中考数学复习专题36 动点综合问题

中考数学复习专题36 动点综合问题

专题36 动点综合问题 ‎☞解读考点 知　识　点 名师点晴 动点问题中的特殊图形 等腰三角形与直角三角形 利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题 相似问题 利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题 动点问题中的计算问题 动点问题的最值与定值问题 理解最值或定值问题的求法 动点问题的面积问题 结合面积的计算方法来解决动点问题 动点问题的函数图象问题 一次函数或二次函数的图象 结合函数的图象解决动点问题 ‎☞2年中考 ‎【2015年题组】‎ ‎1．（2015牡丹江）在平面直角坐标系中，点P（x，0）是x轴上一动点，它与坐标原点O的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A．B．C． D．‎ ‎【答案】A．‎ 考点：动点问题的函数图象．‎ ‎2．（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；‎ 当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；‎ 当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；‎ 当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；‎ 当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；‎ 故选B．‎ 考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数；3．分类讨论；4．压轴题．‎ ‎3．（2015资阳）如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（　　）‎ A． B．C． D．‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．‎ ‎4．（2015广元）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发．按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 考点：1．动点问题的函数图象；2．压轴题；3．动点型；4．分段函数．‎ ‎5．（2015荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得BQ=x．‎ ‎①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=BP•BQ，解y=•3x•x=；故A选项错误；‎ ‎②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=BQ•BC，解y=•x•3=；故B选项错误；‎ ‎③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=AP•BQ，解y=•（9﹣3x ‎）•x=；故D选项错误．‎ 故选C．‎ 考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．‎ ‎6．（2015邵阳）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．动点问题的函数图象；2．数形结合．‎ ‎7．（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎【答案】A．‎ 考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．新定义；4．动点型；5．综合题．‎ ‎8．（2015乐山）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（　　）‎ A．8 B．12 C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，∴点C（0，1）到直线的距离是=，∴圆C上点到直线的最大距离是=，∴△PAB面积的最大值是=，故选C．‎ 考点：1．圆的综合题；2．最值问题；3．动点型．‎ ‎9．（2015庆阳）如图，定点A（﹣2，0），动点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 ．‎ ‎【答案】（﹣1，﹣1）．‎ 考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．垂线段最短；3．动点型；4．最值问题；5．综合题．‎ ‎10．（2015三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______ ．‎ ‎【答案】1．‎ 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．动点型；3．最值问题；4．综合题．‎ ‎．‎ ‎11．（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 ．‎ ‎【答案】（，）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连接ED，如图，‎ ‎∵点B的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：，∵点E的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED的解析式为：，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（，），故答案为：（，）．‎ 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．‎ ‎12．（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为．其中正确的说法是 ．（把你认为正确的说法的序号都填上）‎ ‎【答案】②④．‎ 由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，OC===，CG的最小值为OC﹣OG=，故④正确；‎ 综上所述，正确的结论有②④．故答案为：②④．‎ 考点：1．