重庆市中考数学试卷A卷

重庆市中考数学试卷A卷

‎〔机密〕2016年 ‎6月13日11：00前 ‎ ‎ ‎ ‎ 重庆市2016年初中毕业暨高中招生考试 ‎ 数 学 试 题 （A卷） ‎ ‎（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟） ‎ 注意事项： ‎ ‎1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；‎ ‎2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； ‎ ‎3.作图（包括做辅助线）一律用黑色签字笔完成；‎ ‎4.考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回.‎ 参考公式:抛物线的顶点坐标为，对称轴为 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.‎ ‎1．在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是 A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1‎ ‎2．下列图形中是轴对称图形的是 A． B． C． D．‎ ‎3．计算正确的是 A． B． C． D．‎ ‎4．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是 A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查 B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查 C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查 ‎ D．对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查 ‎5．如图，AB∥CD，直线交AB于点E，交CD于点F，若∠2=80°，则∠1等于 A．120° B．110° ‎ C．100° D．80°‎ ‎ 6．若，，则的值为 A．﹣1 B．3 ‎ ‎5题图 C．6 D．5‎ ‎7．函数中，的取值范围是 A． B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x﹣2‎ ‎8．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为 A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16‎ ‎9．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是 A． B． ‎ ‎9题图 ‎ C． D．‎ ‎10．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为 ‎10题图 A．64 B．77 C．80 D．85‎ ‎11题图 ‎11．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）‎ A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米 ‎12．从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是 A．﹣3 B．﹣2 C． D．　‎ 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.‎ ‎13．据报道，2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过60500元，将数60500用科学计数法表示为　　　　　　．‎ ‎14．计算：　　　　　　．‎ ‎15．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，‎ BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=　　　　　　度．‎ ‎16．从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三 个数中，任取一个数记为n，若k=mn，则正比例函数y=kx ‎15题图 的图象经过第三、第一象限的概率是　　　　　　．‎ ‎17题图 ‎17．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是　　　　　　米．‎ ‎18．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是　　　　　　．　‎ ‎18题图 三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．‎ ‎19题图 ‎20题图 七年级部分学生阅读中外名著本数条形统计图 ‎20．为响应“全民阅读”号召，某校在七年级800名学生中随机抽取100名学生，对概念机学生在2015年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，学生阅读中外名著的本数，最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图，其中阅读了6本的人数占被调查人数的30%，根据图中提供的信息，补全条形统计图并估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数．‎ ‎　‎ 四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎21．计算：（1） （2）‎ ‎22．在平面直角坐标系中，一次函数的图形与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．‎ ‎（1）求△AHO的周长；‎ ‎（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．‎ ‎22题图 ‎23．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．‎ ‎（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？‎ ‎（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%‎ ‎，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．‎ ‎24．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以．‎ ‎（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有；‎ ‎（2）如果一个两位正整数，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中的最大值．‎ 五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎25．在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．‎ ‎（1）若AB=2，求BC的长；‎ ‎（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG；‎ ‎（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．‎ ‎25题图2‎ ‎25题图1‎ ‎26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．‎ ‎（1）判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；‎ ‎（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎26题图2‎ ‎26题图1‎ ‎26题备用图 ‎2016年重庆市中考数学试卷（A卷）‎ 参考答案 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．D 8．C 9．A 10．D 11．A 12．B 二、填空题 ‎13．6.05×104 14．3 15．60 16． 17．175 18． ‎ 三、解答题 ‎19．证明：∵CE∥DF，‎ ‎∴∠ACE=∠D，‎ 在△ACE和△FDB中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACE≌△FDB（SAS），‎ ‎∴AE=FB．‎ ‎20．