中考数学专题训练方案设计型能力提升训练与解析

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中考数学专题训练方案设计型能力提升训练与解析

中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析 考点:一次方程、方程组、分式方程、不等式组、一次函数、二次函数、‎ ‎【例1】.某商店准备购进甲、乙两种商品.已知甲商品每件进价15元,售价20元;乙商品每件进价35元,售价45元.‎ ‎(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件,恰好用去2 700元,求购进甲、乙两种商品各多少件?‎ ‎(2)若该商店准备用不超过3 100元购进甲、乙两种商品共100件,且这两种商品全部售出后获利不少于890元,问应该怎样进货,才能使总利润最大,最大利润是多少(利润=售价-进价)?‎ 解:(1)设购进甲种商品x件,购进乙种商品y件,‎ 根据题意,得 解得: 答:商店购进甲种商品40件,购进乙种商品60件.‎ ‎(2)设商店购进甲种商品a件,则购进乙种商品(100-a)件,‎ 根据题意列,得 解得20≤a≤22.‎ ‎∵总利润W=‎5a+10(100-a)=-‎5a+1 000,W是关于x的一次函数,W随x的增大而减小,‎ ‎∴当x=20时,W有最大值,此时W=900,且100-20=80,‎ 答:应购进甲种商品20件,乙种商品80件,才能使总利润最大,最大利润为900元.‎ ‎【例2】.今年,号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱,为提高学生环保意识,节约用水,某校数学教师编造了一道应用题:为了保护水资源,某市制定一套节水的管理措施,其中对居民生活用水收费作如下规定:‎ 月用水量(单位:吨)‎ 单价(单位:元/吨)‎ 不大于10吨部分 ‎1.5‎ 大于10吨,且不大于m吨部分(20≤m≤50)‎ ‎2‎ 大于m吨部分 ‎3‎ ‎(1)若某用户六月份的用水量为18吨,求其应缴纳的水费;‎ ‎(2)记该用户六月份的用水量为x吨,缴纳水费y元,试列出y关于x的函数式;‎ ‎(3)若该用户六月份的用水量为40吨,缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90,试求m的取值范围.‎ 解:(1)应缴纳水费:10×1.5+(18-10)×2=31(元).‎ ‎(2)当0≤x≤10时,y=1.5x;‎ 当10m时,y=15+2(m-10)+3(x-m)=3x-m-5.‎ ‎∴y= ‎(3)当40≤m≤50时,y=2×40-5=75(元),满足.‎ 当20≤m<40时,y=3×40-m-5=115-m,‎ 则70≤115-m≤90,∴25≤m≤45,即25≤m≤40.‎ 综上得,25≤m≤50.‎ ‎【例3】.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户,他们种植了A,B两类蔬菜,两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表:‎ 种植户 种植A类蔬菜面积(单位:亩)‎ 种植B类蔬菜面积(单位:亩)‎ 总收入(单位:元)‎ 甲 ‎3‎ ‎1‎ ‎12 500‎ 乙 ‎2‎ ‎3‎ ‎16 500‎ 说明:不同种植户种植的同类蔬菜每亩的平均收入相等;亩为土地面积单位.‎ ‎(1)求A,B两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元;‎ ‎(2)某种植户准备租20亩地用来种植A,B两类蔬菜,为了使总收入不低于63 000元,且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数),求该种植户所有的租地方案.‎ 解:(1)设A,B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元,y元.‎ 由题意,得解得 答:A,B两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000元,3 500元.‎ ‎(2)设用来种植A类蔬菜的面积为a亩,则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a)亩.‎ 由题意,得解得10<a≤14.‎ ‎∵a取整数,为:11,12,13,14.‎ ‎∴租地方案为:‎ 类别 种植面积(亩)‎ A ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ B ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎【例4】.