2020年湖北省襄阳市中考数学试卷(含解析）

2020年湖北省襄阳市中考数学试卷(含解析）

‎2020年湖北省襄阳市中考数学试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．‎ ‎1．（3分）（2020•襄阳）﹣2的绝对值是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．‎-‎‎1‎‎2‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎2．（3分）（2020•襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（　　）‎ A．132° B．128° C．122° D．112°‎ ‎3．（3分）（2020•襄阳）下列运算一定正确的是（　　）‎ A．a+a＝a2 B．a2•a3＝a6 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2‎ ‎4．（3分）（2020•襄阳）下列说法正确的是（　　）‎ A．“买中奖率为‎1‎‎10‎的奖券10张，中奖”是必然事件 ‎ B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件 ‎ C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨 ‎ D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定 ‎5．（3分）（2020•襄阳）如图所示的三视图表示的几何体是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第25页（共25页）‎ ‎6．（3分）（2020•襄阳）不等式组x-4≤2(x-1)，‎‎1‎‎2‎‎(x+3)＞x+1‎中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（3分）（2020•襄阳）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）‎ A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C ‎8．（3分）（2020•襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（　　）‎ A．x+y=100‎y=3x B．x+y=100‎x=3y ‎ C．x+y=100‎‎1‎‎3‎x+3y=100‎ D．‎x+y=100‎‎1‎‎3‎y+3x=100‎ ‎9．（3分）（2020•襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）‎ A．OA＝OC，OB＝OD ‎ B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形 ‎ C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 ‎ D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 ‎10．（3分）（2020•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：‎ ‎①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．‎ 其中正确的有（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的相应位置上．‎ ‎11．（3分）（2020•襄阳）函数y‎=‎x-2‎中自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎12．（3分）（2020•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝　 　°．‎ ‎13．（3分）（2020•襄阳）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•襄阳）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为　 　秒．‎ ‎15．（3分）（2020•襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于　 　°．‎ ‎16．（3分）（2020•襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF‎=‎‎5‎‎2‎，则矩形ABCD的面积为　 　．‎ 第25页（共25页）‎ 三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，井且写在答题卡上每题对应的答题区域内．‎ ‎17．（6分）（2020•襄阳）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x‎=‎‎2‎，y‎=‎6‎‎2‎-‎1．‎ ‎18．（6分）（2020•襄阳）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？‎ ‎（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）‎ ‎19．（6分）（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的‎4‎‎5‎，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？‎ ‎20．（6分）（2020•襄阳）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：‎ 信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．‎ 信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75‎ 根据信息解答下列问题：‎ ‎（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；‎ 第25页（共25页）‎ ‎（2）第三组竞赛成绩的众数是　 　分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是　 　分；‎ ‎（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为　 　人．‎ ‎21．（7分）（2020•襄阳）如图，反比例函数y1‎=‎mx（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．‎ ‎（1）m＝　 　，n＝　 　；‎ ‎（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；‎ ‎（3）若点P是反比例函数y1‎=‎mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为　 　．‎ ‎22．