中考复习谈一个三角形分割成两个等腰三角形的条件

中考复习谈一个三角形分割成两个等腰三角形的条件

从特殊到一般 由结果探条件 ‎——也谈一个三角形分割成两个等腰三角形的条件 问题1 如图1，图2，有两个三角形．图1中三角形的内角分别为10°，20°，150°；图2中三角形的内角分别为80°，25°，75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出各角的度数．‎ ‎ ‎ ‎ 答案 图1中作20°角的角平分线；图2中以75°角的顶点为顶点，一边为边向三角形内作25°的角（画图略．）‎ ‎ 在让学生探究之后，笔者提出了两个问题：‎ ‎ (1)从以上两个分割中，你能得出那些分割的经验？‎ ‎ (2)试着再给出一个三角形的三个角度，使得这个三角形也能被分割成两个等腰三角形．‎ ‎ 学生1：要分割一个三角形应从较大角出发去分割，但不一定是从最大角出发进行分割．‎ ‎ 学生2：分割时要从较大角中分割出一个与另外一个角相同的角出来，这样才能出现一个三角形，再来分析另一个三角形是不是等腰三角形．‎ ‎ 对于问题(2)，学生写出了不少情形，如20°，40°，120°；30° ，60°，90°；40°，60°，80°．还有学生提出只要是直角三角形就能分割出两个等腰三角形．‎ ‎ 学生思考之后，笔者再次提出问题：‎ 问题2 一个三角形的三个内角满足什么条件时，可以用过顶点的直线将它分割成两个等腰三角形？如何分？‎ ‎ 经过探究得出了以下分析过程：‎ ‎ 假设一个三角形能被过一个顶点的直线分成两个等腰三角形，设这条直线与对边交于点O，在三角形内点O处分出两个角，这两个角可能为两个直角或者为一个钝角一个锐角，因此可分两种情况讨论：‎ ‎ 1．当O点分出的两个角都是直角时，如图3，这时这两个角都必须是分出的两个等腰三角形的顶角，因此这两个等腰三角形就是等腰直角三角形，显然可得原三角形的三个内角为45°，45°，90°．‎ ‎2．当O点分出的两个角为一个钝角一个锐角时，钝角必定是其中一个等腰三角形的顶角，而另一个锐角可以是另一个等腰三角形的顶角或是底角，因此再分两种讨论：‎ ‎ ‎ ‎ ①当锐角也是顶角时，如图4，可设分出来的两个等腰三角形的底角度数分别为α和β，所以原三角形的三个角的度数为α，β，α＋β，此时由三角形的内角和定理可知α＋β＝90°，即原三角形为直角三角形，分割方法是沿斜边上的中线分割成两个等腰三角形．显然这种情况可以将情况1包含其中，‎ ‎ ②当锐角是右边等腰三角形的底角时，设左边的等腰三角形的两个底角度数为α，由三角形的外角性质可得这个底角为2α，所以此等腰三角形中还有一个角的度数为2α，如图5，如图6，还有两种情况：‎ ‎ (i)如图5，再设该等腰三角形的第三个角的度数为⊙8，可得原三角形的三个角的度数为α，β，3α，因为α＋β＋3α＝180°，可得0°<α<45°．分割方法为将3α分出一个α与原α角构成一个等腰三角形，另一个三角形也是等腰三角形．‎ ‎ ‎ ‎ (ii)如图6，再设该等腰三角形的第三个角的度数为β，可得原三角形的三个角的度数为α，‎2c，α＋β，因为α＋2α＋α＋β＝180°，可得0°<α< 45°．分割方法为将α＋β分出一个α与原α角构成一个等腰三角形，另一个三角形也是等腰三角形．‎ ‎ 综上所述，一个三角形能分割成两个等腰三角形．共有三种情况：‎ ‎ 情形1 有一个内角为90°，沿原三角形 斜边上的中线分割成两个等腰三角形．‎ ‎ 情形2 当三个角为α，β，3α，(0°<α<45°)，将3α分出一个α与原α角构成一个等腰三角形，另一个三角形必是等腰三角形． 情形3 当三个角为α，2α，α＋β，(0°<α<45°)，将α＋β分出一个α与原α角构成一个等腰三角形，另一个三角形也必是等腰三角形．‎ ‎ 需要说明的是当一个三角形同时满足上述三种情形中的多种情形时，那么分割的方式可能有多种．‎ ‎ 根据这一个结果可进一步研究下面的问题：‎ ‎ 问题3 ‎ ‎ 在等腰三角形中，当三个内角分别为多少度时可以过一个顶点画一条直线将原等腰三角形分成两个等腰三角形？‎ ‎ 引导学生将问题2中的结论直接用到此题中：‎ ‎ 对于情形1，显然原三角形为等腰直角三角形，三个角为45°，45°，90°．‎ ‎ 对于情形2，三个内角α，β，3α，(0°<α<45°)中有两个角相等，有两种情况：‎ ‎ (i)可能为α＝β，此时α＋α＋3α＝180°，可得α＝36°，此时三个内角的度数分别为36°，36°，108°．‎ ‎ (ii)可能为3α＝β，此时α＋3α＋3α＝180°，可得α＝，此时三个内角的度数分别为，，．‎ ‎ 对于情形3，三个内角α，2α，α＋β，(0，<α<45°)中，有两个角相等只可能为2α＝α＋β，α＋2α＋2α＝180°，可得α＝36°，此时三个内角的度数分别为360，720，720．‎ ‎ 综上所述，当等腰三角形的三个角分别为45°，45°，90°；36°，36°，108°；，，；36°，72°，72°时，可以将原等腰三角形分割成两个等腰三角形．‎ ‎ 探究反思 1．关于分割出等腰三角形的问题，对于八年级的学生而言是有一定难度的，笔者先从两个特例出发，让学生经历探究的过程，并通过两个思考题让学生分享探究的经验，这为问题2提供了研究的方向，这种从特殊到一般的研究方法是数学中常用的研究方法．‎ ‎2．该问题在探究中既可以从某个角出发进行分割，然后分类讨论，也可以假设已经分出两个等腰三角形，对可能出现哪些情况进行分类讨论．此题从假设出发，对在D点出分割出的两个角进行讨论，可以简化分类，而且也为问题3的解决提供依据．‎