四边形综合题；2．综合题；3．动点型；4．压轴题．‎ ‎13．（2015江西省）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．‎ ‎【答案】或或2．‎ 图（3）中，∠APB=90°，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2，又∠AOC=60°，∴△APO是等边三角形，∴AP=2；‎ 故答案为：或或2．‎ ‎ ‎ 考点：1．勾股定理；2．含30度角的直角三角形；3．直角三角形斜边上的中线；4．分类讨论；5．动点型；6．综合题；7．压轴题。‎ ‎14．（2015鄂尔多斯）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2015次相遇在边 上．‎ ‎【答案】AB．‎ ‎③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在DC边相遇；‎ ‎④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在AB边相遇；‎ ‎⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在AD边相遇；‎ ‎…‎ 因为2015=，所以它们第2015次相遇在边AB上．故答案为：AB．‎ 考点：1．一元一次方程的应用；2．动点型．‎ ‎15．（2015柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．‎ ‎（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？‎ ‎（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？‎ ‎【答案】（1）4；（2）t=6或．‎ ‎（2）过P点，作PE⊥BC于E，DF⊥BC，∴DF=AB=8，FC=BC﹣AD=18﹣12=6，DC==10，‎ ‎①当PQ⊥BC，△PQC是直角三角形．则：12﹣2t+t=6，∴t=6，此时P运动到了D处；‎ ‎②当QP⊥PC，如图1，∴PC=12+10-2t=22-2t，CQ=t，∵cosC=，∴，解得：t=，∴当t=6或时，△PQC是直角三角形．‎ 考点：1．平行四边形的判定与性质；2．勾股定理的逆定理；3．直角梯形；4．动点型；5．分类讨论；6．综合题．‎ ‎16．（2015宿迁）已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．‎ ‎（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；‎ ‎（2）如图2，若，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；‎ ‎（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．‎ ‎【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）4．‎ 试题解析：（1）∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，∴△AED∽△BEC，∴，∴EA•EC=EB•ED；‎ ‎（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F，∵B是弧AC的中点，∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．又∵AD为⊙O直径，∴∠ABC=90°，又∠CFB=90°，∴△CBF∽△ABD．∴，故CF•AD=BD•BC，∴AC•AD=2BD•BC；‎ ‎（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，∴AF为⊙O的直径，∴∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥BD，∴∠AEB=∠ADF=90°，∵∠ABD=∠F，∴△ABE∽△ADF，∴∠1=∠2，∴，∴BC=DF=4．‎ 考点：1．圆的综合题；2．动点型；3．相似三角形的判定与性质；4．和差倍分；5．综合题；6．压轴题．‎ ‎17．（2015攀枝花）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O 重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；‎ ‎（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；‎ ‎（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．‎ ‎【答案】（1）D（﹣4，3），P（﹣12，8）；（2）；（3）6．‎ ‎（2）当点P在边AB上时，BP=6﹣t，由三角形的面积公式得出S=BP•AD；②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，同理得出S=BP•AB；即可得出结果；‎ ‎（3）设点D（，）；分两种情况：①当点P在边AB上时，P（，），由和时；分别求出t的值；‎ ‎②当点P在边BC上时，P（，）；由和时，分别求出t的值即可．‎ 试题解析：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，∴BD=‎ ‎=10，当t=5时，OD=5，∴BO=15，∵AD∥NO，∴△ABD∽△NBO，∴，即，∴BN=9，NO=12，∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）；‎ ‎②当点P在边BC上时，P（，），若时，，解得：t=6；‎ 若时，，解得：（不合题意，舍去）；‎ 综上所述：当t=6时，△PEO与△BCD相似．‎ 考点：1．四边形综合题；2．动点型；3．分类讨论；4．分段函数；5．压轴题．‎ ‎18．（2015桂林）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．‎ ‎（1）直接写出抛物线的解析式： ；‎ ‎（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？‎ ‎（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2），当t=5时，S最大=；（3）存在，P（，）或P（8，0）或P（，）．