2020年湖北省荆州市中考数学试卷(含解析)

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2020年湖北省荆州市中考数学试卷(含解析)

‎2020年湖北省荆州市中考数学试卷 一、选择题(本大题共有10个小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)(2020•荆州)有理数﹣2的相反数是(  )‎ A.2 B.‎1‎‎2‎ C.﹣2 D.‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎2.(3分)(2020•荆州)下列四个几何体中,俯视图与其它三个不同的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(3分)(2020•荆州)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.(3分)(2020•荆州)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形,若∠CAB=30°,则∠ACB的度数是(  )‎ A.45° B.55° C.65° D.75°‎ ‎5.(3分)(2020•荆州)八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度.若设骑车学生的速度为xkm/h,则可列方程为(  )‎ 第27页(共27页)‎ A.‎10‎‎2x‎-‎10‎x=‎20 B.‎10‎x‎-‎10‎‎2x=‎20 ‎ C.‎10‎x‎-‎10‎‎2x=‎‎1‎‎3‎ D.‎‎10‎‎2x‎-‎10‎x=‎‎1‎‎3‎ ‎6.(3分)(2020•荆州)若x为实数,在“(‎3‎‎+‎1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“+,﹣,×,÷”中选择)后,其运算的结果为有理数,则x不可能是(  )‎ A.‎3‎‎+‎1 B.‎3‎‎-‎1 C.2‎3‎ D.1‎‎-‎‎3‎ ‎7.(3分)(2020•荆州)如图,点E在菱形ABCD的AB边上,点F在BC边的延长线上,连接CE,DF,对于下列条件:①BE=CF;②CE⊥AB,DF⊥BC;③CE=DF;④∠BCE=∠CDF.只选取其中一条添加,不能确定△BCE≌△CDF的是(  )‎ A.① B.② C.③ D.④‎ ‎8.(3分)(2020•荆州)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的斜边OA在第一象限,并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点,BC=1,则点A的坐标为(  )‎ A.(‎3‎,‎3‎) B.(‎3‎,1) C.(2,1) D.(2,‎3‎)‎ ‎9.(3分)(2020•荆州)定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有a*b=(a+b)(a﹣b)﹣1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例4*3=(4+3)(4﹣3)﹣1=7﹣1=6.若x*k=x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况为(  )‎ A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 ‎ C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 ‎10.(3分)(2020•荆州)如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C均在网格交点上,⊙O是△ABC的外接圆,则cos∠BAC的值为(  )‎ 第27页(共27页)‎ A.‎5‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎‎5‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)‎ ‎11.(3分)(2020•荆州)若a=(π﹣2020)0,b=﹣(‎1‎‎2‎)﹣1,c=|﹣3|,则a,b,c的大小关系为   .(用“<”号连接)‎ ‎12.(3分)(2020•荆州)若单项式2xmy3与3xym+n是同类项,则‎2m+n的值为   .‎ ‎13.(3分)(2020•荆州)已知:△ABC,求作:△ABC的外接圆.作法:①分别作线段BC,AC的垂直平分线EF和MN,它们相交于点O;②以点O为圆心,OB的长为半径画圆.如图,⊙O即为所求,以上作图用到的数学依据有:   .(只需写一条)‎ ‎14.(3分)(2020•荆州)若标有A,B,C的三只灯笼按图所示悬挂,每次摘取一只(摘B前需先摘C),直到摘完,则最后一只摘到B的概率是   .‎ ‎15.