北京市各区中考二模试题分类汇编切线与圆含答案

北京市各区中考二模试题分类汇编切线与圆含答案

初三数学分类试题—切线与圆 西城1．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．‎ ‎ (1) 求证：DE⊥AC；‎ ‎(2) 连结OC交DE于点F，若，求的值．‎ 海淀2.如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，,以AB为直径的⊙交AC于点D，交EB于点F.‎ ‎(1)求证：BC与⊙O相切；‎ ‎(2)若,求AC的长．‎ 东城3．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．‎ ‎ （1）求证：AP是⊙O的切线；‎ ‎ （2）求PD的长．‎ 朝阳4．如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD＝∠C，以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F. ‎ ‎（1）求证：直线BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接EF，若tan∠AEF＝，AD＝4，求BD的长.‎ 房山5. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP.‎ ‎（1）求证：直线CP是⊙O的切线；‎ 第5题图 ‎（2）若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半径及△ACP的周长.‎ 门头沟6．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC ． ‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）过点O作OF∥AD，分别交BD、CD于点E、‎ F．若OB =2，求 OE和CF的长．‎ 怀柔7．已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．‎ ‎⑴判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎‎7题图 ‎⑵若⊙O的直径为18，cosB =，求DE的长．‎ 解：‎ ‎ 大兴8．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．‎ 求证：（1）∠AOC=2∠ACD；‎ ‎（2）AC2＝AB·AD．‎ 丰台9．已知：如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为点D．‎ A B P O C D E ‎（1）求证：CD与⊙O相切；‎ ‎（2）若tan∠ACD=，⊙O的直径为10，求AB的长．‎ 石景山10．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．‎ ‎（1）求证：点E为BC中点；‎ ‎（2）若tanEDC=，AD=，求DE的长．‎ 解：‎ 昌平11. 如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC.‎ ‎（1）求证：AP是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AC=3，求PD的长. ‎ 密云12．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E.‎ ‎ （1）求证：AC平分∠DAB；‎ ‎ （2）若∠B=60°，CD=，求AE的长。‎ O A B C P 顺义13．已知：如图，是RtABC的外接圆，ABC=90，点P是外一点，PA切于点A，且PA=PB．‎ ‎（1）求证：PB是的切线； ‎ ‎（2）已知PA=，BC=2，求的半径．‎ 参考答案 ‎1．(1)证明：连接OD . ‎ ‎∵DE是⊙O的切线，‎ ‎ ∴DE⊥OD，即∠ODE=90° . ……………………………………………1分 ‎ ∵AB是⊙O的直径，‎ ‎ ∴O是AB的中点.‎ ‎ 又∵D是BC的中点， .‎ ‎ ∴OD∥AC . ‎ ‎∴∠DEC=∠ODE= 90° .‎ ‎∴DE⊥AC . ………………………… 2分 ‎ (2)连接AD .‎ ‎∵OD∥AC，‎ ‎∴. ………………… 3分 ‎ ∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB= ∠ADC =90° .‎ ‎ 又∵D为BC的中点，‎ ‎∴AB=AC.‎ ‎∵sin∠ABC= =，‎ ‎ 故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4分 ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴∠ADC= ∠AED= 90°.‎ ‎∵∠DAC= ∠EAD，‎ ‎∴△ADC∽△AED.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴. …………‎ ‎2. (1)证明：连接. ‎ ‎∵为直径，‎ ‎∴∠.‎ ‎∵，‎ ‎∴△为等腰三角形.