利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=；‎ ‎（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得CD=，从而确定C，D的坐标，即可求出直线CD的解析式，然后过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，然后求出直线EF 的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离，过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN等于点E到CD的距离，然后求出N的坐标，再过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标．‎ ‎（2）∵点A（0，8）、B（8，0），∴OA=8，OB=8，令y=0，得：，解得：，，∵点E在x轴的负半轴上，∴点E（﹣2，0），∴OE=2，根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，∴OD=8﹣t，∴DE=OE+OD=10﹣t，∴S=•DE•OC=•（10﹣t）•t=，即=，∴当t=5时，S最大=；‎ ‎（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，∴当t=5时，OC=5，OD=3，∴C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：CD=，设直线CD的解析式为：，将C（0，5），D（3，0），代入上式得：k=，b=5，∴直线CD的解析式为：，过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，如图1，‎ 过点E作EG⊥CD，垂足为G，∵当t=5时，S△ECD=CD•EG=，∴EG=，过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如图2，‎ 综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（，）或P（8，0）或P（，）．‎ 考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．动点型；4．存在型；5．最值问题；6．分类讨论；7．压轴题．‎ ‎19．（2015淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t＝ 秒时，动点M、N相遇；‎ ‎（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC，在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）S=；（3）在整个运动过程中，△KAC的面积会发生变化，最小值为，最大值为4．‎ ‎（3）分两种情况讨论，①当P在BC上运动时，如图4，当P与C重合时，最小，当t=0是，M与A重合，N与B重合，如图5，此时三角形最大；②当P在CA上运动时，如图6，过K作KE⊥AC于E，过M作MF⊥AC于F，可以得到=，而，故当时，的最小值=，当时，的最大值=．综合①②可得到结论．‎ 试题解析：（1）∵∠ACB＝900，AC=6，BC=8，∴AB=10，当M、N相遇时，有，∴；‎ ‎①当时，M在N的左边，P先在BC上向C靠近，如图1，‎ ‎∵AM=t，BN=3t，∴MN=10－4t，MG=GN=MN==，∴GB=GN+NB==，∵tanB=，∴，∴PG=，∴S==MN•PG= GN•PG==；‎ ‎②当时，M在N的左边，在AC上逐渐远离C，如图2，‎ MN=NB+AM－AB==，GN=MG=，AM=t，∴AG= AM－MG ==，tanA=，∴，∴PG=，∴S==MN•PG= GN•PG==；‎ ‎∴S=；‎ ‎（3）①当P在BC上运动时，如图4，当P与C重合时，最小，过M作MF⊥AC于F，则MF∥BC，∴，，∴，∴MF=1.12，∴==•AC•MF==，当t=0是，M与A重合，N与B重合，此时三角形最大，如图5，此时BG=AG=5，cosB=，∴，∴PB=，∴PC=BC－PB=8－=，∴=AC•PC==，∵K是AP 的中点，∴==，∴当P在BC上运动时，△KAC面积的最小值为，最大值为；‎ 综合①②可得：在整个运动过程中，△KAC的面积会发生变化，最小值为，最大值为4．‎ 考点：1．三角形综合题；2．动点型；3．分类讨论；4．最值问题；5．分段函数；6．压轴题．‎ ‎ ‎ ‎【2014年题组】‎ ‎1．（2014年甘肃天水）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿线段BO、OA 匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】D．‎ 考点：1．动点问题的函数图象；2．分类思想的应用．‎ ‎2．（2014年贵州安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′‎ 考点：1．轴对称的应用（最短路线问题）；2．圆周角定理；3．等腰直角三角形的判定和性质．‎ ‎3．（2014年安徽省）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 考点：1．单动点问题函数图象的分析；2．由实际问题列函数关系式；3．矩形的性质；4．相似三角形的判定和性质；．‎ ‎4．（2014年江苏苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是 ．‎ ‎【答案】1．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如答图，过点A作⊙O的直径AC，连接PC,由已知和圆周角定理易得△ABP和△CPA的两对应角相等,∴△ABP∽△CPA， ∴，即．∴．∴．∴当x=2时，的最大值是1．‎ 考点：1．圆周角定理；2．相似三角形的判定和性质；3．由实际问题列函数关系式；3．二次函数的最值．‎ ‎5．（2014年四川资阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__________‎ ‎【答案】6．‎ 考点：1．单动点问题；2．轴对称的应用（最短路线问题）；3．正方形的性质；4．勾股定理．