2012年十堰中考数学试卷

2012年十堰中考数学试卷

2012 年湖北省十堰市中考数学试卷 一、选择题(本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内) 1．有理数-1，-2，0，3 中，最小的一个数是（ Ｂ ） A．-1 B．-2 C．0 D．3 【考点】有理数大小比较． 【专题】 【分析】先求出|-1|=1，|-2|=2，根据负数的绝对值越大，这个数就越小得到-2＜-1，而 0 大 于任何负数，小于任何正数，则有理数-1，-2，0，3 的大小关系为-2＜-1＜0＜3． 【解答】解：∵|-1|=1，|-2|=2， ∴-2＜-1， ∴有理数-1，-2，0，3 的大小关系为-2＜-1＜0＜3． 故选 B． 【点评】本题考查了有理数的大小比较：0 大于任何负数，小于任何正数；负数的绝对值越 大，这个数就越小． 2．点 P（-2，3）关于 x 轴对称点的坐标是（ Ｃ ） A．（-3，2） B．（2，-3） C．（-2，-3） D．（2，3） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【专题】 【分析】根据关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解． 【解答】解：∵关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点 P（-2，3）关于 x 轴对称点的坐标是（-2，-3 ）． 故选 C． 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐 标规律，注意结合图象，进行记忆和解题． 3．郧阳汉江大桥是国家南水北调中线工程的补偿替代项目，是南 水北调丹江口库区最长的跨江大桥，桥长约 2100 米，将数字 2100 用科学记数法表示为（ Ａ ） A．2.1×103 B．2.1×102 C．21×102 D．2.1×104 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【专题】 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是 易错点，由于 2100 有 4 位，所以可以确定 n=4-1=3． 【解答】解：2100=2.1×103． 故选 A． 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 n 值是关键． 4．如图是某体育馆内的颁奖台，其主视图是（ Ａ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【专题】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从颁奖台正面看所得到的图形为 A． 故选 A． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 5．如图，直线 BD∥EF，AE 与 BD 交于点 C，若∠ABC=30°，∠ BAC=75°，则∠CEF 的大小为（ Ｄ ） A．60° B．75° C．90° D．105° 【考点】平行线的性质；三角形内角和定理． 【专题】探究型． 【分析】先根据三角形外角的性质求出∠1 的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠1 是△ABC 的外角，∠ABC=30°，∠BAC=75°， ∴∠1=∠ABC+∠BAC=30°+75°=105°， ∵直线 BD∥EF， ∴∠CEF=∠1=105°． 故选 D． 【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是 解答此题的关键． 6．下列运算中，结果正确的是（ Ｄ ） A． 6 2 3x x x  B． 2 2 2( )x y x y   C． 2 3 5( )x x D． 8 2 2  【考点】二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式． 【专题】计算题． 【分析】根据同底数幂的乘除法则、完全平方公式及二次根式的加减运算，分别判断各选项， 继而可得出答案． 【解答】解：A、x6÷x2=x4，故本选项错误； B、（x+y）2=x2+2xy+y2，故本选项错误； C、（x2）3=x6，故本选项错误； D、 8 2 2 2 2 2    ，故本选项正确． 故选 D． 【点评】此题考查了二次根式的加减运算、同底数幂的乘除法则，属于基础题，掌握各部分 的运算法则是关键． 7．下列说法正确的是（ Ｂ ） A．要了解全市居民对环境的保护意识，采用全面调查的方式 B．若甲组数据的方差 S 2 甲 =0.1，乙组数据的方差 S 2 乙 =0.2，则甲组数据比乙组稳定 C．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上 D．若某彩票“中奖概率为 1%”，则购买 100 张彩票就一定会中奖一次 【考点】方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义． 【专题】 【分析】利用方差的定义、全面调查与抽样调查、随机事件及概率的意义进行逐一判断即可 得到答案． 【解答】解：A、了解全市居民的环保意识，范围比较大，因此采用抽样调查的方法比较合 适，本答案错误； B、甲组的方差小于乙组的方差，故甲组稳定正确； C、随机抛一枚硬币，落地后可能正面朝上也可能反面朝上，故本答案错误； D、买 100 张彩票不一定中奖一次，故本答案错误． 故选 B． 【点评】本题考查了方差的定义、全面调查与抽样调查、随机事件及概率的意义，属于基础 题，相对比较简单． 8．