2015年上海市中考数学试卷及答案(Word版)

2015年上海市中考数学试卷及答案(Word版)

‎2015年上海市初中毕业统一学业考试 数学试卷 考生注意：‎ ‎1．本试卷含三个大题，共25题；‎ ‎2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；‎ ‎3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1． 下列实数中，是有理数的为（ ）‎ ‎ ．； ．； ．； ．．‎ ‎2． 当时，下列关于幂的运算正确的是（ ）‎ ‎ ．； ．； ．； ．．‎ ‎3． 下列关于的函数中，是正比例函数的为（ ）‎ ‎ ．； ．； ．； ．．‎ ‎4． 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是（ ）‎ ‎ ．4； ．5； ．6； ．7．‎ ‎5． 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ）‎ ‎ ．平均数； ．众数； ．方差； ．频率．‎ ‎6． 如图，已知在⊙中，是弦，半径，垂足为点，要使四边形为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）‎ ‎ ．； ．； ‎ ‎ ．； ．．‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎【请将结果直接填入答题纸的相应位置】‎ 7． ‎ 计算： ．‎ ‎8． 方程的解是 ．‎ ‎9． 如果分式有意义，那么的取值范围是 ．‎ ‎10．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是 ．‎ ‎11．同一温度的华氏度数与摄氏度数之间的函数关系是．如果某一温度的摄氏度数 是25，那么它的华氏度数是 ．‎ ‎12．如果将抛物线向上平移，使它经过点（0，3），那么所得新抛物线的表达式是 ．‎ ‎13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位 同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加此次活动的概率是 ．‎ ‎14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：‎ 年龄（岁）‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 人数 ‎5‎ ‎5‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎12‎ 那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 岁．‎ ‎15．如图，已知在△中，、分别是边、边的中点，，，那么向量用向 量、表示为 ．‎ ‎16．已知是正方形的对角线上一点，，过点作的垂线，交边于点，那 么 度．‎ ‎17．在矩形中，，，点在⊙上．如果⊙与⊙相交，且点在⊙内，那么 ‎⊙的半径长可以等于 ．（只需写出一个符号要求的数）‎ ‎18．已知在△中，，．将△绕点旋转，使点落在原△的点处，此时点落在点处．延长线段，交原△的边的延长线于点，那么线段的长等于 ‎ ．‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（本题满分10分）‎ 先化简，再求值：，其中．‎ ‎20．（本题满分10分）‎ 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）‎ 已知，如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点的纵坐标为4，反比例函数的图像也经过点，第一象限内的点在这个反比例函数的图像上，过点作∥轴，交轴于点，且．‎ 求：（1）这个反比例函数的解析式；‎ ‎ （2）直线的表达式．‎ ‎22．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）‎ 如图，表示一段笔直的高架道路，线段表示高架道路旁的一排居民楼．已知点到的距离为15米，的延长线与相交于点，且，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．‎ ‎（1）过点作的垂线，垂足为点．如果汽车沿着从到的方向在上行驶，当汽车到达点处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点的距离为多少米？‎ ‎（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点时，它与这一排居民楼的距离为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：）‎ ‎23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）‎ 已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，联结．