‎ ‎6．（2014年浙江嘉兴中考）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为；③当AD=2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD=；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是．其中正确结论的序号是 ．‎ ‎【答案】①③⑤．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：①如答图1，连接CD,∵根据轴对称的性质，CE＝CD，∴∠DCE＝∠ECD．又∵DF⊥DE，∴．∴CD=CF．∴CE＝CF．结论①正确．‎ ‎④若点F恰好落在BC上，则点D，F重合于点B，AD=AB=8．结论④错误．‎ ‎⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，为．结论⑤正确．‎ 综上所述，结论正确的是①③⑤．‎ 考点：1．轴对称的性质；2．垂直线段的性质；3．圆周角定理；4．含30度角直角三角形的性质；5．等边三角形的性质；6．切线的判定．‎ ‎7．（2014年湖南衡阳）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向点移动．同时，将直线以每秒个单位长度的速度向上平移，交于点，交于点，设运动时间为秒．‎ ‎⑴证明：在运动过程中，四边形总是平行四边形；‎ ‎⑵当t取何值时，四边形为菱形？请指出此时以点为圆心、长为半径的圆与直线的位置关系并说明理．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）当时，四边形ACDP为菱形；以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切．‎ 试卷解析：（1）∵直线AB与x轴相交于点A（-4，0），与y轴相交于点B（0，3），易求直线AB的解析式为：yAB=x+3．∵将直线y=x以每秒0.6个单位长度的速度向上平移t（0＜t＜5）秒得到直线CD，∴OD=0.6t， ∴D（0，0.6t） ，∴直线CD的解析式为yCD=x+0.6t，∵在直线CD中，点C在x轴上，∴令y=0，则x=-0.8t，∴C（-0.8t，0），OC=0.8t，∴在Rt△OCD中，CD=，∵点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动t（0＜t＜5）秒，∴AP=t，∴AP=CD=t，又∵kAP=kAB=kCD=，∴AP∥CD，∵AP∥CD，AP=CD=t，∴在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形．‎ ‎（2）欲使四边形ACDP为菱形，只需在平行四边形ACDP中满足条件AC=CD，即4-0.8t=t,解得，∴当时，四边形ACDP为菱形；‎ 过点D作DE⊥AB于点E，连结AD，∵AD是菱形ACDP的对角线，∴AD平分∠OAB，又∵DO⊥AO，DE⊥AB，∴DE=DO=R，∴点D到直线AB的距离＝点D到直线AO的距离，∴以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切．‎ 考点：1．平行四边形的判定；2．菱形的判定；3．直线与圆的位置关系．‎ ‎8．（2014年浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为秒．‎ ‎（1）当点C运动到线段OB的中点时，求的值及点E的坐标；‎ ‎（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；‎ ‎（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD的面积为S．‎ ‎①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的的值；‎ ‎②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．‎ ‎【答案】（1），（，0）；（2）证明见解析；（3）①1，，，5；②＜S≤或＜S≤20．‎ 第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解,②当1≤t＜时和当＜t≤5时，分别求出S的取值范围,当1≤t＜时，S=t（6﹣2t）=﹣2（t﹣）2+,∵t=在1≤t＜范围内，∴＜S≤．‎ 当＜t≤5时，S=t（2t﹣6）=2（t﹣）2﹣，∴＜S≤20．‎ 试题解析：（1）∵OB=6，C是OB的中点，∴BC=OB=3．∴2t=3，即t=．‎ ‎∴OE=，E（，0）．‎ ‎（2）如图1，连接CD交OP于点G,在平行四边形PCOD中，CG=DG，OG=PG，∵AO=PO，∴AG=EG ．∴四边形ADEC是平行四边形．‎ ‎（Ⅱ）当点C在BO的延长线上时，第一种情况：如答图4，当点M在DE边上时,∵MF∥PD，∴EMF∽△EDP．∴即，解得t=．‎ 第二种情况：如答图5，当点N在CE边上时，∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC．‎ ‎∴即，解得t=5． ‎ 综上所述，所有满足条件的t的值为1，，，5．‎ 考点：1．平行四边形的判定；2．相似三角形的判定和性质；3．二次函数的性质；4．分类思想的应用．‎ ‎☞考点归纳 归纳 1：动点中的特殊图形 基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直 基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质 注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质．‎ ‎【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=3cm，BC=4cm．动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿射线BA运动，求出点P运动所有的时间t，使得△PBC为等腰三角形．‎ B A C ‎【答案】符合要求的t的值有3个，分别是 ，4，（秒）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据等腰三角形的性质，此题要分类讨论三边中腰的情况，所以应有3种可能，然后利用两腰相等即可得出答案．