(3分)(2020•荆州)“健康荆州,你我同行”,市民小张积极响应“全民健身动起来”号召,坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC,其中∠C=90°,AB与BC间另有步道DE相连,D地在AB正中位置,E地与C地相距1km.若 第27页(共27页)‎ tan∠ABC‎=‎‎3‎‎4‎,∠DEB=45°,小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈,则他跑了   km.‎ ‎16.(3分)(2020•荆州)我们约定:(a,b,c)为函数y=ax2+bx+c的“关联数”,当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时,该交点为“整交点”.若关联数为(m,﹣m﹣2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数),则这个函数图象上整交点的坐标为   .‎ 三、解答题(本大题共有8个小题,共72分)‎ ‎17.(8分)(2020•荆州)先化简,再求值:(1‎-‎‎1‎a)‎÷‎a‎2‎‎-1‎a‎2‎‎+2a+1‎,其中a是不等式组a-2≥2-a①‎‎2a-1<a+3②‎的最小整数解.‎ ‎18.(8分)(2020•荆州)阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,求出x的值.‎ ‎【问题】解方程:x2+2x+4x‎2‎‎+2x‎-‎5=0.‎ ‎【提示】可以用“换元法”解方程.‎ 解:设x‎2‎‎+2x‎=‎t(t≥0),则有x2+2x=t2‎ 原方程可化为:t2+4t﹣5=0‎ ‎【续解】‎ ‎19.(8分)(2020•荆州)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD.‎ ‎(1)求证:BC∥AD;‎ ‎(2)若AB=4,BC=1,求A,C两点旋转所经过的路径长之和.‎ 第27页(共27页)‎ ‎20.(8分)(2020•荆州)6月26日是“国际禁毒日”,某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动.为了解竞赛情况,从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分为100分),收集数据为:七年级90,95,95,80,90,80,85,90,85,100;八年级85,85,95,80,95,90,90,90,100,90.‎ 整理数据:‎ 分数 人数 年级 ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ 七年级 ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 八年级 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ a ‎1‎ 分析数据:‎ 平均数 中位数 众数 方差 七年级 ‎89‎ b ‎90‎ ‎39‎ 八年级 c ‎90‎ d ‎30‎ 根据以上信息回答下列问题:‎ ‎(1)请直接写出表格中a,b,c,d的值;‎ ‎(2)通过数据分析,你认为哪个年级的成绩比较好?请说明理由;‎ ‎(3)该校七、八年级共有600人,本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”.估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”?‎ ‎21.(8分)(2020•荆州)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后,进一步研究了函数y‎=‎‎2‎‎|x|‎的图象与性质共探究过程如下:‎ ‎(1)绘制函数图象,如图1.‎ 第27页(共27页)‎ 列表:下表是x与y的几组对应值,其中m=   ;‎ x ‎…‎ ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎-‎‎1‎‎2‎‎ ‎ ‎1‎‎2‎‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎2‎‎3‎‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ m ‎2‎‎3‎‎ ‎ ‎…‎ 描点:根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出了各点;‎ 连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出了部分图象.请你把图象补充完整;‎ ‎(2)通过观察图1,写出该函数的两条性质;‎ ‎①   ;‎ ‎②   ;‎ ‎(3)①观察发现:如图2.若直线y=2交函数y‎=‎‎2‎‎|x|‎的图象于A,B两点,连接OA,过点B作BC∥OA交x轴于C.则S四边形OABC=   ;‎ ‎②探究思考:将①中“直线y=2”改为“直线y=a(a>0)”,其他条件不变,则S四边形OABC=   ;‎ ‎③类比猜想:若直线y=a(a>0)交函数y‎=‎k‎|x|‎(k>0)的图象于A,B两点,连接OA,过点B作BC∥OA交x轴于C,则S四边形OABC=   .