某学校计划将校园内形状为锐角△ABC的空地(如图)进行改造,将它分割成△AHG、△BHE、△CGF和矩形EFGH四部分,且矩形EFGH作为停车场,经测量BC=‎120m,高AD=‎80m,‎ ‎  (1)若学校计划在△AHG上种草,在△BHE、△CGF上都种花,如何设计矩形的长、宽,使得种草的面积与种花的面积相等?‎ ‎(2)若种草的投资是每平方米6元,种花的投资是每平方米10元,停车场铺地砖投资是每平方米4元,又如何设计矩形的长、宽,使得△ABC空地改造投资最小?最小为多少?‎ 解、(1)设FG=x米,则AK=(80-x)米 由△AHG∽△ABCBC=120,AD=80可得:‎ ‎ ∴ ‎ BE+FC=120-= ‎ ‎∴ 解得x=40‎ ‎∴当FG的长为‎40米时,种草的面积和种花的面积相等。‎ ‎(2)设改造后的总投资为W元 W==6(x-20)2+26400‎ ‎∴当x=20时,W最小=36400‎ 答:当矩形EFGH的边FG长为‎20米时,空地改造的总投资最小,最小值为26400元。‎ ‎【例5】.我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇,为了让这些珍宝走出大山,走向世界,州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨,参加全国农产品博览会.现有A型、B型、C型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运2种土特产,且每辆车必须装满.根据下表信息,解答问题.‎ 特产 车型 苦荞茶 青花椒 野生蘑菇 每辆汽车运载量(吨)‎ A型 ‎2‎ ‎2‎ B型 ‎4‎ ‎2‎ C型 ‎1‎ ‎6‎ 车型 A B C 每辆车运费(元)‎ ‎1500‎ ‎1800‎ ‎2000‎ ‎(1)设A型汽车安排辆,B 型汽车安排辆,求与之间的函数关系式.‎ ‎(2)如果三种型号的汽车都不少于4辆,车辆安排有几种方案?并写出每种方案.‎ ‎(3)为节约运费,应采用(2)中哪种方案?并求出最少运费.‎ ‎ 解:(1)法①根据题意得化简得: ‎ ‎(2)由 得 ,解得 .‎ ‎ ∵为正整数,∴.故车辆安排有三种方案,即:‎ ‎ 方案一:型车辆,型车辆,型车辆 ‎ 方案二:型车辆,型车辆,型车辆 ‎ 方案三:型车辆,型车辆,型车辆 ‎ ‎(3)设总运费为元,则 ‎ ‎ ‎ ∵随的增大而增大,且 ‎ ∴当时,元 答:为节约运费,应采用 ⑵中方案一,最少运费为37100元。‎ ‎【例6】.为创建“国家卫生城市”,进一步优化市中心城区的环境,德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造,根据市政建设的需要,须在60天内完成工程.现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程.经调查知道:乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天,甲、乙两队合作完成工程需要30天,甲队每天的工程费用2500元,乙队每天的工程费用2000元.‎ ‎(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天?‎ ‎(2)请你设计一种符合要求的施工方案,并求出所需的工程费用.‎ 解:(1)设甲工程队单独完成该工程需x天,则乙工程队单独完成该工程需(x+25)天. ‎ 根据题意得:. ‎ 方程两边同乘以x(x+25),得30(x+25)+30x=x(x+25),即x2﹣35x﹣750=0.解之,得x1=50,x2=﹣15. ‎ 经检验,x1=50,x2=﹣15都是原方程的解.‎ 但x2=﹣15不符合题意,应舍去.∴当x=50时,x+25=75.‎ 答:甲工程队单独完成该工程需50天,则乙工程队单独完成该工程需75天.‎ ‎(2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可.‎ 方案一:由甲工程队单独完成. 所需费用为:2500×50=125000(元).‎ 方案二:由甲乙两队合作完成.所需费用为:(2500+2000)×30=135000(元).‎ ‎【例7】. “五一”期间,为了满足广大人民的消费需求,某商店计划用160000元购进一批家电,这批家电的进价和售价如下表:‎ 类别 彩电 冰箱 洗衣机 进价 ‎2000‎ ‎1600‎ ‎1000‎ 售价 ‎2200‎ ‎1800‎ ‎1100‎ ‎(1)、若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台,问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台?