‎ ‎∴∠∠.‎ ‎∵， ‎ ‎∴∠∠ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－1分 ‎∴∠∠∠∠.‎ ‎∴∠ .‎ ‎∴与⊙相切. －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分 ‎(2) 解：过作于点 ‎∠∠，‎ ‎∴.‎ 在△中，∠，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠－－－－－－－－－－－－－－3分 ‎∴.‎ 在△中，∠，‎ ‎∴－－－－－－－－－－－－4分 ‎∵，⊥，‎ ‎∴∥‎ ‎∴△∽△‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎321．解：（1）证明：连接OA．‎ ‎∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°．‎ 又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°．‎ ‎∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°．‎ ‎∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP．‎ ‎∴ AP是⊙O的切线． …………………2分 ‎（2）解：连接AD．‎ ‎∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°．‎ ‎∴AD=AC•tan30°=．‎ ‎∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°．∴∠P=∠PAD．‎ ‎∴PD=AD=． …………………5分 ‎4. （1）证明：在△ABC中， ‎ ‎∵AC=BC，‎ ‎∴∠ CAB = ∠B.‎ ‎∵∠ CAB +∠B+∠C＝180º，‎ ‎∴2∠B+∠C＝180º.‎ ‎∴＝90º. ……………………………………………………1分 ‎∵∠BAD＝∠C，‎ ‎∴＝90º.‎ ‎∴∠ADB＝90º.‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎∵AD为⊙O直径的，‎ ‎∴直线BC是⊙O的切线. …………………………………………………2分 ‎（2）解：如图，连接DF，‎ ‎∵AD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AFD = 90º. ……………………………………………………………………3分 ‎∵∠ADC＝90º，‎ ‎∴∠ADF+∠FDC＝∠CD+∠FDC＝90º.‎ ‎∴∠ADF＝∠C. …………………………………………………………………4分 ‎∵∠ADF＝∠AEF，tan∠AEF＝，‎ ‎∴tan∠C＝tan∠ADF＝.‎ 在Rt△ACD中，‎ 设AD＝4x，则CD＝3x.‎ ‎∴‎ ‎∴BC＝5x，BD＝2x.‎ ‎∵AD＝4，‎ ‎∴x＝1.‎ ‎∴BD＝2. ………………………5分 ‎5.证明：（1）连接AN，‎ ‎∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，‎ ‎∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC，‎ ‎∴∠CAN=∠BAN，BN=CN， ‎ ‎∵∠CAB=2∠BCP，‎ ‎∴∠CAN=∠BCP， －－－－－－－－－1分 ‎∵∠CAN＋∠ACN=90°，‎ ‎∴∠BCP＋∠ACN=90°，‎ ‎∴CP⊥AC ‎∵OC是⊙O的半径 ‎∴CP是⊙O的切线. ‎ ‎6．（1）证明：连结OD．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°． ………………………………………………………1分 ‎∵∠A=30°， ∴∠ABD=60°．‎ ‎∵∠ABD=2∠BDC，‎ ‎∴∠BDC =．‎ ‎∵OD=OB，∴△ODB是等边三角形．‎ ‎ ∴∠ODB=60°．‎ ‎ ∴∠ODC=∠ODB+∠BDC =90°．‎ ‎∴CD是⊙O的切线．……………………………………………………… 2分 ‎（2）解： ∵OF∥AD，∠ADB=90°，‎ ‎∴OF⊥BD，∠BOE=∠A =30°． ………………………………………3分 ‎∵BD=OB=2，‎ ‎∴．‎ ‎∴．…………………………………………… 4分 ‎∵OD=OB=2，∠DOC=60°，∠DOF=30°，‎ ‎∴，．‎ ‎∴．‎ ‎7解：（1）DE与⊙O相切，理由如下：‎ 连接CD、OD ‎∵BC为直径， ‎‎7题图 ‎∴∠BDC=90°……………………1分 ‎∴CD， ‎ 又AC = BC ‎∴AD = BD……………………2分 ‎∴DO是△ABC的中位线 ‎∴DO∥AC ‎ ‎ 又∵DE；‎ ‎∴DE ……………………3分 ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵AC = BC ‎∴∠B =∠A ‎ ‎∴cos∠B = cos∠A =‎ ‎∵ cos∠B =， BC = 18，‎ ‎∴BD = 6 ……………………4分 ‎∴AD = 6 ‎ ‎∵ cos∠A = ‎ ‎ ∴AE = 2，‎ 在中，DE=．