（8分）（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC‎=‎BC，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．‎ ‎（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若AB＝4，CD‎=‎‎3‎，求图中阴影部分的面积．‎ 第25页（共25页）‎ ‎23．（10分）（2020•襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？‎ ‎（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．‎ ‎24．（11分）（2020•襄阳）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．‎ ‎（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，‎ ‎①求证：BD＝CF；‎ ‎②推断：∠ACE＝　 　°；‎ ‎（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；‎ ‎（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EFAF‎=‎‎1‎‎3‎时，过点D作AE的垂线，交AE于点 第25页（共25页）‎ P，交AC于点K，若CK‎=‎‎16‎‎3‎，求DF的长．‎ ‎25．（12分）（2020•襄阳）如图，直线y‎=-‎‎1‎‎2‎x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y‎=-‎‎1‎‎4‎x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．‎ ‎（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；‎ ‎（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；‎ ‎（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．‎ 第25页（共25页）‎ ‎2020年湖北省襄阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．‎ ‎1．（3分）（2020•襄阳）﹣2的绝对值是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．‎-‎‎1‎‎2‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎【解答】解：|﹣2|＝2．‎ 故选：B．‎ ‎2．（3分）（2020•襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（　　）‎ A．132° B．128° C．122° D．112°‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，‎ ‎∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，‎ ‎∵EG平分∠BEF交CD于点G，‎ ‎∴∠BEG‎=‎‎1‎‎2‎∠BEF＝58°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）（2020•襄阳）下列运算一定正确的是（　　）‎ A．a+a＝a2 B．a2•a3＝a6 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2‎ ‎【解答】解：A．a+a＝2a，故本选项不合题意；‎ B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；‎ C．（a3）4＝a12，故本选项符合题意；‎ D．（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意．‎ 故选：C．‎ 第25页（共25页）‎ ‎4．（3分）（2020•襄阳）下列说法正确的是（　　）‎ A．“买中奖率为‎1‎‎10‎的奖券10张，中奖”是必然事件 ‎ B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件 ‎ C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨 ‎ D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定 ‎【解答】解：A、“买中奖率为‎1‎‎10‎的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；‎ B、汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；‎ C、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；‎ D、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）（2020•襄阳）如图所示的三视图表示的几何体是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．‎ 故选：A．‎ ‎6．（3分）（2020•襄阳）不等式组x-4≤2(x-1)，‎‎1‎‎2‎‎(x+3)＞x+1‎中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：由不等式组x-4≤2(x-1)，‎‎1‎‎2‎‎(x+3)＞x+1‎得﹣2≤x＜1，‎ 该不等式组的解集在数轴表示如下：‎ 故选：A．‎ ‎7．（3分）（2020•襄阳）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）‎ A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C ‎【解答】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，‎ ‎∵AD＝AD，‎ ‎∴△ADE≌△ADB（AAS），‎ ‎∴DB＝DE，AB＝AE，‎ ‎∵∠AED+∠B＝180°‎ ‎∴∠BAC+∠BDE＝180°，‎ ‎∵∠EDC+∠BDE＝180°，‎ ‎∴∠EDC＝∠BAC，‎ 故A，B，C正确，‎ 故选：D．‎ ‎8．（3分）（2020•襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（　　）‎ A．x+y=100‎y=3x B．x+y=100‎x=3y ‎ 第25页（共25页）‎ C．x+y=100‎‎1‎‎3‎x+3y=100‎ D．‎x+y=100‎‎1‎‎3‎y+3x=100‎ ‎【解答】解：根据题意可得：x+y=100‎x‎3‎‎+3y=100‎，‎ 故选：C．‎ ‎9．（3分）（2020•襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）‎ A．