中考压轴题复习三圆篇教师

中考压轴题复习三圆篇教师

‎2013年中考压轴题复习(三)----圆篇(1)‎ ‎ 1．（2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．‎ ‎（1）当BC=1时，求线段OD的长；‎ ‎（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．‎ ‎【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。‎ ‎ 又∵OB=2，∴。‎ ‎（2）存在，DE是不变的。‎ 如图，连接AB，则。‎ ‎∵D和E是中点，∴DE=。‎ ‎（3）∵BD=x，∴。‎ ‎∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。‎ ‎∴∠2+∠3=45°。‎ 过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=。‎ 由△BOD∽△EDF，得，即 ‎，解得EF=x。‎ ‎∴OE=。‎ ‎∴。‎ ‎2．(2011山东潍坊,23,11分)‎ ‎ 如图．AB是半圆O的直径．AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D．连接BD交半圆于点C．连接AC，过O点作BC的垂线OF．垂足为点E．与BN相交于点F。过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点 Q。‎ ‎ (I) 求证：△ABC'∽△OFB；‎ ‎ (2) 当△ABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；‎ ‎ (3) 求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点。‎ 练习1参考答案 ‎（1）证明：∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．‎ 又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB．‎ ‎∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°．‎ ‎∴△ACB∽△OBF．‎ ‎（2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，‎ ‎∴△ABD∽△BFO，‎ 当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO．‎ ‎∴AD=BO=AB =1．‎ ‎∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线．‎ 连接OP，∵DP是半圆O的切线，‎ ‎∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，‎ ‎∴四边形ADPO为正方形．‎ ‎∴DP//AB，∴四边形DABQ为矩形．‎ ‎∴BQ=AD=1． ‎ ‎（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，‎ ‎∴，∴．‎ ‎∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP．‎ 过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴BF=2BQ，∴Q为BF的中点．‎ 评析：在圆中，遇到圆的切线时，经常要连接切点和圆心，利用圆的切线垂直于经过切点的半径的性质；再遇到过圆外同一点的两条切线时，往往需要利用切线长定理得到相等的线段．‎ ‎2013年中考压轴题复习(三)----圆篇(2)‎ ‎1．（2012浙江义乌10分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．‎ ‎（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC‎1A1的度数；‎ ‎（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；‎ ‎（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．‎ ‎【答案】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A‎1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，‎ ‎ ∴∠CC1B=∠C1CB=45°。‎ ‎∴∠CC‎1A1=∠CC1B+∠A‎1C1B=45°+45°=90°。‎ ‎（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，‎ ‎∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1。‎ ‎∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1。∴∠ABA1=∠CBC1。‎ ‎∴△ABA1∽△CBC1。∴。‎ ‎∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=。‎ ‎（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上。‎ 在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=。‎ ‎①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小。‎ 最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2。‎ ‎②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大。‎ 最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。‎ ‎【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A‎1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC‎1A1的度数。‎ ‎（2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积。‎ ‎（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。‎ ‎2．(2011安徽,22,12分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B‎1C．