‎ ‎(2)、若在现有资金160000元允许的范围内,购买上表中三类家电共100台,其中彩电台数和冰箱台数相同,且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数,请你算一算有几种进货方案?哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大?并求出最大利润。(利润=售价-进价)‎ 解:(1)设商店购买彩电x台,则购买洗衣机(100﹣x)台.‎ 由题意,得2000x+1000(100﹣x)=160000,解得x=60,则100﹣x=40(台),‎ 所以,商店可以购买彩电60台,洗衣机40台.‎ ‎(2)设购买彩电和冰箱各a台,则购买洗衣机为(100﹣‎2a)台.‎ 根据题意,得 解得.‎ 因为a是整数,所以a=34、35、36、37.‎ 因此,共有四种进货方案.‎ 设商店销售完毕后获得的利润为w元,‎ 则w=(2200﹣2000)a+(1800﹣1600)a+(1100﹣1000)(100﹣‎2a)=200a+10000,‎ ‎∵200>0,∴w随a的增大而增大,‎ ‎∴当a=37时,=200×37+10000=17400,‎ 所以,商店获得的最大利润为17400元.‎ ‎【例8】.在眉山市开展城乡综合治理的活动中,需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理.已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米.‎ ‎(1)求运往两地的数量各是多少立方米?‎ ‎(2)若A地运往D地a立方米(a为整数),B地运往D地‎30立方米 ‎,C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍.其余全部运往E地,且C地运往E地不超过‎12立方米,则A、C两地运往D、E两地哪几种方案?‎ ‎(3)已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表:‎ A地 B地 C地 运往D地(元/立方米)‎ ‎22‎ ‎20‎ ‎20‎ 运往E地(元/立方米)‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎21‎ 在(2)的条件下,请说明哪种方案的总费用最少?‎ 解:(1)设运往E地x立方米,由题意得,x+2x﹣10=140,解得:x=50,∴2x﹣10=90,‎ 答:共运往D地‎90立方米,运往E地‎50立方米;‎ ‎(2)由题意可得,‎ ‎,解得:20<a≤22,‎ ‎∵a是整数,∴a=21或22,∴有如下两种方案:‎ 第一种:A地运往D地‎21立方米,运往E地29立方米;C地运往D地39立方米,运往E地11立方米;‎ 第二种:A地运往D地‎22立方米,运往E地28立方米;C地运往D地38立方米,运往E地12立方米;‎ ‎(3)第一种方案共需费用:22×21+20×29+39×20+11×21=2053(元),‎ 第二种方案共需费用:22×22+28×20+38×20+12×21=2056(元),‎ 所以,第一种方案的总费用最少.‎ ‎【例9】.我市化工园区一化工厂,组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地.按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满.请结合表中提供的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)设装运A种物资的车辆数为x,装运B种物资的车辆数为y.求y与x的函数关系式;‎ ‎(2)如果装运A种物资的车辆数不少于5辆,装运B种物资的车辆数不少于4辆,那么车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若要求总运费最少,应采用哪种安排方案?请求出最少总运费.