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 M 是 AD 的中点，且 MB=MC， 若 AD=4，AB=6，BC=8，则梯形 ABCD 的周长为（ Ｂ ） A．22 B．24 C．26 D．28 【考点】梯形；全等三角形的判定与性质． 【专题】数形结合． 【分析】先判断△AMB≌△DMC，从而得出 AB=DC，然后代入数据即可求出梯形 ABCD 的周长． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB， 又∵MC=MB， ∴∠MBC=∠MCB， ∴∠AMB=∠DMC， 在△AMB 和△DMC 中， ∵AM=DM，MB=MC，∠AMB=∠DMC ∴△AMB≌△DMC， ∴AB=DC， 四边形 ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=24． 故选 B． 【点评】此题考查了梯形、全等三角形的判定与性质，属于基础题，解答本题的关键是判断 △AMB≌△DMC，得出 AB=DC，难度一般． 9．一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两 车同时出发，两车离乙地的路程 S（千米）与行驶时间 t（小 时）的函数关系如图所示，则下列结论中错误的是（ Ｃ ） A．甲、乙两地的路程是 400 千米 B．慢车行驶速度为 60 千米/小时 C．相遇时快车行驶了 150 千米 D．快车出发后 4 小时到达乙地 【考点】函数的图象． 【专题】 【分析】根据函数的图象中的相关信息逐一进行判断即可得到答案． 【解答】解：观察图象知甲乙两地相距 400 千米，故 A 选项正确； 慢车的速度为 150÷2.5=60 千米/小时，故 B 选项正确； 相遇时快车行驶了 400-150=250 千米，故 C 选项错误； 快车的速度为 250÷2.5=100 千米/小时，用时 400÷100=4 小时，故 D 选项正确． 故选 C． 【点评】本题考查了函数的图象的知识，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义， 理解问题叙述的过程，通过此类题目的训练能提高同学们的读图能力 10．如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线 段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO′，下列 结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到； ② 点 O 与 O ′ 的 距 离 为 4 ； ③ ∠ AOB=150 ° ； ④ S 四 边 形 AOBO 6 3 3  ；⑤S△AOC+S△AOB= 9 36 4   ．其中正确的结论 是（ Ａ ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆 定理． 【专题】 【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△ BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到，故结论①正确； 由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确； 在△AOO′中，三边长为 3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形； 进而求得∠AOB=150°，故结论③正确； S 四边形 AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4 3，故结论④错误； 如图②，将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°，使得 AB 与 AC 重合，点 O 旋转至 O″ 点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将 S△AOC+S△AOB 转化为 S △COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确． 【解答】解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3， 又∵OB=O′B，AB=BC， ∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°， ∴△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到， 故结论①正确； 如图①，连接 OO′， ∵OB=O′B，且∠OBO′=60°， ∴△OBO′是等边三角形， ∴OO′=OB=4． 故结论②正确； ∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5． 在△AOO′中，三边长为 3，4，5，这是一组勾股数， ∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°， ∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°， 故结论③正确； S 四边形 AOBO′=S△AOO′+S△OBO′= 21 33 4 4 6 4 32 4        ， 故结论④错误； 如图②所示，将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°，使得 AB 与 AC 重合，点 O 旋转至 O″点． 