‎ A A1‎ A C C C A1‎ A1‎ A D B1‎ B B B B1‎ B1‎ E P 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；‎ ‎【证】‎ ‎(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3；‎ ‎【证】‎ ‎(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ．‎ ‎（1）∵AB∥CB′，∴∠B=∠BC B′=30°，∴∠A′CD=60°，‎ 又∵∠A′=60°，∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，∴△A′CD是等边三角形；‎ ‎ （2）∵∠ACA′=∠BCB′，AC=A′C，BC=B′C，∴△ACA′∽△BCB′，相似比为，‎ ‎∴S△ACA′ ：S△BCB′ =1：3；‎ ‎（3）120°，．‎ 当E、C、P三点不共线时，EC+CP>EP；‎ 当E、C、P三点共线时，EC+CP=EP；‎ 综上所述，EP≤EC+CP；‎ 则当旋转120°时，E、C、P三点共线，EP长度最大，此时EP=EC+CP=．‎ 评析：这是一道探索题，通过图形位置的旋转变换设计而来，关键是问题（3）的解答是一个难点． 可以发现，关键在于发现“当E、C、P三点共线时，EP最长”，进而根据图形求出此时的旋转角及EP的长．‎ ‎2013年中考压轴题复习(三)----圆篇(3)‎ ‎1.（2012青海，27，10分）如图14－0，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题.‎ ‎(1)探究1：小强看到图14－0后，很快发现AE=EF.这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个直角三角形，一个钝角三角形）.考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证明△AEM≌△EFC就行了.随即小强写出了如下的证明过程：‎ 证明：如图14－1，取AB的中点M，连接EM.‎ ‎∵∠AEF=90°，‎ ‎∴∠FEC+∠AEB=90°，‎ 又∵∠EAM+∠AEB=90°，‎ ‎∴∠EAM=∠FEC.‎ ‎∵点E、M分别为正方形的边BC和AB的中点，‎ ‎∴AM=EC.‎ ‎∵△BME是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AME=135°，‎ 又∵CF是正方形外角的平分线，‎ ‎∴∠ECF=135°，‎ ‎∴△AEM≌△EFC（ASA）,‎ ‎∴AE=EF.‎ ‎(2)探究2：小强继续探索，如图14－2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立.请你证明这一结论.‎ ‎ ‎ ‎(3)探究3：小强进一步还想试试，如图14－3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看.若不成立请你说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【答案】(2)探究2：在AB上截取AM=EC，连接ME.由（1）知∠EAM=∠FEC.‎ ‎∵AM=EC，AB=BC，∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=∠ECF=135°，∴△AEM≌△EFC（ASA），∴AE=EF.‎ ‎ ‎ ‎ (3)探究3：成立.证明如下：延长BA到M，使得AM=CE，连接ME.‎ ‎∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠BME=∠ECF.又∵AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA ‎，∴∠MAE=∠CEF.∴△MAE≌△CEF（ASA），∴AE=EF.‎ ‎ ‎ ‎2．(2011浙江湖州,24,14分)如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一个动点(点C除外)，直线PM交AB的延长线于点D．‎ ‎(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；‎ ‎(2)当△ADP是等腰三角形时，求m的值；‎ ‎(3)设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点E作直线ME的垂线，垂足为H(如图2)．当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长(不写解答过程)．‎ C O A P M B D y x x y O P C M B D E A H 图1‎ 图2‎ 解：（1）由题意得CM=BM，∵∠PMC＝∠DMB，∴Rt△PMC≌Rt△DMB，∴DB＝PC，∴DB＝2－m，AD＝4－m，∴点D的坐标为（2，4－m）．‎ ‎（2）分三种情况：①若AP＝AD，则，解得．‎ ② 若PD＝PA，过P作PF⊥AB于点F（如图），则AF＝FD，，又OP＝AF，∴，解得，‎ ③ 若DP＝DA，∵△PMC≌△DMB，∴，∵，∴， 解得．‎ 综上所述，当△APD是等腰三角形时，过m的值为．‎ ‎（3）点H经过的路径长为．‎ 评析：第（3）问，点H运动路径是该圆上一段劣弧CMHo，在两个极限位置时，这一段弧所对的圆周角恰好是∠COH=45°，此时它所对的圆心角应该是90°．故点H经过的路径是以为半径，圆心角为90°的弧长．于是求出点H经过的路径长为．‎ ‎2013年中考压轴题复习(三)----圆篇(4)‎ ‎1.（2012江苏南京10分）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。‎ ‎（1）已知∠APB是上关于点A、B的滑动角。‎ ‎① 若AB为⊙O的直径，则∠APB= ‎ ‎② 若⊙O半径为1，AB=，求∠APB的度数 ‎（2）已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，∠APB为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。‎ ‎【答案】解：（1）①900。‎ ‎②如图，连接AB、OA、OB．‎ 在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2。‎ ‎∴∠AOB=90°。‎ 当点P在优弧 AB 上时（如图1），∠APB=∠AOB=45°；‎ 当点P在劣弧 AB 上时（如图2），‎ ‎∠APB=（360°－∠AOB）=135°。‎ ‎（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．‎ 第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，‎ ‎∵∠MAN=∠APB+∠ANB，‎ ‎∴∠APB=∠MAN-∠ANB。‎ 第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，‎ ‎∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），‎ ‎∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。