=. ‎ ‎(4)存在,点F的坐标分别为F1(-3,0),F2(1,0),F3(,0),F4(,0).‎ 关于点F坐标的求解过程(原题不作要求,本人添加,仅供参考)‎ 如图3‎ ‎①若四边形ADQ‎1F1为平行四边形,则AF1=DQ1,DQ1∥AF1.‎ ‎∴点Q1的纵坐标为-3,代入y=x 2-2x-3,得x 2-2x-3=-3,∴x1=0,x2=2.‎ ‎∵D(2,-3),∴Q1(0,-3),∴DQ1=2,∴AF1=2.‎ ‎∴F1(-3,0).‎ ‎②若四边形AF2DQ2为平行四边形,同理可得F2(1,0).‎ ‎③若四边形AQ‎3F3D为平行四边形,则AQ3=DF3.‎ ‎∴点Q3的纵坐标为3,代入y=x 2-2x-3,得x 2-2x-3=3,∴x3=,x4=.‎ ‎-1-()=,OF3=2-()=.‎ ‎∴F3(,0).‎ ‎④若四边形AQ‎4F4D为平行四边形,则 OF4=()-()+()=‎ ‎∴F4(,0).‎ ‎26.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,-2),直线x=m(m>2)与x轴交于点D.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)在直线x=m(m>2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);‎ ‎(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)∵二次函数y=ax 2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,-2)‎ ‎∴ 解得 ‎∴二次函数的解析式y=-x 2+3x-2. ‎ ‎(2)当△EDB∽△AOC时,有=或=‎ ‎∵AO=1,CO=2,BD=m-2.‎ 当=时,得=,∴ED=.‎ ‎∵点E在第四象限,∴E1(m,).‎ 当=时,得=,∴ED=‎2m-4.‎ ‎∵点E在第四象限,∴E2(m,4-‎2m).‎ ‎(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则 EF=AB=1,点F的横坐标为m-1.‎ 当点E1的坐标为(m,)时,点F1的坐标为(m-1,).‎ ‎∵点F1在抛物线的图象上,∴=-(m-1)2+3(m-1)-2.‎ ‎∴‎2m 2-‎11m+14=0,解得m1=,m2=2(不合题意,舍去).‎ ‎∴F1(,-).∴S□ABEF =1×=.‎ 当点E2的坐标为(m,4-‎2m)时,点F2的坐标为(m-1,4-‎2m).‎ ‎∵点F2在抛物线的图象上,∴4-‎2m=-(m-1)2+3(m-1)-2.‎ ‎∴m 2-‎7m+10=0,解得m1=5,m2=2(不合题意,舍去).‎ ‎∴F2(4,-6).∴S□ABEF =1×6=6. ‎ ‎27.已知:t1,t2是方程t 2+2t-24=0,的两个实数根,且t1<t2,抛物线y=x 2+bx+c的图象经过点A(t1,0),B(0,t2).‎ ‎(1)求这个抛物线的解析式;‎ ‎(2)设点P(x,y)是抛物线上一动点,且位于第三象限,四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形,求□OPAQ的面积S与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当□OPAQ的面积为24时,是否存在这样的点P,使□OPAQ为正方形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)由t 2+2t-24=0,解得t1=-6,t2=4.‎ ‎∵t1<t2,∴A(-6,0),B(0,4).‎ ‎∵抛物线y=x 2+bx+c的图象经过点A,B两点 ‎∴ 解得 ‎∴这个抛物线的解析式为y=x 2+x+4.‎ ‎(2)∵点P(x,y)在抛物线上,且位于第三象限,∴y<0,即-y>0.‎ 又∵S=2S△APO=2××| OA|·| y |=| OA|·| y |=6| y |‎ ‎∴S=-6y.‎ ‎=-6(x 2+x+4)‎ ‎=-4(x 2+7x+6)‎ ‎=-4(x+)2+25. ‎ 令y=0,则x 2+x+4=0,解得x1=-6,x2=-1.‎ ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为(-6,0)、(-1,0)‎ ‎∴x的取值范围为-6<x<-1. ‎ ‎(3)当S=24时,得-4(x+)2+25=24,解得:x1=-4,x2=-3. ‎ 代入抛物线的解析式得:y1=y2=-4.‎ ‎∴点P的坐标为(-3,-4)、(-4,-4).‎ 当点P为(-3,-4)时,满足PO=PA,此时,□OPAQ是菱形.‎ 当点P为(-4,-4)时,不满足PO=PA,此时,□OPAQ不是菱形.‎ 要使□OPAQ为正方形,那么,一定有OA⊥PQ,OA=PQ,此时,点的坐标为(-3,-3),而(-3,-3)不在抛物线y=x 2+x+4上,故不存在这样的点P,使□OPAQ为正方形. ‎ ‎28.