‎ ‎22.(10分)(2020•荆州)如图,在矩形ABCD中,AB=20,点E是BC边上的一点,将△ABE沿着AE折叠,点B刚好落在CD边上点G处;点F在DG上,将△ADF沿着AF折叠,点D刚好落在AG上点H处,此时S△GFH:S△AFH=2:3,‎ ‎(1)求证:△EGC∽△GFH;‎ ‎(2)求AD的长;‎ ‎(3)求tan∠GFH的值.‎ 第27页(共27页)‎ ‎23.(10分)(2020•荆州)为了抗击新冠疫情,我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨.这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位:元/吨).‎ 目的地 生产厂 A B 甲 ‎20‎ ‎25‎ 乙 ‎15‎ ‎24‎ ‎(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨?‎ ‎(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元.求y与x之间的函数关系式,并设计使总运费最少的调运方案;‎ ‎(3)当每吨运费均降低m元(0<m≤15且m为整数)时,按(2)中设计的调运方案运输,总运费不超过5200元.求m的最小值.‎ ‎24.(12分)(2020•荆州)如图1,在平面直角坐标系中,A(﹣2,﹣1),B(3,﹣1),以O为圆心,OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C,连接AB,BC,过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E,D,连接OB,CD.‎ ‎(1)求证:BC是半圆O的切线;‎ ‎(2)试判断四边形OBCD的形状,并说明理由;‎ ‎(3)如图2,若抛物线经过点D且顶点为E.‎ ‎①求此抛物线的解析式;‎ ‎②点P是此抛物线对称轴上的一个动点,以E,D,P为顶点的三角形与△OAB相似,问抛物线上是否存在一点Q.使S△EPQ=S△OAB?若存在,请直接写出Q点的横坐标;若不存在,说明理由.‎ 第27页(共27页)‎ 第27页(共27页)‎ ‎2020年湖北省荆州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共有10个小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)(2020•荆州)有理数﹣2的相反数是(  )‎ A.2 B.‎1‎‎2‎ C.﹣2 D.‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎【解答】解:有理数﹣2的相反数是:2.‎ 故选:A.‎ ‎2.(3分)(2020•荆州)下列四个几何体中,俯视图与其它三个不同的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:选项A的俯视图是三角形,选项B、C、D的俯视图均为圆.‎ 故选:A.‎ ‎3.(3分)(2020•荆州)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:一次函数y=x+1中,令x=0,则y=1;令y=0,则x=﹣1,‎ ‎∴一次函数y=x+1的图象经过点(0,1)和(﹣1,0),‎ ‎∴一次函数y=x+1的图象经过一二三象限,‎ 故选:C.‎ ‎4.(3分)(2020•荆州)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形,若∠CAB=30°,则∠ACB 第27页(共27页)‎ 的度数是(  )‎ A.45° B.55° C.65° D.75°‎ ‎【解答】解:如图所示:‎ ‎∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形,‎ ‎∴ED∥FA,∠EBC=∠CBA,‎ ‎∴∠EBC=∠ACB,∠CAB=∠DBA=30°,‎ ‎∵∠EBC+∠CBA+∠ABD=180°,‎ ‎∴∠ACB+∠ACB+30°=180°,‎ ‎∴∠ACB=75°,‎ 故选:D.‎ ‎5.(3分)(2020•荆州)八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度.若设骑车学生的速度为xkm/h,则可列方程为(  )‎ A.‎10‎‎2x‎-‎10‎x=‎20 B.‎10‎x‎-‎10‎‎2x=‎20 ‎ C.‎10‎x‎-‎10‎‎2x=‎‎1‎‎3‎ D.‎‎10‎‎2x‎-‎10‎x=‎‎1‎‎3‎ ‎【解答】解:设骑车学生的速度为xkm/h,则乘车学生的速度为2xkm/h,‎ 依题意,得:‎10‎x‎-‎10‎‎2x=‎‎1‎‎3‎.‎ 故选:C.‎ ‎6.(3分)(2020•荆州)若x为实数,在“(‎3‎‎+‎1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“+,﹣,×,÷”中选择)后,其运算的结果为有理数,则x不可能是(  )‎ A.