OA＝OC，OB＝OD ‎ B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形 ‎ C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 ‎ D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 ‎【解答】解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；‎ B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；‎ C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；‎ D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD 是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；‎ 故选：B．‎ ‎10．（3分）（2020•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：‎ ‎①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．‎ 其中正确的有（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，‎ ‎∴a＞0，c＜0，‎ ‎∴ac＜0，结论①正确；‎ ‎②∵抛物线对称轴为直线x＝1，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴‎-b‎2a=‎1，‎ ‎∴b＝﹣2a，‎ ‎∵抛物线经过点（﹣1，0），‎ ‎∴a﹣b+c＝0，‎ ‎∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；‎ ‎③∵抛物线与x轴由两个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；‎ ‎④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，‎ ‎∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；‎ 故选：B．‎ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的相应位置上．‎ ‎11．（3分）（2020•襄阳）函数y‎=‎x-2‎中自变量x的取值范围是　x≥2　．‎ ‎【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，‎ 解得：x≥2，‎ 故答案为：x≥2．‎ ‎12．（3分）（2020•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝　40　°．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，‎ ‎∴∠B‎=‎180°-∠BAD‎2‎=‎180°-20°‎‎2‎=‎80°，‎ ‎∵∠ADC是△ABD的外角，‎ ‎∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，‎ ‎∵AD＝DC，‎ ‎∴∠C‎=‎180°-∠ADC‎2‎=‎180°-100°‎‎2‎=‎40°．‎ ‎13．（3分）（2020‎ 第25页（共25页）‎ ‎•襄阳）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为　‎3‎‎8‎　．‎ ‎【解答】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m＝3，‎ ‎∴这一卦中恰有2根和1根的概率为mn‎=‎‎3‎‎8‎；‎ 故答案为：‎3‎‎8‎．‎ ‎14．（3分）（2020•襄阳）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为　1.25　秒．‎ ‎【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，‎ ‎∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．‎ 故答案为：1.25．‎ ‎15．（3分）（2020•襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于　60°或120　°．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵弦BC垂直平分半径OA，‎ ‎∴OD：OB＝1：2，‎ ‎∴∠BOD＝60°，‎ ‎∴∠BOC＝120°，‎ ‎∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．‎ 故答案为：60°或120°．‎ 第25页（共25页）‎ ‎16．（3分）（2020•襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF‎=‎‎5‎‎2‎，则矩形ABCD的面积为　15‎5‎　．‎ ‎【解答】解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，‎ ‎∴AF⊥DE，AE＝EF，‎ ‎∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，‎ ‎∴B，E，N，F四点共圆，‎ ‎∴∠BNF＝∠BEF，‎ ‎∴tan∠BEF‎=‎‎5‎‎2‎，‎ 设BF‎=‎‎5‎x，BE＝2x，‎ ‎∴EF‎=BF‎2‎+BE‎2‎=‎3x，‎ ‎∴AE＝3x，‎ ‎∴AB＝5x，‎ ‎∴AB‎=‎‎5‎BF．‎ ‎∴S矩形ABCD＝AB•AD‎=‎‎5‎BF•AD‎=‎5‎×‎15＝15‎5‎．‎ 故答案为：15‎5‎．‎ 三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，井且写在答题卡上每题对应的答题区域内．‎ ‎17．（6分）（2020•襄阳）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x‎=‎‎2‎，y‎=‎6‎‎2‎-‎1．‎ ‎【解答】解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2﹣6xy﹣10y2‎ ‎＝6xy，‎ 当x‎=‎‎2‎，y‎=‎6‎‎2‎-‎1时，原式＝6‎×‎2‎×‎（‎6‎‎2‎‎-‎1）＝6‎3‎‎-‎6‎2‎．‎ ‎18．（6分）（2020•襄阳）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC 第25页（共25页）‎ 方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？‎ ‎（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）‎ ‎【解答】解：∵A、C、E三点在一条直线上，∠ABD＝140°，∠D＝50°，‎ ‎∴∠E＝140°﹣50°＝90°，‎ 在Rt△BDE中，‎ DE＝BD•cos∠D，‎ ‎＝560×cos50°，‎ ‎≈560×0.64，‎ ‎＝384（米）．‎ 答：点E与点D间的距离是384米．‎ ‎19．