如图,Rt△ABC的顶点坐标分别为A(0,),B(-,),C(1,0),∠ABC=90°,BC与y轴的交点为D,D点坐标为(0,),以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′,求证:四边形AOCB′是矩形,并判断点B′是否在(1)的抛物线上;‎ ‎(3)延长BA交抛物线于点E,在线段BE上取一点P,过P点作x轴的垂线,交抛物线于点F,是否存在这样的点P,使四边形PADF是平行四边形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.‎ 解:(1)∵抛物线的顶点为D(0,)‎ ‎∴可设抛物线的解析式为y=ax 2+. ‎ ‎∵B(-,)在抛物线上 ‎∴a(-)2+=,∴a=.‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x 2+. ‎ ‎(2)∵B(-,),C(1,0)‎ ‎∴BC==‎ 又B′C=BC,OA=,∴B′C=OA.‎ ‎∵AC===2‎ ‎∴AB===1‎ 又AB′=AB,OC=1,∴AB′=OC.‎ ‎∴四边形AOCB′是矩形.‎ ‎∵B′C=,OC=1‎ ‎∴点B′ 的坐标为(1,)将x=1代入y=x 2+得y=‎ ‎∴点B′ 在抛物线上. ‎ ‎(3)存在 理由如下:‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b,则 ‎ 解得 ‎∴直线AB的解析式为y= ‎ ‎∵P、F分别在直线AB和抛物线上,且PF∥AD ‎∴设P(m,),F(m,m 2+)‎ ‎∴PF=()-(m 2+)=-m 2++‎ AD==‎ 若四边形PADF是平行四边形,则有PF=AD.‎ 即-m 2++=‎ 解得m1=0(不合题意,舍去),m2=.‎ 当m=时,=×+=.‎ ‎∴存在点P(,),使四边形PADF是平行四边形. ‎ ‎29.如图1,平移抛物线F1:y=x 2后得到抛物线F2.已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A(2,0),且对称轴与抛物线F1交于点B,设抛物线F2的顶点为N.‎ ‎(1)探究四边形ABMN的形状及面积(直接写出结论);‎ ‎(2)若将已知条件中的“抛物线F1:y=x ‎2”‎改为“抛物线F1:y=ax ‎2”‎(如图2),“点A(2,0)”改为“点A(m,0)”,其它条件不变,探究四边形ABMN的形状及其面积,并说明理由;‎ ‎(3)若将已知条件中的“抛物线F1:y=x ‎2”‎改为“抛物线F1:y=ax 2+c”(如图3),“点A(2,0)”改为“点A(m,c)”其它条件不变,求直线AB与轴的交点C的坐标(直接写出结论).‎ 解:(1)四边形ABMN是正方形,其面积为2. ‎ ‎(2)四边形ABMN是菱形.当m>0时,四边形ABMN的面积为;当<0时,四边形ABMN的面积为-. ‎ 理由如下:‎ ‎∵平移抛物线F1后得到抛物线F2,且抛物线F2经过原点O.‎ ‎∴设抛物线F2的解析式为y=ax 2+bx.‎ ‎∵抛物线F2经过点A(m,0)‎ ‎∴am 2+bm=0.‎ 由题意可知m≠0,∴b=-am.‎ ‎∴抛物线F2的解析式为y=ax 2-amx.∴y=a(x-)2-‎ ‎∴抛物线F2的对称轴为直线x=,顶点N(,-).‎ ‎∵抛物线F2的对称轴与抛物线F1的交点为B,∴点B的横坐标为.‎ ‎∵点B在抛物线F1:y=ax 2上 ‎∴yB=a()2= ‎ 设抛物线F2的对称轴与x轴交于点P,如图1.‎ ‎∵a>0,∴BP=.‎ ‎∵顶点N(,-),∴NP=|-|=.‎ ‎∴BP=NP. ‎ ‎∵抛物线是轴对称图形,∴OP=AP.‎ ‎∴四边形ABMN是平行四边形.‎ ‎∵BN是抛物线F2的对称轴,∴BN⊥OA.‎ ‎∴四边形ABMN是菱形. ‎ ‎∵BN=BP+NP,∴BN=.‎ ‎∵四边形ABMN的面积为×OA·BN=×|m|×‎ ‎∴当m>0时,四边形ABMN的面积为×m×=.‎ 当m<0时,四边形ABMN的面积为×(-m)×=-. ‎ ‎(3)点C的坐标为(0,+c)(参考图2). ‎ ‎30.如图,抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)在抛物线上求点M,使△MOB的面积是△AOB面积的3倍;‎ ‎(3)连结OA,AB,在x轴下方的抛物线上是否存在点N,使△OBN与△OAB相似?若存在,求出N点的坐标;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)由题意,可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1.‎ ‎∵抛物线经过原点,∴a(0-2)2+1=0,∴a=-.‎ ‎∴抛物线的解析式为y=-(x-2)2+1=-x 2+x. ‎ ‎(2)△AOB和所求△MOB同底不等高,若S△MOB =3S△AOB ,则△MOB的高是△AOB高的3倍,‎ 即M点的纵坐标是-3.