‎3‎‎+‎1 B.‎3‎‎-‎1 C.2‎3‎ D.1‎‎-‎‎3‎ 第27页(共27页)‎ ‎【解答】解:A.(‎3‎‎+‎1)﹣(‎3‎‎+‎1)=0,故本选项不合题意;‎ B.(‎3‎‎+‎1)‎(‎3‎-1)=‎2,故本选项不合题意;‎ C.(‎3‎‎+‎1)与‎2‎‎3‎无论是相加,相减,相乘,相除,结果都是无理数,故本选项符合题意;‎ D.(‎3‎‎+‎1)(1‎-‎‎3‎)=﹣2,故本选项不合题意.‎ 故选:C.‎ ‎7.(3分)(2020•荆州)如图,点E在菱形ABCD的AB边上,点F在BC边的延长线上,连接CE,DF,对于下列条件:①BE=CF;②CE⊥AB,DF⊥BC;③CE=DF;④∠BCE=∠CDF.只选取其中一条添加,不能确定△BCE≌△CDF的是(  )‎ A.① B.② C.③ D.④‎ ‎【解答】解:∵四边形BCD是菱形,‎ ‎∴BC=CD,AB∥CD,‎ ‎∴∠B=∠DCF,‎ ‎①∵添加BE=CF,‎ ‎∴△BCE≌△CDF(SAS),‎ ‎②∵添加CE⊥AB,DF⊥BC,‎ ‎∴∠CEB=∠F=90°,‎ ‎∴△BCE≌△CDF(AAS),‎ ‎③∵添加CE=DF,‎ 不能确定△BCE≌△CDF;‎ ‎④∵添加∠BCE=∠CDF,‎ ‎∴△BCE≌△CDF(ASA),‎ 故选:C.‎ ‎8.(3分)(2020•荆州)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的斜边OA在第一象限,并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点,BC=1,则点A的坐标为(  )‎ 第27页(共27页)‎ A.(‎3‎,‎3‎) B.(‎3‎,1) C.(2,1) D.(2,‎3‎)‎ ‎【解答】解:如图,‎ ‎∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限,并与x轴的正半轴夹角为30°.‎ ‎∴∠AOD=30°,‎ ‎∴AD‎=‎‎1‎‎2‎OA,‎ ‎∵C为OA的中点,‎ ‎∴AD=AC=OC=BC=1,‎ ‎∴OA=2,‎ ‎∴OD‎=‎‎3‎,‎ 则点A的坐标为:(‎3‎,1).‎ 故选:B.‎ ‎9.(3分)(2020•荆州)定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有a*b=(a+b)(a﹣b)﹣1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例4*3=(4+3)(4﹣3)﹣1=7﹣1=6.若x*k=x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况为(  )‎ A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 ‎ C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 ‎【解答】解:∵x*k=x(k为实数)是关于x的方程,‎ ‎∴(x+k)(x﹣k)﹣1=x,‎ 整理得x2﹣x﹣k2﹣1=0,‎ ‎∵△=(﹣1)2﹣4(﹣k2﹣1)‎ 第27页(共27页)‎ ‎=4k2+5>0,‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根.‎ 故选:C.‎ ‎10.(3分)(2020•荆州)如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C均在网格交点上,⊙O是△ABC的外接圆,则cos∠BAC的值为(  )‎ A.‎5‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎‎5‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎【解答】解:如图,作直径BD,连接CD,‎ 由勾股定理得,BD‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎2‎5‎,‎ 在Rt△BDC中,cos∠BDC‎=CDBD=‎4‎‎2‎‎5‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 由圆周角定理得,∠BAC=∠BDC,‎ ‎∴cos∠BAC=cos∠BDC‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 故选:B.‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)‎ ‎11.(3分)(2020•荆州)若a=(π﹣2020)0,b=﹣(‎1‎‎2‎)﹣1,c=|﹣3|,则a,b,c的大小关系为 b<a<c .(用“<”号连接)‎ ‎【解答】解:∵a=(π﹣2020)0=1,b=﹣(‎1‎‎2‎)﹣1=﹣2,c=|﹣3|=3,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴b<a<c.