中考数学专题复习 全等与相似 含答案整理

中考数学专题复习 全等与相似 含答案整理

专题 全等与相似 一 ‎1．（2012年，福州）如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是______，cosA的值是______________．(结果保留根号)‎ 考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．‎ A B C D 分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD＝x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值．‎ ‎2．（2012年，桂林）(12分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．‎ ‎(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；‎ ‎(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；‎ ‎(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．‎ 二.‎ ‎1. （2012安徽，22，12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.‎ ‎（1）求线段BG的长；‎ 解：‎ ‎（2）求证：DG平分∠EDF;‎ 证：‎ ‎（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.‎ 证：‎ ‎2．（2012铜仁）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．‎ ‎3．（2012年，南通）‎ 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．‎ ‎(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；‎ ‎(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．‎ ‎①若a＝，求PQ的长；‎ ‎②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎4．（2012无锡）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．‎ ‎5．（2012•资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；‎ ‎（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；‎ ‎（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．‎ ‎6．（2012年，遵义）（12分）如图，△是边长为6的等边三角形， ‎ 是边上一动点，由向运动（与、不重 合），是延长线上一动点，与点同时以相同 的速度由向延长线方向运动（不与重 合），过作⊥于，连接交于. ‎ ‎（1）当∠时，求的长； ‎ ‎（2）在运动过程中线段的长是否发生变化？‎ 如果不变，求出线段的长；如果发生改 变，请说明理由．‎ ‎7．（2012年，河北）‎ 如图，点是线段的中点，分别以为直角顶点的均是等腰直角三角形，且在的同侧．‎ ‎（1）的数量关系为___________，‎ 的位置关系为___________；‎ ‎（2）在图中，以点为位似中心，作与位似，点是所在直线上的一点，连接，分别得到了图和图；‎ ‎　　 ①在图中，点在上，的相似比是，是的中点.求证：‎ ‎②在图中，点在的延长线上，的相似比是，若，请直接写出 的长为多少时，恰好使得（用含的代数式表示）．‎ ‎8、（2012年，河南）（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.‎ 原题：如图1，在中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值。‎ ‎（1）尝试探究 ‎ 在图1中，过点E作交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是 ‎ ‎（2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若则的值是 （用含的代数式表示），试写出解答过程。‎ ‎（3）拓展迁移 ‎ 如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若，则的值是 （用含的代数式表示）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9.（2012年，广元）（本小题7分）‎ 如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF。‎ ‎（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果，，那么”）；‎ ‎（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。‎ 答案：一 1.解答：解：∵ △ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，‎ ‎∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝72°．‎ ‎∵ BD是∠ABC的平分线，‎ ‎∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°．‎ ‎∴ ∠A＝∠DBC＝36°，‎ 又∵ ∠C＝∠C，‎ ‎∴ △ABC∽△BDC，‎ A B C D E ‎∴ ＝，‎ 设AD＝x，则BD＝BC＝x．则＝，‎ 解得：x＝(舍去)或．‎ 故x＝ ．‎ 如右图，过点D作DE⊥AB于点E，‎ ‎∵ AD＝BD，‎ ‎∴E为AB中点，即AE＝AB＝．‎ 在Rt△AED中，cosA＝＝＝．‎ 故答案是：；．