2016中考复习专题六——四边形与圆

2016中考复习专题六——四边形与圆

‎§6　四边形与圆 教学目标 板块 教学目标 A级目标 B级目标 C级目标 平行四边形 会识别平行四边形 掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题 会运用平行四边形的性质和判定解决有关问题 矩形 会识别矩形 掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题 会运用矩形的知识解决有关问题 菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题 正方形 会识别正方形 掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题 会用正方形的知识解决有关问题 梯形 会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定 掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题 圆的有关概念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题 圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题 能运用圆的性质解决有关问题 圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角 会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 点与圆的位置关系 了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问题 切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题 圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形 会计算扇形面积 能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积 会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单实际问题 学习内容 知识梳理 ‎ ‎ 一、四边形 ‎1、平行四边形 ‎1．平行四边形的性质 平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等．‎ 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．‎ 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．‎ 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形．‎ 平行四边形的周长：一组邻边之和的倍．‎ 平行四边形的面积：底乘以高．‎ ‎2.平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形．‎ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．‎ 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．‎ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．‎ ‎2、矩形 ‎1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．‎ ‎2．矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：‎ ‎① 边的性质：对边平行且相等． ‎ ‎② 角的性质：四个角都是直角．‎ ‎③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．‎ ‎④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．‎ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．‎ 直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．‎ 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．‎ ‎3．矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．‎ 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．‎ 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．‎ ‎3、菱形 ‎1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．‎ ‎2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：‎ ‎① 边的性质：对边平行且四边相等． ‎ ‎② 角的性质：邻角互补，对角相等．‎ ‎③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．‎ ‎④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．‎ 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．‎ 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．‎ ‎3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．‎ 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．‎ 判定③：四边相等的四边形是菱形．‎ ‎4、正方形 ‎1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．‎ ‎2．正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：‎ ‎① 边的性质：对边平行，四条边都相等．‎ ‎② 角的性质：四个角都是直角．‎ ‎③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．‎ ‎④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．‎ 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）‎ ‎3．正方形的判定 判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．‎ 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．‎ ‎5、梯形 板块一 相关概念定理 ‎1．定义：‎ 四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形.‎ ‎ 叫做梯形. ‎ ‎2．等腰梯形 ‎ ‎ ‎3． 直角梯形 ‎ 是直角梯形. ‎ ‎4．平行线等分线段定理 ‎ . ‎ ‎5．中位线定理 ‎⑴ 三角形中位线定理 中：‎ ‎. ‎ ‎⑵ 梯形中位线定理 梯形中：‎ ‎ ‎ 板块二 等腰梯形 ‎1. 等腰梯形的性质 ‎　　①等腰梯形同一底边上的两个角相等；‎ ‎　　②等腰梯形的两条对角线相等．‎ ‎③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴；‎ ‎2. 等腰梯形的判定 ‎　　①同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形．‎ ① 对角线相等的梯形是等腰梯形．‎ 板块三 梯形中常见的辅助线 我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.‎ ‎1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.‎ ‎2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.‎ ‎3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.‎ ‎4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.‎ ‎5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形. ‎ 常见的辅助线添加方式如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎　　梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线．‎ 二、圆 ‎1、圆的概念及性质 板块一 圆的相关概念 1. 圆的定义 （1） 描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．‎ （2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．‎ （3） 圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作”“，读作”圆“．‎ （4） 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．‎ 注意：注意：同圆或等圆的半径相等．‎ 2. 弦和弧 （1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．‎ （2） 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．‎ （3） 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．‎ （1） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．‎ （2） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．‎ （3） 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．‎ （4） 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．‎ （5） 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．‎ 1. 圆心角和圆周角 （1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．‎ （2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．‎ 板块二 圆的对称性 1. 旋转对称性 （1） 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．‎ （2） 圆的旋转对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．‎ 2. 轴对称性 （1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．‎ （2） 圆的轴对称性垂径定理．‎ 板块三 圆的性质定理 1. 圆周角定理 （1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ （2） 推论：‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．‎ 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．‎ 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．‎ 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 （1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．‎ （2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．‎ 所对的两圆心角相等 所对的两条弦相等 所对的两条弧相等 所对的两条弦的弦心距相等 注意：‎ ‎①前提条件是在同圆或等圆中；‎ ‎②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．‎ 1. 垂径定理 （1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．‎ （2） 推论1：‎ ‎①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．‎ ‎②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．‎ ‎③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．‎ （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．‎ 注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．‎ 注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．‎ ‎2、点与圆的位置关系 板块一 点与圆的位置关系 1. 确定圆的条件 （1） 圆心(定点)，确定圆的位置；‎ （2） 半径(定长)，确定圆的大小．‎ 注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．‎ 1. 点与圆的位置关系 （1） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．