易知△AOO″是边长为 3 的等边三角形，△COO″是边 长为 3、4、5 的直角三角形， 则 S △ AOC+S △ AOB=S 四 边 形 AOCO ″ =S △ COO ″ +S △ AOO ″ = 21 3 9 33 4 3 62 4 4        ， 故结论⑤正确． 综上所述，正确的结论为：①②③⑤． 故选 A． 【点评】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理， 判定勾股数 3、4、5 所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论 ⑤时，将△AOB 向不同方向旋转，体现了结论①-结论④解题思路的拓展应用． 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．函数 2y x  中，自变量 x 的取值范围是 x≥2 ． 【考点】函数自变量的取值范围． 【专题】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0， 就可以求解． 【解答】解：依题意，得 x-2≥0，解得 x≥2， 故答案为：x≥2． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方 数是非负数． 12．计算： 03 1 ( 1)   ＝ 3 ． 【考点】实数的运算；零指数幂． 【专题】计算题． 【分析】先去绝对值符号，然后计算零指数幂，继而合并运算即可． 【解答】解：原式 3 1 1 3    故答案为： 3 ． 【点评】此题考查了绝对值及零指数幂的运算，属于基础题，掌握零指数幂：a0=1（a≠0） 是关键，难度一般． 13．某射击小组有 20 人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组 数据的众数是 7 ． 【考点】考点：条形统计图；众数．分析：根据条形统计图可知，环数为 5，6，7，8，9， 10 的人数依次为：1，2，7，6，3，1，其中环数 7 出现了 7 次，次数最多，即为这组 数据的众数． 【专题】 【分析】 【解答】解：观察条形统计图可知，环数 7 出现了 7 次，次数最多，即这组数据的众数为 7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了条形统计图，众数的概念．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是 解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 14．如图，矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，AC 的垂直平分线 EF 交 AD 于点 E、交 BC 于点 F，则 EF= 5 ． 【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三 角形的判定与性质． 【专题】计算题． 【分析】连接 CE，根据矩形性质得出∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC， 求出 EF=2EO，在 Rt△CED 中，由勾股定理得出 CE2=CD2+ED2，求出 CE 值，求 出 AC、CO、EO，即可求出 EF． 【解答】解：连接 EC， ∵AC 的垂直平分线 EF， ∴AE=EC， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC， ∴△AOE∽△COF， ∴AO／OC =OE／OF ， ∵OA=OC， ∴OE=OF， 即 EF=2OE， 在 Rt△CED 中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2， 集 CE2=（4-CE）2+22， 解得：CE= 5 2 ， ∵在 Rt△ABC 中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC= 2 5 ， ∴CO= 5 ， ∵在 Rt△CEO 中，CO= 5 ，CE= 5 2 ，由勾股定理得：EO= 5 2 ， ∴EF=2EO= 5 ， 故答案为： 5 ． 【点评】本题考查了矩形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，线段的垂直平分线性 质的应用，关键是求出 EO 长，用的数学思想是方程思想． 15．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，以 AC 为直径的半圆 O 交 AB 于点 D，点 E 是 AB 的中点，CE 交半圆 O 于点 F，则图中阴影部分的面积为 9 9 3 4 4   cm2． 【考点】扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边 上的中线；圆周角定理． 【专题】 【分析】易证∠BCE=∠ACD，则根据弦切角定理可以得到 AD 与弦 AD 围成的弓形的面积等于 CF 与弦 CF 围成的弓形的面积相等，则阴影部分的面积等于半 圆的面积减去直角△ACD 的面积，再减去弓形的面积，据此即可求解． 【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm， ∴AC= 1 2 AB=6cm，∠B=60° ∵E 是 AB 的中点， ∴CE= 1 2 AB， 则△ACE 是等边三角形． ∴∠BCE=90°-60°=30°， ∵AC 是直径， ∴∠CDA=90°， ∴∠ACD=90°-∠A=30°， ∴∠BCE=∠ACD， ∴ CF = AD ， ∵以 AC 为直径的半圆的面积是： 21 1 9( ) 92 2 2 2 ACS       ， S△ACD= 1 2 CD•AD= 1 2 ×3×3 3 = 9 3 2 ， ∴ AD 与 弦 AD 围 成 的 弓 形 的 面 积 是 ： S1= 1 2 （ S-S △ ACD ） = 1 9 9 3 9 9 3( )2 2 2 4 4     ， ∴阴影部分的面积为 S-S△ACD-S1 9 9 3 9 9 3 9 9 3( )2 2 4 4 4 4        ． 