中考数学专题训练方案设计型能力提升训练与解析

中考数学专题训练方案设计型能力提升训练与解析

中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析 考点：一次方程、方程组、分式方程、不等式组、一次函数、二次函数、‎ ‎【例1】.某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元．‎ ‎(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2 700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？‎ ‎(2)若该商店准备用不超过3 100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少(利润＝售价－进价)?‎ 解：(1)设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，‎ 根据题意，得 解得： 答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件．‎ ‎(2)设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100－a)件，‎ 根据题意列，得 解得20≤a≤22.‎ ‎∵总利润W＝‎5a＋10(100－a)＝－‎5a＋1 000，W是关于x的一次函数，W随x的增大而减小，‎ ‎∴当x＝20时，W有最大值，此时W＝900，且100－20＝80，‎ 答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元．‎ ‎【例2】．今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编造了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：‎ 月用水量(单位：吨)‎ 单价(单位：元/吨)‎ 不大于10吨部分 ‎1.5‎ 大于10吨，且不大于m吨部分(20≤m≤50)‎ ‎2‎ 大于m吨部分 ‎3‎ ‎(1)若某用户六月份的用水量为18吨，求其应缴纳的水费；‎ ‎(2)记该用户六月份的用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数式；‎ ‎(3)若该用户六月份的用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围．‎ 解：(1)应缴纳水费：10×1.5＋(18－10)×2＝31(元)．‎ ‎(2)当0≤x≤10时，y＝1.5x；‎ 当10m时，y＝15＋2(m－10)＋3(x－m)＝3x－m－5.‎ ‎∴y＝ ‎(3)当40≤m≤50时，y＝2×40－5＝75(元)，满足．‎ 当20≤m<40时，y＝3×40－m－5＝115－m，‎ 则70≤115－m≤90，∴25≤m≤45，即25≤m≤40.‎ 综上得，25≤m≤50.‎ ‎【例3】．潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A，B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：‎ 种植户 种植A类蔬菜面积(单位：亩)‎ 种植B类蔬菜面积(单位：亩)‎ 总收入(单位：元)‎ 甲 ‎3‎ ‎1‎ ‎12 500‎ 乙 ‎2‎ ‎3‎ ‎16 500‎ 说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩的平均收入相等；亩为土地面积单位．‎ ‎(1)求A，B两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元；‎ ‎(2)某种植户准备租20亩地用来种植A，B两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有的租地方案．‎ 解：(1)设A，B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元．‎ 由题意，得解得 答：A，B两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000元，3 500元．‎ ‎(2)设用来种植A类蔬菜的面积为a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20－a)亩．‎ 由题意，得解得10＜a≤14.‎ ‎∵a取整数，为：11,12,13,14.‎ ‎∴租地方案为：‎ 类别 种植面积(亩)‎ A ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ B ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎【例4】.某学校计划将校园内形状为锐角△ABC的空地（如图）进行改造，将它分割成△AHG、△BHE、△CGF和矩形EFGH四部分，且矩形EFGH作为停车场，经测量BC=‎120m，高AD=‎80m，‎ ‎　　（1）若学校计划在△AHG上种草，在△BHE、△CGF上都种花，如何设计矩形的长、宽，使得种草的面积与种花的面积相等？‎ ‎（2）若种草的投资是每平方米6元，种花的投资是每平方米10元，停车场铺地砖投资是每平方米4元，又如何设计矩形的长、宽，使得△ABC空地改造投资最小？最小为多少?‎ 解、（1）设FG=x米，则AK=(80－x)米 由△AHG∽△ABCBC=120，AD=80可得：‎ ‎ ∴ ‎ BE+FC=120－= ‎ ‎∴ 解得x=40‎ ‎∴当FG的长为‎40米时，种草的面积和种花的面积相等。