‎ 故答案为:b<a<c.‎ ‎12.(3分)(2020•荆州)若单项式2xmy3与3xym+n是同类项,则‎2m+n的值为 2 .‎ ‎【解答】解:根据题意得:m=1,m+n=3,‎ 解得n=2,‎ 所以2m+n=2+2=4,‎ ‎2m+n‎=‎4‎=‎‎2.‎ 故答案是:2.‎ ‎13.(3分)(2020•荆州)已知:△ABC,求作:△ABC的外接圆.作法:①分别作线段BC,AC的垂直平分线EF和MN,它们相交于点O;②以点O为圆心,OB的长为半径画圆.如图,⊙O即为所求,以上作图用到的数学依据有: 线段的垂直平分线的性质 .(只需写一条)‎ ‎【解答】解:∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点,‎ ‎∴OA=OC=OB,‎ ‎∴⊙O为△ABC的外接圆.‎ 故答案为:线段的垂直平分线的性质.‎ ‎14.(3分)(2020•荆州)若标有A,B,C的三只灯笼按图所示悬挂,每次摘取一只(摘B前需先摘C),直到摘完,则最后一只摘到B的概率是 ‎2‎‎3‎ .‎ ‎【解答】解:画树状图如图:‎ 第27页(共27页)‎ 共有3个可能的结果,最后一只摘到B的结果有2个,‎ ‎∴最后一只摘到B的概率为‎2‎‎3‎;‎ 故答案为:‎2‎‎3‎.‎ ‎15.(3分)(2020•荆州)“健康荆州,你我同行”,市民小张积极响应“全民健身动起来”号召,坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC,其中∠C=90°,AB与BC间另有步道DE相连,D地在AB正中位置,E地与C地相距1km.若tan∠ABC‎=‎‎3‎‎4‎,∠DEB=45°,小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈,则他跑了 24 km.‎ ‎【解答】解:过D点作DF⊥BC,‎ 设EF=xkm,则DF=xkm,BF‎=‎‎4‎‎3‎xkm,‎ 在Rt△BFD中,BD‎=BF‎2‎+DF‎2‎=‎‎5‎‎3‎xkm,‎ ‎∵D地在AB正中位置,‎ ‎∴AB=2BD‎=‎‎10‎‎3‎xkm,‎ ‎∵tan∠ABC‎=‎‎3‎‎4‎,‎ ‎∴cos∠ABC‎=‎‎4‎‎5‎,‎ ‎∴x+‎4‎‎3‎x+1‎‎10‎‎3‎x‎=‎‎4‎‎5‎,‎ 解得x=3,‎ 第27页(共27页)‎ 则BC=8km,AC=6km,AB=10km,‎ 小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈,他跑了8+10+6=24(km).‎ 故答案为:24.‎ ‎16.(3分)(2020•荆州)我们约定:(a,b,c)为函数y=ax2+bx+c的“关联数”,当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时,该交点为“整交点”.若关联数为(m,﹣m﹣2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数),则这个函数图象上整交点的坐标为 (1,0)、(2,0)或(0,2) .‎ ‎【解答】解:根据题意,令y=0,将关联数(m,﹣m﹣2,2)代入函数y=ax2+bx+c,则有mx2+(﹣m﹣2)x+2=0,‎ ‎△=(﹣m﹣2)2﹣4×2m=(m﹣2)2>0,‎ ‎∴mx2+(﹣m﹣2)x+2=0有两个根,‎ 由求根公式可得x‎=‎m+2±‎‎(-m-2)‎‎2‎‎-8m‎2m x‎=‎m+2±|m-2|‎‎2m x1‎=m+2+(m-2)‎‎2m=‎1,此时m为不等于0的任意数,不合题意;‎ x2‎=m+2+2-m‎2m=‎‎4‎‎2m,当m=1或2时符合题意;x2=2或1;‎ x3‎=m+2-m+2‎‎2m=‎‎4‎‎2m,当m=1或2时符合题意;x3=2或1;‎ x4‎=m+2-2+m‎2m=‎1,此时m为不等于0的任意数,不合题意;‎ 所以这个函数图象上整交点的坐标为(2,0),(1,0);‎ 令x=0,可得y=c=2,即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2).‎ 综上所述,这个函数图象上整交点的坐标为(2,0),(1,0)或(0,2);‎ 故答案为:(2,0),(1,0)或(0,2).‎ 三、解答题(本大题共有8个小题,共72分)‎ 第27页(共27页)‎ ‎17.(8分)(2020•荆州)先化简,再求值:(1‎-‎‎1‎a)‎÷‎a‎2‎‎-1‎a‎2‎‎+2a+1‎,其中a是不等式组a-2≥2-a①‎‎2a-1<a+3②‎的最小整数解.‎ ‎【解答】解:原式‎=‎a-1‎a•‎‎(a+1‎‎)‎‎2‎‎(a+1)(a-1)‎ ‎=‎a+1‎a‎.‎ 解不等式组a-2≥2-a①‎‎2a-1<a+3②‎中的①,得a≥2.‎ 解不等式②,得a<4.‎ 则2≤a<4.‎ 所以a的最小整数值是2,‎ 所以,原式‎=‎2+1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎.‎ ‎18.(8分)(2020•荆州)阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,求出x的值.