故答案是： 9 9 3 4 4   ． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，以及圆的面积的计算，正确理解： AD 与弦 AD 围成的弓形的面积等于 CF 与弦 CF 围成的弓形的面积相等是关键． 16．如图，直线 y=6x，y=2 3 x 分别与双曲线 y=k x 在第一象限 内交于点 A，B，若 S△OAB=8，则 k= 6 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数 k 的几何意义． 【专题】 【分析】过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，根据双曲线设出点 A、B 的坐标，并用直线与双曲 线解析式联立求出点 A、B 的横坐标，再根据 S△OAB=S △OAC＋S 梯形 ACDB－S△OBD，然后列式整理即可得到关于 k 的方程，求解即可． 【解答】解：如图，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D， 设点 A（x1， 1 k x ），B（x2， 2 k x ）， 联立 6y x ky x   ，解得 1 6 6 kx  ， 联立 2 3y x ky x     ，解得 2 6 2 kx  ， S△OAB=S△OAC＋S 梯形 ACDB－S△OBD， 1 2 1 1 2 1 1 1 ( ) ( )2 2 k k kx x xx x x      x2 ， 1 2 2 1 1 ( )2 x xk k k k k kx x       ， 2 2 2 1 2 1 1 2 x x kx x    ， 3 1 2 6 2 6 6 2 6 kk k k k     ， 4 3 k ， ∵S△OAB=8， ∴ 4 83 k  ， 解得 k=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数的几何意义，作出 辅助线表示出△AOB 的面积并整理成只含有 k 的形式是解题的关键． 三、解答题（本题有 9 小题，共 72 分） 17．先化简，再求值： 2 1(1 )1 1 a a a    ，其中 a=2． 【考点】分式的化简求值． 【专题】计算题． 【分析】将被除式中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于 乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，把 a 的值代入 化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 【解答】解： 2 1(1 )1 1 a a a    2 2 1 1 1 1 a a a a     2 1 ( 1)( 1) a a a a a    1 a a   当 a=2 时，原式 2 22 1   ． 【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公 分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分 母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分． 18．如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD．求证： ∠B=∠D． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】先连接 AC，由于 AB=AD，CB=CD，AC=AC， 利用 SSS 可证△ABC≌△ADC，于是∠B=∠D． 【解答】证明：连接 AC， 在△ABC 和△ADC 中，      AB AD CB CD AC AC ， ∴△ABC≌△ADC， ∴∠B=∠D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是连接 AC，构造全等三角形． 19．一个不透明的布袋里装有 3 个大小、质地均相同的乒乓球，分别标有数字 1，2，3，小 华先从布袋中随即取出一个乒乓球，记下数字后放回，再从袋中随机取出一个乒乓球，记下 数字．求两次取出的乒乓球上数字相同的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次取出的 乒乓球 上数字相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：列表得： 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） ∵有 9 种可能结果，两个数字相同的只有 3 种， ∴P（两个数字相同）=3 9 =1 3 ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两 步以上完成的事件；注意此题属于放回实验． 20．一辆汽车开往距离出发地 180 千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶 60 千米后，再 以原来速度的 1.5 倍匀速行驶，结果比原计划提前 40 分钟到达目的地，求原计划的行驶速 度． 【考点】分式方程的应用． 