中考数学复习资料专题8圆

中考数学复习资料专题8圆

初三数学辅导班学习资料 圆 学校 姓名 ‎ ‎1.圆有关的概念: （中心对称、轴对称图形）‎ ‎（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．‎ ‎ （2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．‎ ‎ （3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．‎ ‎ （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．‎ ‎ （5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．‎ ‎2.圆的有关的性质：（旋转不变性）‎ ‎（1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条同一类弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；（知一得二）‎ ‎（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（此处直径可减弱为过圆心的半径）‎ ‎（3）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；‎ ‎（4）圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ ‎（5）圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补. ‎ ‎（6）圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90.的圆周角所对的弦是直径；‎ ‎（7）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；‎ ‎（8）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；‎ ‎（9）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角，并平分两切点的连线段.‎ ‎（10）公共弦定理：两圆相交，连心线垂直平分公共弦.‎ ‎3．三角形的内心和外心 ‎ （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．‎ ‎ （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．‎ ‎ （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 ‎4.点与圆的位置关系（3种）：点在圆外，圆上，圆内，‎ 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 点在圆外d＞r．‎ 点在圆上d=r．‎ 点在圆内d＜r．‎ ‎5．直线和圆的位置关系（3种）：相交、相切、相离． ‎ 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则 直线与圆相交d＜r，‎ 直线与圆相切d=r，‎ 直线与圆相离d＞r ‎6.圆与圆的位置关系（5种）．‎ 设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则 ‎⑴ 两圆外离d＞R+r； ‎ ‎⑵ 两圆外切d=R＋r；‎ ‎⑶ 两圆相交R－r＜d＜R+r（R＞r）‎ ‎⑷ 两圆内切d=R－r（R＞r）‎ ‎⑸ 两圆内含d＜R—r（R＞r）‎ ‎7.圆有关的计算:‎ ‎(1)弧长计算公式：（R为圆的半径，n是弧所对的圆心角的度数，为弧长）‎ ‎(2)扇形面积：或（R为半径，n是扇形所对的圆心角的度数，为扇形的弧长）‎ ‎(3)圆锥: 圆锥的侧面积为S侧＝·2πr·l＝πrl；全面积为S全＝πr2＋πrl．‎ ‎8.圆中的多解及常作辅助线 ‎（1）由于点与圆的位置，点在圆上的位置不确定关系而多解 （圆内、圆外、圆上）‎ ‎（2）由于弦所对弧的优劣而多解（一条弦对两条弧） ‎ ‎（3）弦所对的圆周角的位置产生多解（一条弦对两类圆周角）‎ ‎（4）由于两平行弦与圆心的位置而多解 （在圆心同侧或异侧）‎ ‎（5）直线与圆的关系而多解 ‎ ‎（6）圆与圆的关系而多解（相切包括内切、外切） ‎ ‎（7）两圆相交时，两圆心与公共弦的位置而多解（两圆心在公共弦同侧或异侧）‎ ‎9.圆中常作辅助线 ‎（1）证明线段相等作半径 ‎（2）求圆中弦的长度，过圆心做垂线段，利用垂径定理构造直角三角形求解 ‎（3）求角的度数，利用同一类圆周角转化 一、知识点 ‎1、与圆有关的角——圆心角、圆周角，（两者之间的关系 ）‎ ‎（1）图中的圆心角 ；圆周角 ； ‎ ‎（2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB= 度； ‎ ‎（3）在上图中，若AB是圆O的直径，则∠ACB= 度；‎ ‎2、圆的对称性：‎ ‎（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 的直线；‎ 圆是中心对称图形，对称中心为 ．