‎ （2） 设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示：‎ 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在的外部.‎ 点在圆上 点在圆周上 点在的外部.‎ 点在圆内 点在圆的内部 点在的外部.‎ 板块二 过已知点的圆 1. 过已知点的圆 （1） 经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．‎ （2） 经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．‎ （3） 过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．‎ （4） 过个点的圆：只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．‎ 2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 （1） ‎“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；‎ （2） ‎“确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．‎ 板块三 三角形的外接圆及外心 1. 三角形的外接圆 （1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．‎ （2） 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.‎ 2. 三角形外心的性质 （1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；‎ （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.‎ ‎3、直线与圆的位置关系 板块一 直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：‎ 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点．‎ 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．‎ 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．‎ 直线与相交 板块二 切线的性质及判定 1. 切线的性质 （1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．‎ 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．‎ 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．‎ （2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心 ‎①过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．‎ ‎②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．‎ ‎③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．‎ 2. 切线的判定 （1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；‎ （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；‎ （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．‎ 注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．‎ 1. 切线长和切线长定理 （1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．‎ （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．‎ 三、三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．‎ 2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．‎ 3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系 设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则．‎ ‎4、圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含．‎ 设两个圆为、，半径分别为、，且，与间距离为，那么就有 两圆相离；‎ 两圆相外切；‎ 两圆相内切；‎ 两圆相交；‎ 两圆内含(这里)．‎ 2. 连心线的性质 连心线是指通过两圆圆心的一条直线．连心线是它的对称轴．‎ 两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上．‎ 如果两圆、相交于、两点，那么垂直平分．‎ 如果两个半径不相等的圆、圆相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线上，并且 直线上，并且直线平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角．‎ 如果两条外公切线分别切圆于、两点、切圆于、两点，那么两条外公切线长相等，且、都被垂直平分．‎ ‎5、圆的有关计算 板块一 与圆有关的面积和长度计算 设的半径为，圆心角所对弧长为，‎ 弧长公式：‎ 扇形面积公式：‎ 圆柱体表面积公式：‎ 圆锥体表面积公式：(为母线)‎ 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：‎ ① ‎ 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法 板块二 正多边形与圆 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．‎ 正多边形的相关概念：‎ ‎⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距 正多边形的性质：‎ ‎⑴正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形；‎ ‎⑵正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；‎ ‎⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．‎ 正多边形的有关计算 ‎⑴正边形的每个内角都等于；‎ ‎⑵正边形的每一个外角与中心角相等，等于；‎ ‎⑶设正边形的边长为，半径为，边心距为，周长为，面积为，‎ 则 例题讲解 ‎ ‎ 板块一：多边形与平行四边形 考点一：多边形内角和、外角和公式 例1 （2013•梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 思路分析：由于任何一个多边形的外角和为360°，由题意知此多边形的内角和小于360°．又根据多边形的内角和定理可知任何一个多边形的内角和必定是180°的整数倍，则此多边形的内角和等于180°．由此可以得出这个多边形的边数．‎ 解：设边数为n，根据题意得 （n-2）•180°＜360° 解之得n＜4． ∵n为正整数，且n≥3， ∴n=3． 故选A．‎ 点评：本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．‎ 对应训练 ‎1．（2013•长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（　　）‎ A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 ‎1．A[来源:学科网]‎ 考点二：平面图形的密铺 例2 （2013•漳州）用下列一种多边形不能铺满地面的是（　　）‎ A．正方形 B．正十边形 C．正六边形 D．等边三角形 思路分析：根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案．‎ 解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正方形，正六边形，等边三角形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案． ∴不能铺满地面的是正十边形； 故选B．‎ 点评：此题考查了平面镶嵌，用到的知识点是只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．‎ 对应训练 ‎2．（2013•呼和浩特）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（　　）‎ A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形 ‎2．C 考点三：平行四边形的性质 例3 （2013•益阳）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）[来源:Zxxk.Com]‎ A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD 思路分析：根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可．‎ 解：∵在平行四边形ABCD中， ∴AB∥CD， ∴∠1=∠2，故此选项正确，不合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，故B，C选项正确，不合题意； 无法得出AC⊥BD，故此选项错误，符合题意． 故选D．‎ 点评：此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键．‎ 例4 （2013•泸州）如图，已知▱ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB=BE．‎ 思路分析：根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，证△CDF≌△BEF，推出BE=DC即可．‎ 证明：∵F是BC边的中点， ∴BF=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥CD， ∴∠C=∠FBE，∠CDF=∠E， ∵在△CDF和△BEF中 ， ∴△CDF≌△BEF（AAS）， ∴BE=DC， ∵AB=DC， ∴AB=BE．‎ 点评：本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△CDF≌△BEF 对应训练 ‎3．（2013•黔西南州）已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（　　）‎ A．100° B．160° C．80° D．60°‎ ‎3．C ‎4．（2013•长春）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD=BF．‎ ‎[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎4．证明：∵四边形ADEF为平行四边形， ∴AD=EF，AD∥EF， ∴∠ACB=∠FEB， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B， ∴∠FEB=∠B， ∴EF=BF， ∴AD=BF．‎ 考点四：平行四边形的判定 例5 （2013•荆门）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件： ①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD 从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 思路分析：根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．‎ 解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形； ③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形； ①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形； ①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形； 故选：B．‎ 点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．‎ 对应训练 ‎5．（2013•泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）‎ A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC C．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC ‎ ‎ ‎5．D 板块二：矩形 菱形 正方形 考点一：与矩形有关的折叠问题 例1 （2013•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=，那么该矩形的周长为（　　）‎ A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm 思路分析：‎ 根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根据翻折变换的性质可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根据tan∠EFC=，设BF=3x、AB=4x，利用勾股定理列式求出AF=5x，再求出CF，根据tan∠EFC=表示出CE并求出DE，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式求出x，即可得解．