2020年中考数学专题复习:全等到相似的转化

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2020年中考数学专题复习:全等到相似的转化

全等到相似的转化[中%国教*~育^出版网@]‎ 知识互联网 ‎[来源:~z*zs&tep.c#om^]‎ ‎[来&源~:*zzstep.co@m%]‎ 题型一:全等到相似的转化(对称型)‎ ‎[来~#源%*:^中国教育出版网]‎ 典题精练 已知正方形的边长为,点是射线上的一个动点,连接交射线于点,将沿直线翻折,点落在点处.‎ ‎⑴ 当时,______,[w~ww.z#zs^te%p@.com]‎ 第 13 页 共 14 页 ‎⑵ 当时,求的值;‎ ‎⑶ 当时(点与点不重合),请写出翻折后与正方形公共部分的面积与的关系式,(只要写出结论,不要解题过程).‎ ‎⑴ 6 ;‎ ‎⑵ ① 如图1,当点在上时,延长交于点,‎ ‎∵,∴,∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,∴.‎ 又,∴.∴.[w#ww.zzs%t*ep^.co@m]‎ 设,则,.[来~源:zz*^ste%@p.com]‎ 在中,由勾股定理得:‎ ‎,解得.∴.‎ ‎∴;‎ ‎② 如图2,当点在延长线上时,延长交于点,‎ 同①可得.‎ 设,则.‎ 在中,由勾股定理,得 ‎,解得.∴.‎ ‎∴.‎ ‎⑶ ① 当点在上时,;[来源&:中教网@*#^]‎ ‎(所求的面积即为的面积,再由相似表示出边长)‎ 第 13 页 共 14 页 ‎② 当点在延长线上时,.‎ ‎[中国#&教育出*版网@~]‎ 题型二:全等到相似的转化(旋转型)‎ 典题精练 在和中,,,,、交于点.‎ ‎⑴ 如图1,,则 ,与的数量关系是 ;‎ ‎[来源:zzs%t&ep~.#co@m]‎ ‎⑵ 如图2,,则的度数为____(用含的式子表示),与之间的数量关系是_____;填写你的结论,并给出你的证明;‎ ‎⑶ 请你继续完成下面探索:‎ 如图3,在和中,,,,则的度数为 ________(用含的式子表示),与之间的数量关系是______;填写你的结论,并给予证明.‎ 此题考察学生对共顶点的三角形的全等与相似.解决这里夹角的主要思路是我们常见的模型“八字角”.‎ ‎⑴ ,相等;‎ ‎⑵,相等;[中国教育出%版网^@*&]‎ 第 13 页 共 14 页 ‎∵,∴[中~国&^教育出#*版网]‎ ‎∴,∴,‎ ‎∵,∴‎ ‎∵,∴,∴.‎ ‎⑶ ,.‎ 易证,∴,‎ ‎∵,∴,∴,[来#^源:@中国教育出版~网*]‎ ‎∴.[www&.z~z*st%ep.com#]‎ ‎[来源:^zzste~p.%com@&]‎ 如图,直线与线段相交于点, 点和点在直线上,且.‎ ‎⑴ 如图1所示,当点与点重合时 ,且,请写出与的数量关系和位置关系;‎ ‎⑵ 将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置,,⑴中的与的数量关系和位置关系是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎⑶ 将图2中的拉长为的倍得到如图3,求的值.‎ ‎【答案】⑴ ;‎ 第 13 页 共 14 页 ‎⑵ 仍然成立.‎ 证明: 过点作于,过点作于 ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴≌‎ ‎∴[来源:*中@教#&网~]‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ 延长与的延长线相交点 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎⑶ 过点作于,过点作于 易证[来源:中&*国^教育出#版网@]‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ .‎ 由⑵知 .‎ 第 13 页 共 14 页 ‎ .‎ 如图,是由绕点顺时针旋转得到的,连结交斜边于点,的延长线交于点.‎ ‎⑴ 证明:;‎ ‎⑵ 设,,试探索、满足什么关系时,与是全等三角形,并说明理由.‎ ‎[ww&w^.zzstep*#.co@m]‎ ‎⑴ 证明:∵是由绕点顺时针旋转得到的,‎ ‎∴,,[www.#zzst&*e~p.c@om]‎ ‎∴‎ ‎∴[来源:中@#国教*育出版~网^]‎ 又 ‎∴‎ ‎⑵ 解:当时,[来~源*:中国教育出版^&@网]‎ 在¢中,∵‎ ‎∴‎ 在中,‎ ‎,即,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ 第 13 页 共 14 页 ‎∴‎ 由⑴知:,‎ ‎∴.[中国教育&出^*@版网#]‎ 如图,正方形的对角线与相交于点,正方形与正方形全等,射线与不过、、、四点且分别交BC.CD的边于、两点.[来#%&源*:@中教网]‎ ‎⑴ 求证:;‎ ‎⑵ 若将原题中的正方形改为矩形,且,其他条件不变,探索线段与[中国教育出%~*#版网^]‎ 线段的数量关系.[w#ww.zz@s^tep%~.com]‎ ‎[www.z%#z&ste^p@.com]‎ ‎⑴ 证明:过点作于点,于点.‎ ‎∴.‎ ‎∵为正方形对角线、的交点,‎ ‎∴.