部分市中考几何压轴题

部分市中考几何压轴题

‎2010部分省市中考几何压轴题 例1．（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，…，最后一个的顶点、在圆上．‎ ‎（第23题）‎ ‎（第23题 图1）‎ ‎（第23题 图2）‎ ‎（第1题 图1）‎ ‎（1）如图1，当时，求正三角形的边长；（2）如图2，当时，求正三角形的边长；（3）如题图，求正三角形的边长（用含n的代数式表示）．‎ ‎（1）设与交于点D，连结，则，在中，，即，解得．‎ ‎（2）设与交于点E，连结，则，‎ 在中，即，解得．‎ ‎（3）设与交于点F，连结，则，‎ 在中，‎ 即，解得．‎ ‎2．（2010 四川南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝BC．（1）求∠BAC的度数．（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．‎ A F C D E G H B O ‎【答案】（1）解：连结OB和OC．∵　OE⊥BC，∴　BE＝CE． ∵　OE＝BC，∴　∠BOC＝90°，∴　∠BAC＝45°．　‎ ‎（2）证明：∵　AD⊥BC，∴　∠ADB＝∠ADC＝90°． 由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴　∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°． ∴　∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．∴　四边形AFHG是正方形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4． 设AD的长为x，则　BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴　（x－6）2＋（x－4）2＝102．解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．∴　AD＝12．　　　　　　　　　　　　　‎ 例3．（2010湖北荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC·CD=PC·BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长； （3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。‎ ‎【答案】（1）由题意，AB是⊙O的直径；∴∠ACB=90。，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90。∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90。，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△DCB；∴， ∴AC·CD=PC·BC ‎（2）当P运动到AB弧的中点时,连接AP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90。，又∵P是弧AB的中点，∴弧PA=弧PB，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA=45.,又AB=5，∴PA=，过A作AM⊥CP，垂足为M，在Rt△AMC中，∠ACM=45 ，∴∠CAM=45，∴AM=CM=，在Rt△AMP中，AM2+AP2=PM2，∴PM=，∴PC=PM+=。由（1）知：AC·CD=PC·BC ，3×CD=PC×4，∴CD＝‎ ‎（3）由（1）知：AC·CD=PC·BC，所以AC：BC=CP：CD；所以CP：CD=3：4，而△PCD的面积等于·=，CP是圆O的弦，当CP最长时，△PCD的面积最大，而此时CP就是圆O的直径；所以CP=5，∴3：4=5：CD；∴CD=，△PCD的面积等于·==；‎ ‎ 例4．（2010 四川成都）已知：如图，内接于⊙O，为直径，弦于，是AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、．（1）求证：是的外心；（2）若,求的长；（3）求证：．‎ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎（1）证明：∵C是AD的中点，∴AC=CD，∴∠CAD=∠ABC‎⌒‎ ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠CAD+∠AQC=90°又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°∴∠AQC=∠PCQ ‎∴在△PCQ中，PC=PQ，∵CE⊥直径AB，∴AC=AE ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎∴AE=CD∴∠CAD=∠ACE。∴在△APC中，有PA=PC，∴PA=PC=PQ∴P是△ACQ的外心。‎ ‎（2）解：∵CE⊥直径AB于F，∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8，得。∴由勾股定理，得∵AB是⊙O的直径，∴在Rt△ACB 中，由tan∠ABC=， 得。‎ 易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴∴。‎ ‎（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∴∠DAB+∠ABD=90°又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°∴∠DAB=∠G；∴Rt△AFP∽Rt△GFB，∴，即易知Rt△ACF∽Rt△CBF，∴∴由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC∴。‎ 例5．（2010四川 泸州）(本题满分10分)如图9,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC.求证:AE⊥DE;设以AD为直径的半圆交AB于F,连接DF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求的值.‎ ‎(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°, 又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC， ∴∠DAE+∠ADE=90°， ∴∠AED＝90°， ∴AE⊥DE. ‎ ‎(2)解:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=5,AD=BC,∴∠DAE=∠BEA, 又∵∠DAE=∠BAE,∴∠BEA=∠BAE,∴BE=AB=5, 同理EC=CD=5, ∴AD=BC=BE+EC=10, 在RtAED中,DE===6, 又∵AD为半圆的直径,∴∠AFD=90°,∴∠AFD=∠AED,∵∠DAE=∠FAG,∴AFG∽AED, ∴. ‎ 例6．（2010湖北宜昌）如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根，设过D,E,F三点的⊙O的面积为,矩形PDEF的面积为。（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；（2）求的最小值；（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分）‎ A C B ‎(第6题)‎ 解法一：‎ ‎（1）据题意，∵a+h=.∴所求正方形与矩形的面积之比： ‎ 由知同号, 即正方形与矩形的面积之比不小于4.‎ ‎⊙‎ ‎（2）∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.∴⊙O的面积为：．矩形PDEF的面积：．‎⊙‎ ∴面积之比： 设 ‎, ‎⊙‎ ，即时（EF=DE）, 的最小值为 M N ‎⊙‎ ‎（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝ e，∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.