‎ 解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°， ∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上， ∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF， ∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°， ∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∵tan∠EFC=， ∴设BF=3x、AB=4x， 在Rt△ABF中，AF=， ∴AD=BC=5x， ∴CF=BC-BF=5x-3x=2x， ∵tan∠EFC=， ∴CE=CF•tan∠EFC=2x•=x， ∴DE=CD-CE=4x-x=x， 在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2， 即（5x）2+（x）2=（10）2， 整理得，x2=16， 解得x=4， ∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm， 矩形的周长=2（16+20）=72cm． 故选A．‎ 点评：本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，锐角三角函数，勾股定理的应用，根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是解题的关键，也是本题的难点．‎ 对应训练 ‎1．（2013•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 1． A 考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题 例2 （2013•泉州）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= 1：2‎ ‎，菱形ABCD的面积S= 16‎ ‎．‎ 思路分析：由菱形的性质可知：对角线互相平分且垂直又因为AC：BD=1：2，所以AO：BO=1：2，再根据菱形的面积为两对角线乘积的一半计算即可．‎ 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO，BO=DO， ∴AC=2AO，BD=2BO， ∴AO：BO=1：2； ∵菱形ABCD的周长为8， ∴AB=2， ∵AO：BO=1：2， ∴AO=2，BO=4， ∴菱形ABCD的面积S==16， 故答案为：‎ 点评：本题考查了菱形性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等和菱形的面积为两对角线乘积的一半．‎ 对应训练 ‎2．（2013•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（　　）‎ A．14 B．15 C．16 D．17‎ ‎2．C 考点三：和正方形有关的证明题 例3 （2013•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF． （1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由； （2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．‎ 思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG= OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．‎ 解：（1）AD=CF． 理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD， 即∠AOD=∠COF， 在△AOD和△COF中，， ∴△AOD≌△COF（SAS）， ∴AD=CF； （2）与（1）同理求出CF=AD， 如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE， ‎ ‎ ‎ ‎∵正方形ODEF的边长为， ∴OE=×=2， ∴DG=OG=OE=×2=1， ∴AG=AO+OG=3+1=4， 在Rt△ADG中，AD=， ∴CF=AD=．‎ 点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．‎ 对应训练 ‎3．（2013•三明）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB． （1）求证：△BCP≌△DCP； （2）求证：∠DPE=∠ABC； （3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 58‎ 度． ‎ ‎3．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°， ∵在△BCP和△DCP中， ， ∴△BCP≌△DCP（SAS）； （2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP， ∴∠CBP=∠CDP， ∵PE=PB， ∴∠CBP=∠E， ‎ ‎∴∠DPE=∠DCE， ∵∠1=∠2（对顶角相等）， ∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E， 即∠DPE=∠DCE， ∵AB∥CD， ∴∠DCE=∠ABC， ∴∠DPE=∠ABC； （3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC， ∵∠ABC=58°， ∴∠DPE=58°． 故答案为：58．‎ 考点四：四边形综合性题目 例4 （2013•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N． （1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN； （2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）； ①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由． ②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由． ‎ 思路分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN； （2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t=a，进而得到CM=a=CD，所以该命题为真命题； ②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．‎ 解：（1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°， ∴∠ADF=∠DCN． 在△ADF与△DNC中， ， ∴△ADF≌△DNC（ASA）， ∴DF=MN． （2）解：①该命题是真命题． ‎ 理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CD． ∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE， ∴==， ∴AE=EC，则AE=AC=a， ∴t==a． 则CM=1•t=a=CD， ∴点M为边CD的三等分点． ②能．理由如下： 易证AFE∽△CDE，∴=，即，得AF=． 易证△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t． ∴ND=CM=t，AN=DM=a-t． 若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形： （I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM， ∴AF=DM，即=t，得t=0，不合题意． ∴此种情形不存在； （II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC， ∴t=a，此时点F与点B重合； （III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示： 易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t； 又由△NDM∽△DCF，∴，即，∴FC=． ∴=a-t， ∴t=a，此时点F与点C重合． ‎ 综上所述，当t=a或t=a时，△MNF能够成为等腰三角形．‎ 点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．‎ 对应训练 ‎4．（2013•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD． （1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断． （2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD= ，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值． ‎ ‎4．解：（1）①BF=AD，BF⊥AD； ②BF=AD，BF⊥AD仍然成立， 证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴AC=BC， ∵四边形CDEF是正方形， ∴CD=CF，∠FCD=90°， ∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF， 即∠BCF=∠ACD， 在△BCF和△ACD中 ， ∴△BCF≌△ACD（SAS）， ∴BF=AD，∠CBF=∠CAD， 又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°， ∴∠CAD+∠AHO=90°， ∴∠AOH=90°， ∴BF⊥AD； （2）证明：连接DF， ‎ ‎ ∵四边形CDEF是矩形， ∴∠FCD=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠FCD ∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF， 即∠BCF=∠ACD， ∵AC=4，BC=3，CD=，CF=1， ∴， ∴△BCF∽△ACD， ∴∠CBF=∠CAD， 又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90° ∴∠CAD+∠AHO=90°， ∴∠AOH=90°， ∴BF⊥AD， ∴∠BOD=∠AOB=90°， ∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2， ∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴AB2=AC2+BC2=32+42=25， ∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=，CF=1， ∴DF2=CD2+CF2=()2+12=， ∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+=．‎ 板块三：梯形 考点一：梯形的基本概念和性质 例1 （2013•广州）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=（　　）‎ A．2 B．2 C． D．‎ 思路分析：先判断DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可计算．‎ 解：∵CA是∠BCD的平分线， ∴∠DCA=∠ACB， 又∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠CAD， ∴∠DAC=∠DCA， ∴DA=DC， 如图，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，‎ ‎ ∵AB⊥AC， ∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质）， ∴点F是AC中点， ∴AF=CF， ∴EF是△CAB的中位线， ∴EF=AB=2， ∵=1， ∴EF=DF=2， 在Rt△ADF中，AF=， 则AC=2AF=8， tanB=． 故选B．‎ 点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点，难度较大．‎ 对应训练 ‎1．（2013•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎1．B 考点二：等腰梯形的性质 例2 （2013•柳州）如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，连结AC、BD．在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC． （1）四边形ABEC一定是什么四边形？ （2）证明你在（1）中所得出的结论．‎ 思路分析：（1）首先观察图形，然后由题意可得四边形ABEC一定是平行四边形； （2）由四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，可得AB=DC，AC=BD，又由在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC，可得EC=DC，DB=BE，继而可得：EC=AB，BE=AC，则可证得四边形ABEC是平行四边形．