2012湖北襄阳中考数学

2012湖北襄阳中考数学

机密★启用前 ‎2012年襄阳市初中毕业生学业考试 数 学 试 题 ‎ (满分120分，考试时间120分钟)‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效.‎ ‎3. 非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区城内，答在试题卷上无效，作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔.‎ ‎4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答.‎ ‎1.（2012湖北襄阳，1，3分）一个数的绝对值等于3，这个数是（ ）‎ A. 3 B. －3 C. ±3 D. ‎ ‎【答案】C ‎2. （2012湖北襄阳，2，3分）下列计算正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3. （2012湖北襄阳，3，3分）李阳同学在“百度”搜索引擎中输入“魅力襄阳”，能搜索到与之相关的结果个数约为236 000，这个数用科学记数法表示为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎4. （2012湖北襄阳，4，3分）图1是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其主视图是（ ）‎ ‎ ‎ 图1 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎5. （2012湖北襄阳，5，3分）如图2，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）‎ 图2‎ A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°‎ ‎【答案】A ‎6. （2012湖北襄阳，6，3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎7. （2012湖北襄阳，7，3分）为了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间，并将调查结果绘制成如图3所示的频数分布直方图（每小组的时间值包含最小值，不包含最大值）.根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（ ）‎ ‎0‎ 频数（学生人数）‎ 时间（小时）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎11‎ m ‎4‎ 图3‎ A. 50% B. 55% C. 60% D. 65%‎ ‎【答案】C ‎8. （2012湖北襄阳，8，3分）△ABC是⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（ ）‎ A. 80° B. 160° C. 100° D. 80°或100°‎ ‎【答案】D ‎9. （2012湖北襄阳，9，3分）如图4，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，下列结论不一定成立的是（ ）‎ 图4‎ A. △AED≌△BFA B. DE－BF＝EF C. △BGF∽△DAE D. DE－BG＝FG ‎【答案】D ‎10. （2012湖北襄阳，10，3分）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图5，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（ ）‎ B A C D E O ‎60°‎ ‎ ‎ 图5（重新绘制）‎ ‎（原题截图）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎11. （2012湖北襄阳，11，3分）若不等式组有解，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎12. （2012湖北襄阳，12，3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）‎ A. B. 且 C. D. 且 ‎【答案】D 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请把每小题的答案填在答题卡上的对应位置的横线上.‎ ‎13. （2012湖北襄阳，13，3分）分式方程的解是 .‎ ‎【答案】x＝2.‎ ‎14. （2012湖北襄阳，14，3分）在植树节当天，某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动，10个小组植树的株数见下表：‎ 植树株数（株）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 小组个数 ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ 则这10个小组植树株数的方差是 .‎ ‎【答案】0.6‎ ‎15. （2012湖北襄阳，15，3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后需滑行 m才能停下来.