解：根据题意，阅读了6本的人数为100×30%=30（人），‎ 阅读了7本的人数为：100﹣20﹣30﹣﹣15=35（人），‎ 补全条形图如图：‎ ‎∵平均每位学生的阅读数量为：=6.45（本），‎ ‎∴估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数为800×6.45=5160本，‎ 答：估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数约为5160本．‎ 四、解答题 ‎21．‎ 解：（1）（a+b）2﹣b（2a+b）‎ ‎=a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2‎ ‎=a2；‎ ‎（2）（+x﹣1）÷‎ ‎=×‎ ‎=×‎ ‎=．‎ ‎22．‎ 解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得 AH=4．即A（﹣4，3）．‎ 由勾股定理，得 AO==5，‎ ‎△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；‎ ‎（2）将A点坐标代入y=（k≠0），得 k=﹣4×3=﹣12，‎ 反比例函数的解析式为y=；‎ 当y=﹣2时，﹣2=，解得x=6，即B（6，﹣2）．‎ 将A、B点坐标代入y=ax+b，得 ‎，‎ 解得，‎ 一次函数的解析式为y=﹣x+1．‎ ‎23．‎ 解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；‎ 根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，‎ 解得：x≥25．‎ 答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；‎ ‎（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；‎ 根据题意得：40（1﹣a%）×（1+a%）+40×（1+a%）=40（1+a%），‎ 令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+y），‎ 整理得：5y2﹣y=0，‎ 解得：y=0.2，或y=0（舍去），‎ 则a%=0.2，‎ ‎∴a=20；‎ 答：a的值为20．‎ ‎24． ‎ 解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），‎ ‎∵|n﹣n|=0，‎ ‎∴n×n是m的最佳分解，‎ ‎∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；‎ ‎（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，‎ ‎∵t为“吉祥数”，‎ ‎∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，‎ ‎∴y=x+2，‎ ‎∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，‎ ‎∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，‎ ‎∴F（13）=，F（24）==，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，F（79）=，‎ ‎∵＞＞＞＞＞，‎ ‎∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．‎ 五、解答题 ‎25．‎ 解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．‎ ‎∴∠AHB=∠AHC=90°，‎ 在RT△AHB中，∵AB=2，∠B=45°，‎ ‎∴BH=AB•cosB=2×=2，‎ AH=AB•sinB=2，‎ 在RT△AHC中，∵∠C=30°，‎ ‎∴AC=2AH=4，CH=AC•cosC=2，‎ ‎∴BC=BH+CH=2+2．‎ ‎（2）证明：如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，‎ ‎∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°，‎ 在△DAF和△GAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DAF≌△GAE，‎ ‎∴AD=AG，‎ ‎∴∠BAP=90°=∠DAG，‎ ‎∴∠BAD=∠PAG，‎ ‎∵∠B=∠APB=45°，‎ ‎∴AB=AP，‎ 在△ABD和△APG中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△APG，‎ ‎∴BD=PG，∠B=∠APG=45°，‎ ‎∴∠GPB=∠GPC=90°，‎ ‎∵∠C=30°，‎ ‎∴PG=GC，‎ ‎∴BD=CG．‎ ‎（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，‎ 在RT△AHC中，∵∠ACH=30°，‎ ‎∴AC=2AH，‎ ‎∴AH=AP，‎ 在RT△AHD和RT△APG中，‎ ‎，‎ ‎∴△AHD≌△APG，‎ ‎∴∠DAH=∠GAP，‎ ‎∵GM⊥AC，PA=PC，‎ ‎∴MA=MC，‎ ‎∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，‎ ‎∴∠DAM=∠GAM=45°，‎ ‎∴∠DAH=∠GAP=15°，‎ ‎∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°，‎ 作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=a，AD=2a，‎ ‎∴==，‎ ‎∵AG=CG=AD，‎ ‎∴=．‎ ‎26．‎ 解：（1）△ABC为直角三角形，‎ 当y=0时，即﹣x2+x+3=0，‎ ‎∴x1=﹣，x2=3‎ ‎∴A（﹣，0），B（3，0），‎ ‎∴OA=，OB=3，‎ 当x=0时，y=3，‎ ‎∴C（0，3），‎ ‎∴OC=3，‎ 根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，‎ ‎∴AC2+BC2=48，‎ ‎∵AB2=[3﹣（﹣）]2=48，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，‎ ‎（2）如图，‎ ‎∵B（3，0），C（0，3），‎ ‎∴直线BC解析式为y=﹣x+3，‎ 过点P作∥y轴，‎ 设P（a，﹣a2+a+3），‎ ‎∴G（a，﹣a+3），‎ ‎∴PG=﹣a2+a，‎ 设点D的横坐标为xD，C点的横坐标为xC，‎ S△PCD=×（xD﹣xC）×PG=﹣（a﹣）2+，‎ ‎∵0＜a＜3，‎ ‎∴当a=时，S△PCD最大，此时点P（，），‎ 将点P向左平移个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M，‎ 连接PM，点Q沿P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，‎ ‎∴P（，）‎ ‎∴P′（，），‎ ‎∵点A（﹣，0），‎ ‎∴直线AP′的解析式为y=x+，‎ 当x=0时，y=，‎ ‎∴N（0，），‎ 过点P′作P′H⊥x轴于点H，‎ ‎∴AH=，P′H=，AP′=，‎ ‎∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=+=；‎ ‎（3）在Rt△AOC中，‎ ‎∵tan∠OAC==，‎ ‎∴∠OAC=60°，‎ ‎∵OA=OA1，‎ ‎∴△OAA1为等边三角形，‎ ‎∴∠AOA1=60°，‎ ‎∴∠BOC1=30°，‎ ‎∵OC1=OC=3，‎ ‎∴C1（，），‎ ‎∵点A（﹣，0），E（，4），‎ ‎∴AE=2，‎ ‎∴A′E′=AE=2，‎ ‎∵直线AE的解析式为y=x+2，‎ 设点E′（a，a+2），‎ ‎∴A′（a﹣2，﹣2）‎ ‎∴C1E′2=（a﹣2）2+（+2﹣）2=a2﹣a+7，‎ C1A′2=（a﹣2﹣）2+（﹣2﹣）2=a2﹣a+49，‎ ‎①若C1A′=C1E′，则C1A′2=C1E′2‎ 即：a2﹣a+7=a2﹣a+49，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴E′（，5），‎ ‎②若A′C1=A′E′，‎ ‎∴A′C12=A′E′2‎ 即：a2﹣a+49=28，‎ ‎∴a1=，a2=，‎ ‎∴E′（，7+），或（，7﹣），‎ ‎③若E′A′=E′C1，‎ ‎∴E′A′2=E′C12‎ 即：a2﹣a+7=28，‎ ‎∴a1=，a2=（舍），‎ ‎∴E′（，3+），‎ 即，符合条件的点E′（，5），（，7+），或（，7﹣），（，3+）．‎