新修订版全国各地中考数学试题分类汇编考点26直角三角形与勾股定理含答案

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新修订版全国各地中考数学试题分类汇编考点26直角三角形与勾股定理含答案

‎ 直角三角形与勾股定理A 一、选择题 ‎1. (2011山东滨州,9,3分)在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)( )‎ A.9.1‎‎ B.‎9.5 C.3.1 D.3.5‎ ‎【答案】C ‎2. (2011山东烟台,7,4分)如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为‎6m和‎8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是( )‎ A‎2m B‎.3m C‎.6m D‎.9m O ‎(第7题图)‎ ‎【答案】C ‎3. (2011台湾全区,29)已知小龙、阿虎两人均在同一地点,若小龙向北直走160公尺,再向东直走80公尺后,可到神仙百货,则阿虎向西直走多少公尺后,他与神仙百货的距离为340公尺?‎ A. 100 B. ‎180 C. 220 D. 260‎ ‎【答案】C ‎4. (2011湖北黄石,7,3分)将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为‎3cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图(3),则三角板的最大边的长为 A. ‎3cm B. ‎6cm C. ‎3‎cm D. ‎6‎cm ‎【答案】D ‎5. (2011贵州贵阳,7,3分)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是 ‎(第7题图)‎ ‎ (A)3.5 (B)4.2 (C)5.8 (D)7‎ ‎ 【答案】D ‎6. (2011河北,9,3分)如图3,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,若A′为CE的中点,则折痕DE的长为( )‎ A. B.‎2 C.3 D.4 ‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎1. (2011山东德州13,4分)下列命题中,其逆命题成立的是______________.(只填写序号)‎ ‎①同旁内角互补,两直线平行;‎ ‎②如果两个角是直角,那么它们相等;‎ ‎③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;‎ ‎④如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形.‎ ‎【答案】① ④‎ ‎2. (2011浙江温州,16,5分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.‎ ‎ 若S1,S2,S3=10,则S2的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎3. (2011重庆綦江,16,4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为‎2米,坡角∠A=30°,∠B=90°,BC=‎6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE= 米时,有DC=AE+BC. ‎ ‎ ‎ ‎【答案】:‎ ‎4. (2011四川凉山州,15,4分)把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式: ‎ ‎ 。‎ ‎【答案】如果三角形三边长a,b,c,满足,那么这个三角形是直角三角形 ‎【答案】5‎ ‎6. (2011广东肇庆,13,3分)在直角三角形ABC中,∠C = 90°,BC = 12,AC = 9,则AB= ▲ .‎ ‎【答案】15‎ ‎7. (2011贵州安顺,16,4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=‎6cm,AC=‎8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是 .‎ 第16题图 ‎【答案】‎6cm2‎ ‎8. (2011山东枣庄,15,4分)将一副三角尺如图所示叠放在一起,若=‎14cm,则阴影部分的面积是________cm2. ‎ A C E D B F ‎30°‎ ‎45°‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎1. (2011四川广安,28,10分)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为‎6m、‎8m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以‎8m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.‎ ‎【答案】由题意可得,花圃的周长=8+8+=16+‎ ‎2. (2011四川绵阳23,12)‎ 王伟准备用一段长‎30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多‎2米.‎ ‎(1)请用a表示第三条边长;‎ ‎(2)问第一条边长可以为‎7米吗?为什么?