‎ ‎【问题】解方程:x2+2x+4x‎2‎‎+2x‎-‎5=0.‎ ‎【提示】可以用“换元法”解方程.‎ 解:设x‎2‎‎+2x‎=‎t(t≥0),则有x2+2x=t2‎ 原方程可化为:t2+4t﹣5=0‎ ‎【续解】‎ ‎【解答】解:(t+5)(t﹣1)=0,‎ t+5=0或t﹣1=0,‎ ‎∴t1=﹣5,t2=1,‎ 当t=﹣5时,x‎2‎‎+2x‎=-‎5,此方程无解;‎ 当t=1时,x‎2‎‎+2x‎=‎1,则x2+2x=1,配方得(x+1)2=2,解得x1=﹣1‎+‎‎2‎,x2=﹣1‎-‎‎2‎;‎ 经检验,原方程的解为x1=﹣1‎+‎‎2‎,x2=﹣1‎-‎‎2‎.‎ ‎19.(8分)(2020•荆州)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD.‎ ‎(1)求证:BC∥AD;‎ ‎(2)若AB=4,BC=1,求A,C两点旋转所经过的路径长之和.‎ 第27页(共27页)‎ ‎【解答】(1)证明:由题意,△ABC≌△DBE,且∠ABD∠CBE=60°,‎ ‎∴AB=DB,‎ ‎∴△ABD是等边三角形,‎ ‎∴∠DAB=60°,‎ ‎∴∠CBE=∠DAB,‎ ‎∴BC∥AD.‎ ‎(2)解:由题意,BA=BD=4,BC=BE=1,∠ABD=∠CBE=60°,‎ ‎∴A,C两点旋转所经过的路径长之和‎=‎60⋅π⋅4‎‎180‎+‎60⋅π⋅1‎‎180‎=‎‎5π‎3‎.‎ ‎20.(8分)(2020•荆州)6月26日是“国际禁毒日”,某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动.为了解竞赛情况,从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分为100分),收集数据为:七年级90,95,95,80,90,80,85,90,85,100;八年级85,85,95,80,95,90,90,90,100,90.‎ 整理数据:‎ 分数 人数 年级 ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ 七年级 ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 八年级 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ a ‎1‎ 分析数据:‎ 平均数 中位数 众数 方差 七年级 ‎89‎ b ‎90‎ ‎39‎ 第27页(共27页)‎ 八年级 c ‎90‎ d ‎30‎ 根据以上信息回答下列问题:‎ ‎(1)请直接写出表格中a,b,c,d的值;‎ ‎(2)通过数据分析,你认为哪个年级的成绩比较好?请说明理由;‎ ‎(3)该校七、八年级共有600人,本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”.估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”?‎ ‎【解答】解:(1)观察八年级95分的有2人,故a=2;‎ 七年级的中位数为‎90+90‎‎2‎‎=90‎,故b=90;‎ 八年级的平均数为:‎1‎‎12‎[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]=90,故c=90;‎ 八年级中90分的最多,故d=90;‎ ‎(2)七、八年级学生成绩的中位数和众数相同,但八年级的平均成绩比七年级高,且从方差看,八年级学生成绩更整齐,综上,八年级的学生成绩好;‎ ‎(3)∵600‎×‎13‎‎20‎=‎390(人),‎ ‎∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人.‎ ‎21.(8分)(2020•荆州)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后,进一步研究了函数y‎=‎‎2‎‎|x|‎的图象与性质共探究过程如下:‎ ‎(1)绘制函数图象,如图1.‎ 列表:下表是x与y的几组对应值,其中m= 1 ;‎ x ‎…‎ ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎-‎‎1‎‎2‎‎ ‎ ‎1‎‎2‎‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎2‎‎3‎‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ m ‎2‎‎3‎‎ ‎ ‎…‎ 描点:根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出了各点;‎ 连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出了部分图象.