‎ 第 13 页 共 14 页 又∵‎ ‎∴‎ 在和中 ‎[来源:中~^&国#教育出版网@]‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎⑵ 解:当交于点,交于点时.‎ 过点作于点,于点H.‎ ‎∴∠MGE=∠MHF=.[来源:@~&中#教网^]‎ ‎∵M为矩形对角线AC.BD的交点,‎ ‎∴∠EMG+∠GMQ =∠HMF +∠GMQ=.‎ ‎∴∠EMG =∠HMF.‎ 在△MGE和△MHF中,‎ ‎∴△MGE∽△MHF.‎ ‎∴.‎ ‎∵M为矩形对角线AC.BD的交点,∴MB=MD=MC 又∵MG⊥BC,MH⊥CD,∴点G、H分别是BC.DC的中点.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴.[来%~源:中教*^网&]‎ 如图,是两个全等的等腰直角三角形,,的顶点 第 13 页 共 14 页 与的斜边的中点重合.将绕点旋转,旋转过程中,线段与线段相交于点,线段与射线相交于点.‎ ‎(1)如图①,当点在线段上,且时,求证:;‎ ‎(2)如图②,当点在线段的延长线上时,求证:;并求当,时,两点间的距离 (用含的代数式表示).‎ ‎【解析】(1)证明:∵是等腰直角三角形,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∵的中点,‎ ‎∴,[来&源:#中教^%网~]‎ 在中,‎ ‎∴‎ ‎∴;‎ ‎(2)解:连接,‎ ‎∵是两个全等的等腰直角三角形,‎ 第 13 页 共 14 页 ‎∴,‎ ‎∵,‎ 即,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 在中,.‎ 复习巩固 题型一 全等到相似的转化(对称型)‎ 如右图,在正方形ABCD中,AB=1,BE⊥AP于E,DF⊥AP于F,‎ 若= m(m为常数),则= .‎ 如图,已知,,,以为边作矩形ABCD,使 第 13 页 共 14 页 ‎,过点D作DE垂直OA的延长线交于点E.[ww#w~.z%zst@ep^.com]‎ O B C A E D ‎ ‎ ‎⑴ 当a为何值时,?请说明理由,并求此时点C到OE的距离.‎ ‎⑵ 当a为何值时,C到OE的距离是15?[中国^*教育#&~出版网]‎ ‎⑴ 当时,‎ ‎∵,,∴,当时,,∵‎ ‎,∴‎ 过作,过作.‎ ‎∵为矩形.‎ 又∵,∴为正方形 ‎∴,,[中国^教@&育出版%网*]‎ ‎∴,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎⑵ 当时,到的距离是15;‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,∴,∴‎ ‎[中*国教%@育~出版^网]‎ 第 13 页 共 14 页 题型二 全等到相似的转化(旋转型)‎ 现有一副直角三角板,按下列要求摆放:‎ ‎⑴ 如图1,固定等腰直角三角板,于,另一个直角三角板的直角顶点与重合,现让三角板绕点旋转,保证、分别交、于点、.试探求的值;‎ ‎⑵ 如图2,交换两块三角板的位置,固定直角三角板,于,另一个等腰直角三角板的直角顶点与点重合,、分别交、于点,,试问的值又将如何变化?‎ ‎ ‎ ‎⑴ ,,,得,.[来#%源:^~中教网&]‎ ‎⑵由,得,又由,得,故.‎ 如图1,在中,,,是边上一点,是边上 的一个动点(与点、不重合),,与射线相交于点.‎ ‎⑴如图2,如果点是边的中点,求证:;‎ ‎⑵如果,求的值.‎ 第 13 页 共 14 页 ‎ ‎ ‎⑴ 如图,连结,那么是等腰直角三角形的斜边上的高.‎ 根据“角边角”可以证明,从而得到.‎ ‎⑵ 如图,作,,垂足分别为点、,‎ 那么与都是等腰直角三角形,.‎ 因为与都是的余角,‎ 所以.[来源~%:zzs#t*ep.co&m]‎ 又因为,‎ 所以.‎ 因此.‎ 填空或解答:点B.C.E在同一直线上,点A.D在直线CE的同侧,,,‎ ‎,直线AE.BD交于点F.‎ ‎⑴ 如图1,若,则_________;如图2,若,则 ‎_________;‎ ‎⑵ 如图3,若,则_________(用含的式子表示);‎ ‎⑶ 将图3中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A.B重合),得图4或图5.在图4中,‎ 与的数量关系是___________;在图5中,与的数量关系是___________.请你任选其中一个结论证明.‎ 第 13 页 共 14 页 A A A B B B C C C D D D E E E F F F 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎[中^国教#育出~版&*网]‎ A A B B C C D D E E F F 图4‎ 图5‎ ‎ Q ‎⑴ ,;‎ ‎⑵ ;[来#源:~中国%教*育@出版网]‎ ‎⑶ 图4中:;‎ 图5中:.‎ 的证明如下:‎ 如图4,设与的交点为[中国教育%出版网@~#*]‎ ‎∵,,.‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,得[来%@源&:^中~教网]‎ ‎∵‎ ‎∴.[来&源@:~中教^#网]‎ 第 13 页 共 14 页
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