（6分）（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的‎4‎‎5‎，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？‎ ‎【解答】解：设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是‎4‎‎5‎x吨，‎ 依题意，得：‎120‎‎4‎‎5‎x‎-‎120‎x=‎3，‎ 解得：x＝10，‎ 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，‎ ‎∴‎4‎‎5‎x＝8．‎ 答：现在每天用水量是8吨．‎ ‎20．（6分）（2020•襄阳）3月14‎ 第25页（共25页）‎ 日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：‎ 信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．‎ 信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75‎ 根据信息解答下列问题：‎ ‎（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；‎ ‎（2）第三组竞赛成绩的众数是　76　分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是　78　分；‎ ‎（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为　720　人．‎ ‎【解答】解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），‎ 补全频数分布直方图如图所示：‎ ‎（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，‎ 抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为‎77+79‎‎2‎‎=‎78，因此中位数是78，‎ 故答案为：76，78；‎ ‎（3）1500‎×‎20+4‎‎50‎=‎720（人），‎ 故答案为：720．‎ 第25页（共25页）‎ ‎21．（7分）（2020•襄阳）如图，反比例函数y1‎=‎mx（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．‎ ‎（1）m＝　4　，n＝　2　；‎ ‎（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；‎ ‎（3）若点P是反比例函数y1‎=‎mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为　2　．‎ ‎【解答】解：（1）∵把A（1，4）代入y1‎=‎mx（x＞0）得：m＝1×4＝4，‎ ‎∴y‎=‎‎4‎x，‎ ‎∵把B（n，2）代入y‎=‎‎4‎x得：2‎=‎‎4‎n，‎ 解得n＝2；‎ 故答案为4，2；‎ ‎（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：k+b=4‎‎2k+b=2‎，‎ 解得：k＝﹣2，b＝6，‎ 即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．‎ 由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；‎ ‎（3）∵点P是反比例函数y1‎=‎mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，‎ ‎∴S△POM‎=‎‎1‎‎2‎|m|‎=‎1‎‎2‎×4=‎2，‎ 故答案为2．‎ ‎22．（8分）（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC‎=‎BC，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．‎ ‎（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ 第25页（共25页）‎ ‎（2）若AB＝4，CD‎=‎‎3‎，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，‎ ‎∵EC‎=‎BC，‎ ‎∴∠CAD＝∠BAC，‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠BAC＝∠ACO，‎ ‎∴∠CAD＝∠ACO，‎ ‎∴AD∥OC，‎ ‎∵AD⊥CD，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，‎ ‎∵EC‎=‎BC，‎ ‎∴OC⊥BE，BF＝EF，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB＝90°，‎ ‎∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，‎ ‎∴四边形DEFC是矩形，‎ ‎∴EF＝CD‎=‎‎3‎，‎ ‎∴BE＝2‎3‎，‎ ‎∴AE‎=AB‎2‎-BE‎2‎=‎4‎‎2‎‎-(2‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎2，‎ ‎∴AE‎=‎‎1‎‎2‎AB，‎ ‎∴∠ABE＝30°，‎ ‎∴∠AOE＝60°，‎ ‎∴∠BOE＝120°，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵EC‎=‎BC，‎ ‎∴∠COE＝∠BOC＝60°，‎ 连接CE，‎ ‎∵OE＝OC，‎ ‎∴△COE是等边三角形，‎ ‎∴∠ECO＝∠BOC＝60°，‎ ‎∴CE∥AB，‎ ‎∴S△ACE＝S△COE，‎ ‎∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，‎ ‎∴∠DCE＝30°，‎ ‎∴DE‎=‎‎3‎‎3‎CD＝1，‎ ‎∴AD＝3，‎ ‎∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE‎=‎1‎‎2‎×‎3‎×‎3‎-‎60⋅π×‎‎2‎‎2‎‎360‎=‎3‎‎3‎‎2‎-‎‎2π‎3‎．‎ ‎23．（10分）（2020•襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？‎ ‎（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝kx，根据题意得50k＝1500，‎ 解得k＝30；‎ ‎∴y＝30x；‎ 当x＞50时，设y＝k1x+b，‎ 根据题意得，‎ ‎50k+b=1500‎‎70k+b=1980‎‎，解得k=24‎b=300‎，‎ ‎∴y＝24x+3000．‎ ‎∴y‎=‎‎30x(0≤x≤50)‎‎24x+300(x＞50)‎，‎ ‎（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，‎ ‎∴40≤a≤60，‎ 当40≤a≤50时，w1＝30a+25（100﹣a）＝5a+2500．‎ 当a＝40 时．