中考数学真题 尺规作图题型

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中考数学真题 尺规作图题型

尺规作图 一.选择题 ‎1. (2015•浙江衢州,第7题3分)数学课上,老师让学生尺规作图画,使其斜边 ,一条直角边.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断是直角的依据是【 】‎ A.勾股定理 B.直径所对的圆周角是直角 ‎ C.勾股定理的逆定理 D.90°的圆周角所对的弦是直径 ‎【答案】B.‎ ‎【考点】尺规作图(复杂作图);圆周角定理.‎ ‎【分析】小明的作法是:①取,作的垂直平分线交于点;‎ ‎②以点为圆心,长为半径画圆;‎ ‎③以点为圆心,长为半径画弧,与交于点;‎ ‎④连接.‎ 则即为所求.‎ 从以上作法可知,是直角的依据是:直径所对的圆周角是直角.‎ 故选B.‎ ‎2. (2015•浙江嘉兴,第9题4分)数学活动课上,四位同学围绕作图问题:“如图,已知直线l和l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l与点Q .”分别作出了下列四个图形. 其中做法错误的是(▲)‎ ‎[ww~w.‎ 考点:作图—基本作图..‎ 分析:A、根据作法无法判定PQ⊥l;‎ B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧,交直线l,于两点,再以两点为圆心,大于它们的长为半径画弧,得出其交点,进而作出判断;‎ C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断;‎ D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断.‎ 解答:解:根据分析可知,‎ 选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q;选项A不能够得到PQ⊥l于点Q.‎ 故选:A.‎ 点评:此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线,熟练掌握基本作图方法是解题关键.‎ ‎3.(2015•山东潍坊第9 题3分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:‎ 第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;‎ 第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;‎ 第三步,连接DE、DF.‎ 若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ ‎4‎ C.‎ ‎6‎ D.‎ ‎8‎ 考点: 平行线分线段成比例;菱形的判定与性质;作图—基本作图..‎ 分析: 根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线,推出AE=DE,AF=DF,求出DE∥AC,DF∥AE,得出四边形AEDF是菱形,根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF,根据平行线分线段成比例定理得出=,代入求出即可.‎ 解答: 解:∵根据作法可知:MN是线段AD的垂直平分线,‎ ‎∴AE=DE,AF=DF,‎ ‎∴∠EAD=∠EDA,‎ ‎∵AD平分∠BAC,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD,‎ ‎∴∠EDA=∠CAD,‎ ‎∴DE∥AC,‎ 同理DF∥AE,‎ ‎∴四边形AEDF是菱形,‎ ‎∴AE=DE=DF=AF,‎ ‎∵AF=4,‎ ‎∴AE=DE=DF=AF=4,‎ ‎∵DE∥AC,‎ ‎∴=,‎ ‎∵BD=6,AE=4,CD=3,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BE=8,‎ 故选D.‎ 点评: 本题考查了平行线分线段成比例定理,菱形的性质和判定,线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质的应用,能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键,注意:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.‎ ‎4.(2015•山东潍坊第9 题3分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:‎ 第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;‎ 第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;‎ 第三步,连接DE、DF.‎ 若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ ‎4‎ C.‎ ‎6‎ D.‎ ‎8‎ 考点: 平行线分线段成比例;菱形的判定与性质;作图—基本作图..‎ 分析: 根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线,推出AE=DE,AF=DF,求出DE∥AC,DF∥AE,得出四边形AEDF是菱形,根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF,根据平行线分线段成比例定理得出=,代入求出即可.‎ 解答: 解:∵根据作法可知:MN是线段AD的垂直平分线,‎ ‎∴AE=DE,AF=DF,‎ ‎∴∠EAD=∠EDA,‎ ‎∵AD平分∠BAC,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD,‎ ‎∴∠EDA=∠CAD,‎ ‎∴DE∥AC,‎ 同理DF∥AE,‎ ‎∴四边形AEDF是菱形,‎ ‎∴AE=DE=DF=AF,‎ ‎∵AF=4,‎ ‎∴AE=DE=DF=AF=4,‎ ‎∵DE∥AC,‎ ‎∴=,‎ ‎∵BD=6,AE=4,CD=3,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BE=8,‎ 故选D.