‎ ‎（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．‎ 如图，∵CD是圆O的直径，CD⊥AB于E ‎∴ = ， = ‎ ‎3、点和圆的位置关系有三种：点在圆 ，点在圆 ，点在圆 ；‎ 例1：已知圆的半径r等于‎5厘米，点到圆心的距离为d，‎ ‎（1）当d=‎2厘米时，有d r，点在圆 ‎ ‎（2）当d=‎7厘米时，有d r，点在圆 ‎ ‎（3）当d=‎5厘米时，有d r，点在圆 ‎ ‎4、直线和圆的位置关系有三种：相 、相 、相 ．‎ 例2：已知圆的半径r等于‎12厘米，圆心到直线l的距离为d，‎ ‎（1）当d=‎10厘米时，有d r，直线l与圆 ‎ ‎（2）当d=‎12厘米时，有d r，直线l与圆 ‎ ‎（3）当d=‎15厘米时，有d r，直线l与圆 ‎ ‎5、圆与圆的位置关系：‎ 例3：已知⊙O1的半径为‎6厘米，⊙O2的半径为‎8厘米，圆心距为 d，‎ ‎ 则：R+r= ， R－r= ；‎ ‎（1）当d=‎14厘米时，因为d R+r，则⊙O1和⊙O2位置关系是： ‎ ‎（2）当d=‎2厘米时， 因为d R－r，则⊙O1和⊙O2位置关系是： ‎ ‎（3）当d=‎15厘米时，因为 ，则⊙O1和⊙O2位置关系是： ‎ ‎（4）当d=‎7厘米时， 因为 ，则⊙O1和⊙O2位置关系是： ‎ ‎（5）当d=‎1厘米时， 因为 ，则⊙O1和⊙O2位置关系是： ‎ ‎6、切线性质：‎ 例4：（1）如图，PA是⊙O的切线，点A是切点，则∠PAO= 度 ‎ （2）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点，则 = ，∠ =∠ ；‎ ‎7、圆中的有关计算 ‎（1）弧长的计算公式：‎ 例5：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？‎ 解：因为扇形的弧长= ‎ 所以== (答案保留π)‎ ‎（2）扇形的面积：‎ 例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？‎ 解：因为扇形的面积S= ‎ 所以S== (答案保留π)‎ ‎②若扇形的弧长为12πcm，半径为6㎝，则这个扇形的面积是多少？‎ ‎ 解：因为扇形的面积S= ‎ 所以S= = ‎ ‎（3）圆锥：‎ 例7：圆锥的母线长为‎5cm，半径为‎4cm，则圆锥的侧面积是多少？‎ 解：∵圆锥的侧面展开图是 形，展开图的弧长等于 ‎ ‎ ∴圆锥的侧面积= ‎ ‎8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的 交点；‎ 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的 交点；‎ 例8：画出下列三角形的外心或内心 ‎ （1）画三角形ABC的内切圆， （2）画出三角形DEF的外接圆，‎ 并标出它的内心； 并标出它的外心 二、练习：‎ ‎（一）填空题 ‎1、如图，弦AB分圆为1：3两段，则的度数= 度，‎ 第1小题 的度数等于 度；∠AOB＝ 度，∠ACB＝ 度， ‎ ‎2、如图，已知A、B、C为⊙O上三点，若、、的 度数之比为1∶2∶3，则∠AOB＝ ，∠AOC＝ ，‎ 第2小题 ‎ ∠ACB＝ ，‎ ‎3、如图1－3－2，在⊙O中，弦AB=‎1.8cm，圆周角∠ACB=30○ ，‎ 则 ⊙O的半径等于=_________cm．‎ ‎4、⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离OD=3，‎ 则AD= ，AB的长为 ；‎ 第4、5小题 ‎5、如图，已知⊙O的半径OA=13㎝，弦AB＝24㎝，‎ 则OD= ㎝。‎ ‎6、如图,已知⊙O的直径AB＝‎10cm，弦AC＝‎8cm, ‎ 则弦心距OD等于 cm.‎ 第6小题 ‎7、已知：⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为4，若⊙O1与⊙O2‎ 外切，则O1O2＝ 。‎ ‎8、已知：⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为4，若⊙O1与⊙O2内切，则O1O2＝ 。‎ ‎9、已知：⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为4，若⊙O1与⊙O2相切，则O1O2＝ 。‎ ‎10、已知：⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为4，若⊙O1与⊙O2相交，则两圆的圆心距 d的取值范围是 ‎ ‎11、已知⊙O1和⊙O2外切，且圆心距为‎10cm，若⊙O1的半径为‎3cm，则⊙O2的半径 为_____ ___cm．‎ ‎12、已知⊙O1和⊙O2内切，且圆心距为‎10cm，若⊙O1的半径为‎3cm，则⊙O2的半径 为______ __cm．‎ ‎13、已知⊙O1和⊙O2相切，且圆心距为‎10cm，若⊙O1的半径为‎3cm，则⊙O2的半径 为______ _cm．