由BC∥MQ,得：BM =AG =h.∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,∴△FBP∽△ABQ. ∴,∴.∴‎ ‎∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关. ‎ 解法二：‎ ‎（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，　∴ah＞０‎ ‎ ∵（a-h）２≥０，当a＝h时等号成立.‎ ‎　　　　 故，（a-h）２＝（a＋h）２－４a h≥０．∴（a＋h）２≥４a h，∴≥４．（﹡）这就证得≥４．（叙述基本明晰即可）‎ ‎（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为 . S⊙O=, S矩形PDEF=xy‎⊙‎ = =‎ 由（1）（*）， ..‎⊙‎ ∴的最小值是 ‎⊙‎ ‎（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形. ‎ ‎∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足.∵△AGB∽△FEB，∴.‎ ‎∵△AQB∽△FPB, ，∴=．而 EF=PF，∴AG=AQ=h, ‎ ‎∴AG=h＝,或者AG=h＝∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.‎ 例7．（2010广东清远）如下图，在⊙O中，点P在直径AB上运动，但与A、B两点不重合，过点P作弦CE⊥AB，在上任取一点D，直线CD与直线AB交于点F，弦DE交直线AB于点M，连接CM.（1）如图10，当点P运动到与O点重合时，求∠FDM的度数. （2）如图11、图12，当点P运动到与O点不重合时，求证：FM·OB=DF·MC.‎ 解：（1）点P与点O重合时，（如图10）‎ ‎∵CE是直径，∴∠CDE＝90°.∵∠CDE＋∠FDM＝180°，∴∠FDM＝90°.‎ ‎（2）当点P在OA上运动时（如图11）∵OP⊥CE，∴＝＝，CP＝EP. ∴CM＝EM.　∴∠CMP＝∠EMP.∵∠DMO＝∠EMP，　∴∠CMP＝∠DMO.∵∠CMP＋∠DMC＝∠DMO＋∠DMC，∴∠DMF＝∠CMO.∵∠D所对的弧是，∠COM所对的弧是，∴∠D＝∠COM.∴△DFM∽△OCM.　∴＝∴FM·OC＝DF·MC. ∵OB＝OC，　∴FM·OB＝DF·MC.当点P在OB上运动时，（如图12）‎ 证法一：连结AC，AE.∵OP⊥CE，∴＝＝，CP＝EP.∴CM＝EM，　∴∠CMO＝∠EMO.∵∠DMF＝∠EMO，　∴∠DMF＝∠CMO∵∠CDE所对的弧是，∠CAE所对的弧是.∴∠CDE＋∠CAE＝180°.∴∠CDM＋∠FDM＝180°，∴∠FDM＝∠CAE.‎ 图10 图11 图12‎ C A B ‎(P)‎ E O M F D C A B P E O F D M O C A B P E F D M ‎∵∠CAE所对的弧是，∠COM所对的弧是，∴∠CAE＝∠COM.∴∠FDM＝∠COM. ‎ ‎∴△DFM∽△OCM.　∴＝.∴FM·OC＝DF·MC.∵OB＝OC，　∴FM·OB＝DF·MC.‎ 证法二：∵OP⊥CE，∴＝＝，＝＝，CP＝EP.∴CM＝EM，∴∠CMO＝∠EMO.∵∠DMF＝∠EMO，　∴∠DMF＝∠CMO∵∠CDE所对的弧是，∴∠CDE＝度数的一半＝的度数＝180°－的度数.∴∠FDM＝180°－∠CDE＝180°－（180°－的度数）＝的度数.∵∠COM＝的度数.∴∠FDM＝∠COM∴△DFM∽△OCM.　∴＝.∴FM·OC＝DF·MC.∵OB＝OC，　∴FM·OB＝DF·MC. ‎ 例8．(2010湖北黄冈)（15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.‎ ‎（1）a＝－1，b＝2，c＝0‎ ‎（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.‎ ‎（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.‎ 例9（2010四川绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y 轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．‎ C E D G A x y O B F ‎（1）由题意，得 解得，b =－1．‎ 所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．‎ ‎（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．‎ ‎∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．‎ 设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3．所以直线BD的解析式为y =x + 3．由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．同理可求得直线EF的解析式为y =x +．联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．‎ ‎（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．则 KN = yK－yN =－（t +）=．所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．‎ 例10在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．‎ ‎（1）求直线及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？‎ ‎（1）解：（1）∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，∴，。 将 代入，得。解得。∴直线AC的函数表达式为。∵抛物线的对称轴是直线 ‎∴解得∴抛物线的函数表达式为。‎ ‎（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。‎ ‎ ∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴。‎ 过点P作PE⊥x轴于点E，∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，‎ ‎∴，∴∴，解得∴点P的坐标为 ‎（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。设点Q的坐标为。‎ ① 当⊙Q与y轴相切时，有，即。当时，得，∴当时，得，∴‎ ② 当⊙Q与x轴相切时，有，即当时，得，即，解得，∴当时，得，即，解得，∴，。综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，。‎ ‎（Ⅱ）设点Q的坐标为。当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有。由，得，即，∵△=∴此方程无解。‎ 由，得，即，解得 ‎∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切。‎ 例11 （2010重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．‎ 例12. 在平面直角坐标系xOy中，拋物线y= -x2+x+m2-‎3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条拋物线上。 (1) 求点B的坐标； (2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动) j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此拋物线上时，求OP的长； k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F ‎。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。‎