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）如果，求证：．‎ ‎24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）‎ 已知在平面直角坐标系中（如图），抛物线与轴的负半轴相交于点，与轴相交于点，．点在抛物线上，线段与轴的正半轴相交于点，线段与轴相交于点．设点的横坐标为．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）用含的代数式表示线段的长度；‎ ‎（3）当时，求的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）‎ 已知：如图，是半圆的直径，弦∥，动点、分别在线段、上，且，的延长线与射线相交于点，与弦相交于点（点与点、不重合），，．设，△的面积为．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求关于的函数关系式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）当△是直角三角形时，求线段的长．‎ ‎2015年上海市初中毕业统一学业考试 数学试卷参考答案 一、 选择题 ‎1、D； 2、A； 3、C； 4、B； 5、C； 6、B 二、 填空题 ‎7、4； 8、2； 9、 ； 10、 ； 11、77； 12、 ； 13、；‎ ‎14、14； 15、 ； 16、22.5； 17、14等（大于13且小于18 的数）； 18、．‎ 三、 解答题 ‎19．解：原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，原式 ‎20．解：由，得 ‎ 由 ，得 ‎ 原不等式组的解集是.‎ ‎ ‎ 21． 解：（1）∵正比例函数的图像经过点A，点A的纵坐标为4，‎ ‎ ∴ ∴ ∴点A的坐标是 ‎ ∵反比例函数的图像经过点A，‎ ‎ ∴ ，‎ ‎ ∴反比例函数的解析式为 ‎ ‎ （2）∵，∴点A在线段BC的中垂线上.‎ ‎ ∵轴，点C在y轴上，点A的坐标是，∴点B的横坐标为6.‎ ‎ ∵点B在反比例函数的图像上，∴点B的坐标是.‎ ‎ 设直线AB的表达式为 ，将点A、B代入表达式得：‎ ‎ 解得 ‎ ‎ ∴直线AB的表达式为.‎ ‎22．解：（1）联结AP.由题意得 .‎ ‎ 在中，得.‎ ‎ 答：此时汽车与点H的距离为36米.‎ ‎ （2）由题意可知，PQ段高架道路旁需要安装隔音板，，‎ ‎ .‎ ‎ 在中，.‎ ‎ 在中，，‎ ‎ ∴.‎ ‎ 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长.‎ ‎23．证明：（1）∵.‎ ‎ ∵平行四边形的对角线相交于点O，∴.‎ ‎ ∴. ∴.‎ ‎ 在中，∵‎ ‎ ∴ 即.‎ ‎ （2）∵，∵.‎ ‎ 又∵ ‎ ‎ ‎ ‎ 在和中：‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ ∴ ‎ ‎24．（1）由抛物线与y轴相交于点B， 得点B的坐标为(0,-4)‎ ‎ ∵ 点A在x轴的负半轴上， ， ∴ 点A的坐标为(-2,0)‎ ‎ ∵ 抛物线与x轴相交于点A， ∴ ‎ ‎ ∴ 这条抛物线的表达式为 ‎ （2）∵点P在抛物线上，它的横坐标为m，∴ 点P的坐标为 ‎ ‎ 由题意，得点P在第一象限内，因此 ‎ ‎ 过点P作PH⊥x轴，垂足为H ‎ ∵ CO∥PH， ∴ ‎ ‎ ∴， 解得 ‎ ‎ （3）过点P作PG⊥y轴，垂足为点G ‎ ∵ OD∥PG， ∴‎ ‎ ∴ ， 即 ‎ ‎ 在Rt△ODC中， ∵ ‎ ‎ ∴ ， 解得或（舍去）。‎ ‎ ∴ CO=2‎ ‎ 在Rt△AOC中， ‎ ‎ ∴ ，即∠PAD的正弦值为 ‎25 ．（1）证明：联结OD ‎ ∵ CD∥AB， ∴∠C＝∠AOP ‎ ∵ OC＝OD， ∴∠C＝∠D， ∴ ∠AOP＝∠D，‎ ‎ 又∵ AO＝OD， OP＝DQ， ∴ △AOP≌△ODQ， ∴ AP＝OQ ‎ （2）解：∵ CD∥AB， ∴ ∠CFP＝∠A ‎ ∵△AOP≌△ODQ， ∴ ∠A＝DOQ， ∴ ∠CFP＝∠DOQ ‎ 又∵ ∠C＝∠D， ∴ △CFP∽△DOQ ‎ ∴ ‎ ‎ 过点O作OH⊥CD，垂足为点H。‎ ‎ ∵ ， ‎ ‎ ∴ CH=8，OH=6，CD=16‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∵ CP=10-x， ∴ ‎ ‎ ∴ 所求函数的解析式为 ，即，定义域为 ‎ ‎ （3）解：∵ CD∥AB， ∴ ∠EOA＝∠DQO ‎ 又∵ ∠A＝∠DOQ， ∴ ∠AEO＝∠D≠90°‎ ‎ 所以当△OPE是直角三角形时，只可能是∠POE＝90°或∠OPE＝90°‎ ‎ ①当∠POE＝90°时，‎ ‎ 在RT△OCQ中，， ∴ ‎ ‎ ∵ CD=16， ∴ ‎ ‎ ∵ ， 所以不合题意，舍去。‎ ‎ ②当∠OPE＝90°时，得∠DQO＝∠OPA＝90°‎ ‎ ∵ 点Q为CD的中点，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 综上所述：当△OPE是直角三角形时，线段OP的长是8.‎