请你把图象补充完整;‎ ‎(2)通过观察图1,写出该函数的两条性质;‎ ‎① 函数的图象关于y轴对称 ;‎ ‎② 当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小 ;‎ 第27页(共27页)‎ ‎(3)①观察发现:如图2.若直线y=2交函数y‎=‎‎2‎‎|x|‎的图象于A,B两点,连接OA,过点B作BC∥OA交x轴于C.则S四边形OABC= 4 ;‎ ‎②探究思考:将①中“直线y=2”改为“直线y=a(a>0)”,其他条件不变,则S四边形OABC= 4 ;‎ ‎③类比猜想:若直线y=a(a>0)交函数y‎=‎k‎|x|‎(k>0)的图象于A,B两点,连接OA,过点B作BC∥OA交x轴于C,则S四边形OABC= 2k .‎ ‎【解答】解:(1)当x<0时,xy=﹣2,而当x>0时,xy=2,‎ ‎∴m=1,‎ 故答案为:1;补全图象如图所示:‎ ‎(2)故答案为:①函数的图象关于y轴对称,②当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小;‎ ‎(3)如图,①由A,B两点关于y轴对称,由题意可得四边形OABC是平行四边形,且S四边形OABC=4S△OAM=4‎×‎‎1‎‎2‎|k|=2|k|=4,‎ ‎②同①可知:S四边形OABC=2|k|=4,‎ ‎③S四边形OABC=2|k|=2k,‎ 故答案为:4,4,2k.‎ 第27页(共27页)‎ ‎22.(10分)(2020•荆州)如图,在矩形ABCD中,AB=20,点E是BC边上的一点,将△ABE沿着AE折叠,点B刚好落在CD边上点G处;点F在DG上,将△ADF沿着AF折叠,点D刚好落在AG上点H处,此时S△GFH:S△AFH=2:3,‎ ‎(1)求证:△EGC∽△GFH;‎ ‎(2)求AD的长;‎ ‎(3)求tan∠GFH的值.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠B=∠D=∠C=90°,‎ 由折叠对称知:∠AGE=∠B=90°,∠AHF=∠D=90°,‎ ‎∴∠GHF=∠C=90°,∠EGC+∠HGF=90°,∠GFH+∠HGF=90°,‎ ‎∴∠EGC=∠GFH,‎ ‎∴△EGC∽△GFH.‎ 第27页(共27页)‎ ‎(2)解:∵S△GFH:S△AFH=2:3,且△GFH和△AFH等高,‎ ‎∴GH:AH=2:3,‎ ‎∵将△ABE沿着AE折叠,点B刚好落在CD边上点G处,‎ ‎∴AG=AB=GH+AH=20,‎ ‎∴GH=8,AH=12,‎ ‎∴AD=AH=12.‎ ‎(3)解:在Rt△ADG中,DG‎=AG‎2‎-AD‎2‎=‎2‎0‎‎2‎-1‎‎2‎‎2‎=‎16,‎ 由折叠的对称性可设DF=FH=x,则GF=16﹣x,‎ ‎∵GH2+HF2=GF2,‎ ‎∴82+x2=(16﹣x)2,‎ 解得:x=6,‎ ‎∴HF=6,‎ 在Rt△GFH中,tan∠GFH‎=GHHF=‎8‎‎6‎=‎‎4‎‎3‎.‎ ‎23.(10分)(2020•荆州)为了抗击新冠疫情,我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨.这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位:元/吨).‎ 目的地 生产厂 A B 甲 ‎20‎ ‎25‎ 乙 ‎15‎ ‎24‎ ‎(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨?‎ ‎(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元.求y与x之间的函数关系式,并设计使总运费最少的调运方案;‎ ‎(3)当每吨运费均降低m元(0<m≤15且m为整数)时,按(2)中设计的调运方案运输,总运费不超过5200元.求m的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)设这批防疫物资甲厂生产了a吨,乙厂生产了b吨,则:‎ a+b=500‎‎2a-b=100‎‎,解得a=200‎b=300‎,‎ 即这批防疫物资甲厂生产了200吨,乙厂生产了300吨;‎ 第27页(共27页)‎ ‎(2)由题意得:y=20(240﹣x)+25[260﹣(300﹣x)]+15x+24(300﹣x)=﹣4x+11000,‎ ‎∵x≥0‎‎240-x≥0‎‎300-x≥0‎x-40≥0‎,解得:40≤x≤240,‎ 又∵﹣4<0,‎ ‎∴y随x的增大而减小,‎ ‎∴当x=240时,可以使总运费最少,‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为y=﹣4x+11000;使总运费最少的调运方案为:甲厂的200吨物资全部运往B地,乙厂运往A地240吨,运往B地60吨;‎ ‎(3)由题意和(2)的解答得:y=﹣4x+11000﹣500m,‎ 当x=240时,y最小=﹣4×240+11000﹣500m=10040﹣500m,‎ ‎∴10040﹣500m≤5200,解得:m≥9.68,‎ 而0<m≤15且m为整数,‎ ‎∴m的最小值为10.‎ ‎24.