全国各地中考数学压轴题汇编三

全国各地中考数学压轴题汇编三

‎ 2012年全国各地中考数学压轴题汇编三 ‎【2012上海】‎ ‎21、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；‎ ‎（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．‎ ‎【2012广东】‎ ‎22．如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．‎ ‎（1）求AB和OC的长；‎ ‎（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．‎ ‎(21世版 ‎【2012嘉兴】‎ ‎23、在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）如图1，当m=时，‎ ‎①求线段OP的长和tan∠POM的值；‎ ‎②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；‎ ‎（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．‎ ‎①用含m的代数式表示点Q的坐标；‎ ‎②求证：四边形ODME是矩形．‎ ‎【 2012贵州安顺】‎ ‎24、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．‎ ‎①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．‎ ‎②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【2012•资阳】‎ ‎25．抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．‎ ‎（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；‎ ‎（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；‎ ‎（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．‎ ‎【2012•德州】‎ ‎26、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．‎ ‎（1）求证：∠APB=∠BPH；‎ ‎（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；‎ ‎（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【2012•湘潭】‎ ‎27、如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；‎ ‎（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．‎ ‎【2012•济宁】‎ ‎28、如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；‎ ‎（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．‎ ‎【 2012•德阳】‎ ‎29、在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．‎ ‎（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；‎ ‎（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由；‎ ‎（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标．‎ ‎【 2012无锡】‎ ‎30、如图1，A．D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．‎ ‎（1）求A．B两点的坐标；‎ ‎（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．‎ 答案：‎ ‎21、解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；‎ ‎（2）∵∠EFD=∠EDA=90°h ‎∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA ‎∴△EDF∽△DAO ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，∴EF=t．‎ 同理，‎ ‎∴DF=2，∴OF=t﹣2．‎ ‎（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，‎ ‎∴C（0，8），OC=8．‎ 如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．‎ ‎∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）；‎ 在△CAG与△OCA中，，‎ ‎∴△CAG≌△OCA，∴CG=4，AG=OC=8．‎ 如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，‎ ‎∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，‎ 由勾股定理得：‎ ‎∵AE2=AM2+EM2=；‎ 在Rt△AEG中，由勾股定理得：‎ ‎∴EG===‎ ‎∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=+4‎ 由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，‎ 即，‎ 解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6，‎ ‎∴t=6．‎ ‎22、解：（1）已知：抛物线y=x2﹣x﹣9；‎ 当x=0时，y=﹣9，则：C（0，﹣9）；‎ 当y=0时，x2﹣x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，则：A（﹣3，0）、B（6，0）；‎ ‎∴AB=9，OC=9．‎ ‎（2）∵ED∥BC，‎ ‎∴△AED∽△ABC，‎ ‎∴=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0＜m＜9）．‎ ‎（3）S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2；‎ 则：S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+；‎ ‎∴△CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=．