‎ 试题解析：在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=3cm，BC=4cm．∴AB=5 cm． ‎ 考点：等腰三角形的性质与判定．‎ 归纳 2：动点问题中的计算问题 基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题．‎ 基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容．‎ 注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合．‎ ‎【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，过点C作CH⊥AB交AB于点H，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点 考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．直角三角形的面积．‎ 归纳 3：动点问题的图象 基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．‎ 基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线．‎ 注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势．‎ ‎【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（　　）‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵∠ABE=45°，∠A=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB=2，BE=AB=2，∵BE=DE，PD=x，∴PE=DE﹣PD=2﹣x，∵PQ∥BD，BE=DE，∴QE=PE=2‎ ‎﹣x，又∵△ABE是等腰直角三角形（已证），∴点Q到AD的距离=（2﹣x）=2﹣x,∴△PQD的面积y=x（2﹣x）=﹣（x2﹣2x+2）=﹣（x﹣）2+,即y=﹣（x﹣）2+，纵观各选项，只有C选项符合．‎ 考点：动点问题的函数图象．‎ ‎☞1年模拟 ‎1．（2015届北京市平谷区中考二模）如图1，在平行四边形ABCD中，点P从起点B出发，沿BC，CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过的路程为x，则线段AP，AD与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2，则AB边上的高是（ ） ‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．动点问题的函数图像；2．动点型．‎ ‎2．（2015届北京市门头沟区中考二模）在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，那么能反映S与t之间函数关系的大致图象是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ 考点：1．动点问题的函数图像；2．动点型．‎ ‎3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A—B—C—D—A运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于点P是在正方形的边上移动，所以P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的图象表示为D．故选D．‎ 考点：1．动点问题的函数图象；2．动点型．‎ ‎4．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）某景点有一座圆形的建筑，如图，小江从点A沿AO匀速直达建筑中心点O处，停留拍照后，从点O沿OB以同样的速度匀速走到点B，紧接着沿回到点A，下面可以近似地刻画小江与中心点O的距离S随时间t变化的图象是（ ）．‎ ‎【答案】C．‎ 考点：1．动点问题的函数图象；2．动点型．‎ ‎5．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．动点问题的函数图象；2．动点型．‎ ‎6．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，E为CD边上的中点，点P从点A沿折线AE﹣EC运动到点C时停止，点Q从点A沿折线AB﹣BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．如果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t的函数关系的图象可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．动点问题的函数图象；2．动点型；3．分段函数；4．分类讨论．‎ ‎7．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y=x2上的一个动点．‎ ‎（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；‎ ‎（2）设直线PM与抛物线y=x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．‎ ‎【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出PM的长的表达式，P点到y=-1的长就是P点的纵坐标与-1的差的绝对值，那么可判断得出的表示PM和P到y=-1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则y=-1是圆P的切线．‎ ‎（2）可通过构建相似三角形来求解，过Q，P作QR⊥直线y=-1，PH⊥直线y=-1，垂足为R，H，那么QR∥MN∥PH，根据平行线分线段成比例定理可得出QM：MP=RN：NH．（1）中已得出了PM=PH，那么同理可得出QM=QR，那么比例关系式可写成QR：PH=RN：NH，而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出∠QNR=∠PNH，根据等角的余角相等，可得出∠QNM=∠PNM．