……………………5分 ‎8证明：‎ A. 连结BC，‎ ‎ ∵ AB是⊙O的直径，‎ ‎ ∴ ∠ABC = 90° .………………………………………1分 ‎ ∵ CD是⊙O的切线，‎ ‎ ∴ ∠OCD=90°. ……………‎ ‎ ∴ ∠ACD = ∠BCO .‎ ‎ ∵ OC=OB，‎ ‎ ∴∠BCO=∠B .‎ ‎ ∴∠AOC=∠BCO+∠B .‎ ‎ ∴ ∠AOC = 2∠BCO = 2∠ACD.……………………3分 A. 由（1）可知，△ACD和△ABC均为直角三角形，‎ ‎ ∴ 在中，‎ A B P O C D E G ‎ ∵ ∠AOC=2∠B，‎ ‎ ∴ ∠B=∠ACD，‎ ‎ ∴ Rt△ACD∽△Rt△ABC .…………………………4分 ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ ． ……‎ ‎9. （1）证明：连结OC. ‎ ‎∵ 点C在⊙O上，OA=OC，‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ，∴ ，有.‎ ‎∵ AC平分∠PAE，∴ ‎ ‎∴ －－－－－－－－－1分 ‎∴ ‎ ‎∵ 点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，‎ ‎∴ CD为⊙O的切线. －－－－－－－－－2分 ‎（2）解: 过点O作OG⊥AB于G.‎ ‎∵,,∴四边形OCDG是矩形.‎ ‎∴OG=CD, GD=OC. －－－－－－－－－3分 ‎∵ ⊙O的直径为10，∴OA=OC=5.∴DG=5.‎ ‎∵tan∠ACD，设AD=x, CD=2x ,则OG=2x.∴ AG=DG－AD=5－ x . ‎ 在中，由勾股定理知 ‎∴ 解得. －－－－－－－－4分 ‎ ‎∴ . －－－－－－－‎ ‎10解: (1)连结OD，‎ ‎ ∵AB为直径，∴∠ADB=90°，又∠ABC=90°，‎ ‎ ∴BC是⊙O切线 ………………………………………..1分 ‎ ∵DE是⊙O切线 ‎ ∴BE=DE，‎ ‎ ∴∠EBD=∠EDB，‎ ‎ ∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，‎ ‎ ∴DE=CE，‎ ‎ ∴BE=CE. ………………………………………..2分 ‎ (2) ∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，‎ ‎ ∴∠C=∠ABD=∠EDC，‎ ‎ Rt△ABD中，DB=， …………………………..3分 ‎ Rt△BDC中，BC=，………………………..4分 ‎ 又点E为BC中点，∴=3 .……………………………..5分 ‎11解：（1）证明:如图， 连接OA.‎ ‎∵∠B=600，‎ ‎∴∠AOC=2∠B=1200. …………… 1分 ‎∵OA=OC,‎ ‎∴∠ACP=∠CAO=300.‎ ‎∴∠AOP=600.‎ 又∵AP=AC ，‎ ‎∴∠P=∠ACP=300.‎ ‎∴∠OAP=900.‎ 即OA⊥AP. ……………………………………………………… 2分 ‎∵ 点O在⊙O上，‎ ‎∴AP是⊙O的切线. …………………………………………… 3分 ‎(2) 解：连接AD.‎ ‎∵CD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠CAD=900.‎ ‎∴AD=AC∙tan300=.………………………………………4分 ‎∵∠ADC=∠B=600，‎ ‎∴∠PAD=∠ADC－∠P=300.‎ ‎∴∠P=∠PAD.‎ ‎∴PD=AD=.…………‎ ‎12．（1）证明：如图1，连接OC，‎ ‎ ∵CD为⊙O的切线 ∴OC⊥CD ‎ ∵AD⊥CD ∴AD∥OC ∴∠1=∠2‎ ‎ ∵OA=OC ∴∠2=∠3‎ ‎ ∴∠1=∠3‎ ‎ 即AC平分∠DAB. ………………5分 ‎ （2）如图2‎ ‎ ∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°‎ ‎ 又∵∠B=60°∴∠1=∠3=30°‎ ‎ 在Rt△ACD中，CD=‎ ‎ ∴AC=2CD=‎ ‎ 在Rt△ABC中，AC=‎ ‎ ∴…4分 ‎ 连接OE ‎ ∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE ‎ ∴△EAO是等边三角形 ‎ ∴AE=OA==4. ………………5分 ‎13．解：（1）证明：连接 ‎ ‎ ‎ ∴ ，‎ O A B C P D ‎∴．‎ ‎ 即 ………………1分 ‎ 又∵是的切线，‎ ‎ ∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎ 又∵是的半径，‎ ‎∴是 …………………2分 ‎ （2）解：连接，交于点 ‎ ∵‎ ‎ ∴点和点都在线段的垂直平分线上．‎ ‎ ∴垂直平分线段 ‎ ∴ ‎ ‎ ∵ ‎ ‎ ∴ ……………………………………3分 ‎ ∵，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ ……………………………………4分 ‎ ∴‎ ‎ 即解得 ‎ 在中，‎ 即的半径为2． …………………………………………5分