【专题】 【分析】解题时利用“实际用时-计划用时= 40 60 小时”这一等量关系列出分式方程求解即可． 【解答】解：设原计划的行驶速度为 x 千米/时，则： 180 60 180 60 40 1.5 60x x    解得 x=60， 经检验：x=60 是原方程的解，且符合题意， 所以 x=60． 答：原计划的行驶速度为 60 千米/时． 【点评】本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重 点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据． 21．如图，为了测量某山 AB 的高度，小明先在山脚下 C 点测 得山顶 A 的仰角为 45°，然后沿坡角为 30°的斜坡走 100 米到达 D 点，在 D 点测得山顶 A 的仰角为 30°，求山 AB 的高度．（参考数据： 3 ≈1.73） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【专题】 【分析】易证△ABC 是等腰直角三角形，直角△CDE 中已知边 CD 和∠DCE=30°，则三角 形的三边的长度可以得到 CE，DE 的长度，设 BC=x，则 AE 和 DF 即可用含 x 的 代数式表示出来，在直角△AED 中，利用三角函数即可得到一个关于 x 的方程， 即可求得 x 的值． 【解答】解：过 D 作 DE⊥BC 于 E，作 DF⊥AB 于 F，设 AB=x， 在 Rt△DEC 中，∠DCE=30°，CD=100， ∴DE=50，CE=50 3 在 Rt△ABC 中，∠ACB=45°， ∴BC=x 则 AF=AB-BF=AB-DE=x-50 DF=BE=BC+CE=x+50 3 在 Rt△AFD 中，∠ADF=30°，tan30°=AF FD ， ∴x-50 x+50 3 = 3 3 ， ∴x=50（3+ 3 ）≈236，5（米）， 答：山 AB 的高度约为 236.5 米． 【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角 函数解直角三角形． 22．阅读材料： 例：说明代数式 x2+1 + (x-3)2+4 的几何意义，并求它的最小值． 解： x2+1 + (x-3)2+4 = (x-0)2+12 + (x-3)2+22 ，如图，建立平面直 角坐标系，点 P（x，0）是 x 轴上一点，则 (x-0)2+12 可以看成点 P 与点 A（0，1）的距离， (x-3)2+22 可以看成点 P 与点 B（3，2） 的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和，它的 最小值就是 PA+PB 的最小值． 设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′，则 PA=PA′，因此，求 PA+PB 的最小值，只需求 PA′ +PB 的最小值，而点 A′、B 间的直线段距离最短，所以 PA′+PB 的最小值为线段 A′B 的长度．为此，构造直角三角形 A′CB，因为 A′C=3，CB=3，所以 A′B=3 2 ，即原式 的最小值为 3 2 ． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式 (x-1)2+1 + (x-2)2+9 的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（1，1）、点 B （2，3）的距离之和．（填 写点 B 的坐标） （2）代数式 x2+49 + x2-12x+37 的最小值为 10． 【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质． 【专题】探究型． 【分析】（1）先把原式化为 2 2 2 2( 2) 1 ( 2) 3x x     的形式，再根据题中所给的例子 即可得出结论； （2）先把原式化为 2 2 2 2( 0) 7 ( 6) 1x x     的形式，故得出所求代数式的值 可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（0，7）、点 B（6，1）的距离之 和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可． 【解答】解：（1）∵原式化为 2 2 2 2( 2) 1 ( 2) 3x x     的形式， ∴代数式 2 2( 2) 1 ( 2) 9x x     的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0） 与点 A（1，1）、点 B（2，3）的距离之和， 故答案为（2，3）； （2）∵原式化为 2 2 2 2( 0) 7 ( 6) 1x x     的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（0，7）、点 B（6， 1）的距离之和， 如图所示：设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′，则 PA=PA′， ∴PA+PB 的最小值，只需求 PA′+PB 的最小值，而点 A′、B 间的直线段距离最短， ∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度， ∵A（0，7），B（6，1） ∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8， ∴A′B 2 2 2 26 8 10A C BC     ， 故答案为：10． 【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键 是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解． 