(12分)(2020•荆州)如图1,在平面直角坐标系中,A(﹣2,﹣1),B(3,﹣1),以O为圆心,OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C,连接AB,BC,过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E,D,连接OB,CD.‎ ‎(1)求证:BC是半圆O的切线;‎ ‎(2)试判断四边形OBCD的形状,并说明理由;‎ ‎(3)如图2,若抛物线经过点D且顶点为E.‎ ‎①求此抛物线的解析式;‎ ‎②点P是此抛物线对称轴上的一个动点,以E,D,P为顶点的三角形与△OAB相似,问抛物线上是否存在一点Q.使S△EPQ=S△OAB?若存在,请直接写出Q点的横坐标;若不存在,说明理由.‎ 第27页(共27页)‎ ‎【解答】(1)证明:如图1,设AB与y轴交于M,‎ ‎∵A(﹣2,﹣1),B(3,﹣1),‎ ‎∴AB∥x轴,且AM=2,OM=1,AB=5,‎ ‎∴OA=OC‎=‎‎5‎,‎ ‎∵DE∥BC,O是AC的中点,‎ ‎∴OE是△ABC的中位线,‎ ‎∴AE‎=‎‎1‎‎2‎AB,BC=2OE,‎ ‎∴E(‎1‎‎2‎,﹣1),‎ ‎∴EM‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴OE‎=OM‎2‎+ME‎2‎=‎1‎‎2‎‎+(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎,‎ ‎∴BC=2OE‎=‎‎5‎,‎ 在△ABC中,∵AC‎2‎+BC‎2‎=(2‎5‎‎)‎‎2‎+(‎5‎‎)‎‎2‎=‎25,AB2=52=25,‎ ‎∴AC2+BC2=AB2,‎ ‎∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,‎ ‎∴BC⊥AC,‎ ‎∵AC为半圆O的直径,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴BC是半圆O的切线;‎ ‎(2)解:四边形OBCD是平行四边形,理由是:‎ 如图1,由(1)得:BC=OD=OA‎=‎‎5‎,‎ ‎∵OD∥BC,‎ ‎∴四边形OBCD是平行四边形;‎ ‎(3)解:①如图2,由(1)知:OD=OA‎=‎‎5‎,E是AB的中点,且E(‎1‎‎2‎,﹣1),OE‎=‎‎5‎‎2‎,‎ 过D作DN⊥y轴于N,则DN∥EM,‎ ‎∴△ODN∽△OEM,‎ ‎∴ONOM‎=DNEM=‎ODOE,即ON‎1‎‎=DN‎1‎‎2‎=‎‎5‎‎5‎‎2‎,‎ ‎∴ON=2,DN=1,‎ ‎∴N(﹣1,2),‎ 设此抛物线的解析式为:y=a(x‎-‎‎1‎‎2‎)2﹣1,‎ 把N(﹣1,2)代入得:2=a(﹣1‎-‎‎1‎‎2‎)2﹣1,‎ 解得:a‎=‎‎4‎‎3‎,‎ ‎∴此抛物线的解析式为:y‎=‎‎4‎‎3‎(x‎-‎‎1‎‎2‎)2﹣1,即y‎=‎4‎‎3‎x‎2‎-‎4‎‎3‎x-‎‎2‎‎3‎;‎ ‎②存在,‎ 过D作DG⊥EP于G,设Q的横坐标为x,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∵DG=1‎+‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎,EG=2+1=3,‎ ‎∴DE‎=DG‎2‎+EG‎2‎=‎(‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎5‎‎2‎,‎ tan∠DEG‎=DGEG=‎3‎‎2‎‎3‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∵tan∠OAM‎=OMAM=‎‎1‎‎2‎,且∠DEG和∠OAM都是锐角,‎ ‎∴∠DEG=∠OAM,‎ 如图3,当△EPD∽△AOB时,EPAO‎=‎DEAB,即EP‎5‎‎=‎‎3‎‎5‎‎2‎‎5‎,‎ ‎∴EP‎=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∵S△AOB‎=‎1‎‎2‎AB⋅OM=‎1‎‎2‎×5×1=‎‎5‎‎2‎,‎ ‎∵S△EPQ=S△OAB,‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎⋅EP⋅|x-‎1‎‎2‎|=‎‎5‎‎2‎,‎ 即‎1‎‎2‎‎×‎3‎‎2‎×|x-‎1‎‎2‎|=‎‎5‎‎2‎,‎ 解得:x‎=‎‎23‎‎6‎或‎-‎‎17‎‎6‎;‎ 如图4,当△OAB∽△DEP时,ABEP‎=‎OADE,即‎5‎EP‎=‎‎5‎‎3‎‎5‎‎2‎,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴EP‎=‎‎15‎‎2‎,‎ 同理得:‎1‎‎2‎‎⋅‎15‎‎2‎⋅|x-‎1‎‎2‎|=‎‎5‎‎2‎,‎ 解得:x‎=‎‎7‎‎6‎或‎-‎‎1‎‎6‎;‎ 综上,存在符合条件的点Q,Q点的横坐标为‎23‎‎6‎或‎-‎‎17‎‎6‎或‎7‎‎6‎或‎-‎‎1‎‎6‎.‎ 第27页(共27页)‎
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