‎ 解答：（1）解：四边形ABEC一定是平行四边形； （2）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC， ∴AB=DC，AC=BD， 由折叠的性质可得：EC=DC，DB=BE， ∴EC=AB，BE=AC， ∴四边形ABEC是平行四边形．‎ 点评：此题考查了等腰梯形的性质、折叠的性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．‎ 对应训练 ‎2．（2013•杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF． 求证：△GAB是等腰三角形．‎ ‎2．证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC， ∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA， 在△ADE和△BCF中， ‎ ‎， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴∠DAE=∠CBF， ∴∠GAB=∠GBA， ∴GA=GB， 即△GAB为等腰三角形．‎ 考点三：等腰梯形的判定 例3 （2013•钦州）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形．‎ 思路分析：由AB∥DE，∠DEC=∠C，易证得∠B=∠C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论．‎ 证明：∵AB∥DE， ∴∠DEC=∠B， ∵∠DEC=∠C， ∴∠B=∠C， ∴梯形ABCD是等腰梯形．‎ 点评：此题考查了等腰梯形的判定．此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用，注意数形结合思想的应用．‎ 对应训练 ‎3．（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　）‎ A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC ‎3．C 考点四：梯形的综合应用 例4 34．（2013•扬州）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y． （1）求y与x的函数关系式； （2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围； （3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长． ‎ 思路分析：（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式； （2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围； （3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度．解答中提供了三种解法，可认真体会．‎ 解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°， ∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴，即， ∴y=-x2+x． （2）∵y=-x2+x=-（x-）2+， ∴当x=时，y取得最大值，最大值为． ∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上， ∴≤1，解得m≤2． ∴m的取值范围为：0＜m≤2． （3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE， 又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°， ∴∠APG=∠APB． ∵∠BAG=90°，∴AG∥BC， ∴∠GAP=∠APB， ∴∠GAP=∠APG， ∴AG=PG=PC． ‎ ‎ 解法一：如解答图所示，分别延长CE、AG，交于点H， 则易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x， 在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GH2， 即：x2+（2-y）2=y2，化简得：x2-4y+4=0  ① 由（1）可知，y=-x2+x，这里m=4，∴y=-x2+2x， 代入①式整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2． 解法二：如解答图所示，连接GC． ∵AG∥PC，AG=PC， ∴四边形APCG为平行四边形，∴AP=CG． 易证△ABP≌GNC，∴CN=BP=x． 过点G作GN⊥PC于点N，则GH=2，PN=PC-CN=4-2x． 在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN2+GN2=PG2， 即：（4-2x）2+22=（4-x）2， 整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2． 解法三：过点A作AK⊥PG于点K， ∵∠APB=∠APG， ∴AK=AB． 易证△APB≌△APK， ∴PK=BP=x， ∴GK=PG-PK=4-2x． 在Rt△AGK中，由勾股定理得：GK2+AK2=AG2， 即：（4-2x）2+22=（4-x）2， 整理得：x2-8x+4=0， 解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2．‎ 点评：本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第（2）问中求m取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法．[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ 对应训练 ‎4．（2013•青岛模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，点E从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B移动，点F从点B出发以2cm/s的速度沿BA方向向点A移动，当点F到达点A时，点E停止运动；设运动的时间为t（s） （0＜t＜2.5）．问： （1）当t为何值时，EF平分等腰梯形ABCD的周长？ （2）若△BFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3：2？若存在求出t的值；若不存在，说明理由． （4）在点E、F运动的过程中，若线段EF=cm，此时EF能否垂直平分AB？‎ ‎4．解：（1）∵EF平分等腰梯形ABCD的周长， ∴BE+BF=（AD+BC+CD+AB）=12， ∴10-t+2t=12， t=2； 答：当t为2s时，EF平分等腰梯形ABCD的周长； （2）如图，过A作AN⊥BC于N，过F作FG⊥BC于G，‎ ‎ 则BN=（BC-AD）=×（10-4）=3（cm）， ∵AN⊥BC，FG⊥BC， ∴FG∥AN， △ABN∽△FGB， ∴， ∴， FG=t， ∴S△BEF=×BE×FG=（10-t）•t， S=-t2+8t； （3）假设存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3：2， S五边形AFECD=S梯形ABCD-S△BFE=×（4+10）×4-（-t2+8t）=28+t2-8t， ‎ 即2（28+t2-8t）=3（-t2+8t）， 解得：t=5+（大于2.5，舍去），t=5-； 即存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3：2，t的值是（5-）s； （4）假设存在EF垂直平分AB，‎ ‎ 则△ABN∽△BEF， ， ， EF=≠， 即线段EF=cm，此时EF不能垂直平分AB．‎ 板块四：与圆有关的位置关系 考点一：切线的性质 例1 （2012•永州）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6． 求：（1）⊙O的半径； （2）cos∠BAC的值．‎ 考点：切线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．‎ 分析：（1）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠PAC=90°，又由PC=10，PA=6，利用勾股定理即可求得AC的值，继而求得⊙O的半径； （2）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，即可得∠ABC=∠PAC=90°‎ ‎，又由同角的余角相等，可得∠BAC=∠P，然后在Rt△PAC中，求得cos∠P的值，即可得cos∠BAC的值．‎ 解答：解：（1）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线， ∴CA⊥PA， 即∠PAC=90°， ∵PC=10，PA=6， ∴AC==8， ∴OA=AC=4， ∴⊙O的半径为4； （2）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线， ∴∠ABC=∠PAC=90°， ∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°， ∴∠BAC=∠P， 在Rt△PAC中，cos∠P=， ∴cos∠BAC=．‎ 点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．‎ 例2 （2012•珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上． （1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）； （2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论； （3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD． ‎ 考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．‎ 专题：几何综合题．‎ 分析：（1）PO与BC的位置关系是平行； （2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠COP=∠ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行； （3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC ‎，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证．‎ 解答：解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC； （2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为： 由折叠可知：△APO≌△CPO， ∴∠APO=∠CPO， 又∵OA=OP， ∴∠A=∠APO， ∴∠A=∠CPO， 又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角， ∴∠A=∠PCB， ∴∠CPO=∠PCB， ∴PO∥BC； （3）∵CD为圆O的切线， ∴OC⊥CD，又AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠APO=∠COP， 由折叠可得：∠AOP=∠COP， ∴∠APO=∠AOP， 又OA=OP，∴∠A=∠APO， ∴∠A=∠APO=∠AOP， ∴△APO为等边三角形， ∴∠AOP=60°， 又∵OP∥BC， ∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB， ∴△BCO为等边三角形， ∴∠COB=60°， ∴∠POC=180°-（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC， ∴△POC也为等边三角形， ∴∠PCO=60°，PC=OP=OC， 又∵∠OCD=90°， ∴∠PCD=30°， 在Rt△PCD中，PD=PC， 又∵PC=OP=AB， ∴PD=AB，即AB=4PD．‎ 点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，折叠的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．‎ 对应训练 ‎1．（2012•玉林）如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE． （1）求证：AE平分∠CAB； （2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时，tanC的值．‎ 考点：切线的性质；特殊角的三角函数值．‎ 专题：探究型．‎ 分析：（1）连接OE，则OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，进而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，进而可得出∠1=∠2； （2）由三角形外角的性质可知∠1+∠AEO=∠EOC，，因为∠1=∠AEO，∠OEC=90°，所以2∠1+∠C=90°；当AE=CE时，∠1=∠C，再根据2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度数，由特殊角的三角函数值得出tanC即可．