请说明理由,并求出a的取值范围;‎ ‎(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)第一条边为a,第二条边为‎2a+2,第三条边为30-a-(‎2a+2)=28‎‎-3a ‎(2)不可以是7,∵第一条边为7,第二条边为16,第三条边为7,不满足三边之间的关系,不可以构成三角形。>a>5‎ ‎(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形 ‎3. (2011江西南昌,25,10分)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:‎ 设∠BAC=(0°<<90°).现把小棒依次摆放在两射线AB,AC之间,并使小棒两端分别落在两射线上.‎ 活动一:‎ 如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在两端点处互相垂直,A‎1A2为第1根小棒.‎ 数学思考:‎ ‎(1)小棒能无限摆下去吗?答: .(填“能”或“不能”)‎ ‎(2)设AA1=A‎1A2=A‎2A3=1.‎ ‎①= 度;‎ ‎②若记小棒A2n‎-1A2n的长度为an(n为正整数,如A‎1A2=a1,A‎3A4=a2,),求此时a2,a3的值,并直接写出an(用含n的式子表示).‎ 图甲 活动二:‎ 如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A‎1A2为第1根小棒,且A‎1A2= AA1.‎ 数学思考:‎ ‎(3)若已经向右摆放了3根小棒,则= ,= ,= ;(用含的式子表示)‎ ‎(4)若只能摆放4根小棒,求的范围.‎ 图乙 ‎【答案】解:(1)能 ‎(2)①22.5°‎ ‎②方法一:‎ ‎∵AA1=A‎1A2=A‎2A3=1, A‎1A2⊥A‎2A3,∴A‎1A3=,AA3=1+.‎ 又∵A‎2A3⊥A‎3A4,∴A‎1A2∥A‎3A4.同理:A‎3A4∥A‎5A6,∴∠A=∠AA‎2A1=∠AA‎4A3=∠AA‎6A5,‎ ‎∴AA3=A‎3A4,AA5=A‎5A6,∴a2= A‎3A4=AA3=1+,a3=AA3+A‎3A5=a2+A‎3A5.∵A‎3A5=a2,‎ ‎∴a3=A‎5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.‎ 方法二:‎ ‎∵AA1=A‎1A2=A‎2A3=1, A‎1A2⊥A‎2A3,∴A‎1A3=,AA3=1+.‎ 又∵A‎2A3⊥A‎3A4,∴A‎1A2∥A‎3A4.同理:A‎3A4∥A‎5A6,∴∠A=∠AA‎2A1=∠AA‎4A3=∠AA‎6A5,‎ ‎∴a2=A‎3A4=AA3=1+,又∵∠A‎2A3A4=∠A‎4A5A6=90°,∠A‎2A4A3=∠A‎4A6A5,∴△A‎2A3A4∽△A‎4A5A6,‎ ‎∴,∴a3==(+1)2.‎ an=(+1)n-1.‎ ‎(3)‎ ‎(4)由题意得,∴15°<≤18°.‎ ‎4. (2011四川乐山25,12分)如图,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.‎ ‎ ‎ (1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 ‎ 证明:‎ (2) ‎ 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 ‎ 证明 (3) 如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 ‎ ‎(写出关系式,不必证明)‎ ‎5. (2011四川乐山18,3分)如图,在直角△ABC中,∠C=90,∠CAB的平分线AD交BC于D,若DE垂直平分AB,求∠B的度数。‎ ‎【答案】‎ ‎ 解:∵AD平分∠CAD ‎ ∴∠CAD=∠BAD ‎∵DE垂直平分AB ‎∴AD=BD,∠B=∠BAD ‎∴∠CAD=∠BAD=∠B ‎∵在RtΔABC中,∠C=90º ‎∴∠CAD+∠DAE+∠B=90º ‎∴∠B=30º ‎6. (2011山东枣庄,21,8分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题:‎ ‎(1)画线段AD∥BC且使AD =BC,连接CD;‎ ‎(2)线段AC的长为 ,CD的长为 ,AD的长为 ;‎ ‎(3)△ACD为 三角形,四边形ABCD的面积为 ;‎ ‎(4)若E为BC中点,则tan∠CAE的值是 .‎ A B C E 解:(1)如图; ……………………………1分 A B C E 第21题图 D ‎(2),,5; ………………4分 ‎(3)直角,10; ……………………6分 ‎(4). ……………………………8分 ‎ 直角三角形与勾股定理B 一、选择题 ‎1. (2011湖北十堰,5,3分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=900,DE过点C,且DE//AB,若∠ACD=500,则∠B的度数是( )‎ 第5题图 A.500 B.‎400 C.300 D.250‎ ‎【答案】B ‎2. (2011湖北随州,11,3分)下列说法中 ‎①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等 ‎②数据5,2,7,1,2,4的中位数是3,众数是2‎ ‎③等腰梯形既是中心对称图形,又是轴对称图形 ‎④Rt△ABC中,∠C=90°,两直角边a,b分别是方程x2-7x+7=0的两个根,则AB边上的中线长为 正确命题有( )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎【答案】C ‎3. (2011内蒙古呼和浩特市,9,3分)如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎1. (2011广东河源,9,4分)如图1,在 Rt△ABC中,∠B=90°.ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,已知∠BAE=30°,则∠C的度数为°          ‎ ‎【答案】300‎ ‎2. (2011黑龙江省哈尔滨市,20,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,DE⊥AC,垂足为E,若DE=2,CD=,则BE的长为 _。‎ ‎【答案】‎ ‎3. (湖南湘西,5,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=3,AC=4,则AB的长是______.‎ ‎【答案】5‎ ‎4. (2011山西,18,3分)如图,已知AB=12,AB⊥BC于B,AB⊥AD于A,AD=5,BC=10,点E是CD的中点,则AE的长是_______.‎ ‎(第18题)‎ ‎【答案】;‎ ‎5. 如(2011贵州遵义,15,4分)图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是 ▲ 。‎ ‎【答案】‎ ‎6. (2011广东肇庆,13,3分)在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=9,则AB= ▲ .‎ ‎【答案】15‎ ‎7. (2011黑龙江绥化,10,3分)已知三角形相邻两边长分别为20和30,第三边上的高为10,则此三角形的面积为 .‎ ‎【答案】或(答案不全或含错解,本题不得分)‎ ‎8. (2011江西b卷,15,3分)一块直角三角板放在两平行直线上,如图所示,∠1+∠2=___________度.‎ ‎11111‎ ‎1‎ ‎2‎ 第15题 ‎【答案】90°‎ ‎9. (2011江苏徐州,13,3分)若直角三角形的一个锐角为20°,则另一个锐角等于 ▲ °‎ ‎【答案】70°‎ ‎10.(2011山东枣庄,15,4分)将一副三角尺如图所示叠放在一起,若=‎14cm,则阴影部分的面积是________cm2. ‎ A C E D B F ‎30°‎ ‎45°‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎2. (2011湖北潜江天门仙桃江汉油田,23,10分)两个大小相同且含角的三角板ABC和DEC如图①摆放,使直角顶点重合. 将图①中△DEC绕点C逆时针旋转得到图②,点F、G分别是CD、DE与AB的交点,点H是DE与AC的交点. ‎ ‎(1)不添加辅助线,写出图②中所有与△BCF全等的三角形;‎ ‎(2)将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转得△D1E‎1C,点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1 ,如图③.探究线段D‎1F1与AH1之间的数量关系,并写出推理过程; ‎ ‎ (3)在(2)的条件下,若D1E1与CE交于点I,求证:G1I =CI.‎ ‎【答案】解:(1)图②中与△BCF全等的有△GDF、 △GAH 、△ECH.‎ ‎(2)= ‎ 证明:∵∴△AF‎1C ≌△D1H‎1C. ‎ ‎∴ F‎1C= H‎1C, 又CD1=CA,‎ ‎∴CD1- F‎1C =CA- H‎1C.即 ‎(3)连结CG1.‎ 在△D‎1G1F1和△AG1H1中,‎ ‎∵,∴△D‎1G1F1 ≌△AG1H1.‎ ‎∴G‎1F1=G1H1‎ 又∵H‎1C=F‎1C,G‎1C=G‎1C,∴△CG‎1F1 ≌△CG1H1.‎ ‎∴∠1=∠2. ‎ ‎∵∠B=60°,∠BCF=30° ,∴∠BFC=90°. ‎ 又∵∠DCE=90°,∴∠BFC=∠DCE, ‎ ‎∴BA∥CE, ∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3,‎ ‎∴G1I=CI.‎ ‎ 直角三角形与勾股定理C 一、选择题 ‎1. (2011湖北十堰,5,3分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=900,DE过点C,且DE//AB,若∠ACD=500,则∠B的度数是( )‎ 第5题图 A.500 B.‎400 C.300 D.250‎ ‎【答案】B ‎2. (2011湖北随州,11,3分)下列说法中 ‎①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等 ‎②数据5,2,7,1,2,4的中位数是3,众数是2‎ ‎③等腰梯形既是中心对称图形,又是轴对称图形 ‎④Rt△ABC中,∠C=90°,两直角边a,b分别是方程x2-7x+7=0的两个根,则AB边上的中线长为 正确命题有( )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎【答案】C ‎3. (2011内蒙古呼和浩特市,9,3分)如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎4. (2011昭通,6,3)将一副直角三角板如图2所示放置,使含300‎ 角的三角板的一条直角边和含450角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为( )‎ ‎ A.450 B.