‎ ‎14、如图1－3－35是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，‎ 则围成这个灯罩的铁皮的面积为________cm2 (不考虑接缝等因 素，计算结果用π表示）．‎ ‎15、如图，两个同心圆的半径分别为２和１，∠AOB=,‎ 则阴影部分的面积是_________‎ ‎16、一个圆锥的母线与高的夹角为30°，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的弧长 与半径的比是 ‎ ‎（二）选择题 ‎1、如图1－3－7，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°‎ 则∠BOC的大小是（ ）‎ ‎ A．60○ B．45○ C．30○ D．15○‎ ‎2、如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC＝20°，＝，‎ 则∠DAC的度数是( ) (A)30° (B) 35° (C) 45° (D) 70°‎ ‎3、如图1－3－16，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交 ⊙O于 点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎4、PA切⊙O于A，PA = ，∠APO = 30，则PO的为（ ） ‎ A B ‎2 C 1 D ‎ ‎5、圆柱的母线长‎5cm，为底面半径为‎1cm，则这个圆拄的侧面积是（ ）‎ A．‎10cm2 B．10πcm‎2 C．‎5cm2 D．5πcm2‎ ‎6、如图，一个圆柱形笔筒，量得笔筒的高是‎20cm，底面圆的半径为‎5cm，‎ 那么笔筒的侧面积为(　)‎ A‎.200cm2　B.100πcm‎2　‎　C.200πcm2　　 D.500πcm2‎ ‎7、制作一个底面直径为‎30cm，高‎40cm的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（ ），‎ ‎ A．1425πcm2 B．1650πcm‎2 C．2100πcm2 D．2625πcm2‎ ‎8、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（ ）‎ ‎（A）10π （B）12π （C）15π （D）20π ‎9、如图，圆锥的母线长为‎5cm，高线长为‎4cm，则圆锥的底面积是（ ）‎ ‎ A．3πcmZ B．9πcmZ C．16πcmZ D．25πc ‎10、如图，若四边形ABCD是半径为‎1cm的⊙O的内接正方形，‎ 则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为（ ）．‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（三）解答题 ‎1、如图，直角三角形ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，过点C 作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连结CO。请写出六个你认为正确的结论；‎ ‎（不准添加辅助线）；‎ 解：（1） ；‎ ‎ （2） ；‎ ‎ （3） ； （4） ；‎ ‎ （5） ； （6） ；‎ ‎2、⊙O和⊙O半径之比为，当OO= ‎21 cm时，两圆外切，当两圆内切时，‎ OO的长度应多少？ ‎ ‎ ‎ ‎3、如图，⊙O的内接四边形ABCD的对角线交于P,已知AB＝BC，‎ 求证：△ABD∽△DPC ‎4、如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，‎ 求∠P的度数。‎ ‎5、以点O（3，0）为圆心，5个单位长为半径作圆，并写出圆O与坐标轴的交点坐标；‎ ‎ 解：圆O与x轴的交点坐标是：‎ ‎ ‎ ‎ 圆O与y轴的交点坐标是：‎ ‎ ‎ ‎6、如图，半圆的半径为‎2cm，点C、D三等分半圆，求阴影部分面积 ‎ ‎ ‎ ‎7、如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切与点B，弦AC∥OP，PC交BA的延长线于点D，求证：PD是⊙O的切线，‎ A B C D O P ‎8、已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC。‎ 求证：（1）BC平分∠PBD；‎ ‎（2）。‎ ‎9、如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D，CD的延长线与⊙O的 直径BE的延长线交于A点，连OC，ED．探索OC与ED的位置关系，并加以证明；‎ 圆 答案 一、知识点：‎ ‎1、（1）∠AOB ∠ACB （2）25； （3）90；‎ ‎2、（1）直径所在的直线；圆心 （2）AE=BE，弧AC=弧BC；‎ ‎3、内，上，外，例1：（1）<，内；（2），> ，外，（3）=，上；‎ ‎4、交，切，离 例2：（1）<，相交；（2）， =，相切，（3）>，相离；‎ ‎5、例3：14，2；（1）=，外切；（2）=，内切；(3)d>R+r,外离；（4）R-r

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