‎ 解答：（1）证明：连接OE， ∵⊙O与BC相切于点E， ∴OE⊥BC， ∵AB⊥BC， ∴AB∥OE， ∴∠2=∠AEO， ∵OA=OE， ∴∠1=∠AEO， ∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB； （2）解：2∠1+∠C=90°，tanC=． ∵∠EOC是△AOE的外角， ∴∠1+∠AEO=∠EOC， ∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°， ∴2∠1+∠C=90°， 当AE=CE时，∠1=∠C， ∵2∠1+∠C=90° ∴3∠C=90°，∠C=30° ∴tanC=tan30°=．‎ 点评：本题考查的是切线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，在解答此类题目时要熟知“若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系”．‎ ‎2．（2012•泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长； （3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．‎ 考点：切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质．‎ 专题：计算题；几何综合题．‎ 分析：（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可； （2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据AB=AC推出52-r2=(2)2-（5-r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出 ，代入求出即可； （3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案．‎ 解答：解：（1）AB=AC，理由如下： 连接OB． ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°， ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°， ∵OP=OB， ∴∠OBP=∠OPB， ∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC； ‎ ‎ （2）延长AP交⊙O于D，连接BD， ∵设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r， ∴AB2=OA2-OB2=52-r2， AC2=PC2-PA2=(2)2-（5-r）2， ∴52-r2=(2)2-（5-r）2， 解得：r=3， ∴AB=AC=4， ∵PD是直径， ∴∠PBD=90°=∠PAC， ∵∠DPB=∠CPA， ∴△DPB∽△CPA， ∴， ∴， 解得：PB=． ∴⊙O的半径为3，线段PB的长为； （3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE=AC=AB=； 又∵圆O要与直线MN交点， ∴OE=≤r， ∴r≥， ‎ 又∵圆O与直线l相离， ∴r＜5， 即≤r＜5．‎ 点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．‎ ‎ 考点二：切线的判定 例3 （2012•铁岭）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB．连接AD． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB= ，求△CBD的面积．‎ 考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．‎ 专题：探究型．‎ 分析：（1）先由AB是⊙O的直径可得出∠ADB=90°，再根据∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB即可得出∠ABF=90°，故EF是⊙O的切线； （2）作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中，AB=10，sin∠DAB= 可求出BD的长，再由C是弧AB的中点，可知∠ADC=∠CDB=45°，根据BG=DG=BDsin45°可求出BG的长，由∠DAB=∠DCB可得出CG的长，进而得出CD的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．‎ 解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°即∠ADC+∠CDB=90°， ∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB， ∴∠ABC+∠CBF=90°即∠ABF=90°， ∴AB⊥EF ∴EF是⊙O的切线； （2）解：作BG⊥CD，垂足是G， 在Rt△ABD中 ‎ ‎∵AB=10，sin∠DAB=， 又∵sin∠DAB=， ∴BD=6 ∵C是弧AB的中点， ∴∠ADC=∠CDB=45°， ∴BG=DG=BDsin45°=6×=3， ∵∠DAB=∠DCB ∴tan∠DCB==， ∴CG=4， ∴CD=CG+DG=4+3=7， ∴S△CBD=CD•BG=．‎ 点评：本题考查的是切线的判定定理，涉及到圆周角定理、解直角三角形及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ 对应训练 ‎3．（2012•宁波）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．‎ ‎[来源:Z.xx.k.Com]‎ 考点：切线的判定；扇形面积的计算．‎ 分析：（1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线． （2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF求解即可．‎ 解答：解：（1）连接OE． ∵OB=OE ∴∠OBE=∠OEB                                        ∵BE是△ABC的角平分线 ‎ ‎∴∠OBE=∠EBC ∴∠OEB=∠EBC ∴OE∥BC                                              ∵∠C=90° ∴∠AEO=∠C=90°                                       ∴AC是⊙O的切线；‎ ‎                                （2）连接OF． ∵sinA=，∴∠A=30°                                ∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8， ∴AE=4，∠AOE=60°，∴AB=12， ∴BC=AB=6   AC=6， ∴CE=AC-AE=2． ∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形． ∴∠FOB=60°，CF=6-4=2，∴∠EOF=60°． ∴S梯形OECF=（2+4）×2=6．  S扇形EOF==，‎ ‎∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF=6-．‎ 点评：本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．‎ ‎ 考点三：三角形的外接圆和内切圆 例4 （2012•阜新）如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为 cm的圆形纸片所覆盖．‎ 考点：三角形的外接圆与外心；圆周角定理；锐角三角函数的定义．‎ 专题：计算题．‎ 分析：作圆O的直径CD，连接BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据锐角三角函数的定义得出sin∠D= ‎ ‎，代入求出CD即可．‎ 解答：解：作圆O的直径CD，连接BD， ∵弧BC对的圆周角有∠A、∠D， ∴∠D=∠A=60°， ∵直径CD， ∴∠DBC=90°， ∴sin∠D=， 即sin60°=， 解得：CD=2， ∴圆O的半径是， 故答案为：．‎ 点评：本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，锐角三角函数的定义的应用，关键是得出sin∠D= ，题目比较典型，是一道比较好的题目．‎ 例5 （2012•玉林）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（　　）‎ A．r B． C．2r D． ‎ 考点：三角形的内切圆与内心；矩形的判定；正方形的判定；切线长定理．‎ 专题：计算题．‎ 分析：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=r，根据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．‎ 解答：解：连接OD、OE， ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆， ∴OD⊥AB，OE⊥BC， ∵∠ABC=90°， ∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°， ‎ ‎∴四边形ODBE是矩形， ∵OD=OE， ∴矩形ODBE是正方形， ∴BD=BE=OD=OE=r， ∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P， ∴MP=DM，NP=NE， ∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r， 故选C．‎ 点评：本题考查的知识点是矩形的判定、正方形的判定、三角形的内切圆和内心、切线长定理等，主要考查运用这些性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．‎ 对应训练 ‎4．（2012•台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE． （1）求证：△ABD≌△CBE； （2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．‎ 考点：三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．‎ 专题：几何综合题；探究型．‎ 分析：（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根据SAS定理可知△ABD≌△CBE； （2）由（1）可知，△ABD≌△CBE，故CE=AD，根据点D是△ABC外接圆圆心可知DA=DB=DC，再由BD=BE可判断出BD=BE=CE=CD，故可得出四边形BDCE是菱形．‎ 解答：（1）证明：∵∠ABC=∠DBE， ∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD与△CBE中， ∵， ∴△ABD≌△CBE …4分 ‎ ‎ （2）解：四边形BDEF是菱形．证明如下： 同（1）可证△ABD≌△CBE， ∴CE=AD， ∵点D是△ABC外接圆圆心， ∴DA=DB=DC， 又∵BD=BE， ∴BD=BE=CE=CD， ∴四边形BDCE是菱形．‎ 点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心、全等三角形的判定与性质及菱形的判定定理，先根据题意判断出△ABD≌△CBE是解答此题的关键．‎ ‎5．（2012•武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA= ， （1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径； （2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．‎ 考点：三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．‎ 专题：计算题．‎ 分析：（1）作直径CD，连接BD，求出∠DBC=90°，∠A=∠D，根据sin∠A的值求出即可； （2）连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，求出BF⊥AC，AF=CF，根据sin∠A求出BFAF，求出AC，根据三角形的面积公式得出5×R+5×R+6×R=6×4，求出R，在△AIF中，由勾股定理求出AI即可．‎ 解答：（1）解：作直径CD，连接BD， ∵CD是直径， ∴∠DBC=90°，∠A=∠D， ∵BC=5，sin∠A=， ∴sin∠D==， ∴CD=， 答：三角形ABC外接圆的直径是． （2）解：连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E， ‎ ‎∵AB=BC=5，I为△ABC内心， ∴BF⊥AC，AF=CF， ∵sin∠A==， ∴BF=4， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3， AC=2AF=6， ∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC， ∴IE=IF=IG， 设IE=IF=IG=R， ∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积， ∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF， 即5×R+5×R+6×R=6×4， ∴R=， 在△AIF中，AF=3，IF=，由勾股定理得：AI=． 答：AI的长是．‎ 点评：本题考查了三角形的面积公式，三角形的内切圆和内心，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．