‎ ‎∴-x 2+x=-3,整理得x 2-4x-12=0,解得x1=6,x2=-2.‎ ‎∴满足条件的点有两个:M1(6,-3),M2(-2,-3) ‎ ‎(3)不存在.‎ 理由如下:‎ 由抛物线的对称性,知AO=AB,∠AOB=∠ABO.‎ 若△OBN∽△OAB,则∠BON=∠BOA=∠BNO.‎ 设ON交抛物线的对称轴于A′ 点,则A′ (2,-1).‎ ‎∴直线ON的解析式为y=-x.‎ 由x=-x 2+x,得x1=0,x2=6.∴N(6,-3).‎ 过点N作NC⊥x轴于C.‎ 在Rt△BCN中,BC=6-4=2,NC=3‎ ‎∴NB==.‎ ‎∵OB=4,∴NB≠OB,∴∠BON≠∠BNO,∴△OBN与△OAB不相似.‎ 同理,在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点.‎ ‎∴在x轴下方的抛物线上不存在点N,使△OBN与△OAB相似. ‎ ‎31.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;‎ ‎(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.‎ ‎(1)如图1,过点B作BM⊥x轴于M.‎ 由旋转性质知OB=OA=2.‎ ‎∵∠AOB=120°,∴∠BOM=60°.‎ ‎∴OM=OB·cos60°=2×=1,BM=OB·sin60°=2×=.‎ ‎∴点B的坐标为(1,). ‎ ‎(2)设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ‎∵抛物线过原点,∴c=0.‎ ‎∴ 解得 ‎∴所求抛物线的解析式为y=x 2+x. ‎ ‎(3)存在. ‎ 如图2,连接AB,交抛物线的对称轴于点C,连接OC.‎ ‎∵OB的长为定值,∴要使△BOC的周长最小,必须BC+OC的长最小.‎ ‎∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称,∴OC=AC.‎ ‎∴BC+OC=BC+AC=AB.‎ 由“两点之间,线段最短”的原理可知:此时BC+OC最小,点C的位置即为所求.‎ 设直线AB的解析式为y=kx+m,将A(-2,0),B(1,)代入,得 ‎ 解得 ‎∴直线AB的解析式为y=x+.‎ 抛物线的对称轴为直线x==-1,即x=-1.‎ 将x=-1代入直线AB的解析式,得y=×(-1)+=.‎ ‎∴点C的坐标为(-1,). ‎ ‎(4)△PAB有最大面积. ‎ 如图3,过点P作y轴的平行线交AB于点D.‎ ‎∵S△PAB =S△PAD+S△PBD ‎=(yD-yP)(xB-xA)‎ ‎=[(x+)-(x 2+x)](1+2) ‎ ‎=-x 2-x+‎ ‎=-(x+)2+‎ ‎∴当x=-时,△PAB的面积有最大值,最大值为. ‎ 此时yP=×(-)2+×(-)=-.‎ ‎∴此时P点的坐标为(-,-).‎ ‎32.已知:Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点C落在y轴正半轴上(如图1).‎ ‎(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式.‎ ‎(2)如图2,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E.‎ ‎①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标.‎ ‎②又连接CD、CP(如图3),△CDP是否有最大面积?若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由.‎ 解:(1)由题意知Rt△△AOC∽Rt△COB,∴=.‎ ‎∴OC 2=OA·OB=OA(AB-OA),即22=OA(5-OA).‎ ‎∴OA 2-5OA+4=0,∵OA<OB,∴OA=1,OB=4.‎ ‎∴A(-1,0),B(4,0),C(0,2).‎ ‎∴可设所求抛物线的关系式为y=a(x+1)(x-4).‎ 将点C(0,2)代入,得2=a(0+1)(0-4),∴a=-.‎ ‎∴经过点A、B、C的抛物线的关系式为y=-(x+1)(x-4).‎ 即y=-x 2+x+2.‎ ‎(2)①E1(3,),E2(,),E3(,). ‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b.‎ 则 解得 ‎∴直线BC的解析式为y=-x+2.‎ ‎∵点E在直线BC上,∴E(x,-x+2).‎ 若ED=EB,过点E作EH⊥x轴于H,如图2,则DH=DB=1.‎ ‎∴OH=OD+DH=2+1=3.‎ ‎∴点E的横坐标为3,代入直线BC的解析式,得y=-×3+2=.‎ ‎∴E1(3,).‎ 若DE=DB,则(x-2)2+(-x+2)2=22.‎ 整理得5x 2-24x+16=0,解得x1=4(舍去),x2=.‎ ‎∴y=-×+2=,∴E2(,).