‎ 第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，‎ ‎∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，‎ ‎∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。‎ 第四种情况：点P在⊙O2内，如图6，‎ ‎∠APB=∠MAN+∠ANB。‎ ‎【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。‎ ‎【分析】（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。‎ ‎②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论即可。‎ ‎（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。‎ ‎2.（2011湖北黄石,24,9分）已知⊙与⊙相交于、两点，点在⊙上，为⊙上一点（不与，，重合），直线与⊙交于另一点。‎ ‎（1）如图（8），若是⊙的直径，求证：；‎ ‎（2）如图(9)，若是⊙外一点，求证：；‎ ‎（3）如图（10），若是⊙内一点，判断（2）中的结论是否成立。‎ ‎ ‎ ‎（1）连接C O1，AB ‎ ∵AC是⊙O2的直径 ‎∴AB⊥BD，AD⊥C O1‎ ‎∴AD经过点O1‎ ‎∵AO1＝DO1‎ ‎∴AC＝CD ‎（2）（方法一）由（1）得：AC＝DC，‎ ‎∴C在AD的垂直平分线上，‎ ‎∵O‎1A＝O1D，‎ ‎∴O1在AD的垂直平分线上，‎ ‎∴O‎1C⊥AD；‎ ‎（方法二）连接O1 O2，AO1‎ ‎ ∵O1 O2⊥AB ‎ ∴∠AO1O2+∠GA O1＝900‎ ‎∵∠O1AB＝∠C ‎ 又∵∠D＝∠AO1B＝∠AO1O2‎ ‎∴∠C+∠D＝900‎ ‎∴O‎1C⊥AD ‎（3）成立如图（三），连接，并延长交⊙与点，连 ‎∵ 又 ‎∴ ‎ ‎∴ 又 ‎∴‎ ‎2013年中考压轴题复习(三)----圆篇(5)‎ ‎1．（2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；‎ ‎（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．‎ ‎【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。‎ ‎ ∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。 ‎ 设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=。‎ 如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。‎ 设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，‎ ‎∴。‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ 将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得 ‎，解得。‎ ‎∴直线AC解析式为。‎ 直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，‎ ‎∴直线L1的解析式为。‎ 则D1的纵坐标为。∴D1（﹣4，）。‎ 同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。‎ 综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。‎ ‎（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．‎ 连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。‎ ‎∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。‎ 又FE=5，则在Rt△MEF中，-‎ ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。‎ 在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，‎ FN=MN•cos∠MFE=3×。‎ 则ON=。∴M点坐标为（，）。‎ 直线l过M（，），E（4，0），‎ 设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。‎ ‎∴直线l的解析式为y=x+3。‎ 同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。‎ 综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。‎ ‎2.(2011四川达州,23,10分)如图，已知抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点 C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC． ‎ ‎(1)求此抛物线的解析式；‎ ‎(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与轴交于点Q，求点D的坐标；‎ ‎(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（1）设此抛物线的解析式为：y=a(x－x1)(x－x2) ‎ ‎∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（－3，0）两点，‎ ‎∴y=a(x－1)(x+3) ‎ 又∵抛物线与y轴交于点C（0，3）‎ ‎∴a(0－1)(0+3)=3，‎ ‎∴a=－3‎ ‎∴y=－1(x－1)(x+3) ‎ 即y=－x2－2x+3 ‎ ‎（2）∵点A（1，0），点C（0，3）‎ ‎∴OA＝1，OC＝3，‎ ‎∵DC⊥AC，OC⊥x轴 ‎∴△QOC∽△COA ‎∴，即 ‎∴OQ＝9，‎ 又∵点Q在x轴的负半轴上，∴Q（－9，0）‎ 设直线DC的解析式为：y=mx+n，则 ‎ 解之得：‎ ‎∴直线DC的解析式为：‎ ‎∵点D是抛物线与直线DC的交点，‎ ‎∴ 解之得： （不合题意，应舍去）‎ ‎∴点D（ ‎ ‎（3）‎ 如图，点M为直线x=－1上一点，连结AM，PC，PA 设点M（－1，y），直线x=－1与x轴交于点E，∴AE＝2‎ ‎∵抛物线y=－x2－2x+3的顶点为P，对称轴为x=－1‎ ‎∴P（－1，4）∴PE＝4 则PM＝|4－y|‎ ‎∵S四边形AEPC＝S四边形OEPC+S△AOC＝＝＝‎ 又∵S四边形AEPC＝ S△AEP+S△ACP S△AEP＝‎ ‎∴S△ACP＝ ，∵S△MAP＝2S△ACP ‎∴‎ ‎∴|4－y|=2‎ ‎∴y1=2，故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP＝2S△ACP 点M（－1，2）或(－1，6)．