‎ 考点四：圆与圆的位置关系 例6 （2012•毕节地区）第三十奥运会将于‎2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，如图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（　　）‎ A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 考点：圆与圆的位置关系．‎ 分析：根据两圆的位置关系易得到它们的位置关系有外切、外离、相交．‎ 解答：解：观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆只有一个公共点，即外切；有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆有两个公共点，即相交． 故选B．‎ 点评：本题考查了圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为R，r，圆心距为d，若d＞R+r，两圆外离；若d=R+r，两圆外切；若R-r＜d＜R+r（R≥r），两圆相交；若d=R-r（R＞r），两圆内切；若0≤d＜R-r（R＞r），两圆内含．‎ 对应训练 ‎6．（2012•德阳）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有 4‎ 个．‎ ‎6．4‎ 考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；直线与圆的位置关系．‎ 分析：分两圆内切和两圆外切两种情况讨论即可得到⊙P的个数．‎ 解答：解： 如图，满足条件的⊙P有4个， 故答案为4．‎ 点评：本题考查了圆与圆的位置关系、坐标与图形的性质及直线与圆的知识，能充分考虑到分内切和外切是解决本题的关键．‎ 板块五：与圆有关的计算 考点一：正多边形和圆 例1 （2012•咸宁）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ 考点：正多边形和圆．‎ 分析：由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．‎ 解答：解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=60°， ∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2， 设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB， ∴OG=OA•sin60°=2×=， ‎ ‎∴S阴影=S△OAB-S扇形OMN=×2×-． 故选A．‎ 点评：本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．‎ 对应训练 ‎1．（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）‎ A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2‎ 考点：正多边形和圆；等腰直角三角形；正方形的性质．‎ 分析：根据正八边形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，进而得出AC=BC= a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可．‎ 解答：解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a， ∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°， ∴sin45°===， ∴AC=BC=a， ∴S△ABC=×a×a=， ∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2． 正八边形中间是边长为a的正方形，‎ ‎ ∴阴影部分的面积为：a2+a2=2a2， 故选：A．‎ 点评：此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键．‎ ‎ 考点二：圆周长与弧长 例2 （2012•北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（　　）‎ A．10π B． C． D．π 考点：弧长的计算；勾股定理．‎ 专题：网格型．‎ 分析：由题意可知点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长，故在直角三角形ACD中，由AD及DC的长，利用勾股定理求出AC的长，然后利用弧长公式即可求出．‎ 解答：解：如图所示： 在Rt△ACD中，AD=3，DC=1， 根据勾股定理得：AC==， 又将△ABC绕点C顺时针旋转60°， 则顶点A所经过的路径长为l=π． 故选C 点评：此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长．‎ 对应训练 ‎3.（2012•广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为 ）π ‎（结果用含有π的式子表示） ‎ 考点：弧长的计算；旋转的性质．‎ 分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．‎ 解答：解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°； ∵Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长， ∴点A经过的路线长=×3+×2=（4+）π． 故答案为：（4+）π．‎ 点评：本题考查了弧长公式：l= （其中n为圆心角的度数，R为半径）；也考查了旋转的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．‎ ‎ 考点三：扇形面积与阴影部分面积 例3 （2012•毕节地区）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作 ．若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是（　　） （参考数据： ≈1.414， ≈1.732，π取3.14）‎ A．0.64 B．1.64 C．1.68 D．0.36‎ 考点：扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；正方形的性质．‎ 专题：探究型．‎ 分析：先根据直角边和斜边相等，证出△ABE≌△ADF，得到△ECF为等腰直角三角形，求出S△ECF、S扇形AEF、S△AEF的面积，S△ECF-S弓形EGF即可得到阴影部分面积．‎ 解答：解：∵AE=AF，AB=AD， ∴△ABE≌△ADF（Hl）， ∴BE=DF， ∴EC=CF， 又∵∠C=90°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EC=EFcos45°=2×=， ∴S△ECF=××=1， 又∵S扇形AEF=π22=π，S△AEF=×2×2sin60°=×2×2×=， 又∵S弓形EGF=S扇形AEF-S△AEF=π-， ∴S阴影=S△ECF-S弓形EGF=1-（π-）≈0.64． 故选A．‎ 点评：本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形、正方形的性质，将阴影部分面积转化为S△ECF-S弓形EGF是解题的关键．‎ 对应训练 ‎3.（2012•内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（　　）‎ A．4π B．2π C．π D． ‎ 考点：扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．‎ 专题：数形结合．‎ 分析：连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．‎ 解答：解：连接OD． ∵CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=（垂径定理）， 故S△OCE=S△CDE， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积， 又∵∠CDB=30°， ∴∠COB=60°（圆周角定理）， ∴OC=2， 故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为． 故选D．‎ 点评：此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，另外要熟记扇形的面积公式．‎ 考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图 例4 （2012•永州）如图，已知圆O的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 1‎ ‎．‎ 考点：圆锥的计算；圆周角定理．‎ 分析：首先求得扇形的圆心角BOC的度数，然后求得扇形的弧长，利用弧长等于圆的底面周长求得圆锥的底面圆的半径即可．‎ 解答：解：∵∠A=45°， ∴∠BOC=90° ∴扇形BOC的弧长为=2π， 设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π 解得r=1， 故答案为1．‎ 点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的进行圆锥的有关元素和扇形的有关元素之间的转化．‎ 对应训练 ‎7．（2012•襄阳）如图，从一个直径为4 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 1‎ dm．‎ 考点：圆锥的计算．‎ 分析：圆的半径为2 ，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．‎ 解答：解：作OD⊥AC于点D，连接OA， ∴∠OAD=30°，AC=2AD， ∴AC=2OA×cos30°=6 ∴=2π ∴圆锥的底面圆的半径=2π÷（2π）=1． 故答案为：1．‎ 点评：考查圆锥的计算；用的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长；难点是得到扇形的半径．‎ 综合题库 测试1：平行四边形 一、选择题(每小题6分，共30分)‎ ‎1．(2014·衡阳)若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为(C)‎ A．五 B．六 C．七 D．八 ‎2．(2014·益阳)如图，平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是(A)‎ A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2‎ ‎3．(2014·长沙)平行四边形的对角线一定具有的性质是(B)‎ A．相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 ‎4．(2014·枣庄)如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为(A)‎ A. B．1 C. D．7‎ ‎5．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为(C)‎ A．11＋ ‎ B．11－ C．11＋或11－ ‎ D．11＋或1＋ 二、填空题(每小题6分，共30分)‎ ‎6．(2014·梅州)内角和与外角和相等的多边形的边数为__四__．‎ ‎7．(2013·滨州)在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，且AB＝6，BC＝10，则OE＝__5__.‎ ‎8．(2013·江西)如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为__25°__.‎ ‎,第8题图)　　　　,第9题图)‎ ‎9．(2014·福州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC.若AB＝10，则EF的长是__5__.‎ ‎10．(2014·襄阳)在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，则▱ABCD的周长等于__12或20__.‎ 三、解答题(共40分)‎ ‎11．(10分)(2013·泸州)如图，已知▱ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.‎ 解：证明：∵F是BC边的中点，∴BF＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥CD，∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E，∵在△CDF和△BEF中∴△CDF≌△BEF(AAS)，∴BE＝DC，∵AB＝DC，∴AB＝BE ‎12．(10分)(2014·凉山州)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连接DF.‎ ‎(1)试说明AC＝EF；‎ ‎(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．‎ 解：(1)∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB＝2AF，∴AF＝BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL)，∴AC＝EF ‎(2)∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，∴EF∥AD，∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形 ‎13．(10分)(2012·孝感)我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH.‎ ‎(1)这个中点四边形EFGH的形状是__平行四边形__；‎ ‎(2)请证明你的结论．