‎ ‎（2）设改造后的总投资为W元 W==6(x－20)2+26400‎ ‎∴当x=20时,W最小=36400‎ 答:当矩形EFGH的边FG长为‎20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元。‎ ‎【例5】.我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会.现有A型、B型、C型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满.根据下表信息，解答问题.‎ 特产 车型 苦荞茶 青花椒 野生蘑菇 每辆汽车运载量（吨）‎ A型 ‎2‎ ‎2‎ B型 ‎4‎ ‎2‎ C型 ‎1‎ ‎6‎ 车型 A B C 每辆车运费（元）‎ ‎1500‎ ‎1800‎ ‎2000‎ ‎（1）设A型汽车安排辆，B 型汽车安排辆，求与之间的函数关系式.‎ ‎（2）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案.‎ ‎（3）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费.‎ ‎ 解：（1）法①根据题意得化简得： ‎ ‎（2）由 得 ，解得 .‎ ‎ ∵为正整数，∴.故车辆安排有三种方案，即：‎ ‎ 方案一：型车辆，型车辆，型车辆 ‎ 方案二：型车辆，型车辆，型车辆 ‎ 方案三：型车辆，型车辆，型车辆 ‎ ‎（3）设总运费为元，则 ‎ ‎ ‎ ∵随的增大而增大，且 ‎ ∴当时，元 答：为节约运费，应采用 ⑵中方案一，最少运费为37100元。‎ ‎【例6】.为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．‎ ‎（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？‎ ‎（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．‎ 解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天． ‎ 根据题意得：． ‎ 方程两边同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），即x2﹣35x﹣750=0．解之，得x1=50，x2=﹣15． ‎ 经检验，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解．‎ 但x2=﹣15不符合题意，应舍去．∴当x=50时，x+25=75．‎ 答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天．‎ ‎（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．‎ 方案一：由甲工程队单独完成． 所需费用为：2500×50=125000（元）．‎ 方案二：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．‎ ‎【例7】. “五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：‎ 类别 彩电 冰箱 洗衣机 进价 ‎2000‎ ‎1600‎ ‎1000‎ 售价 ‎2200‎ ‎1800‎ ‎1100‎ ‎（1）、若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台?‎ ‎(2)、若在现有资金160000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润。（利润=售价-进价）‎ 解：（1）设商店购买彩电x台，则购买洗衣机（100﹣x）台．‎ 由题意，得2000x+1000（100﹣x）=160000，解得x=60，则100﹣x=40（台），‎ 所以，商店可以购买彩电60台，洗衣机40台．‎ ‎（2）设购买彩电和冰箱各a台，则购买洗衣机为（100﹣‎2a）台．‎ 根据题意，得 解得．‎ 因为a是整数，所以a=34、35、36、37．‎ 因此，共有四种进货方案．‎ 设商店销售完毕后获得的利润为w元，‎ 则w=（2200﹣2000）a+（1800﹣1600）a+（1100﹣1000）（100﹣‎2a）=200a+10000，‎ ‎∵200＞0，∴w随a的增大而增大，‎ ‎∴当a=37时，=200×37+10000=17400，‎ 所以，商店获得的最大利润为17400元．‎ ‎【例8】.在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．‎ ‎（1）求运往两地的数量各是多少立方米？‎ ‎（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地‎30立方米 ‎，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过‎12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？‎ ‎（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：‎ A地 B地 C地 运往D地（元/立方米）‎ ‎22‎ ‎20‎ ‎20‎ 运往E地（元/立方米）‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎21‎ 在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？