长春市中考数学试卷2017带答案解析

长春市中考数学试卷2017带答案解析

‎2017年吉林省长春市中考数学试卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.‎ ‎1．（3分）3的相反数是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣‎1‎‎3‎ C．‎1‎‎3‎ D．3‎ ‎2．（3分）据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．67×106 B．6.7×105 C．6.7×107 D．6.7×108‎ ‎3．（3分）下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）不等式组‎&x-1≤0‎‎&2x-5＜1‎的解集为（　　）‎ A．x＜﹣2 B．x≤﹣1 C．x≤1 D．x＜3‎ ‎5．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（　　）‎ A．54° B．62° C．64° D．74°‎ ‎6．（3分）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（　　）‎ 第18页（共18页）‎ A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b ‎7．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为（　　）‎ A．29° B．32° C．42° D．58°‎ ‎8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：DC=3：1．若函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（　　）‎ A．‎3‎‎3‎ B．‎3‎‎2‎ C．‎2‎‎3‎‎3‎ D．‎‎3‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）‎ 第18页（共18页）‎ ‎9．（3分）计算：‎2‎×‎3‎=　 　．‎ ‎10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是　 　．‎ ‎11．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为　 　．‎ ‎12．（3分）如图，则△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC=4，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交BC于点D，则AD的长为　 　．（结果保留π）‎ ‎13．（3分）如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为　 　．‎ ‎14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△‎ 第18页（共18页）‎ ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为　 　．‎ 三、解答题（本大题共10小题，共78分.）‎ ‎15．（6分）先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中a=2．‎ ‎16．（6分）一个不透明的口袋中有一个小球，上面分别标有字母a，b，c，每个小球除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图（或列表）的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．‎ ‎17．（6分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅的距离AC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）‎ ‎18．（7分）某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．‎ 第18页（共18页）‎ ‎19．（7分）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数．‎ ‎20．（7分）某校八年级学生会为了解本年级600名学生的睡眠情况，将同学们某天的睡眠时长t（小时）分为A，B，C，D，E（A：9≤t≤24；B：8≤t＜9；C：7≤t＜8；D：6≤t＜7；E：0≤t＜6）五个选项，进行了一次问卷调查，随机抽取n名同学的调查问卷并进行了整理，绘制成如下条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）根据统计结果，估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数．‎ 第18页（共18页）‎ ‎21．（8分）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从幵始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．‎ ‎（1）甲车间每小时加工服装件数为　 　件；这批服装的总件数为　 　件．‎ ‎（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．‎ ‎22．（9分）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE=‎1‎‎2‎BC．（不需要证明）‎ ‎【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．‎ ‎【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：　 　．（只添加一个条件）‎ ‎（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为　 　．‎ 第18页（共18页）‎ ‎23．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒‎4‎‎3‎个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．