‎ ‎【答案】600‎ ‎16. （2012湖北襄阳，16，3分）如图6，从一个直径为的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 dm.‎ 图6‎ ‎【答案】1.‎ ‎17. （2012湖北襄阳，17，3分）在等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝8，则AB边上的高CD的长是 .‎ ‎【答案】4或或.‎ 三、解答题（本大题共9个小题，共69分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在答题卡上每题对应的答题区域内.‎ ‎18. （2012湖北襄阳，18，6分） ‎ ‎ 先化简，再求值：，其中，.‎ 解：原式 ‎ 3分 ‎ . 4分 ‎ 当，时，‎ ‎ 原式. ……6分 ‎19. （2012湖北襄阳，19，5分） ‎ ‎ 如图7，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.‎ 求证：AM＝AN.‎ 证明：如下图所示.‎ ‎ ∵△AEB由△ADC旋转而得 ‎ ∴△AEB≌△ADC.‎ ‎ ∴∠3＝∠1，∠6＝∠C. 1分 ‎ ∵AB＝AC，AD⊥BC，‎ ‎ ∴∠2＝∠1，∠7＝∠C.‎ ‎ ∴∠3＝∠2，∠6＝∠7. 2分 ‎ ∵∠4＝∠5‎ ‎ ∴∠ABM＝∠ABN. 3分 ‎ 又∵AB＝AB，∴△AMB≌△ANB. 4分 ‎ ∴AM＝AN. 5分 ‎20. （2012湖北襄阳，20，6分） ‎ ‎ 襄阳市教育局为提高教师业务素质，扎实开展了“课内比较学”活动.在一次数学讲课比赛中，每个参赛选手都从两个分别标有“A”，“B”内容的签中，随机抽出一个作为自己的讲课内容.某校有三个选手参加这次讲课比赛，请你求出这三个选手中有两个抽中内容“A”，一个抽中内容“B”的概率.‎ 解：设这三个选手分别为甲、乙、丙，根据题意，所有的结果可列表表示如下：‎ 选手 内 容 甲 A B 乙 A B A B 丙 A B A B A B A B ‎ 或者用树形图表示如下：‎ ‎ 观察表格（或树形图）可知，所的结果共有8种，每种结果出现的可能性相同，即 ‎（A，A，A），（A，A，B），（A，B，A），（A，B，B），‎ ‎（B，A，A），（B，A，B），（B，B，A），（B，B，B）. 3分 三个选手中有两个抽中内容“A”，一个抽中内容“B”（记为事件M）的结果共有3个，‎ 即（A，A，B），（A，B，A），（B，A，A）. 5分 ‎∴. 6分 答：三个选手中有两个抽中内容“A”，一个抽中内容“B”的概率为.‎ ‎21. （2012湖北襄阳，21，6分） ‎ ‎ 为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图8所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）‎ 图8‎ 解：设小道进出口的宽度应为x米，根据题意，得 ‎ . 3分 ‎ 整理，得.‎ 解得：，. 4分 ‎∵（不合题意，舍去），∴. 5分 答：小道进出口的宽度应为1米. 6分 ‎22. （2012湖北襄阳，22，7分） ‎ 如图9，直线与双曲线相交于A（1，2），B（m，－1）两点.‎ ‎（1）求直线和双曲线的解析式；‎ ‎（2）若(，)，（，），（，）为双曲线上的三点，且，请直接写出，，的大小关系式.‎ ‎（3）观察图象，请直接写出不等式的解集.‎ O B A x y ‎ 图9‎ 解：（1）∵双曲线经过点A（1，2），∴.‎ ‎ ∴双曲线的解析式为. 1分 ‎ ∵点B（m，－1）在双曲线上，‎ ‎ ∴，即B（－2，－1）. 2分 点由A（1，2），B（－2，－1）在直线上，得 ‎，解得.‎ ‎∴直线的解析式为. 3分 ‎ （2）. 5分 ‎ （3）或. 7分 ‎23. （2012湖北襄阳，23，7分）‎ 如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F.‎ ‎（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；‎ ‎（2）当AB与AC具有什么关系位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积.‎ A B C D E F 图10‎ 解：（1）证明：如下图，∵AD∥BC，∠1＝∠DAE，∠2＝∠3.‎ ‎ ‎A B C D E F G ‎∵EA＝ED， ∴∠DAE＝∠3.‎ ‎ ∴∠1＝∠2.‎ ‎ 又∵EB＝EC，∴△AEB≌△DEC. 1分 ‎ ∴AB＝DC，∴梯形ABCD是等腰梯形. 2分 ‎ （2）当AB⊥AC时四边形AECD是菱形. 3分 ‎ 证明：∵AD∥BC，EB＝EC＝AD，‎ ‎ ∴四边形ABED和四边形AECD都是平行四边形. 4分 ‎ ∴AB＝DE.‎ ‎ ∵AB⊥AC，EB＝EC，∴AE＝EB＝EC.‎ ‎ ∴四边形AECD是菱形. 5分 ‎ 过点A作AG⊥BC于点G.‎ ‎ ∵AE＝EB＝AB＝2，∴△ABE为等边三角形.‎ ‎ ∴∠1＝60°，∴AG＝AE·sin60°＝. 6分 ‎ ∴. 7分 ‎24. （2012湖北襄阳，24，10分） ‎ ‎ 根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从‎2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：‎ 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦·时）‎ 不超过150千瓦时的部分 a 超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分 ‎ b 超过300千瓦时的部分 ‎ a+0.3‎ ‎ 2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦·时，交费60元；居民乙用电200千瓦·时，交费122.5元.