‎ 解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x﹣10=140，解得：x=50，∴2x﹣10=90，‎ 答：共运往D地‎90立方米，运往E地‎50立方米；‎ ‎（2）由题意可得，‎ ‎，解得：20＜a≤22，‎ ‎∵a是整数，∴a=21或22，∴有如下两种方案：‎ 第一种：A地运往D地‎21立方米，运往E地29立方米；C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；‎ 第二种：A地运往D地‎22立方米，运往E地28立方米；C地运往D地38立方米，运往E地12立方米；‎ ‎（3）第一种方案共需费用：22×21+20×29+39×20+11×21=2053（元），‎ 第二种方案共需费用：22×22+28×20+38×20+12×21=2056（元），‎ 所以，第一种方案的总费用最少．‎ ‎【例9】.我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y．求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．‎ 物资种类 A B C 每辆汽车运载量（吨）‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ 每吨所需运费（元/吨）‎ ‎240‎ ‎320‎ ‎200‎ 解：（1）根据题意，得：12x+10y+8（20﹣x﹣y）=200，12x+10y+160﹣8x﹣8y=2002x+y=20，‎ ‎∴y=20﹣2x，‎ ‎（2）根据题意，得：解之得：5≤x≤8‎ ‎∵x取正整数，∴x=5，6，7，8，‎ ‎∴共有4种方案，即 A B C 方案一 ‎5‎ ‎10‎ ‎5‎ 方案二 ‎6‎ ‎8‎ ‎6‎ 方案三 ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ 方案四 ‎8‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎（3）设总运费为M元，‎ 则M=12×240x+10×320（20﹣2x）+8×200（20﹣x+2x﹣20）‎ 即：M=﹣1920x+64000‎ ‎∵M是x的一次函数，且M随x增大而减小，∴当x=8时，M最小，最少为48640元．‎ ‎【例10】.为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元.‎ ‎（1）每个文具盒、每支钢笔个多少元？‎ ‎（2）时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠.若买x个文具盒需要元，买x支钢笔需要元；求、关于x的函数关系式；‎ ‎（3）若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱.‎ 解：（1）设每个文具盒x元，每支钢笔y元，可列方程组得 ‎， 解之得 答：每个文具盒14元，每支钢笔15元.‎ ‎（2）由题意知，y1关于x的函数关系式为y1=14×90%x，即y1=12.6x.‎ 由题意知，买钢笔10以下（含10支）没有优惠，故此时的函数关系式为y2=15x.‎ 当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时函数关系式为y2=15×10+15×80%（x－10）‎ 即y2=12x+30 ‎ ‎（3）当y1< y2即12.6x<12x+30时，解得x<50;‎ 当y1= y2即12.6x=12x+30时，解得x=50; ‎ 当y1> y2即12.6x>12x+30时，解得x>50.‎ 综上所述，当购买奖品超过10件但少于50件时，买文具盒省钱；‎ 当购买奖品超过50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；‎ 当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱.‎ ‎【例11】．为极大地满足人民生活的需求，丰富市场供应，我区农村温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大．在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种．科学研究表明：在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果（同一种紧挨在一起种植不超过两垄），可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益．‎ 现有一个种植总面积为540m的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄(垄数为正整数)，它们的占地面积、产量、利润分别如下：‎ 占地面积（m/垄）‎ 产量（千克/垄）‎ 利润（元/千克）‎ 西红柿 ‎30‎ ‎160‎ ‎1.1‎ 草莓 ‎15‎ ‎50‎ ‎1.6‎ ‎（1）若设草莓共种植了垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？‎ ‎（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？‎ 解：（1）根据题意西红柿种了（24-）垄 ‎15+30(24-)≤540 解得 ≥12 ‎ ‎∵≤14，且是正整数 ∴=12，13，14 ‎ 共有三种种植方案，分别是：‎ 方案一：草莓种植12垄，西红柿种植12垄 方案二：草莓种植13垄，西红柿种植11垄 方案三：草莓种植14垄，西红柿种植10垄 ‎ ‎ （2）解法一：方案一获得的利润：12×50×1.6+12×160×1.1=3072（元）‎ 方案二获得的利润：13×50×1.6+11×160×1.1=2976（元）‎ 方案三获得的利润：14×50×1.6+10×160×1.1=2880（元）‎ ‎ 由计算知，种植西红柿和草莓各12垄，获得的利润最大， ‎ 最大利润是3072元 解法二：若草莓种了垄，设种植草莓和西红柿共可获得利润元，则 ‎ ‎ ‎∵-96＜0 ∴随的增大而减小 又∵12≤≤14，且是正整数 ‎ ‎∴当=12时，=3072（元）‎