‎ 过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：‎ ‎=，即：=‎ ‎∴EF=；‎ ‎∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=．‎ ‎23、解：（1）①把x=代入 y=x2，得 y=2，∴P（，2），∴OP=‎ ‎∵PA丄x轴，∴PA∥MO．∴tan∠P0M=tan∠0PA==．‎ ‎②设 Q（n，n2），∵tan∠QOB=tan∠POM，‎ ‎∴．∴n=‎ ‎∴Q（，），∴OQ=．‎ 当 OQ=OC 时，则C1（0，），C2（0，）；‎ 当 OQ=CQ 时，则 C3（0，1）．‎ ‎（2）①∵P（m，m2），设 Q（n，n2），∵△APO∽△BOQ，∴‎ ‎∴，得n=，∴Q（，）．‎ ‎②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：‎ 解得b=1，∴M（0，1）‎ ‎∵，∠QBO=∠MOA=90°，‎ ‎∴△QBO∽△MOA ‎∴∠MAO=∠QOB，‎ ‎∴QO∥MA 同理可证：EM∥OD 又∵∠EOD=90°，‎ ‎∴四边形ODME是矩形．‎ ‎24、解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 由题意知点A（0，﹣12），‎ 所以c=﹣12，‎ 又18a+c=0，‎ ‎，‎ ‎∵AB∥OC，且AB=6，‎ ‎∴抛物线的对称轴是，‎ ‎∴b=﹣4，‎ 所以抛物线的解析式为；‎ ‎（2）①，（0＜t＜6）‎ ‎②当t=3时，S取最大值为9．‎ 这时点P的坐标（3，﹣12），‎ 点Q坐标（6，﹣6）‎ 若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：‎ ‎（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，﹣18），将（3，﹣18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，﹣18），‎ ‎（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，﹣6），将（3，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．‎ ‎（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，﹣6），将（9，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．‎ 综上所述，点R坐标为（3，﹣18）．‎ ‎25、解：（1）y=x2+x+m=（x+2）2+（m﹣1）‎ ‎∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）‎ ‎∵顶点在直线y=x+3上，‎ ‎∴﹣2+3=m﹣1，‎ 得m=2；‎ ‎（2）∵点N在抛物线上，‎ ‎∴点N的纵坐标为：a2+a+2，‎ 即点N（a，a2+a+2）‎ 过点F作FC⊥NB于点C，‎ 在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB=a2+a，‎ ‎∴NF2=NC2+FC2=（a2+a）2+（a+2）2，‎ ‎=（a2+a）2+（a2+4a）+4，‎ 而NB2=（a2+a+2）2，‎ ‎=（a2+a）2+（a2+4a）+4‎ ‎∴NF2=NB2，‎ NF=NB；‎ ‎（3）连接AF、BF，‎ 由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，‎ ‎∴∠MAF=∠MFA，‎ ‎∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，‎ ‎∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°‎ ‎∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，‎ ‎∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，‎ ‎∵∠MAB+∠NBA=180°，‎ ‎∴∠FBA+∠FAB=90°，‎ 又∵∠FAB+∠MAF=90°，‎ ‎∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，‎ 又∵∠FPA=∠BPF，‎ ‎∴△PFA∽△PBF，‎ ‎∴=，PF2=PA×PB=，‎ 过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，‎ PG==，‎ ‎∴PO=PG+GO=，‎ ‎∴P（﹣，0）‎ 设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，‎ 解得k=，b=，‎ ‎∴直线PF：y=x+，‎ 解方程x2+x+2=x+，‎ 得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），‎ 当x=﹣3时，y=，‎ ‎∴M（﹣3，）．‎ ‎26、（1）解：如图1，∵PE=BE，‎ ‎∴∠EBP=∠EPB．‎ 又∵∠EPH=∠EBC=90°，‎ ‎∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．‎ 即∠PBC=∠BPH．‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠APB=∠PBC．‎ ‎∴∠APB=∠BPH．‎ ‎（2）△PHD的周长不变为定值8．‎ 证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．‎ 由（1）知∠APB=∠BPH，‎ 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，‎ ‎∴△ABP≌△QBP．‎ ‎∴AP=QP，AB=BQ．‎ 又∵AB=BC，‎ ‎∴BC=BQ．‎ 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，‎ ‎∴△BCH≌△BQH．‎ ‎∴CH=QH．‎ ‎∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．‎ ‎（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．‎ 又∵EF为折痕，‎ ‎∴EF⊥BP．‎ ‎∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，‎ ‎∴∠EFM=∠ABP．‎ 又∵∠A=∠EMF=90°，‎ ‎∴△EFM≌△BPA．‎ ‎∴EM=AP=x．‎ ‎∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．‎ 解得，．‎ ‎∴．‎ 又四边形PEFG与四边形BEFC全等，‎ ‎∴．‎ 即：．‎ 配方得，，‎ ‎∴当x=2时，S有最小值6．