‎ 点评: 本题考查了平行线分线段成比例定理,菱形的性质和判定,线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质的应用,能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键,注意:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.‎ 二.填空题 ‎1、(2015•四川自贡,第15题4分)如图,将线段放在边长为1的小正方形网格,点 点均落在格点上,请用无刻度直尺在线段上画出点,‎ 使,并保留作图痕迹.‎ 考点:矩形、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定.‎ 分析:本题根据勾股定理可求出在网格中的,由于网格线中的对边平行,所以找点较容易,只需连接一对角线与的交点就满足(见图);根据的是平行线所截得相似三角形的对应边成比例, 所以 ,则.‎ 略解:见图作法.‎ ‎2.(2015•北京市,第16题,3分)阅读下面材料:‎ 在数学课上,老师提出如下问题:‎ 尺规作图:作一条线段的垂直平分线.‎ 已知:线段AB.‎ 小芸的作法如下:‎ 如图,‎ ‎(1)分别以点A和点B为圆心,大于AB 的长为半径作弧,两弧相交于C、D两点;‎ ‎(2)作直线CD ‎ ‎ 老师说:“小芸的作法正确.”‎ 请回答:小芸的作图依据是_________________________.‎ ‎【考点】点、线 ‎【难度】容易 ‎【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;两个点确定一条直线。‎ ‎【点评】本题考查线段的基本概念。‎ 三.解答题 ‎1. (2015山东济宁,19,8分)(本题满分8分)‎ 如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.‎ 实践与操作:‎ 根据要求尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法). ‎ ‎(1)作∠DAC的平分线AM;‎ ‎(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE、CF.‎ 猜想并证明:‎ 判断四边形AECF的形状并加以证明.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 试题解析:(1)‎ ‎ ‎ ‎(2)猜想:四边形AECF是菱形 ‎ 证明:∵AB=AC ,AM平分∠CAD ‎ ‎ ∴∠B=∠ACB,∠CAD=2∠CAM ‎∵∠CAD是△ABC的外角 ‎∴∠CAD=∠B+∠ACB ‎∴∠CAD=2∠ACB ‎ ‎∴∠CAM=∠ACB ‎∴AF∥CE ‎∵EF垂直平分AC ‎ ‎∴OA=OC, ∠AOF=∠COE=‎ ‎∴AOF≌△COE ‎ ‎∴AF=CE 在四边形AECF中,AF∥CE,AF=CE ‎∴四边形AECF是平行四边形 又∵EF⊥AC ‎ ‎∴四边形AECF是菱形 考点:角平分线,线段的垂直平分线的基本作图,等腰三角形的内外角,三角形全等,菱形的判定 ‎2.(2015•广东省,第19题,6分)如图,已知锐角△ABC.‎ ‎(1)过点A作BC边的垂线MN,交BC于点D(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);‎ ‎【答案】解:(1)作图如答图所示,AD为所作.‎ ‎【考点】尺规作图(基本作图)‎ ‎【分析】(1)①以点A为圆心画弧交BC于点E、F;‎ ②分别以点E、F为圆心,大于长为半径画弧,两交于点G;‎ ③连接AG,即为BC边的垂线MN,交BC于点D.‎ ‎3. (2015•浙江杭州,第21题10分)‎ ‎ “综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度 ‎(1)用记号(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三角形 ‎(2)用直尺和圆规作出三边满足aDE≥BD,连接AD,AE分别交FG于点M,N,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点 ‎(3)已知点C是线段AB上的一定点,其位置如图3所示,请在BC上画一点D,使C,D是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画出一种情形即可)‎ ‎(4)如图4,已知点M,N是线段AB的勾股分割点,MN>AM≥BN,△AMC,△MND 和△NBM均是等边三角形,AE分别交CM,DM,DN于点F,G,H,若H是DN 的中点,试探究,和的数量关系,并说明理由 ‎6.(2015•广东梅州,第21题9分)如图,已知△ABC,按如下步骤作图:‎ ‎①以A为圆心,AB长为半径画弧;‎ ‎②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;‎ ‎③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.‎ ‎(1)求证:△ABC≌△ADC;‎ ‎(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的长.‎ ‎ ‎ 考点: 全等三角形的判定与性质;作图—复杂作图.‎ 分析: (1)利用SSS定理证得结论;‎ ‎(2)设BE=x,利用特殊角的三角函数易得AE的长,由∠BCA=45°易得CE=BE=x,解得x,得CE的长.