23．某工厂计划生产 A、B 两种产品共 50 件，需购买甲、乙两种材料．生产一件 A 产品需 甲种材料 30 千克、乙种材料 10 千克；生产一件 B 产品需甲、乙两种材料各 20 千克．经测 算，购买甲、乙两种材料各 1 千克共需资金 40 元，购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克 共需资金 105 元． （1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ （2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过 38000 元，且生产 B 产品不少于 28 件， 问符合条件的生产方案有哪几种？ （3）在（2）的条件下，若生产一件 A 产品需加工费 200 元，生产一件 B 产品需加工费 300 元，应选择哪种生产方案，使生产这 50 件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费） 【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用． 【专题】应用题． 【分析】（1）设甲材料每千克 x 元，乙材料每千克 y 元，根据购买甲、乙两种材料各 1 千克 共需资金 40 元，购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克共需资金 105 元，可列出 方程组 40 2 3 105 x y x y      ，解方程组即可得到甲材料每千克 15 元，乙材料每千克 25 元； （2）设生产 A 产品 m 件，生产 B 产品（50-m）件，先表示出生产这 50 件产品的 材料费为 15×30m+25×10m+15×20（50-m）+25×20（50-m）=-100m+40000， 根据购买甲、乙两种材料的资金不超过 38000 元得到-100m+40000≤38000，根据 生产 B 产品不少于 28 件得到 50-m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到 20≤m≤22，而 m 为整数，则 m 的值为 20，21，22，易得符合条件的生产方案； （3）设总生产成本为 W 元，加工费为：200m+300（50-m），根据成本=材料费+加 工费得到 W=-100m+40000+200m+300（50-m）=-200m+55000，根据一次函数的性 质得到 W 随 m 的增大而减小，然后把 m=22 代入计算，即可得到最低成本． 【解答】解：（1）设甲材料每千克 x 元，乙材料每千克 y 元，则 40 2 3 105 x y x y      ，解得 15 25 x y    ， 所以甲材料每千克 15 元，乙材料每千克 25 元； （2）设生产 A 产品 m 件，生产 B 产品（50-m）件，则生产这 50 件产品的材料 费为 15×30m+25×10m+15×20（50-m）+25×20（50-m）=-100m+40000， 由题意：-100m+40000≤38000，解得 m≥20， 又∵50-m≥28，解得 m≤22， ∴20≤m≤22， ∴m 的值为 20，21，22， 共有三种方案，如下表： A（件） ２０ ２１ ２２ B（件） ３０ ２９ ２８ （3）设总生产成本为 W 元，加工费为：200m+300（50-m）， 则 W=-100m+40000+200m+300（50-m）=-200m+55000， ∵W 随 m 的增大而减小，而 m=20，21，22， ∴当 m=22 时，总成本最低，此时 W=-200×22+55000=50600 元． 【点评】本题考查了一次函数的应用：通过实际问题列出一次函数关系，然后根据一次函数 的性质解决问题．也考查了二元一次方程组以及二元一次不等式组的应用． 24．如图 1，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD 交⊙ O 于点 E． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若点 E 为线段 OD 的中点，证明：以 O、A、C、E 为顶点的四边形是菱形； （3）作 CF⊥AB 于点 F，连接 AD 交 CF 于点 G（如图 2），求 FG FC 的值． 【考点】圆的综合题． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）由 AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ ABC+∠BAC=90°，而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即 OB⊥BD， 根据切线的判定定理即可得到 BD 为⊙O 的切线； （2）连 CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 BE=OE=ED，则△OBE 为等边三角形，于是∠BOE=6 0°，又因为 AC∥OD，则 ∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有 AC∥OE 且 AC=OE， 可得到四边形 OACE 是 平行四边形，加上 OA=OE，即可得到四边形 OACE 是菱形； （3）由 CF⊥AB 得到∠AFC=∠OBD=90°，而 AC∥OD，则∠CAF=∠DOB，根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 易 得 Rt △ AFC ∽ Rt △ OBD ， 则 有 FC AF BD OB  ， 即 BD AFFC OB  ，再由 FG∥BD 易证得△AFG∽△ABD，则 FG AF BD AB  ，即 BD AFFG AB  ，然后求 FC 与 FG 的比即可一个定值．] 