‎ 试题解析：（1）设点P的坐标为（x0，x20），则 PM=x20+1；‎ 又因为点P到直线y=-1的距离为，x20-（-1）=x20+1，所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1相切；‎ 考点：1．二次函数综合题；2．动点型．‎ ‎8．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm ‎，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．‎ ‎（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；‎ ‎（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．‎ ‎【答案】（1）t=1或时，△BPQ∽△BCA；（2）t=．‎ 试题解析：根据勾股定理得：BA=＝10；‎ ‎（1）分两种情况讨论：‎ ‎①当△BPQ∽△BAC时，，∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，∴，解得，t=1，②当△BPQ∽△BCA时，，∴，解得，t=；‎ ‎∴t=1或时，△BPQ∽△BCA；‎ ‎（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：‎ 则PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM ‎，∵∠ACQ=∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴，解得t=．‎ 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．动点型；3．分类讨论．‎ ‎9．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，在平面直角坐标系中，点 A（5，0），B（3，2），点C在线段OA上，BC=BA，点Q是线段BC上一个动点，点P的坐标是（0，3），直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），且与x轴交于点D．‎ ‎（1）求点C的坐标及b的值；‎ ‎（2）求k的取值范围；‎ ‎（3）当k为取值范围内的最大整数时，过点B作BE∥x轴，交PQ于点E，若抛物线y=ax2﹣5ax（a≠0）的顶点在四边形ABED的内部，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）点C的坐标是（1，0），b=3；（2）；（3）．‎ 试题解析：解：（1）直线y=kx+b（k≠0）经过P（0，3），∴b=3．‎ 过点B作BF⊥AC于F，∵A（5，0），B（3，2），BC=BA，∴点F的坐标是（3，0）．‎ ‎∴点C的坐标是（1，0）．‎ ‎（2）当直线PC经过点C时，k=﹣3．当直线PC经过点B时，k=．∴；‎ ‎（3）∵且k为最大整数，∴k=﹣1．则直线PQ的解析式为y=﹣x+3．‎ ‎∵抛物线y=ax2﹣5ax（a≠0）的顶点坐标是，对称轴为．‎ 解方程组，得 即直线PQ与对称轴为的交点坐标为，∴．‎ 解得．‎ 考点：1．一次函数综合题；2．动点型．‎ ‎10．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）（10分）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求A、B、C的坐标；‎ ‎（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F 的坐标．‎ ‎【答案】（1）A（﹣3，0）；B（1，0）；C（0，3）；（2）；（3）（﹣4，﹣5）或（1，0）．‎ ‎（3）设F（n，﹣n2﹣2n+3），根据已知若FG=2DQ，即可求得．‎ 试题解析：解：（1）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1，‎ ‎（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，∴D（﹣1，4）‎ ‎∴DQ=DC=，∵FG=2DQ，∴FG=4，设F（n，﹣n2﹣2n+3），则G（n，n+3），∵点G在点F的上方，∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4，解得：n=﹣4或n=1．‎ ‎∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．‎ 考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．动点型．‎ ‎11．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=2，BC=CD=4，AC、BD交于点O，在线段BC上，动点M以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B做匀速运动，同时动点N从点B出发向点C做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做BC的垂线，分别交AC、BD于点E、F，连接EF．若运动时间为x秒，在运动过程中四边形EMNF总为矩形（点M、N 重合除外）．‎ ‎（1）求点N的运动速度；‎ ‎（2）当x为多少时，矩形EMNF为正方形？‎ ‎（3）当x为多少时，矩形EMNF的面积S最大？并求出最大值．‎ ‎【答案】（1）点N的运动速度是每秒个单位长度；（2）当x=2或x=时，矩形EMNF为正方形；（3）当x=时，矩形EMNF的面积S最大，最大值是．‎ 试题解析：（1）由题意得：MC=x，∵AB⊥BC，EM⊥BC，∴AB∥EM，∴△EMC∽△ABC，∴，即，∴EM=x，∵四边形EMNF为矩形，∴EM=FN=x，∵CD⊥BC，BC=CD，∴∠DBC=45°，∴△BFN是等腰直角三角形，∴BN=FN=x ‎，又∵，∴点N的运动速度是每秒个单位长度；‎ ‎（2）当点M、N相遇时，有x+x=4，解得：x=，当点M到达点B时，点N停止运动，此时x=4．‎ 若矩形EMNF为正方形，则：FN=MN，①当0＜x＜时，FN=x，MN=4﹣x，∴x=4﹣x，解得：x=2，②当＜x≤4时，EM=4﹣x，MN=x﹣（4﹣x）=x﹣4，∴4﹣x=x﹣4，解得：x=，综上可得，当x=2或x=时，矩形EMNF为正方形；‎ ‎（3）①当0＜x＜时，S=x（4﹣x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，S最大，最大值是．