‎ 若BE=BD,则(x-4)2+(-x+2)2=22.‎ 整理得5x 2-24x+16=0,解得x1=(此时点P在第四象限,舍去),x2=.‎ ‎∴y=-×()+2=,∴E3(,).‎ ‎②△CDP有最大面积. ‎ 过点D作x轴的垂线,交PC于点M,如图3.‎ 设直线PC的解析式为y=px+q,将C(0,2),P(m,n)代入,‎ 得 解得 ‎∴直线PC的解析式为y=x+2,∴M(2,+2).‎ S△CDP=S△CDM+S△PDM=xP·yM ‎=m(+2)‎ ‎=m+n-2‎ ‎=m+(-m2+m+2)-2‎ ‎=-m2+m ‎=-(m-)2+‎ ‎∴当m=时,△CDP有最大面积,最大面积为.‎ 此时n=-×()2+×+2=‎ ‎∴此时点P的坐标为(,). ‎ ‎33.如图,已知抛物线y=x 2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).‎ ‎(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)对称轴为直线x=-=-2,即x=-2; ‎ 令y=0,得x 2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3.‎ ‎∵点B的坐标为(-1,0),∴点A的坐标为(-3,0). ‎ ‎(2)存在,点P的坐标为(-2,3),(2,3)和(-4,-3).‎ ‎(3)存在.当x=0时,y=x 2+4x+3=3,∴点C的坐标为(0,3).‎ AO=3,EO=2,AE=1,CO=3.‎ ‎∵DE∥CO,‎ ‎∴△AED∽△AOC.∴=,即=.‎ ‎∴DE=1.‎ ‎∵DE∥CO,且DE≠CO,∴四边形DEOC为梯形.‎ S梯形DEOC=(1+3)×2=4.‎ 设直线CM交x轴于点F,如图.‎ 若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分,则S△COF=2‎ 即CO·FO=2.∴×3FO=2,∴FO=.‎ ‎∴点F的坐标为(-,0). ‎ ‎∵直线CM经过点C(0,3),∴设直线CM的解析式为y=kx+3.‎ 把F(-,0)代入,得-k+3=0.‎ ‎∴k=.‎ ‎∴直线CM的解析式为y=x+3.‎ ‎34.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示;抛物线y=ax 2+ax-2经过点B.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)过点B作BD⊥x轴于D.‎ ‎∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°.‎ ‎∴∠BCD=∠CAO. ‎ 又∵∠BDC=∠COA=90°,BC=CA.‎ ‎∴Rt△BCD≌Rt△CAO,∴BD=CO=1,CD=AO=2. ‎ ‎∴点B的坐标为(-3,1); ‎ ‎(2)把B(-3,1)代入y=ax 2+ax-2,得1=‎9a-‎3a-2,解得a=.‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x 2+x-2; ‎ ‎(3)存在.①延长BC至点P1,使CP1=BC,则得到以点C为直角顶点的等腰直角三角形△ACP1.‎ 过点P1作P‎1M⊥x轴.‎ ‎∵CP1=BC,∠P‎1CM=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°.‎ ‎∴Rt△P‎1CM≌Rt△BCD,‎ ‎∴CM=CD=2,P‎1M=BD=1,可求得点P1(1,-1); ‎ 把x=1代入y=x 2+x-2,得y=-1.‎ ‎∴点P1(1,-1)在抛物线上. ‎ ① 点A作AP2⊥AC,且使AP2=AC,则得到以点A为直角顶点的等腰直角三角形△ACP2.‎ 过点P2作P2N⊥y轴,同理可证Rt△P2NA≌Rt△AOC.‎ ‎ P2N=AO=2,AN=CO=1.可求得点P2(2,1).‎ 把x=2代入y=x 2+x-2,得y=1.‎ ‎∴点P2(2,1)在抛物线上.‎ 综上所述,在抛物线上还存在点P1(1,-1)和P2(2,1),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形.‎ ‎35.如图,在平面直角坐标中,二次函数图象的顶点坐标为C(4,-),且在x轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)点P在y轴上,且使得△PAC的周长最小,求:‎ ‎①点P的坐标;‎ ‎②△PAC的周长和面积;‎ ‎(3)在x轴上方的抛物线上,是否存在点Q,使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x -4)2-(a≠0),且A(x1,0),B(x2,0).‎ ‎∵y=a(x -4)2-=ax 2-8ax+‎16a-‎ ‎∴x1+x2=8,x1x2=16-.