【解答】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA=90°， ∴∠ABC+∠BAC=90°， 又∵∠CBD=∠BA， ∴∠ABC+∠CBD=90°， ∴∠ABD=90°， ∴OB⊥BD， ∴BD 为⊙O 的切线； （2）证明：连 CE、OC，BE，如图， ∵OE=ED，∠OBD=90°， ∴BE=OE=ED， ∴△OBE 为等边三角形， ∴∠BOE=60°， 又∵AC∥OD， ∴∠OAC=60°， 又∵OA=OC， ∴AC=OA=OE， ∴AC∥OE 且 AC=OE， ∴四边形 OACE 是平行四边形， 而 OA=OE， ∴四边形 OACE 是菱形； （3）解：∵CF⊥AB， ∴∠AFC=∠OBD=90°， 而 AC∥OD， ∴∠CAF=∠DOB， ∴Rt△AFC∽Rt△OBD， ∴ FC AF BD OB  ，即 BD AFFC OB  ， 又∵FG∥BD， ∴△AFG∽△ABD， ∴ FG AF BD AB  ，即 BD AFFG AB  ， ∴ 2FC AB FG OB   ， ∴ 1 2 FG FC  ． 【点评】本题考查了圆的综合题：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；直径所对 的圆周角为直角；熟练掌握等边三角形的性质和菱形的判定；运用相似三角形的判 定与性质解决线段之间的关系． 25．抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A、B、C，已知 A（-1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴平行线，交抛物线于点 D，当△BDC 的 面积最大时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，抛物线顶点为 E，EF⊥x 轴于 F 点，M（m，0）是 x 轴上一动点，N 是线段 EF 上一点，若∠MNC=90°，请指出实数 m 的变化范围，并说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【专题】 【分析】（1）由 y=-x2+bx+c 经过点 A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系数法即 可求得此抛物线的解析式； （2）首先令-x2+2x+3=0，求得点 B 的坐标，然后设直线 BC 的解析式为 y=kx+b′， 由待定系数法即可求得直线 BC 的解析式，再设 P（a，3-a），即可得 D（a，-a2+2a+3）， 即可求得 PD 的长，由 S△BDC=S△PDC+S△PDB，即可得 S△BDC 23 3 27( )2 2 8a   ，利 用二次函数的性质，即可求得当△BDC 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）首先过 C 作 CH⊥EF 于 H 点，则 CH=EH=1，然后分别从点 M 在 EF 左侧与 M 在 EF 右侧时去分析求解即可求得答案． 【解答】解：（1）由题意得： 1 0 3 b c c       ，解得： 2 3 b c    ， ∴抛物线解析式为 2 2 3y x x    ； （2）令 2 2 3 0x x    ， ∴x1= -1，x2=3， 即 B（3，0）， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b′， ∴ 3 3 0 b k b      ， 解得： 1 3 k b      ， ∴直线 BC 的解析式为 3y x   ， 设 P（a，3-a），则 D（a，-a2+2a+3）， ∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a， ∴S△BDC=S△PDC+S△PDB 2 2 1 1 (3 )2 2 3 2 3 ( 3 )2 3 3 27( )2 2 8 PD a PD a PD a a a              ， ∴当 3 2a  时，△BDC 的面积最大，此时 P（ 3 2 ， 3 2 ）； （3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴OF=1，EF=4，OC=3， 过 C 作 CH⊥EF 于 H 点，则 CH=EH=1， 当 M 在 EF 左侧时， ∵∠MNC=90°， 则△MNF∽△NCH， ∴ MF FN NH BC  ， 设 FN=n，则 NH=3-n， ∴1 3 1 m n n   ， 即 n2-3n-m+1=0， 关于 n 的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0， 得 m≥ 5 4  ， 当 M 在 EF 右侧时，Rt△CHE 中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°， 作 EM⊥CE 交 x 轴于点 M，则∠FEM=45°， ∵FM=EF=4， ∴OM=5， 即 N 为点 E 时，OM=5， ∴m≤5， 综上，m 的变化范围为： 5 4 ≤m≤5． 【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最 值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度 较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．