‎ ‎②当＜x≤4时，S=（4﹣x）（x﹣4）=﹣（x﹣）2+，∵抛物线开口向下，且对称轴为直线x=，∴当x=时，S最大，最大值是．‎ 综上可得，当x=时，矩形EMNF的面积S最大，最大值是． ‎ 考点：1．四边形综合题；2．分类讨论；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．动点型；6．综合题．‎ ‎12．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（-1，0）．‎ ‎（1）求B，C两点坐标；‎ ‎（2）求该二次函数的关系式；‎ ‎（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；‎ ‎（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．‎ ‎【答案】（1）B（4，0），C（0，2）；（2）y=-x2+x+2；（3）a=2时，S四边形CDBF的最大值为；E（2，1）；（4）存在．‎ ‎（4）先求得CD的长，然后根据△CDP是以CD为腰的等腰三角形，求得CP1=DP2=DP3=CD，作CE⊥对称轴于E，得出EP1=ED=2，DP1=4，从而求得P1（，4），P2（，），P3（，-）．‎ 试题解析：解：（1）令x=0，则y=-x+2=2；令y=0，则0=-x+2，解得x=4，所以B（4，0），C（0，2）；‎ ‎（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B的坐标代入得，，解得，∴该二次函数的关系式为y=-x2+x+2；‎ ‎（4）存在，如图3，∵抛物线y=-x2+x+2的对称轴x=-，∴OD=，∵C（0，2），∴OC=2，在RT△OCD中，由勾股定理得CD=，∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3=CD，如图所示，作CE⊥对称轴于E，∴EP1=ED=2，∴DP1=4，∴P1（，4），P2（，），P3（，-）．‎ ‎ ‎ 考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值．‎ ‎13．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC 相交于点E．‎ ‎（1）求证：PA=PE；‎ ‎（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当P滑动到BD的延长线上时（如图3），请你直接写出AP：PE的比值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）AP：PE=5：4；（3）AP：PE=5：4；．‎ 试题解析：（1）证明：过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°，∴∠MPB=45°=∠ABD，∴PM=BM，同理BP=BN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°=∠BMP=∠BNP，∴四边形BMPN是正方形，∴PM=PN，∠MPN=90°，∵∠APE=90°，∴都减去∠MPE得：∠APM=∠NPE，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠AMP=∠PNE，在△APM和△EPN中 ‎，∴△APM≌△EPN（ASA），∴AP=PE；‎ ‎（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，∵∠PMB=ϖPNB=90°，∴PM∥AD，‎ PN∥CD，∴△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，∴，，，∴，‎ ‎（3）解：AP：PE=5：4．‎ 考点：1．相似形综合题；2．动点型．‎ ‎14．（2015届山东省日照市中考一模）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=-x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：‎ ‎（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？‎ ‎【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2-x+3．；（2）（11，36）、（，）、（，）；点E的坐标为（2，1）．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得 ‎，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2-x+3．‎ 联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．‎ 过点B作BH⊥x轴于H，如图1．‎ ‎∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，∴BH=CH=1．‎ ‎∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．‎ 同理：∠ACO=45°，AC=3，∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，∴tan∠BAC=；‎ ‎∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴，∴AG=3PG=3x．‎ 则P（x，3-3x）．‎ 把P（x，3-3x）代入y=x2-x+3，得 x2-x+3=3-3x，整理得：x2+x=0‎ 解得：x1=0（舍去），x2=-1（舍去）．‎ ‎②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．‎ 同理可得：AG=PG=x，则P（x，3-x），把P（x，3-x）代入y=x2-x+3，得 综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；‎ ‎（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．