‎ ‎∴AB 2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=82-4(16-)=36,∴a=.‎ ‎∴二次函数的解析式为y=(x -4)2-.‎ ‎(2)①如图1,作点A关于y轴的对称点A′,连结A′C交y轴于点P,连结PA,则点P为所求.‎ 令y=0,得(x -4)2-=0,解得x1=1,x2=7.‎ ‎∴A(1,0),B(7,0).∴OA=1,∴OA′=1.‎ 设抛物线的对称轴与x轴交于点D,则AD=3,A′D=5,DC=.‎ ‎∵△A′OP∽△ADC,∴=,即=,∴OP=.‎ ‎∴P(0,-).‎ ‎②∵A′C===‎ AC===‎ ‎∴△PAC的周长=PA+PC+AC=A′C+AC=+.‎ ‎ S△PAC=S△A′AC - S△A′AP=A′A(DC-OP)=×2×(-)=.‎ ‎(3)存在. ∵tan∠BAC==,∴∠BAC=30°.‎ 同理,∠ABC=30°,∴∠ACB=120°,AC=BC.‎ ‎①若以AB为腰,∠BAQ1为顶角,使△ABQ1∽△CBA,则AQ1=AB=6,∠BAQ1=120°.‎ 如图2,过点Q1作Q1H⊥x轴于H,则 Q1H=AQ1·sin60°=6×=,HA=AQ1·cos60°=6×=3.‎ HO=HA-OA=3-1=2.‎ ‎∴点Q1的坐标为(-2,).‎ 把x=-2代入y=(x -4)2-,得y=(-2-4)2-=.‎ ‎∴点Q1在抛物线上. ‎ ① 以BA为腰,∠ABQ2为顶角,使△ABQ2∽△ACB,由对称性可求得点Q1的坐标为(10,).‎ 同样,点Q2也在抛物线上.‎ ‎③若以AB为底,AQ,BQ为腰,点Q在抛物线的对称轴上,不合题意,舍去.‎ 综上所述,在x轴上方的抛物线上存在点Q1(-2,)和Q2(10,),使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似. ‎ ‎36.如图,抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3,0)、B两点,与y轴相交于点C(0,).当x=-4和x=2时,二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的函数值y相等,连结AC、BC.‎ ‎(1)求实数a,b,c的值;‎ ‎(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ y O x C N B P M A 解:(1)由题意得 ‎ ‎ 解得a=-,b=-,c=.‎ ‎(2)由(1)知y=-x 2-x+,令y=0,得-x 2-x+=0.‎ 解得x1=-3,x2=1.‎ ‎∵A(-3,0),∴B(1,0).‎ 又∵C(0,),∴OA=3,OB=1,OC=,∴AB=4,BC=2.‎ ‎∴tan∠ACO==,∴∠ACO=60°,∴∠CAO=30°.‎ 同理,可求得∠CBO=60°,∠BCO=30°,∴∠ACB=90°.‎ ‎∴△ABC是直角三角形.‎ 又∵BM=BN=t,∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴∠BNM=60°,∴∠PNM=60°,∴∠PNC=60°.‎ ‎∴Rt△PNC∽Rt△ABC,∴=.‎ 由题意知PN=BN=t,NC=BC-BN=2-t,∴=.‎ ‎∴t=.‎ ‎∴OM=BM-OB=-1=.‎ 如图1,过点P作PH⊥x轴于H,则PH=PM·sin60°=×=.‎ MH=PM·cos60°=×=.‎ ‎∴OH=OM+MH=+=1.‎ ‎∴点P的坐标为(-1,).‎ ‎(3)存在.‎ 由(2)知△ABC是直角三角形,若△BNQ与△ABC相似,则△BNQ也是直角三角形.‎ ‎∵二次函数y=-x 2-x+的图象的对称轴为x=-1.‎ ‎∴点P在对称轴上.‎ ‎∵PN∥x轴,∴PN⊥对称轴.‎ 又∵QN≥PN,PN=BN,∴QN≥BN.‎ ‎∴△BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形.‎ ‎①如图2,过点N作QN⊥对称轴于Q,连结BQ,则△BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形,且QN>PN,∠MNQ=30°.‎ ‎∴∠PNQ=30°,∴QN===.‎ ‎∴==.‎ ‎∵=tan60°=,∴≠.‎ ‎∴当△BNQ以点N为直角顶点时,△BNQ与△ABC不相似. ‎ ‎②如图3,延长NM交对称轴于点Q,连结BQ,则∠BMQ=120°.‎ ‎∵∠AMP=60°,∠AMQ=∠BMN=60°,∴∠PMQ=120°.‎ ‎∴∠BMQ=∠PMQ,又∵PM=BM,QM=QM.‎ ‎∴△BMQ≌△PMQ,∴∠BQM=∠PQM=30°.‎ ‎∵∠BNM=60°,∴∠QBN=90°.‎ ‎∵∠CAO=30°,∠ACB=90°.‎ ‎∴△BNQ∽△ABC.‎ ‎∴当△BNQ以点B为直角顶点时,△BNQ∽△ABC.‎ 设对称轴与x轴的交点为D.‎ ‎∵∠DMQ=∠DMP=60°,DM=DM,∴Rt△DMQ≌Rt△DMP.‎ ‎∴DQ=PD,∴点Q与点P关于x轴对称.