‎ 解：证明：连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理，HG∥AC，∴HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形 ‎14．(10分)(2013·莱芜)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连接DE.‎ ‎(1)证明：DE∥CB；‎ ‎(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．‎ 解：(1)证明：连接CE.∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，∴CE＝AB＝AE，∵△ACD是等边三角形，∴AD＝CD，在△ADE与△CDE中，∴△ADE≌△CDE(SSS)，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∵∠DCB＝150°，∴∠EDC＋∠DCB＝180°，∴DE∥CB ‎(2)解：∵∠DCB＝150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB＋∠B＝180°.∴∠B＝30°.在Rt△ACB中，sinB＝，sin30°＝＝，AC＝AB或AB＝2AC，∴当AC＝AB或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行四边形 测试2：矩形、菱形与正方形 一、选择题(每小题6分，共30分)‎ ‎1．(2014·枣庄)如图，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝3，则四边形AECF的周长为(A)‎ A．22 B．18 C．14 D．11‎ ‎2．(2014·丽水)如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是(B)‎ A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 ‎3．(2013·陕西)如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M，N分别在边AD，BC上，连接BM，DN，若四边形MBND是菱形，则等于(C)‎ A. B. C. D. ‎4．(2014·呼和浩特)已知矩形ABCD的周长为20 cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于点E，F(不与顶点重合)，则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为(B)‎ A．△CDE与△ABF的周长都等于10 cm，但面积不一定相等 B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10 cm C．△CDE与△ABF全等，且周长都为5 cm D．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定 ‎5．(2014·宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是(B)‎ A．n B．n－1 C．()n－1 D.n 二、填空题(每小题6分，共30分)‎ ‎6．(2014·凉山州)顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是__菱形__．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6 m和8 m，则这个花园的面积为__24_m2__.‎ ‎7．(2014·毕节)将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为__30__度．‎ ‎8．(2014·金华)如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G.若点G是CD的中点，则BC的长是__7__.‎ ‎9．(2013·钦州)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是__10__.‎ ‎,第9题图)　　　,第10题图)‎ ‎10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋.‎ 其中正确的序号是__①②④__.(把你认为正确的都填上)‎ 三、解答题(共40分)‎ ‎11．(10分)(2013·白银)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.‎ ‎(1)BD与CD之间有什么数量关系，并说明理由；‎ ‎(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．‎ 解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝CD ‎(2)当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴▱AFBD是矩形 ‎12．(10分)(2014·临夏州)点D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB，AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.‎ ‎(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；‎ ‎(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由．)‎ 解：(1)证明：∵点D，E分别是AB，AC边的中点，∴DE∥BC，且DE＝BC，同理，GF∥BC，且GF＝BC，∴DE∥GF且DE＝GF，∴四边形DEFG是平行四边形 ‎(2)解：当OA＝BC时，平行四边形DEFG是菱形 ‎13．(10分)(2014·梅州)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.‎ ‎(1)求证：CE＝CF；‎ ‎(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？‎ 解：(1)证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF ‎(2)解：GE＝BE＋GD成立．理由是：∵由(1)得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD ‎14．(10分)(2013·呼和浩特)如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE＝1，∠AEP＝90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F.‎ ‎(1)的值为________；‎ ‎(2)求证：AE＝EP；‎ ‎(3)在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D，∵∠AEP＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在Rt△ABE中，AE＝＝，∵sin∠BAE＝＝sin∠FEC＝，∴＝ ‎(2)在BA边上截取BK＝BE，连接KE，∵∠B＝90°，BK＝BE，∴∠BKE＝45°，∴∠AKE＝135°，∵CP平分外角，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AKE＝∠ECP，∵AB＝CB，BK＝BE，∴AB－BK＝BC－BE，即AK＝EC，易得∠KAE＝∠CEP，∵在△AKE和△ECP中，∴△AKE≌△ECP(ASA)，∴AE＝EP ‎(3)存在．证明：作DM⊥AE与AB交于点M，则有：DM∥EP，连接ME，DP，∵在△ADM与△BAE中，‎ ∴△ADM≌△BAE(ASA)，∴MD＝AE，∵AE＝EP，∴MD＝EP，∴MD綊EP，∴四边形DMEP为平行四边形 测试3：圆的基本性质 一、选择题(每小题6分，共30分)‎ ‎1．(2014·舟山)如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为(D)‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎,第1题图)　　　,第2题图)‎ ‎2．(2014·温州)如图，已知点A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是(A)‎ A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B＋∠C ‎3．(2014·毕节)如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过点C作CD⊥AB交AB于点D.已知cos∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为(D)‎ A．1 B. C．3 D. ‎,第3题图)　　　,第4题图)‎ ‎4．(2014·兰州)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是(C)‎ A．AE＝BE B.＝ C．OE＝DE D．∠DBC＝90°‎ ‎5．(2014·孝感)如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6 cm；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形．其中正确的序号是(B)‎ A．①③ B．①②③④‎ C．②③④ D．①③④‎ 二、填空题(每小题6分，共30分)‎ ‎6．(2014·广东)如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为__3__.‎ ‎,第6题图)　　　,第7题图)‎ ‎7．(2014·巴中)如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于点D，∠B＝55°，则∠BOC的度数是__70°__.‎ ‎8．(2014·泰安)如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为点E，交⊙O于点D，连接BE.设∠BEC＝α，则sinα的值为____.‎ ‎,第8题图)　　　,第9题图)‎ ‎9．(2014·宁波)如图，半径为6 cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连接AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为__6__cm2.‎ ‎10．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧上一点(不与A，B重合)，则cosC的值为____.‎ 三、解答题(共40分)‎ ‎11．(8分)(2014·湖州)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．‎ ‎(1)求证：AC＝BD；‎ ‎(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．‎ ‎　　　‎ 解：(1)证明：作OE⊥AB，∵AE＝BE，CE＝DE，∴BE－DE＝AE－CE，即AC＝BD ‎(2)∵由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，∴AC＝AE－CE＝8－2 ‎12．(8分)(2013·邵阳)如图所示，某窗户由矩形和弓形组成．已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m．现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径．‎ 解：设⊙O的半径为r，则OF＝r－1.由垂径定理，得BF＝AB＝1.5，OF⊥AB，由OF2＋BF2＝OB2，得(r－1)2＋1.52＝r2，解得r＝.∴所在圆O的半径为 m ‎13．(8分)(2012·沈阳)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为点E，连接BD.‎ ‎(1)求证：BD平分∠ABC；‎ ‎(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.‎ 解：(1)∵OD⊥AC，OD为半径，∴＝.∴∠CBD＝∠ABD.∴BD平分∠ABC ‎(2)∵OB＝OD，∠ODB＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.又∵OD⊥AC于点E，∴∠OEA＝90°.∴∠A＝90°－60°＝30°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴在Rt△ACB中，BC＝AB.∵OD＝AB，∴BC＝OD ‎14． (8分)(2013·温州)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为点E，连接AC，CE.‎ ‎(1)求证：∠B＝∠D；‎ ‎(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．‎ 解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D ‎(2)解：设BC＝x，则AC＝x－2，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1＋ ‎15．(8分)(2014·武汉)如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB＝13，AC＝5.‎ ‎(1)如图①，若点P是的中点，求PA的长；‎ ‎(2)如图②，若点P是的中点，求PA的长．