‎ 在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN，∴点M在整个运动中所用的时间为=DE+EN．‎ 作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．‎ 根据两点之间线段最短可得：‎ 当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．‎ 此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．‎ 对于y=x2-x+3，当y=0时，有x2-x+3=0，解得：x1=2，x2=3，∴D（2，0），OD=2，∴ON=DC=OC-OD=3-2=1，∴NE=AN=AO-ON=3-1=2，∴点E的坐标为（2，1）．‎ 考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．最值问题；5．分类讨论；6．综合题．‎ ‎15．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥BC；‎ ‎（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）当t=时，PQ∥BC．（2）y=-t2+3t．（3）不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．（4）cm．‎ ‎（3）如果将三角形ABC的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．‎ ‎（4）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN和三角形ABC相似，得出关于BP，PN，AB，AC的比例关系，即可用t表示 ‎（2）过点P作PH⊥AC于H．‎ ‎∵△APH∽△ABC，∴，∴，∴PH=3-t，∴y=×AQ×PH=×2t×（3-‎ t）=-t2+3t．‎ ‎（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ，∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1．‎ 若PQ把△ABC面积平分，则S△APQ=S△ABC，即-t2+3t =3．‎ ‎∵t=1代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．‎ ‎（4）过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，‎ 若四边形PQP′C是菱形，那么PQ=PC．‎ ‎∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．‎ ‎∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC，∴，∴，∴PN=，∴QM=CM=，∴‎ 考点：1．相似形综合题；2．动点型；3．存在型．‎ ‎16．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，在平面直角坐标系中，以A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D．‎ ‎（1）若抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点，求此抛物线的解析式，并写出抛物线与圆A的另一个交点E的坐标；‎ ‎（2）若动直线MN（MN∥x轴）从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正方向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，当t为何值时，的值最大，并求出最大值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似，求实数t的值．‎ ‎【答案】（1）y=x2-x-4，E（6，-4）；（2）当t=2时取最大值2；（3）当t=2或t=时，以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据点A的坐标和圆的半径可求出点B，点C，和点D的坐标，然后把抛物线的解析式设成两根式，把三点的坐标代入即可求出a的值，把a的值代入解析式化为一般式即可；由抛物线的对称性可知点D和点E关于抛物线的对称轴对称．利用-求出对称轴，利用对称轴和点D的坐标即可得出点E的坐标．‎ ‎（2）根据路程等于速度乘以时间可得出DN=t，OP=8-2t，然后根据MN∥OC得出比例表示出MN，然后把表示出的MN和OP代入到得到一个关于t的二次函数，当t=-=2时，代入求出此时的最大值．‎ ‎（3）若△PCM∽△OCD，则，即，解得t=2；‎ 若△MCP∽△OCD，则，即，解得t=‎ 即当t=2或t=时，以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似．‎ 考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．分类讨论．‎ ‎17．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=6cm，DC=8cm，BC=12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）求线段AB的长．‎ ‎（2）当t为何值时，MN∥CD？‎ ‎（3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．‎ ‎（4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）AB=10．（2）t=秒．（3）S=（t﹣）2+（0≤t≤6秒）．（4）存在t=，使MN⊥BD．‎ ‎（2）若MN∥CD，则NM⊥BC，=cosB=，即，解得：t=秒；‎ ‎（3）△DMN的面积S=梯形ABCD的面积﹣△CDM的面积﹣△BMN的面积﹣△ADN的面积 ‎=×（6+12）×8﹣×2t×8﹣×（12﹣2t）×t﹣×6×（8﹣t）=（t﹣）2+，又M从C点运动到B点的时间为6秒，N点从B点运动到A点所需的时间为10秒，依题意，两者取小值6秒，所以，S=（t﹣）2+（0≤t≤6秒）；‎ ‎ ‎ 考点：1．四边形综合题；2．动点型；3．存在型．‎ ‎ ‎