2015中考数学总复习专题复习讲义要点

2015中考数学总复习专题复习讲义要点

‎1.在中，是边的中点，交于点．动点从点出发沿射线以每秒厘米的速度运动．同时，动点从点出发沿射线运动，且始终保持设运动时间为秒（）．‎ ‎（1）与相似吗？以图１为例说明理由；‎ ‎（2）若厘米．①求动点的运动速度；‎ ‎②设的面积为（平方厘米），求与的函数关系式；‎ A B P N Q C M A B C N M 图1‎ 图2（备用图）‎ ‎2．已知：如图，△ABC中，AB＝4，D是AB边上的一个动点，DE∥BC，连结DC，设△ABC的面积为S，△DCE的面积为S′．‎ ‎(1)当D为AB边的中点时，求S′∶S的值；‎ ‎(2)若设试求y与x之间的函数关系式及x的取值范围．‎ ‎3．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE， PE交边BC于点F．连接BE、DF。‎ ‎（1）求证：∠ADP=∠EPB；‎ ‎（2）求∠CBE的度数；‎ ‎ 第3题 ‎（3）当的值等于多少时．△PFD∽△BFP？并说明理由．‎ ‎4.如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△AB的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．‎ ‎（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；‎ ‎（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP= ，CQ=时， P、Q两点间的距离 (用含的代数式表示)．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 、、， 求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．‎ ‎（1）△ABC的面积为 ：‎ ‎（2）若△DEF三边的长分别为 、、，请在图①的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．‎ ‎（3）利用第（2）小题解题方法完成下题：如图②，一个六边形绿化区ABCDEF被分割成7个部分，其中正方形ABQP，CDRQ，EFPR的面积分别为13，20，29，且△PQR、△BCQ、△DER、△APF的面积相等，求六边形绿化区ABCDEF的面积．‎ ‎6. 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：‎ 温馨提示：由平移性质可得CF∥AD，CF=AD ‎ (1) 如图△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.‎ A B E F C D ‎ (2)如图，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.‎ A B E F C D ‎ (3)如图，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值.‎ A B ‎(E)‎ ‎(F)‎ C D E ‎(F)‎ α ‎7．已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.‎ ‎（1）求抛物线与x轴的交点坐标；‎ ‎（2）当a=1时，求△ABC的面积；‎ ‎（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.‎ ‎8.黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航.渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象.（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）‎ ‎（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式.‎ ‎（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离.‎ ‎（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？‎ S∕海里 ‎13‎ ‎0‎ t(海里)‎ ‎5‎ t(海里)‎ ‎8‎ t(海里)‎ ‎150‎ t∕小时 t(海里)‎ ‎9．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.‎ ‎（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.‎ ‎（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.‎ ‎① 求证：BD⊥CF；‎ ‎② 当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长.‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎10．如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式;‎ ‎（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎11. 对于正数，规定 ，例如：，，求 ‎ ‎…+…‎ ‎1.解：（1） 理由如下： 如图1，‎ ‎ ‎ ‎．‎ A B P N Q C M A B C N M 图1‎ 图2（备用图）‎ D P Q ‎（2）cm．‎ 又垂直平分，cm．‎ ‎＝4cm．‎ ‎①设点的运动速度为 cm/s．‎ 如图１，当时，由（1）知 即 如图2，易知当时，．‎ 综上所述，点运动速度为1 cm/s．‎ ‎②‎ 如图1，当时，‎ ‎．‎ 如图2，当时，,,‎ ‎．‎ 综上所述，‎ ‎ 5、解：（1）S△ABC=3×3- ×3×1- ×2×1-1 2 ×3×2=3.5；………………2分 （2）答案不唯一，如图所示………………4分 S△DEF=4×5- ×2×3-×2×4-×2×5=8；………………6分 ‎（3）由（2）可知S△PQR=8，………………8分 ‎∴六边形花坛ABCDEF的面积为：‎ S正方形ABQP+S正方形RQDC+S正方形EFPR+4S△PQR………………10分 ‎=13+20+29+8×4………………11分 ‎=94．………………12分 ‎6．