‎ 解答: (1)证明:在△ABC与△ADC中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△ADC(SSS);‎ ‎(2)解:设BE=x,‎ ‎∵∠BAC=30°,‎ ‎∴∠ABE=60°,‎ ‎∴AE=tan60°•x=x,‎ ‎∵△ABC≌△ADC,‎ ‎∴CB=CD,∠BCA=∠DCA,‎ ‎∵∠BCA=45°,‎ ‎∴∠BCA=∠DCA=90°,‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=45°,‎ ‎∴CE=BE=x,‎ ‎∴x+x=4,‎ ‎∴x=2﹣2,‎ ‎∴BE=2﹣2.‎ 点评: 本题主要考查了全等三角形的判定及性质,特殊角的三角函数,利用方程思想,综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键.‎ ‎7.(2015•广东佛山,第18题6分)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形,并说明这两个三角形全等的理由.(保留作图痕迹,不写作法)‎ 考点:作图—应用与设计作图;全等三角形的判定;等腰三角形的性质.‎ 专题:作图题.‎ 分析:作出底边BC的垂直平分线,交BC于点D,利用三线合一得到D为BC 的中点,可得出三角形ADB与三角形ADC全等.‎ 解答: 解:作出BC的垂直平分线,交BC于点D,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴AD平分∠BAC,即∠BAD=∠CAD,‎ 在△ABD和△ACD中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABD≌△ACD(SAS).‎ 点评: 此题考查了作图﹣应用于设计作图,全等三角形的判定,以及等腰三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(2015•甘肃武威,第21题6分)如图,已知在△ABC中,∠A=90°‎ ‎(1)请用圆规和直尺作出⊙P,使圆心P在AC边上,且与AB,BC两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明).‎ ‎(2)若∠B=60°,AB=3,求⊙P的面积.‎ ‎ ‎ 考点:作图—复杂作图;切线的性质.‎ 分析: (1)作∠ABC的平分线交AC于P,再以P为圆心PA为半径即可作出⊙P;‎ ‎(2)根据角平分线的性质得到∠ABP=30°,根据三角函数可得AP=,再根据圆的面积公式即可求解.‎ 解答: 解:(1)如图所示,则⊙P为所求作的圆.‎ ‎(2)∵∠B=60°,BP平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABP=30°,‎ ‎∵tan∠ABP=,‎ ‎∴AP=,‎ ‎∴S⊙P=3π.‎ 点评:本题主要考查了作图﹣复杂作图,角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等.同时考查了圆的面积.‎ ‎9.(2015·湖北省孝感市,第20题8分)‎ ‎ 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧().‎ ‎(1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心;(要求保留作图痕迹,不写作法)(4分)‎ ‎(2)若的中点到弦的距离为m,m,求所在圆的半径.(4分)‎ 考点:作图—复杂作图;勾股定理;垂径定理的应用..‎ 专题:作图题.‎ 分析:(1)连结AC、BC,分别作AC和BC的垂直平分线,两垂直平分线的交点为点O,如图1;‎ ‎(2)连接OA,OC,OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论,由C为的中点得到OC⊥AB,AD=BD=AB=40,则CD=20,设⊙O的半径为r,在Rt△OAD中利用勾股定理得到r2=(r﹣20)2+402,然后解方程即可.‎ 解答:‎ 解:(1)如图1,‎ 点O为所求;‎ ‎(2)连接OA,OC,OC交AB于D,如图2,‎ ‎∵C为的中点,‎ ‎∴OC⊥AB,‎ ‎∴AD=BD=AB=40,‎ 设⊙O的半径为r,则OA=r,OD=OD﹣CD=r﹣20,‎ 在Rt△OAD中,∵OA2=OD2+BD2,‎ ‎∴r2=(r﹣20)2+402,解得r=50,‎ 即所在圆的半径是50m.‎ 点评:本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法;解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了勾股定理和垂径定理.‎ ‎10 , (2015山东青岛,第15题,3分)已知:线段,直线外一点A.‎ 求作:Rt△ABC,使直角边为AC(AC⊥,垂足为C)斜边AB=C.‎ ‎【答案】略.‎ 考点:作图 ‎11 , (2015•淄博第19题,7分)如图,在△ABC中,AB=4cm,AC=6cm.‎ ‎(1)作图:作BC边的垂直平分线分别交与AC,BC于点D,E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);‎ ‎(2)在(1)的条件下,连结BD,求△ABD的周长.‎ 考点: 作图—复杂作图..‎ 分析: (1)运用作垂直平分线的方法作图,‎ ‎(2)运用垂直平分线的性质得出BD=DC,利用△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC 即可求解.‎ 解答: 解:(1)如图1,‎ ‎(2)如图2,‎ ‎ ‎ ‎∵DE是BC边的垂直平分线,‎ ‎∴BD=DC,‎ ‎∵AB=4cm,AC=6cm.‎ ‎∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm.‎ 点评: 本题主要考查了作图﹣复杂作图及垂直平分线的性质,解题的关键是熟记作垂直平分线的方法.‎ ‎12. (2015•浙江丽水,第19题6分)如图,已知△ABC,∠C=Rt∠,AC
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