‎ ‎∴点Q的坐标为(-1,-). ‎ 综合①②得,在抛物线的对称轴上存在点Q(-1,-),使得以B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似. ‎ ‎37.如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.‎ 解:(1)由题意得. ‎ 解得.‎ ‎∴所求抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3; ‎ ‎(2)存在符合条件的点P,其坐标为P(-1,)或P(-1,)‎ 或P(-1,6)或P(-1,);‎ ‎(3)解法一:‎ 过点E作EF⊥x轴于点F,设E(m,-m 2-‎2m+3)(-3< a <0)‎ 则EF=-m 2-‎2m+3,BF=m+3,OF=-m.‎ ‎∴S四边形BOCE =S△BEF +S梯形FOCE ‎=BF·EF +(EF+OC)·OF ‎=(m+3)(-m 2-‎2m+3)+(-m 2-‎2m+6)(-m).‎ ‎=-m 2-m+‎ ‎=-(m+)2+‎ ‎∴当m=-时,S四边形BOCE 最大,且最大值为.‎ 此时y=-(-)2-2×(-)+3=‎ ‎∴此时E点的坐标为(-,).‎ 解法二:过点E作EF⊥x轴于点F,设E(x,y)(-3< x <0)‎ 则S四边形BOCE =S△BEF +S梯形FOCE ‎=BF·EF +(EF+OC)·OF ‎=(3+x)· y+(3+y)(-x).‎ ‎=(y-x)=(-x 2-3x+3). ‎ ‎=-(x+)2+‎ ‎∴当x=-时,S四边形BOCE 最大,且最大值为.‎ 此时y=-(-)2-2×(-)+3=‎ ‎∴此时E点的坐标为(-,).‎ ‎38.如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA、OC的长(OA<OC)是方程x 2-5x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=1.‎ ‎(1)求A、B、C三点的坐标;‎ ‎(2)求此抛物线的解析式;‎ ‎(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点D作DE∥BC交AC于点E,连结CD,设BD的长为m,△CDE的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)∵OA、OC的长是方程x 2-5x+4=0的两个根,OA<OC.‎ ‎∴OA=1,OC=4.‎ ‎∵点A在x轴的负半轴,点C在y轴的负半轴 ‎∴A(-1,0),C(0,-4).‎ ‎∵抛物线y=ax 2+bx+c的对称轴为x=1‎ ‎∴由对称性可得B点坐标为(3,0).‎ ‎∴A、B、C三点的坐标分别是:A(-1,0),B(3,0),C(0,-4).‎ ‎(2)∵点C(0,-4)在抛物线y=ax 2+bx+c图象上,∴c=-4. ‎ 将A(-1,0),B(3,0)代入y=ax 2+bx-4得 ‎ 解得 ‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=x 2-x-4.‎ ‎(3)∵BD=m,∴AD=4-m.‎ 在Rt△BOC中,BC 2=OB 2+OC 2=3 2+4 2=25,∴BC=5.‎ ‎∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.‎ ‎∴=,即=.‎ ‎∴DE=.‎ 过点E作EF⊥AB于点F,则sin∠EDF=sin∠CBA==.‎ ‎∴=,∴EF=DE=×=4-m.‎ ‎∴S =S△CDE =S△ADC -S△ADE ‎=(4-m)×4-(4-m)(4-m)‎ ‎=-m 2+‎‎2m ‎=-(m-2)2+2(0<m<4).∵-<0‎ ‎∴当m=2时,S有最大值2. ‎ 此时OD=OB-BD=3-2=1.‎ ‎∴此时D点坐标为(1,0).‎ ‎39.如图,抛物线y=a(x+3)(x-1)与x轴相交于A、B两点(点A在点B右侧),过点A的直线交抛物线于另一点C,点C的坐标为(-2,6).‎ ‎(1)求a的值及直线AC的函数关系式;‎ ‎(2)P是线段AC上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点M,交x轴于点N.‎ ‎①求线段PM长度的最大值;‎ ‎②在抛物线上是否存在这样的点M,使得△CMP与△APN相似?如果存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标(不必写解答过程);如果不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由题意得6=a(-2+3)(-2-1),∴a=-2.