‎ 点评：△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．‎ ‎2．‎ ‎(1)证明: ∵∠BAC ＝90° AB＝AC＝6,D为BC中点 ‎∴∠BAD＝∠DAC＝∠B＝∠C＝45° 1分 ‎∴AD＝BD＝DC 2分．‎ ‎∵AE＝CF ∴△AED≌△CFD 3分 第26题图1‎ ‎(2)依题意有:FC＝AE＝ 4分 ‎∵△AED≌△CFD ‎∴ 5分 ‎＝S△ADC＝9 6分 ‎∴‎ ‎∴ 7分 ‎(3) 依题意有：AF＝BE＝－6，AD＝DB，∠ABD＝∠DAC＝45°‎ ‎∴∠DAF＝∠DBE＝135° 8分 ‎∴△ADF≌△BDE 9分 ‎∴ 10分 ‎∴ 11分 ‎ ‎ ‎∴ 12分 二.1.解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知△ABC的边长，由三角形中位线性质知，根据△BDG与四边形ACDG周长相等，可得.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.‎ 解（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点 ‎∴DE∥AB,DF∥AC，‎ 又∵△BDG与四边形ACDG周长相等 即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG ‎∴BG=AC+AG ‎∵BG=AB－AG ‎∴BG==‎ ‎（2）证明：BG=，FG=BG－BF=－‎ ‎∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD 又∵DE∥AB ‎∴∠EDG=∠FGD ‎∠FDG=∠EDG ‎∴DG平分∠EDF ‎ ‎（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形,‎ ‎∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,‎ ‎∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,‎ 则CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆,‎ ‎∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG 点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.‎ 考点：全等三角形的判定。‎ 解答：证明：∵AE∥CF ‎∴∠AED=∠CFB，…（3分）‎ ‎∵DF=BE，‎ ‎∴DF+EF=BE+EF，‎ ‎ 即DE=BF，…（6分）‎ 在△ADE和△CBF中，‎ ‎，…（9分）‎ ‎∴△ADE≌△CBF（SAS）…（10分）．‎ ‎2.（2012年，黄石）（本小题满分7分）如图（8），已知在平行四边形中，. ‎ 求证：.‎ ‎【考点】平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ A B C D E F 图（8）‎ ‎【分析】根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ‎ ∴AD∥BC,且AD=BC ‎ ∴∠ADE=∠BCF ………………………2分 ‎ 又∵BE=DF, ∴BF=DE ………………1分 ‎ ∴△ADE≌△CBF ………………………2分 ‎ ∴∠DAE=∠BCF ………………………………2分 ‎【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力 ‎3.【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质．‎ ‎【专题】几何综合题．‎ ‎【分析】（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；‎ ‎（2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解此方程即可求得答案；‎ ‎②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，‎ ‎∴BD=CD=1 2 BC=6cm，‎ ‎∵a=2，‎ ‎∴BP=2tcm，DQ=tcm，‎ ‎∴BQ=BD-QD=6-t（cm），‎ ‎∵△BPQ∽△BDA，‎ ‎∴BP BD =BQ AB ，‎ 即2t 6 =6-t 10 ，‎ 解得：t=18 13 ；‎ ‎（2）①过点P作PE⊥BC于E，‎ ‎∵四边形PQCM为平行四边形，‎ ‎∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，‎ ‎∴PB：AB=CM：AC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴PB=CM，‎ ‎∴PB=PQ，‎ ‎∴BE=1 2 BQ=1 2 （6-t）cm，‎ ‎∵a=5 2 ，‎ ‎∴PB=5 2 tcm，‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴PE∥AD，‎ ‎∴PB：AB=BE：BD，‎ 即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，‎ 解得：t=3 2 ，‎ ‎∴PQ=PB=5 2 t=15 4 （cm）；‎ ‎②不存在．理由如下：‎ ‎∵四边形PQCM为平行四边形，‎ ‎∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，‎ ‎∴PB：AB=CM：AC，‎ ‎∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．