wmin＝2700 元，‎ 当50＜a≤60时，w2＝24a+300+25（100﹣a）＝﹣a+2800．‎ 当a＝60时，wmin＝2740 元，‎ ‎∵2740＞2700，‎ ‎∴当a＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元．‎ 此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．‎ 答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．‎ ‎（3）由题意可设甲种水果为‎2‎‎5‎a千克，乙种水果为‎3‎‎5‎a千克 当‎0≤‎2‎‎5‎a≤50‎时，即0≤a≤125，‎ 第25页（共25页）‎ 则甲种水果的进货价为30元/千克，‎ ‎（40﹣30）‎×‎‎2‎‎5‎a+（36﹣25）‎×‎3‎‎5‎a≥‎1650，‎ 解得a‎≥‎8250‎‎53‎＞125‎，‎ 与0≤a≤125矛盾，故舍去；‎ 当‎2‎‎5‎a＞50‎时，即a＞125，‎ 则甲种水果的进货价为24元/千克，‎ ‎2‎‎5‎a×(40-24)+‎3‎‎5‎a×(36-25)≥1650‎‎，‎ ‎∴a≥126‎12‎‎13‎‎＞‎125，‎ ‎∴a的最小值为126‎12‎‎13‎．‎ ‎24．（11分）（2020•襄阳）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．‎ ‎（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，‎ ‎①求证：BD＝CF；‎ ‎②推断：∠ACE＝　90　°；‎ ‎（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；‎ ‎（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EFAF‎=‎‎1‎‎3‎时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK‎=‎‎16‎‎3‎，求DF的长．‎ ‎【解答】（1）①证明：如图1中，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠ACF，‎ ‎∵AD＝AF，‎ ‎∴∠ADF＝∠AFD，‎ ‎∴∠ADB＝∠AFC，‎ ‎∴△ABD≌△ACF（AAS），‎ ‎∴BD＝CF．‎ ‎②结论：∠ACE＝90°．‎ 理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠ACD＝∠AED＝45°，‎ ‎∴A，D，E，C四点共圆，‎ ‎∴∠ADE+∠ACE＝180°，‎ ‎∴∠ACE＝90°．‎ 故答案为90．‎ ‎（2）结论：∠ACE＝90°．‎ 理由：如图2中，‎ ‎∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠ACD＝∠AED＝45°，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴A，D，E，C四点共圆，‎ ‎∴∠ADE+∠ACE＝180°，‎ ‎∴∠ACE＝90°．‎ ‎（3）如图3中，连接EK．‎ ‎∵∠BAC+∠ACE＝180°，‎ ‎∴AB∥CE，‎ ‎∴ECAB‎=EFAF=‎‎1‎‎3‎，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a‎-‎‎16‎‎3‎，‎ ‎∵DA＝DE，DK⊥AE，‎ ‎∴AP＝PE，‎ ‎∴AK＝KE＝3a‎-‎‎16‎‎3‎，‎ ‎∵EK2＝CK2+EC2，‎ ‎∴（3a‎-‎‎16‎‎3‎）2＝（‎16‎‎3‎）2+a2，‎ 解得a＝4或0（舍弃），‎ ‎∴EC＝4，AB＝AC＝12，‎ ‎∴AE‎=AC‎2‎+EC‎2‎=‎4‎‎2‎‎+1‎‎2‎‎2‎=‎4‎10‎，‎ ‎∴DP＝PA＝PE‎=‎‎1‎‎2‎AE＝2‎10‎，EF‎=‎‎1‎‎4‎AE‎=‎‎10‎，‎ ‎∴PF＝FE‎=‎‎10‎，‎ ‎∵∠DPF＝90°，‎ ‎∴DF‎=DP‎2‎+PF‎2‎=‎(2‎10‎‎)‎‎2‎+(‎‎10‎‎)‎‎2‎=‎5‎2‎．‎ ‎25．（12分）（2020•襄阳）如图，直线y‎=-‎‎1‎‎2‎x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y‎=-‎‎1‎‎4‎x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．‎ ‎（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；‎ 第25页（共25页）‎ ‎（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；‎ ‎（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）令x＝0，得y‎=-‎‎1‎‎2‎x+2＝2，‎ ‎∴A（0，2），‎ 令y＝0，得y‎=-‎‎1‎‎2‎x+2＝0，解得，x＝4，‎ ‎∴C（4，0），‎ 把A、C两点代入y‎=-‎‎1‎‎4‎x2+bx+c得，‎ c=2‎‎-4+4b+c=0‎‎，解得b=‎‎1‎‎2‎c=2‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=-‎1‎‎4‎x‎2‎+‎1‎‎2‎x+2‎，‎ 令y＝0，得y=-‎1‎‎4‎x‎2‎+‎1‎‎2‎x+2=‎0，‎ 解得，x＝4，或x＝﹣2，‎ ‎∴B（﹣2，0）；‎ ‎（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，‎ 设M（a，‎-‎1‎‎4‎a‎2‎+‎1‎‎2‎a+2‎），则N（a，‎-‎1‎‎2‎a+2‎），‎ ‎∴S‎△ACM‎=‎1‎‎2‎MN⋅OC=‎1‎‎2‎(-‎1‎‎4‎a‎2‎+a)×4=-‎1‎‎2‎a‎2‎+2a，‎ ‎∵S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎BC⋅OA=‎1‎‎2‎×(4+2)×2=6‎，‎ ‎∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC‎=-‎1‎‎2‎a‎2‎+2a+6=-‎1‎‎2‎(a-2‎)‎‎2‎+8‎，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，‎ 此时M的坐标为（2，2）；‎ ‎（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，‎ ‎∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，‎ ‎∴O′（m，m），A′（m+2，m），‎ 当A′（m+2，m）在抛物线上时，有‎-‎1‎‎4‎‎(m+2)‎‎2‎+‎1‎‎2‎(m+2)+2=m，‎ 解得，m＝﹣3‎±‎‎17‎，‎ 当点O′（m，m）在抛物线上时，有‎-‎1‎‎4‎m‎2‎+‎1‎‎2‎m+2=m，‎ 解得，m＝﹣4或2，‎ ‎∴当﹣3‎-‎17‎≤‎m≤﹣4或﹣3‎+‎17‎≤‎m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．‎ 第25页（共25页）‎