‎ 评析：在第（1）中，可以发现二次函数的解析式有三种基本形式：一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0)．顶点式：y＝a(x－h)2+k (a≠0)，其中点(h，k)为顶点，对称轴为x＝h．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标．“取法乎上，事半功倍”此亦一例；在（3）问，对于某些三角形不能直接求出面积的，要会利用切割法求出末知的三角形面积．‎ ‎2013年中考压轴题复习(三)----圆篇(6)‎ ‎1．（2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．‎ ‎（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；‎ ‎ ②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；‎ ‎ ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；‎ ‎（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．‎ ‎①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；‎ ‎②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．‎ ‎【答案】解：（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，∴O′A=OA=2。‎ ‎②当经过圆O时，折叠后的所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A．OA．O′B，OB，OO′。‎ ‎∵△OO′A，△OO′B为等边三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。‎ ‎∴的长度。‎ ‎③如图3所示，连接OA，OB，‎ ‎∵OA=OB=AB=2，‎ ‎∴△AOB为等边三角形。‎ 过点O作OE⊥AB于点E，∴OE=OA•sin60°=。‎ ‎（2）①如图4，当折叠后的与所在圆外切于点P时，‎ 过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E，交CD于点G、交于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上。‎ ‎∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。‎ 根据垂径定理及折叠，可知PH=PE，PG=PF。‎ 又∵EF=4，∴点O到AB．CD的距离之和d为：‎ d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2。‎ ‎②如图5，当AB与CD不平行时，四边形是OMPN平行四边形。证明如下：‎ 设O′，O″为和所在圆的圆心，‎ ‎∵点O′与点O关于AB对称，点O″于点O关于CD对称，‎ ‎∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点。‎ ‎∵折叠后的与所在圆外切，‎ ‎∴连心线O′O″必过切点P。‎ ‎∵折叠后的与所在圆与⊙O是等圆，‎ ‎∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，PN=OO′=OM，‎ ‎∴四边形OMPN是平行四边形。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度。‎ ‎②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到的圆心角，再根据弧长公式计算即可。‎ ‎③如图3，连接O′A．O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求所在圆的圆心O′到弦AB的距离。‎ ‎（2）①如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于于点E，交于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB．CD的距离之和。‎ ‎②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。‎ ‎2.(2011湖南常德,25.10分)已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆，P是AB的中点。‎ ‎（1）如图8，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分别取点E、F，使，则有结论①.②四边形是菱形。请给出结论②的证明；‎ ‎（2）如图9，若（1）中△ABC是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；‎ ‎（3）如图10，若PC是⊙的切线，求证：‎ ‎（1）∵BC是⊙O2直径，则O2是BC的中点 又P是AB的中点．，∴P O2是△ABC的中位线 ‎∴P O2 ＝AC 又AC是⊙O1直径 ‎∴P O2＝ O‎1C＝AC 同理P O1＝ O‎2C ＝BC ‎∵AC ＝BC ‎∴P O2＝ O‎1C＝P O1＝ O‎2C ‎∴四边形是菱形 ‎（2）结论①△PO1E≌△PO‎2F成立，结论②不成立 证明：在（1）中已证PO2＝AC，又O1E＝AC ‎∴PO2＝O1E ‎ 同理可得PO1＝O‎2F ‎∵PO2是△ABC的中位线 ‎∴PO2∥AC ‎∴∠PO2B＝∠ACB 同理∠P O‎1A＝∠ACB ‎∴∠PO2B＝∠P O‎1A ‎∵∠AO1E ＝∠BO‎2F ‎∴∠P O‎1A+∠AO1E ＝∠PO2B+∠BO‎2F 即∠P O1E ＝∠F O2 P ‎∴△EO1P≌△PO‎2F；‎ ‎（3）延长AC交⊙O2于点D，连接BD．‎ ‎ ∵BC是⊙O2的直径，则∠D＝90°，‎ ‎ 又PC是⊙O1的切线，则∠ACP＝90°，‎ ‎ ∴∠ACP＝∠D ‎ 又∠PAC＝∠BAD ‎∴△APC∽△BAD 又P是AB的中点 ‎∴‎ ‎∴AC＝CD ‎∴在Rt△BCD中，‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 评析：要证一个四边形是菱形，可证它的四条边相等，也可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的平行四边形；要证两三角形全等，可通过SSS，SAS，ASA，或AAS来加以判断；当待证式中出现多个平方的形式时，应首先考虑勾股定理及等量代换．‎