‎ ‎27、解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：‎ ‎0=16a﹣×4﹣2，即：a=；‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．‎ ‎（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；‎ ‎∴OA=1，OC=2，OB=4，‎ 即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，‎ ‎∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；‎ ‎∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；‎ 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．‎ ‎（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；‎ 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：‎ x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；‎ ‎∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=4；‎ ‎∴直线l：y=x﹣4．‎ 由于S△MBC=BC×h，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：‎ ‎，‎ 解得：‎ 即 M（2，﹣3）．‎ ‎28、解：（1）由题意，得，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣4；‎ ‎（2）设点P运动到点（x，0）时，有BP2=BD•BC，‎ 令x=0时，则y=﹣4，‎ ‎∴点C的坐标为（0，﹣4）．‎ ‎∵PD∥AC，‎ ‎∴△BPD∽△BAC，‎ ‎∴．‎ ‎∵BC=，‎ AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2．‎ ‎∴BD===．‎ ‎∵BP2=BD•BC，‎ ‎∴（x+2）2=，‎ 解得x1=，x2=﹣2（﹣2不合题意，舍去），‎ ‎∴点P的坐标是（，0），即当点P运动到（，0）时，BP2=BD•BC；‎ ‎（3）∵△BPD∽△BAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴×‎ S△BPC=×（x+2）×4﹣‎ ‎∵，‎ ‎∴当x=1时，S△BPC有最大值为3．‎ 即点P的坐标为（1，0）时，△PDC的面积最大．‎ ‎29、解：（1）∵BE⊥DB交x轴于点E，OABC是正方形，‎ ‎∴∠DBC=EBA．‎ 在△BCD与△BAE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△BCD≌△BAE，∴AE=CD．‎ ‎∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中点，‎ ‎∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）．‎ 设过点D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则有：‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎∴经过点D、B、E的抛物线的解析式为：y=x2+x+2．‎ ‎（2）结论OF=DG能成立．理由如下：‎ 由题意，当∠DBE绕点B旋转一定的角度后，同理可证得△BCG≌△BAF，∴AF=CG．‎ ‎∵xM=，∴yM=xM2+xM+2=，∴M（，）．‎ 设直线MB的解析式为yMB=kx+b，‎ ‎∵M（，），B（4，4），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴yMB=x+6，‎ ‎∴G（0，6），‎ ‎∴CG=2，DG=4．‎ ‎∴AF=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F（2，0）．‎ ‎∵OF=2，DG=4，‎ ‎∴结论OF=DG成立．‎ ‎（3）如图，△PFE为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下：‎ ‎①若PF=FE．‎ ‎∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4，‎ ‎∴此时P点位于射线CB上，‎ ‎∵F（2，0），‎ ‎∴P（2，4），此时直线FP⊥x轴，‎ ‎∴xQ=2，‎ ‎∴yQ=xQ2+xQ+2=，∴Q1（2，）；‎ ‎②若PF=PE．‎ 如图所示，∵AF=AE=2，BA⊥FE，‎ ‎∴△BEF为等腰三角形，‎ ‎∴此时点P、Q与点B重合，‎ ‎∴Q2（4，4）；‎ ‎③若PE=EF．‎ ‎∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4，‎ ‎∴此时P点位于射线CB上，‎ ‎∵E（6，0），∴P（6，4）．‎ 设直线yPF的解析式为yPF=kx+b，∵F（2，0），P（6，4），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴yPF=x﹣2．‎ ‎∵Q点既在直线PF上，也在抛物线上，‎ ‎∴x2+x+2=x﹣2，化简得5x2﹣14x﹣48=0，‎ 解得x1=，x2=﹣2（不合题意，舍去）‎ ‎∴xQ=2，‎ ‎∴yQ=xQ﹣2=﹣2=．‎ ‎∴Q3（，）．‎ 综上所述，Q点的坐标为Q1（2，）或Q2（4，4）或Q3（，）．‎ ‎30、解：（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），‎ 由图2知，DO+OA=6cm，‎ DO=6﹣AO，‎ 由图2知S△AOD=4，‎ ‎∴DO•AO=4，‎ ‎∴a2﹣6a+8=0，‎ 解得a=2或a=4，‎ 由图2知，DO＞3，‎ ‎∴AO＜3，‎ ‎∴a=2，‎ ‎∴A的坐标为（2，0），‎ D点坐标为（0，4），‎ 在图1中，延长CB交x轴于M，‎ 由图2，知AB=5cm，CB=1cm，‎ ‎∴MB=3，‎ ‎∴AM==4．‎ ‎∴OM=6，‎ ‎∴B点坐标为（6，3）；‎ ‎（2）显然点P一定在AB上．设点P（x，y），连PC．PO，则 S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD=（S矩形OMCD﹣S△ABM）=9，‎ ‎∴6×（4﹣y）+×1×（6﹣x）=9，‎ 即x+6y=12，‎ 同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9，‎ 由A（2，0），B（6，3）求得直线AB的函数关系式为y=，‎ 由[或或]‎ 解得x=，y=．‎ ‎∴P（，），‎ 设直线PD的函数关系式为y=kx+4，‎ 则=k+4，‎ ‎∴k=﹣，‎ ‎∴直线PD的函数关系式为y=﹣x+4．‎