‎ 解：(1)如图①所示，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°，又∵在等腰三角形△ABP中有AB＝13，∴PA＝＝＝ ‎(2)如图②所示：连接BC，OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，∵P点为弧BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，又因为AB为直径∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB＝∠POB，又因为∠ACB＝∠ONP＝90°，∴△ACB∽△ONP，∴＝，又∵AB＝13，AC＝5，OP＝，代入得ON＝，∴AN＝OA＋ON＝9，∴在Rt△OPN中，有NP2＝OP2－ON2＝36，在Rt△ANP中，有PA＝＝＝3，∴PA＝3 测试4：直线与圆的位置关系 一、选择题(每小题6分，共30分)‎ ‎1．(2014·白银)已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是(A)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 ‎2．(2013·黔东南州)Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为(B)‎ A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm ‎3．(2014·邵阳)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为点B.已知∠A＝30°，则∠C的大小是(A)‎ A．30° B．45° C．60° D．40°‎ ‎4．(2013·雅安)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为(A)‎ A. B. C. D. ‎5．(2014·内江)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为(B)‎ A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1‎ 二、填空题(每小题6分，共30分)‎ ‎6．(2014·湘潭)如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA＝__4__.‎ ‎,第6题图)　　　,第7题图)‎ ‎7．(2013·天津)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠P＝70°，则∠C的大小为__55°__.‎ ‎8．(2014·宜宾)如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是圆O的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD，BE于点M，N，连接AC，CB，若∠ABC＝30°，则AM＝____.‎ ‎9．(2013·乌鲁木齐)如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上，若BG＝－1，则△ABC的周长为__4＋2__.‎ ‎,第9题图)　　,第10题图)‎ ‎10．(2013·咸宁)如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为__2__.‎ 三、解答题(共40分)‎ ‎11．(10分)(2014·梅州)如图，在△ABO中，OA＝OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C.‎ ‎(1)求证：AB与⊙O相切；‎ ‎(2)若∠AOB＝120°，AB＝4，求⊙O的面积．‎ 解：(1)证明：连接OC，∵在△ABO中，OA＝OB，C是边AB的中点，∴OC⊥AB，∵以O为圆心的圆过点C，∴AB与⊙O相切 ‎(2)解：∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∵AB＝4，C是边AB的中点，∴AC＝AB＝2，∴OC＝AC·tan∠A＝2×＝2，∴⊙O的面积为π×22＝4π ‎ 12．(10分)(2013·陕西)如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥BC交⊙O于E，F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线l于B，C两点．‎ ‎(1)求证：∠ABC＋∠ACB＝90°；‎ ‎(2)若⊙O的半径R＝5，BD＝12，求tan∠ACB的值．‎ 解：(1)证明：如图，∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°‎ ‎(2)连接OD，则OD⊥BD.过点E作EH⊥BC，垂足为点H，∴EH∥OD，∵EF∥BC，EH∥OD，OE＝OD，∴四边形EODH是正方形．∴EH＝HD＝OD＝5，∵BD＝12，∴BH＝7，在Rt△BEH中，tan∠BEH＝＝，又∵∠ABC＋∠BEH＝90°，∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEH，∴tan∠ACB＝ ‎13．(10分)(2014·呼和浩特)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM.‎ ‎(1)求证：∠ACM＝∠ABC；‎ ‎(2)延长BC到D，使BC＝CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED＝2，求△ACE的外接圆的半径．‎ 解：(1)连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，又∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM，∴∠ACM＋∠ACO＝90°，∵CO＝AO，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠ACM＝∠ABC ‎(2)∵BC＝CD，∴OC∥AD，又∵OC⊥CE，∴AD⊥CE，∴△AEC是直角三角形，∴△AEC的外接圆的直径是AC，又∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠ACM＋∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∴△ABC∽△CDE，∴＝，⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴＝，∴BC2＝12，∴BC＝2，∴AC＝＝2，∴△AEC的外接圆的半径为 ‎14．(10分)(2014·丽水)如图，已知等边△ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点F作FG⊥AB，垂足为点G，连接GD.‎ ‎(1)求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎(2)求FG的长；‎ ‎(3)求tan∠FGD的值．‎ ‎　　‎ ‎(1)证明：连结OD，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线 ‎(2)解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9，在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝　‎ ‎(3)解：过点D作DH⊥AB于点H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.在Rt△AFG中，∵∠AFG＝30°，∴AG＝AF＝，∵GH＝AB－AG－BH＝12－－3＝，∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝ 测试5：圆的弧长和图形面积的计算 一、选择题(每小题6分，共30分)‎ ‎1．(2014·襄阳)用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(B)‎ A. B．1 C. D．2‎ ‎2．(2013·河北)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝2，则S阴影＝(D)‎ A．π B．2π C. D.π ‎3．(2014·金华)一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是(A)‎ A．5∶4 B．5∶2‎ C.∶2 D.∶ ‎4．(2014·东营)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为(C)‎ A. B. C. D. ‎5．(2013·山西)如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是(B)‎ A.π－ B.π－ C．π－ D．π－ 二、填空题(每小题6分，共30分)‎ ‎6．(2014·泰州)圆锥的底面半径为6 cm，母线长为10 cm，则圆锥的侧面积为__60π__cm2.‎ ‎7．(2013·重庆)如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA＝2，那么图中阴影部分的面积为__π－2__.(结果保留π)．‎ ‎,第7题图)　　　　,第8题图)‎ ‎8．(2013·泸州)如图，从半径为9 cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为__3__ cm.‎ ‎9．(2013·昆明)如图，从直径为4 cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O，A，B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是____cm.‎ ‎10．(2013·烟台)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画，连接AF，CF，则图中阴影部分面积为__4π__.‎ 三、解答题(共40分)‎ ‎11．(10分)(2013·新疆)如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC＝30°，且AB＝AC.‎ ‎(1)求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎(2)求弦AC的长；‎ ‎(3)求图中阴影部分的面积．‎ ‎　　‎ 解：(1)证明：如图，连接OA.∵AB＝AC，∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∴在△ABO中，∠OAB＝180°－∠ABO－∠AOB＝90°，即AB⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线 ‎(2)解：如图，连接AD.∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC＝90°.∵由(1)知，∠ACB＝30°，∴AD＝CD＝4，则根据勾股定理知AC＝＝4，即弦AC的长是4 ‎(3)由(2)知，在△ADC中，∠DAC＝90°，AD＝4，AC＝4，则S△ADC＝AD·AC＝×4×4＝8.∵点O是△ADC斜边上的中点，∴S△AOC＝S△ADC＝4.根据图示知，S阴影＝S扇形AOD＋S△AOC＝＋4＝π＋4，即图中阴影部分的面积是π＋4 ‎12．(10分)(2014·滨州)如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°.‎ ‎(1)求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．‎ 解：(1)证明：连接OC.∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°.∴∠OCD＝90°.∴CD是⊙O的切线 ‎(2)解：∵∠A＝30°，∴∠1＝2∠A＝60°.∴S扇形BOC＝＝.在Rt△OCD中，∵＝tan60°，∴CD＝2.∴SRt△OCD＝OC·CD＝×2×2＝2.∴图中阴影部分的面积为2－ ‎13．(10分)(2014·襄阳)如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.‎ ‎(1)求证：EF∥CG；‎ ‎(2)求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．‎ 解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°，∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，∴∠AFB＋∠FAB＝90°，∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG，∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG ‎(2)解：∵AD＝2，E是AB的中点，∴FE＝BE＝AB＝×2＝1，∴AF＝＝＝，由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝＋×2×1＋×(1＋2)×1－＝－ ‎14．(10分)(2013·龙岩)如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝＋1，AD＝.‎ ‎(1)如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为________；‎ ‎(2)如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为________；‎ ‎(3)如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．(结果保留π)‎ 解：(1) ‎(2)由(1)知，C′E＝1＝C′F，∴S四边形B′FED′＝S矩形B′D′EC′－S△EC′F＝－ ‎(3)∵∠C＝90°，BC＝，EC＝1，∴tan∠BEC＝＝，∴∠BEC＝60°，由翻折可知：∠DEA＝45°，∴∠AEA ‎′＝75°＝∠D′ED″，∴＝＝π