‎ ‎（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）‎ ‎（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；‎ ‎（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．‎ ‎24．（12分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜‎ 第18页（共18页）‎ ‎0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=‎&-x+1(x＜0)‎‎&x-1(x≥0)‎．‎ ‎（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；‎ ‎（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣‎1‎‎2‎．①当点B（m，‎3‎‎2‎）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；‎ ‎②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣‎1‎‎2‎的相关函数的最大值和最小值；‎ ‎（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣‎1‎‎2‎，1），（‎9‎‎2‎，1}），连结MN．直接写出线段MN与二 次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．‎ ‎　‎ 第18页（共18页）‎ ‎2017年吉林省长春市中考数学试卷 一、选择题：‎ ‎1．A．2．C．3．D 4．C．5．C．6．A．7．B．8．D．‎ 二、填空题 ‎9．‎6‎．10．4．11．6．12．‎8π‎9‎．13．10．14．（﹣1，﹣2）．‎ 三、解答题 ‎15．解：原式=3a3+6a2+3a﹣2a2﹣4a﹣2=3a3+4a2﹣a﹣2，‎ 当a=2时，原式=24+16﹣2﹣2═36．‎ ‎16．解：列表如下：‎ ‎ ‎ a b c a ‎（a，a）‎ ‎（b，a）‎ ‎（c，a）‎ b ‎（a，b）‎ ‎（b，b）‎ ‎（c，b）‎ c ‎（a，c）‎ ‎（b，c）‎ ‎（c，c）‎ 所有等可能的情况有9种，其中两次摸出的小球的标号相同的情况有3种，‎ 则P=‎3‎‎9‎=‎1‎‎3‎．　‎ ‎17．解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．‎ 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，‎ ‎∴AC=AB•cos∠BAC=12×0.857≈10.3（米）．‎ 即大厅的距离AC的长约为10.3米．‎ ‎18．解：设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，‎ 第18页（共18页）‎ 依题意得：‎750‎x﹣‎900‎‎3x=30，‎ 解方程，得x=15．‎ 经检验：x=15是原方程的根，且符合题意．‎ 答：跳绳的单价是15元．‎ ‎19．解：∵菱形ABCD，‎ ‎∴BC=CD，∠BCD=∠A=110°，‎ 由旋转的性质知，CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，‎ ‎∴∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，‎ 在△BCE和△DCF中，‎&BC=CD‎&∠BCE=∠DCF‎&CE=CF，‎ ‎∴△BCE≌△DCF， ∴∠F=∠E=86°．‎ ‎20．解：（1）n=12+24+15+6+3=60；‎ ‎（2）（6+3）÷60×600=90，‎ 答：估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数为90人．‎ ‎21．解：（1）甲车间每小时加工服装件数为720÷9=80（件），‎ 这批服装的总件数为720+420=1140（件）．‎ 故答案为：80；1140．‎ ‎（2）乙车间每小时加工服装件数为120÷2=60（件），‎ 乙车间修好设备的时间为9﹣（420﹣120）÷60=4（时）．‎ ‎∴乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=120+60（x﹣4）=60x﹣120（4≤x≤9）．‎ 第18页（共18页）‎ ‎（3）甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=80x，‎ 当80x+60x﹣120=1000时，x=8．‎ 答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时．‎ ‎22．解：【探究】平行四边形．‎ 理由：如图1，连接AC， ∵E是AB的中点，F是BC的中点，‎ ‎∴EF∥AC，EF=‎1‎‎2‎AC， 同理HG∥AC，HG=‎1‎‎2‎AC，‎ 综上可得：EF∥HG，EF=HG， 故四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎【应用】（1）添加AC=BD，‎ 理由：连接AC，BD，同（1）知，EF=‎1‎‎2‎AC，‎ 同【探究】的方法得，FG=‎1‎‎2‎BD，‎ ‎∵AC=BD， ∴EF=FG，‎ ‎∵四边形EFGH是平行四边形， ∴▱EFGH是菱形；‎ 故答案为AC=BD；‎ ‎（2）如图2，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，‎ ‎∵F，G是BC，CD的中点，‎ ‎∴FG∥BD，FG=‎1‎‎2‎BD， ∴△CFG∽△CBD，‎ ‎∴S‎△CFGS‎△BCD‎=‎‎1‎‎4‎， ∴S△BCD=4S△CFG，‎ 同理：S△ABD=4S△AEH，‎ ‎∵四边形ABCD面积为5， ∴S△BCD+S△ABD=5，‎ 第18页（共18页）‎ ‎∴S△CFG+S△AEH=‎5‎‎4‎， 同理：S△DHG+S△BEF=‎5‎‎4‎，‎ ‎∴S四边形EFGH=S四边形ABCD﹣（S△CFG+S△AEH+S△DHG+S△BEF）=5﹣‎5‎‎2‎=‎5‎‎2‎，‎ 设AC与FG，EH相交于M，N，EF与BD相交于P，‎ ‎∵FG∥BD，FG=‎1‎‎2‎BD，‎ ‎∴CM=OM=‎1‎‎2‎OC，‎ 同理：AN=ON=‎1‎‎2‎OA，‎ ‎∵OA=OC， ∴OM=ON，‎ 易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，‎ ‎∴S阴影=‎1‎‎2‎S四边形EFGH=‎5‎‎4‎，‎ 故答案为‎5‎‎4‎．