‎ 物资种类 A B C 每辆汽车运载量(吨)‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ 每吨所需运费(元/吨)‎ ‎240‎ ‎320‎ ‎200‎ 解:(1)根据题意,得:12x+10y+8(20﹣x﹣y)=200,12x+10y+160﹣8x﹣8y=2002x+y=20,‎ ‎∴y=20﹣2x,‎ ‎(2)根据题意,得:解之得:5≤x≤8‎ ‎∵x取正整数,∴x=5,6,7,8,‎ ‎∴共有4种方案,即 A B C 方案一 ‎5‎ ‎10‎ ‎5‎ 方案二 ‎6‎ ‎8‎ ‎6‎ 方案三 ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ 方案四 ‎8‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎(3)设总运费为M元,‎ 则M=12×240x+10×320(20﹣2x)+8×200(20﹣x+2x﹣20)‎ 即:M=﹣1920x+64000‎ ‎∵M是x的一次函数,且M随x增大而减小,∴当x=8时,M最小,最少为48640元.‎ ‎【例10】.为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学,老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知5个文具盒、2支钢笔共需100元;4个文具盒、7支钢笔共需161元.‎ ‎(1)每个文具盒、每支钢笔个多少元?‎ ‎(2)时逢“五一”,商店举行“优惠促销”活动,具体办法如下:文具盒“九折”优惠;钢笔10支以上超出部分“八折”优惠.若买x个文具盒需要元,买x支钢笔需要元;求、关于x的函数关系式;‎ ‎(3)若购买同一种奖品,并且该奖品的数量超过10件,请你分析买哪种奖品省钱.‎ 解:(1)设每个文具盒x元,每支钢笔y元,可列方程组得 ‎, 解之得 答:每个文具盒14元,每支钢笔15元.‎ ‎(2)由题意知,y1关于x的函数关系式为y1=14×90%x,即y1=12.6x.‎ 由题意知,买钢笔10以下(含10支)没有优惠,故此时的函数关系式为y2=15x.‎ 当买10支以上时,超出部分有优惠,故此时函数关系式为y2=15×10+15×80%(x-10)‎ 即y2=12x+30 ‎ ‎(3)当y1< y2即12.6x<12x+30时,解得x<50;‎ 当y1= y2即12.6x=12x+30时,解得x=50; ‎ 当y1> y2即12.6x>12x+30时,解得x>50.‎ 综上所述,当购买奖品超过10件但少于50件时,买文具盒省钱;‎ 当购买奖品超过50件时,买文具盒和买钢笔钱数相等;‎ 当购买奖品超过50件时,买钢笔省钱.‎ ‎【例11】.为极大地满足人民生活的需求,丰富市场供应,我区农村温棚设施农业迅速发展,温棚种植面积在不断扩大.在耕地上培成一行一行的矩形土埂,按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种.科学研究表明:在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果(同一种紧挨在一起种植不超过两垄),可增加它们的光合作用,提高单位面积的产量和经济效益.‎ 现有一个种植总面积为540m的矩形塑料温棚,分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄,种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄,又不超过14垄(垄数为正整数),它们的占地面积、产量、利润分别如下:‎ 占地面积(m/垄)‎ 产量(千克/垄)‎ 利润(元/千克)‎ 西红柿 ‎30‎ ‎160‎ ‎1.1‎ 草莓 ‎15‎ ‎50‎ ‎1.6‎ ‎(1)若设草莓共种植了垄,通过计算说明共有几种种植方案?分别是哪几种?‎ ‎(2)在这几种种植方案中,哪种方案获得的利润最大?最大利润是多少?‎ 解:(1)根据题意西红柿种了(24-)垄 ‎15+30(24-)≤540 解得 ≥12 ‎ ‎∵≤14,且是正整数 ∴=12,13,14 ‎ 共有三种种植方案,分别是:‎ 方案一:草莓种植12垄,西红柿种植12垄 方案二:草莓种植13垄,西红柿种植11垄 方案三:草莓种植14垄,西红柿种植10垄 ‎ ‎ (2)解法一:方案一获得的利润:12×50×1.6+12×160×1.1=3072(元)‎ 方案二获得的利润:13×50×1.6+11×160×1.1=2976(元)‎ 方案三获得的利润:14×50×1.6+10×160×1.1=2880(元)‎ ‎ 由计算知,种植西红柿和草莓各12垄,获得的利润最大, ‎ 最大利润是3072元 解法二:若草莓种了垄,设种植草莓和西红柿共可获得利润元,则 ‎ ‎ ‎∵-96<0 ∴随的增大而减小 又∵12≤≤14,且是正整数 ‎ ‎∴当=12时,=3072(元)‎
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