设该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦·时，当月交电费y元.‎ ‎ （1）上表中，a＝ ；b＝ ；‎ ‎（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦·时时，其当月的平均电价每千瓦·时不超过0.62元？‎ 解：（1）当时，，∵时，∴；‎ ‎ 当时，.‎ ‎ ∵时，∴.‎ ‎ 故填：；. 3分 ‎ （2）由（1）得：当时，‎ ‎ 即.‎ ‎ ∴当时，； 4分 ‎ 当时，； 5分 ‎ 当时，. 6分 ‎ 或 ‎ （3）当居民月用电量x满足时，‎ ‎ ，∴； 7分 ‎ 当居民月用电量x满足时，‎ ‎ ，∴； 8分 ‎ 当居民月用电量x满足时， ‎ ‎ ，∴. 9分 ‎ 综上，试行“阶梯电价”后，该市一户居民月用电量不超过250千瓦·时时，其当月的平均电价每千瓦·时不超过0.62元. 10分 ‎25. （2012湖北襄阳，25，10分） ‎ ‎ 如图11，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.‎ ‎ （1）求证：直线PA为⊙O的切线；‎ ‎（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；‎ ‎（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长.‎ A C B E D O F P 解：（1）证明：连接OB.‎ ‎ ∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°. 1分 ‎ ∵OA＝OB，PO⊥BA于点D，‎ ‎ ∴AD＝BD，∠1＝∠2. 又∵OP＝OP，‎ ‎ ∴△POA≌△POB. 2分 ‎ ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，‎ ‎ ∴直线PA为⊙O的切线. 3分 A B C D E F O P ‎ ‎ ‎（2）. 4分 ‎ 证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，‎ ‎ ∴∠2＋∠6＝90°，∠2＋∠4＝90°.‎ ‎ ∴∠6＝∠4. ∴△OAD∽△OPA. 5分 ‎ ∴，即.‎ ‎ ∵EF＝2OA，∴. 6分 ‎ （3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴. 7分 ‎ 设AD＝x，在Rt△ADF中，tan∠F＝，‎ ‎ ∴DF＝2AD＝2x，OA＝OF＝. ‎ ‎ 在Rt△AOD中，.‎ ‎ ∴‎ ‎ 解得：（不合题意，舍去），.‎ ‎ 即AD＝4，OA＝＝5. 8分 ‎ ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.‎ ‎ ∵AC＝2OA＝10，BC＝6，‎ ‎ ∴cos∠ACB. 9分 ‎ ∵‎ ‎ ∴，∴PE＝. 10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎26. （2012湖北襄阳，26，12分） ‎ ‎ 如图12，在矩形OABC中，AO＝10，AB＝8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处.分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点.‎ ‎（1）求AD的长及抛物线的解析式；‎ ‎（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？‎ ‎（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.‎ A D x y O E C B 图12‎ 解：（1）如下图.∵四边形ABCO为矩形，‎ ‎ ∴∠AOC＝∠1＝∠B＝90°，AB＝OC＝8，AO＝BC＝10.‎ ‎ 由题意得，△BDC≌△EDC，‎ ‎ ∴∠B＝∠2＝90°，EC＝BC＝10，ED＝BD.‎ ‎ 在Rt△COE中，由勾股定理易得OE＝6. 1分 ‎ ∴AE＝AO－OE＝4.‎ ‎ 设AD＝x，则DE＝BD＝8－x.‎ ‎ 在Rt△ADE中，由勾股定理，得.‎ ‎ 解之，得，即AD＝3. 2分 ‎ ∴点D（3，10），C（8，0）.‎ ‎ ∵抛物线经过点O，∴. 3分 ‎ 又∵抛物线经过点D（3，10），C（8，0），‎ ‎ ∴，解之，得.‎ ‎ ∴抛物线的解析式为. 4分 ‎ （2）∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，‎ ‎ ∴∠1＝∠3. 5分 ‎ 由（1）得：AD＝3，AE＝4，DE＝5.‎ ‎ 而CQ＝t，EP＝2t，∴PC＝10－2t.‎ ‎ 当∠PQC＝∠DAE＝90°时，△ADE∽△QPC.如下图：‎ ‎ ∴，即，解得； 6分 ‎ 当∠QPC＝∠DAE＝90°时，△ADE∽△PQC.如下图：‎ ‎ ∴，即，解得. 7分 ‎ ∴当或时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似. 8分 ‎ ‎