‎600 C.750 D.850‎ ‎1‎ ‎ 图2‎ ‎【答案】C ‎5. (2011•泸州,11,2分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,将BC向BA方向翻折过去,使点C落在BA上的点C′,折痕为BE,则EC的长度是(  )‎ ‎ A、 B、 ‎ C、 D、 ‎【答案】B.‎ ‎6. (2011贵州黔南,5,4分)如图,△ABC中,AB=AC=6,BC=8,AE平分∠BAC交BC于点E,点D为AB的中点,连接DE,则△BDE的周长是( )‎ A.7+ B‎.10 C.4+2 D.12‎ A D B E C 第5题图 ‎【答案】B 二、填空题 ‎1. (2011广东河源,9,4分)如图1,在 Rt△ABC中,∠B=90°.ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,已知∠BAE=30°,则∠C的度数为°          ‎ ‎【答案】300‎ ‎3. (湖南湘西,5,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=3,AC=4,则AB的长是______.‎ ‎【答案】5‎ ‎4. (2011山西,18,3分)如图,已知AB=12,AB⊥BC于B,AB⊥AD于A,AD=5,BC=10,点E是CD的中点,则AE的长是_______.‎ ‎(第18题)‎ ‎【答案】;‎ ‎5. 如(2011贵州遵义,15,4分)图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是 ▲ 。‎ ‎【答案】‎ ‎6. (2011广东肇庆,13,3分)在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=9,则AB= ▲ .‎ ‎【答案】15‎ ‎7. (2011黑龙江绥化,10,3分)已知三角形相邻两边长分别为20和30,第三边上的高为10,则此三角形的面积为 .‎ ‎【答案】或(答案不全或含错解,本题不得分)‎ ‎8. (2011江西b卷,15,3分)一块直角三角板放在两平行直线上,如图所示,∠1+∠2=___________度.‎ ‎11111‎ ‎1‎ ‎2‎ 第15题 ‎【答案】90°‎ ‎9. (2011江苏徐州,13,3分)若直角三角形的一个锐角为20°,则另一个锐角等于 ▲ °‎ ‎【答案】70°‎ ‎10.(2011山东枣庄,15,4分)将一副三角尺如图所示叠放在一起,若=‎14cm,则阴影部分的面积是________cm2. ‎ A C E D B F ‎30°‎ ‎45°‎ ‎【答案】‎ ‎11. (2011云南玉溪,14,3分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,分别以BC、AB、AC为边向外作正方形,面积分别记为S1、S2、S3,若S2=4,S3=6,则S1=________.‎ ‎【答案】2.‎ ‎12. (2011新疆维吾尔自治区,新疆生产建设兵团,11,5分)如图,△ABC是等边三角形,AB=‎4cm,则BC边上的高AD等于_____________cm; ‎ 第11题图 ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎1. (湖南湘西,20,6分)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,∠B=60°,∠C=45°.‎ ‎(1)求∠BAC的度数。‎ ‎(2)若AC=2,求AD的长。‎ 解: (1)∠BAC=180°-60°-45°=75°‎ ‎(2) ∵AD⊥BC,∴△ADC是直角三角形,‎ ‎∵∠C=45°, ∴∠DAC=45°,根据勾股定理,得AD=.‎ ‎2. (2011湖北潜江天门仙桃江汉油田,23,10分)两个大小相同且含角的三角板ABC和DEC如图①摆放,使直角顶点重合. 将图①中△DEC绕点C逆时针旋转得到图②,点F、G分别是CD、DE与AB的交点,点H是DE与AC的交点. ‎ ‎(1)不添加辅助线,写出图②中所有与△BCF全等的三角形;‎ ‎(2)将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转得△D1E‎1C,点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1 ,如图③.探究线段D‎1F1与AH1之间的数量关系,并写出推理过程; ‎ ‎ (3)在(2)的条件下,若D1E1与CE交于点I,求证:G1I =CI.‎ ‎【答案】解:(1)图②中与△BCF全等的有△GDF、 △GAH 、△ECH.‎ ‎(2)= ‎ 证明:∵∴△AF‎1C ≌△D1H‎1C. ‎ ‎∴ F‎1C= H‎1C, 又CD1=CA,‎ ‎∴CD1- F‎1C =CA- H‎1C.即 ‎(3)连结CG1.‎ 在△D‎1G1F1和△AG1H1中,‎ ‎∵,∴△D‎1G1F1 ≌△AG1H1.‎ ‎∴G‎1F1=G1H1‎ 又∵H‎1C=F‎1C,G‎1C=G‎1C,∴△CG‎1F1 ≌△CG1H1.‎ ‎∴∠1=∠2. ‎ ‎∵∠B=60°,∠BCF=30° ,∴∠BFC=90°. ‎ 又∵∠DCE=90°,∴∠BFC=∠DCE, ‎ ‎∴BA∥CE, ∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3,‎ ‎∴G1I=CI.‎
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