‎ ‎∴抛物线的解析式为y=-2(x+3)(x-1),即y=-2x 2-4x+6‎ 令-2(x+3)(x-1)=0,得x1=-3,x2=1‎ ‎∵点A在点B右侧,∴A(1,0),B(-3,0)‎ 设直线AC的函数关系式为y=kx+b,把A(1,0)、C(-2,6)代入,得 ‎ 解得 ‎∴直线AC的函数关系式为y=-2x+2. ‎ ‎(2)①设P点的横坐标为m(-2≤ m ≤1),‎ 则P(m,-‎2m+2),M(m,-‎2m 2-‎4m+6).‎ ‎∴PM=-‎2m 2-‎4m+6-(-‎2m+2)‎ ‎=-‎2m 2-‎2m+4‎ ‎=-2(m+)2+‎ ‎∴当m=-时,线段PM长度的最大值为. ‎ ‎②存在 M1(0,6). M2(-,).‎ ⅰ)如图1,当M为直角顶点时,连结CM,则CM⊥PM, △CMP∽△ANP ‎∵点C(-2,6),∴点M的纵坐标为6,代入y=-2x 2-4x+6‎ 得-2x 2-4x+6=6,∴x=-2(舍去)或x=0‎ ‎∴M1(0,6)‎ ‎(此时点M在y轴上,即抛物线与y轴的交点,此时直线MN与y轴重合,点N与原点O重合)‎ ⅱ)如图2,当C为直角顶点时,设M(m,-‎2m 2-‎4m+6)(-2≤ m ≤1)‎ 过C作CH⊥MN于H,连结CM,设直线AC与y轴相交于点D 则△CMP∽△NAP 又∵△HMC∽△CMP,△NAP∽△OAD,∴△HMC∽△OAD ‎∴=‎ ‎∵C(-2,6),∴CH=m+2,MH=-‎2m 2-‎4m+6-6=-‎2m 2-‎‎4m 在y=-2x+2中,令x=0,得y=2‎ ‎∴D(0,2),∴OD=2‎ ‎∴=‎ 整理得‎4m 2+‎9m+2=0,解得m=-2(舍去)或m=-‎ 当m=-时,-‎2m 2-‎4m+6=(-)2-4×(-)+6=‎ ‎∴M2(-,)‎ ‎40.如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎(1)求该二次函数的解析式;‎ ‎(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;‎ ‎(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ 解:(1)设该二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k ‎∵顶点C的横坐标为4,且过点D(0,)‎ ‎∴=‎16a+k ①‎ 又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段AB的长为6‎ ‎∴A(1,0),B(7,0)‎ ‎∴0=‎9a+k ②‎ 由①②解得a=,k=‎ ‎∴该二次函数的解析式为y=(x-4)2‎ ‎(2)∵点A、B关于直线x=4对称,∴PA=PB ‎∴PA+PD=PB+PD≥DB ‎∴当点P在线段DB上时,PA+PD取得最小值 ‎∴DB与对称轴的交点即为所求的点P,如图1‎ 设直线x=4与x轴交于点M ‎∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO 又∠PBM=∠DBO,∴△BPM∽△BDO ‎∴=,即=,∴PM=’‎ ‎∴点P的坐标为(4,)‎ ‎(3)由(1)知点C(4,),‎ 又∵AM=3,∴在Rt△ACM中,tan∠ACM=,∴∠ACM=60°‎ ‎∵AC=BC,∴∠ACB=120°‎ ‎①如图2,当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ,得BQ=6,∠ABQ=120°‎ ‎∴∠QBN=60°‎ ‎∴QN=,BN=3,ON=10‎ ‎∴此时点Q的坐标为(10,)‎ ‎∵(10-4)2=,∴点Q在抛物线上 如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,),且也在抛物线上 ‎②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB ‎∴此时点Q的坐标为(4,)‎ 综上所述,在抛物线上存在点Q,使△QAB与△ABC相似 点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,).‎ ‎41.已知,如图,抛物线y=ax 2+3ax+c(a>0)与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧,点B的坐标为(1,0),OC=3OB.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值;‎ ‎(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)∵对称轴x=-=-. ‎ 又∵OC=3OB=3,a>0‎ ‎∴C(0,-3).