‎ 若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，‎ ‎∵PM∥CQ，‎ ‎∴∠PCQ=∠CPM，‎ ‎∴∠CPM=∠PCM，‎ ‎∴PM=CM，‎ ‎∴四边形PQCM是菱形，‎ ‎∴PQ=CQ，‎ ‎∴PB=CQ，‎ ‎∵PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm），‎ ‎∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），‎ 即at=6+t①，‎ ‎∵PM∥CQ，‎ ‎∴PM：BC=AP：AB，‎ ‎∴6+t 12 =10-at 10 ，‎ 化简得：6at+5t=30②，‎ 把①代入②得，t=-6 11 ，‎ ‎∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．‎ ‎4.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：首先根据平行四边形的性质可得AB=DC，AB∥DC，再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF，即可证明△ABE≌△DCF，再根据全等三角形性质可得到结论．‎ 解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=DC，AB∥DC，‎ ‎∴∠B=∠DCF，‎ 在△ABE和△DCF中，，‎ ‎∴△ABE≌△DCF（SAS），‎ ‎∴∠BAE=∠CDF．‎ 点评：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是找到证明△ABE≌△DCF的条件．‎ ‎5.‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质。‎ 分析：‎ ‎（1）首先连接AG，由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共线，继而可得HD=BE，GC=BE，即可求得HD：GC：EB的值；‎ ‎（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值；‎ ‎（3）由矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，由DA：AB=HA：AE=m：n，易证得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD：GC：EB的值．‎ 解答：‎ 解：（1）连接AG，‎ ‎∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，‎ ‎∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，‎ ‎∴A，G，C共线，AB﹣AE=AD﹣AH，‎ ‎∴HD=BE，‎ ‎∵AG==AE，AC==AB，‎ ‎∴GC=AC﹣AG=AB﹣AE=（AB﹣AE）=BE，‎ ‎∴HD：GC：EB=1：：1…（3分）‎ ‎（2）连接AG、AC，‎ ‎∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，‎ ‎∴AD：AC=AH：AG=1：，∠DAC=∠HAG=45°，‎ ‎∴∠DAH=∠CAG，…（4分）‎ ‎∴△DAH∽△CAG，‎ ‎∴HD：GC=AD：AC=1：，…（5分）‎ ‎∵∠DAB=∠HAE=90°，‎ ‎∴∠DAH=∠BAE，‎ 在△DAH和△BAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DAH≌△BAE（SAS），‎ ‎∴HD=EB，‎ ‎∴HD：GC：EB=1：：1；…（6分）‎ ‎（3）有变化，‎ 连接AG、AC，‎ ‎∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，DA：AB=HA：AE=m：n，‎ ‎∴∠ADC=∠AHG=90°，‎ ‎∴△ADC∽△AHG，‎ ‎∴AD：AC=AH：AG=m：，∠DAC=∠HAG，‎ ‎∴∠DAH=∠CAG，…（4分）‎ ‎∴△DAH∽△CAG，‎ ‎∴HD：GC=AD：AC=m：，…（5分）‎ ‎∵∠DAB=∠HAE=90°，‎ ‎∴∠DAH=∠BAE，‎ ‎∵DA：AB=HA：AE=m：n，‎ ‎∴△ADH∽△ABE，‎ ‎∴DH：BE=AD：AB=m：n，‎ ‎∴HD：GC：EB=m：：n．…（8分）‎ ‎6．解: (1)(6分)解法一：过P作PE∥QC ‎ 则△是等边三角形，‎ ‎∵P、Q同时出发、速度相同，即BQ=AP ‎∴BQ=PF ‎∴△≌△,‎ ‎∴BD=DF ‎∵∠∠=∠=∠=,‎ ‎∴BD=DF=FA=AB==2,‎ ‎∴AP=2.‎ 解法二： ∵P、Q同时同速出发，∴AQ=BQ 设AP=BQ=，则PC=6-，QC=6+‎ 在Rt△QCP中，∠CQP=,∠C= ∴∠CQP=‎ ‎∴QC=2PC,即6+=2（6-）‎ ‎∴=2‎ ‎∴AP=2‎ ‎（2）由（1）知BD=DF 而△APF是等边三角形，PE⊥AF,‎ ‎∵AE=EF 又DE+(BD+AE)=AB=6,‎ ‎∴DE+(DF+EF)=6，‎ 即DE+DE=6‎ ‎∵DE=3为定值，即 DE的长不变 ‎7．解：（1）． 2分 ‎（2）①证明：由题意，‎ 位似且相似比是，‎ ‎.‎ ‎. 5分 又.‎ ‎. 7分 ‎②的长为.‎ ‎8、（1）‎ ‎(2)‎ 作EH∥AB交BG于点H，则 ‎∴‎ ‎∵AB=CD，∴‎ EH∥AB∥CD，∴‎ ‎∴，∴CG=2EH ‎∴‎ ‎（3）‎ ‎【提示】过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H。‎ ‎9. （1）命题1：如果①，②，那么③； 命题2：如果①，③，那么②。‎ ‎（2）命题1的证明：‎ ‎∵①AE∥DF， ∴∠A=∠D， ‎ ‎∵②AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=DB，‎ 在△AEC和△DFB中，‎ ‎∵∠E=∠F，∠A=∠D，AC=DB， ∴△AEC≌△DFB（AAS），‎ ‎∴CE=BF③（全等三角形对应边相等）；‎ 命题2的证明：‎ ‎∵①AE∥DF， ∴∠A=∠D， ∵②AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=DB，‎ 在△AEC和△DFB中，‎ ‎∵∠E=∠F，∠A=∠D，③CE=BF ， ∴△AEC≌△DFB（AAS），‎ ‎∴AC=DB（全等三角形对应边相等），则AC-BC=DB-BC，即AB=CD②。‎ 注：命题“如果②，③，那么①”是假命题。‎