‎ ‎23．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，‎ ‎∴AC=AB‎2‎-BC‎2‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=8，‎ 第18页（共18页）‎ ‎∵CQ=‎4‎‎3‎t，‎ ‎∴AQ=8﹣‎4‎‎3‎t（0≤t≤4）．‎ ‎（2）①当PQ∥BC时，APAB=AQAC，‎ ‎∴‎5t‎10‎=‎8-‎4‎‎3‎t‎8‎，‎ ‎∴t=‎3‎‎2‎s．‎ ‎②当PQ∥AB时，CQCA=CPCB，‎ ‎∴‎4‎‎3‎t‎8‎=‎6-3(t-2)‎‎6‎，‎ ‎∴t=3，‎ 综上所述，t=‎3‎‎2‎s或3s时，当PQ与△ABC的一边平行．‎ ‎（3）①如图1中，a、当0≤t≤‎3‎‎2‎时，重叠部分是四边形PEQF．‎ S=PE•EQ=3t•（8﹣4t﹣‎4‎‎3‎t）=﹣16t2+24t．‎ 第18页（共18页）‎ b、如图2中，当‎3‎‎2‎＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．‎ S=S四边形PEQF﹣S△PFN=（16t2﹣24t）﹣‎1‎‎2‎•‎4‎‎5‎（‎16‎‎3‎t﹣8）•‎3‎‎5‎（‎16‎‎3‎t﹣8）=‎688‎‎75‎t2﹣‎88‎‎25‎t﹣‎384‎‎25‎．‎ C、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．‎ S=S四边形PBQFS△FNM=‎4‎‎3‎t•[6﹣3（t﹣2）]﹣‎1‎‎2‎•[‎4‎‎3‎t﹣4（t﹣2）]•‎3‎‎4‎[‎4‎‎3‎t﹣4（t﹣2）]=﹣‎20‎‎3‎t2+30t﹣24．‎ 综上所述，S=‎{‎‎-16t‎2‎+24t‎(0≤t≤‎3‎‎2‎)‎‎688‎‎75‎t‎2‎‎-‎88‎‎25‎t-‎‎384‎‎24‎‎(‎3‎‎2‎＜t≤2)‎‎-‎20‎‎3‎t‎2‎+30t-24‎‎(2＜t≤3)‎．‎ ‎②‎ 第18页（共18页）‎ a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．‎ 则有（3﹣3t）：（3﹣‎4‎‎3‎t）=1：2，解得t=‎9‎‎14‎s，‎ b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．‎ ‎∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，‎ ‎∴（3t﹣3）：（3﹣‎4‎‎3‎t）=1：3，‎ 解得t=‎36‎‎31‎s，‎ 综上所述，当t=‎9‎‎14‎s或‎36‎‎31‎s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．‎ ‎24．解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=‎&-ax+3(x＜0)‎‎&ax-3(x≥0)‎，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．‎ 第18页（共18页）‎ ‎（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣‎1‎‎2‎的相关函数为y=‎‎&x‎2‎-4x+‎1‎‎2‎(x＜0)‎‎&-x‎2‎+4x-‎1‎‎2‎(x≥0)‎ ‎①当m＜0时，将B（m，‎3‎‎2‎）代入y=x2﹣4x+‎1‎‎2‎得m2﹣4m+‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎，解得：m=2+‎5‎（舍去）或m=2﹣‎5‎．‎ 当m≥0时，将B（m，‎3‎‎2‎）代入y=﹣x2+4x﹣‎1‎‎2‎得：﹣m2+4m﹣‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎，解得：m=2+‎2‎或m=2﹣‎2‎．‎ 综上所述：m=2﹣‎5‎或m=2+‎2‎或m=2﹣‎2‎．‎ ‎②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+‎1‎‎2‎，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，‎ ‎∴此时y的最大值为‎43‎‎2‎．‎ 当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣‎1‎‎2‎，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣‎1‎‎2‎，当x=2时，有最大值，最大值y=‎7‎‎2‎．‎ 综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣‎1‎‎2‎的相关函数的最大值为‎43‎‎2‎，最小值为﹣‎1‎‎2‎；‎ ‎（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．‎ 第18页（共18页）‎ 所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．‎ 如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点 ‎∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，‎ ‎∴﹣n=1，解得：n=﹣1．‎ ‎∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．‎ 如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．‎ 第18页（共18页）‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1），‎ ‎∴n=1．‎ 如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．‎ ‎∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣‎1‎‎2‎，1），‎ ‎∴‎1‎‎4‎+2﹣n=1，解得：n=‎5‎‎4‎．‎ ‎∴1＜n≤‎5‎‎4‎时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．‎ 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤‎5‎‎4‎．‎ ‎　‎ 第18页（共18页）‎