‎ 方法一:把B(1,0)、C(0,-3)代入y=ax 2+3ax+c得:‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为y=x 2+x-3. ‎ 方法二:令ax 2+3ax+c=0,则xA+xB=-3‎ ‎∵B(1,0),∴xA+1=-3,∴xA=-4‎ ‎∴A(-4,0)‎ ‎∴可设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-1),把C(0,-3)代入 得-3=a(0+4)(0-1),∴a=‎ ‎∴抛物线的解析式为y=(x+4)(x-1)‎ 即y=x 2+x-3. ‎ ‎(2)方法一:如图1,过点D作DN⊥x轴,垂足为N,交线段AC于点M ‎∵S四边形ABCD =S△ABC +S△ACD ‎=AB·OC+DM·(AN+ON)‎ ‎=(4+1)×3+DM·4=+2DM.‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b,把A(-4,0)、C(0,-3)代入 得 解得 ‎∴直线AC的解析式为y=-x-3. ‎ 设D(x,x 2+x-3),则M(x,-x-3)‎ ‎∴DM=-x-3-(x 2+x-3)=-(x+2)2+3.‎ 当x=-2时,DM有最大值3‎ 此时四边形ABCD面积有最大值,最大值为:+2×3=. ‎ 方法二:如图2,过点D作DQ⊥y轴于Q,过点C作CC1∥x轴交抛物线于C1‎ 设D(x,x 2+x-3),则DQ=-x,OQ=-x 2-x+3‎ 从图象可判断当点D在CC1下方的抛物线上运动时,四边形ABCD面积才有最大值 则S四边形ABCD =S△BOC +S梯形AOQD -S△CDQ ‎=OB·OC+(AO+DQ)·OQ-DQ·CQ ‎=×1×3+(4+DQ)·OQ-DQ·(OQ-3)‎ ‎=+2OQ+DQ.‎ ‎=-2(x 2+x-3)-x ‎=-x 2-6x+‎ ‎=-(x+2)2+. ‎ 当x=-2时,四边形ABCD面积有最大值 ‎(3)如图3‎ ‎①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1,过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1,则四边形ACP1E1为平行四边形.∵C(0,-3),令x 2+x-3=-3‎ 解得x1=0,x2=3,∴CP1=3‎ ‎∴P1(-3,-3).‎ ‎②平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形ACEP为平行四边形.∵C(0,-3),∴设P(x,3)‎ 由x 2+x-3=3,解得x=或x=‎ ‎∴P2(,3),P3(,3). ‎ 综上所述,存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形,点P的坐标分别为:‎ P1(-3,-3),P2(,3),P3(,3)‎ ‎42.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x 2+bx+c与x轴交于A(1,0)、B(5,0)两点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;‎ ‎(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点D,将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转,角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q,设旋转角为α(0°<α≤90°).‎ ‎①当α等于多少度时,△CPQ是等腰三角形?‎ ‎②设BP=t,AQ=s,求s与t之间的函数关系式.‎ 解:(1)根据题意,得. 解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为y=-x 2+3x-.即y=-(x-3)2+2.‎ ‎∴顶点C的坐标为(3,2).. ‎ ‎(2)①∵CD=DB=AD=2,CD⊥AB,‎ ‎∴∠DCB=∠CBD=45°.‎ ⅰ)若CQ=CP,则∠PCD=∠PCQ=22.5°.‎ ‎∴当α=22.5°时,△CPQ是等腰三角形. ‎ ⅱ)若CQ=PQ,则∠CPQ=∠PCQ=45°,‎ 此时点Q与D重合,点P与A重合.‎ ‎∴当α=45°时,△CPQ是等腰三角形. ‎ ⅲ)若PC=PQ,则∠PCQ=∠PQC=45°,此时点Q与B重合,点P与D重合.‎ ‎∴α=0°,不合题意.‎ ‎∴当α=22.5°或45°时,△CPQ是等腰三角形.‎ ‎②连接AC,∵AD=CD=2,CD⊥AB,‎ ‎∴∠ACD=∠CAD=45°,AC=BC==.‎ ⅰ)当0°<α≤45°时,‎ ‎∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45°.‎ ‎∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45°.‎ ‎∴∠ACQ=∠BPC.‎ 又∵∠CAQ=∠PBC=45°,∴△ACQ∽△BPC.‎ ‎∴=.∴AQ·BP=AC·BC=×=8.‎ ⅱ)当45°<α<90°时,同理可得AQ·BP=AC·BC=8. ∴s=.‎
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