解：(1)过C点作CG⊥AB于G，‎ A B E F C D G 在Rt△AGC中，∵sin60°=，∴ 1分 ‎∵AB=2，∴S梯形CDBF=S△ABC= 3分 ‎(2)菱形 5分 ‎ ∵CD∥BF， FC∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形 6分 ‎ ∵DF∥AC，∠ACD=90°，∴CB⊥DF 7分 ‎ ∴四边形CDBF是菱形 8分 ‎(判断四边形CDBF是平行四边形，并证明正确，记2分)‎ ‎ 解法二：∵△ADH∽△ABE 8分 A B ‎(E)‎ ‎(F)‎ C D E ‎(F)‎ α H ‎ ∴‎ ‎ 即：‎ ‎∴ 10分 ‎ ∴sinα= 12分 ‎7. 解：（1）由5=0， （1分）‎ 得，． （3分）‎ ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）． （5分）‎ ‎（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81）， （6分）‎ 分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有 ‎=S - - （7分）‎ ‎ =-- （8分）‎ ‎=5（个单位面积） （9分）‎ ‎（3）如：． （12分）‎ 事实上， =45a2+36a． ‎ ‎ 3（）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）] =45a2+36a． ‎ ‎∴． （14分）‎ ‎8.解：（1） 当0≤t≤5时 s =30t …………………………………………… （1分）‎ 当5＜t≤8时 s=150 …………………………………………… （2分）‎ 当8＜t≤13时 s=－30t+390 ………………………………………（3分）‎ ‎（2） 渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s=kt+b ‎ ‎ ………………………………………………（4分）‎ 解得： k=45 b=－360‎ ‎∴s=45t－360 ………………………………………………（5分）‎ ‎ 解得 t=10 s=90‎ 渔船离黄岩岛距离为 150－90=60 （海里） ……………………………（6分）‎ ‎(3) S渔=－30t+390‎ S渔政=45t－360‎ 分两种情况： ‎ ① S渔－S渔政=30 ‎ ‎－30t+390－（45t－360）=30‎ 解得t=（或9.6） -……………………………………………… （8分）‎ ② S渔政－S渔=30‎ ‎45t－360－（－30t+390）=30‎ 解得 t=（或10.4）‎ B ‎∴当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里. ………（10分）‎ ‎9．（本小题满分12分）解（1）BD＝CF成立.‎ 理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，‎ ‎∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,‎ ‎ ∵∠BAD=，∠CAF=，‎ ‎∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF. ‎ ‎∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分）‎ ‎（2）①证明：设BG交AC于点M.‎ ‎∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM.‎ ‎∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG.‎ ‎∴∠BGC＝∠BAC ＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分）‎ ‎②过点F作FN⊥AC于点N.‎ ‎∵在正方形ADEF中，AD＝，‎ ‎∴AN＝FN＝.‎ ‎∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4，‎ ‎∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.‎ Rt△FCN∽Rt△ABM，∴‎ ‎∴AM＝.‎ ‎∴CM＝AC－AM＝4－＝， .…… （9分）‎ ‎∵△BMA ∽△CMG，∴.‎ ‎∴. ∴CG＝.…………………………………… （11分）‎ ‎∴在Rt△BGC中，. ……………… （12分）‎ ‎10.解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）‎ ‎∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组 ‎ 解得：‎ ‎∴抛物线的解析式为 …………………………… （4分）‎ ‎（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，‎ 若△ABO∽△AP1D，则 ‎∴DP1=AD=4 , ∴P1‎ 若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4, ‎ ‎∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2） ……………………（8分）‎ ‎（3）如图设点E ，则 ‎ ‎①当P1(-1,4)时，‎ S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE = ‎ ‎ ∴ ∴‎ ‎∵点E在x轴下方 ∴‎ 代入得： ,即 ‎ ‎∵△=(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程无解 ‎②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = [来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ∴ ∴‎ ‎∵点E在x轴下方 ∴ 代入得：‎ 即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0‎ ‎∴此方程无解 综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）‎ ‎11.解：当x=1时，f（1）=；‎ 当x=2时，f（2）=，当x=时，f（）= ，f（2）＋f（）=1；‎ ‎……………（2分）‎ 当x=3时，f（3）=，当x=时，f（）= ，f（3）＋f（）=1；‎ ‎······……………（4分）‎ 当x= n时，f（3）=，当x=时，f（）= ，f（）＋f（）=1。‎ ‎……………（6分）‎ ‎∴。‎ ‎∴当x= 2013时,‎ ‎……=2012.5‎ ‎……………（8分）‎