丹东市2016年中考数学卷

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丹东市2016年中考数学卷

‎2016年辽宁省丹东市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的.每小题3分,共24分)‎ ‎1.﹣3的倒数是(  )‎ A.3B. C.﹣D.﹣3‎ ‎2.2016年1月19日,国家统计局公布了2015年宏观经济数据,初步核算,全年国内生产总值为676000亿元.676000用科学记数法表示为(  )‎ A.6.76×106B.6.76×105C.67.6×105D.0.676×106‎ ‎3.如图所示几何体的左视图为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.一组数据8,3,8,6,7,8,7的众数和中位数分别是(  )‎ A.8,6B.7,6C.7,8D.8,7‎ ‎5.下列计算结果正确的是(  )‎ A.a8÷a4=a2B.a2•a3=a6C.(a3)2=a6D.(﹣2a2)3=8a6‎ ‎6.二元一次方程组的解为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为(  )‎ A.8B.10C.12D.14‎ ‎8.如图,在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,点F是AB的中点,AD与FE、BE分别交于点G、H,∠CBE=∠BAD.有下列结论:①FD=FE;②AH=2CD;③BC•AD=AE2;④S△ABC=4S△ADF.其中正确的有(  )‎ A.1个B.2 个C.3 个D.4个 ‎ ‎ 二、填空题(每小题3分,共24分)‎ ‎9.分解因式:xy2﹣x=      .‎ ‎10.不等式组的解集为      .‎ ‎11.一个袋中装有两个红球、三个白球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出一个球,摸到红球的概率是      .‎ ‎12.反比例函数y=的图象经过点(2,3),则k=      .‎ ‎13.某公司今年4月份营业额为60万元,6月份营业额达到100万元,设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x,则可列方程为      .‎ ‎14.观察下列数据:﹣2,,﹣,,﹣,…,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第11个数据是      .‎ ‎15.如图,正方形ABCD边长为3,连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E,FA⊥AE,交CB延长线于点F,则EF的长为      .‎ ‎16.如图,在平面直角坐标系中,A、B两点分别在x轴、y轴上,OA=3,OB=4,连接AB.点P在平面内,若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等(点P与点O不重合),则点P的坐标为      .‎ ‎ ‎ 三、解答题(每小题8分,共16分)‎ ‎17.计算:4sin60°+|3﹣|﹣()﹣1+(π﹣2016)0.‎ ‎18.在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).‎ ‎(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位,画出平移后得到的△A1B1C1;‎ ‎(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△AB2C2,并直接写出点B2、C2的坐标.‎ ‎ ‎ 四、(每小题10分,共20分)‎ ‎19.为了促进学生多样化发展,某校组织开展了社团活动,分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团(要求人人参与社团,每人只能选择一项).为了解学生喜爱哪种社团活动,学校做了一次抽样调查.根据收集到的数据,绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,完成下列问题:‎ ‎(1)此次共调查了多少人?‎ ‎(2)求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数;‎ ‎(3)请将条形统计图补充完整;‎ ‎(4)若该校有1500名学生,请估计喜欢体育类社团的学生有多少人?‎ ‎20.甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2,3,5.将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上.‎ ‎(1)甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张.请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率;‎ ‎(2)若两人抽取的数字和为2的倍数,则甲获胜;若抽取的数字和为5的倍数,则乙获胜.这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释.‎ ‎ ‎ 五、(每小题10分,共20分)‎ ‎21.某商场购进甲、乙两种商品,乙商品的单价是甲商品单价的2倍,购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件,求两种商品单价各为多少元?‎ ‎22.如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:∠BDC=∠A;‎ ‎(2)若CE=4,DE=2,求AD的长.‎ ‎ ‎ 六、(每小题10分,共20分)‎ ‎23.某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端,测得仰角为48°,再往建筑物的方向前进6米到达D处,测得仰角为64°,求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米)‎ ‎(参考数据:sin48°≈,tan48°≈,sin64°≈,tan64°≈2)‎ ‎24.某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克?‎ ‎(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?‎ ‎ ‎ 七、(本题12分)‎ ‎25.如图①,△ABC与△CDE是等腰直角三角形,直角边AC、CD在同一条直线上,点M、N分别是斜边AB、DE的中点,点P为AD的中点,连接AE、BD.‎ ‎(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系,请直接写出结论;‎ ‎(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP、BD分别交于点G、H.请判断(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如图③,写出PM与PN的数量关系,并加以证明.‎ ‎ ‎ 八、(本题14分)‎ ‎26.如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;‎ ‎(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标;‎ ‎(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN的面积.‎ ‎ ‎ ‎2016年辽宁省丹东市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的.每小题3分,共24分)‎ ‎1.﹣3的倒数是(  )‎ A.3B. C.﹣D.﹣3‎ ‎【考点】倒数.‎ ‎【分析】利用倒数的定义,直接得出结果.‎ ‎【解答】解:∵﹣3×(﹣)=1,‎ ‎∴﹣3的倒数是﹣.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.2016年1月19日,国家统计局公布了2015年宏观经济数据,初步核算,全年国内生产总值为676000亿元.676000用科学记数法表示为(  )‎ A.6.76×106B.6.76×105C.67.6×105D.0.676×106‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,整数位数减1即可.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:将676000用科学记数法表示为6.76×105.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎3.如图所示几何体的左视图为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单组合体的三视图.‎ ‎【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.‎ ‎【解答】解:从左边看第一层一个小正方形,第二层一个小正方形,第三层一个小正方形,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.一组数据8,3,8,6,7,8,7的众数和中位数分别是(  )‎ A.8,6B.7,6C.7,8D.8,7‎ ‎【考点】众数;中位数.‎ ‎【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可.‎ ‎【解答】解:把这组数据从小到大排列:3,6,7,7,8,8,8,‎ ‎8出现了3次,出现的次数最多,则众数是8;‎ 最中间的数是7,‎ 则这组数据的中位数是7.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎5.下列计算结果正确的是(  )‎ A.a8÷a4=a2B.a2•a3=a6C.(a3)2=a6D.(﹣2a2)3=8a6‎ ‎【考点】同底数幂的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.‎ ‎【分析】根据同底数幂相除,底数不变指数相减;同底数幂相乘,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘;积的乘方法则,把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;对各选项分析判断后利用排除法求解.‎ ‎【解答】解:A、a8÷a4=a4,故A错误;‎ B、a2•a3=a5,故B错误;‎ C、(a3)2=a6,故C正确;‎ D、(﹣2a2)3=﹣8a6,故D错误.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.二元一次方程组的解为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】二元一次方程组的解.‎ ‎【分析】根据加减消元法,可得方程组的解.‎ ‎【解答】解:‎ ‎①+②,得 3x=9,‎ 解得x=3,‎ 把x=3代入①,‎ 得3+y=5,‎ y=2,‎ 所以原方程组的解为.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎7.如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为(  )‎ A.8B.10C.12D.14‎ ‎【考点】平行四边形的性质.‎ ‎【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB,得出AF=AB=6,同理可证DE=DC=6,再由EF的长,即可求出BC的长.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,DC=AB=6,AD=BC,‎ ‎∴∠AFB=∠FBC,‎ ‎∵BF平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABF=∠FBC,‎ 则∠ABF=∠AFB,‎ ‎∴AF=AB=6,‎ 同理可证:DE=DC=6,‎ ‎∵EF=AF+DE﹣AD=2,‎ 即6+6﹣AD=2,‎ 解得:AD=10;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,点F是AB的中点,AD与FE、BE分别交于点G、H,∠CBE=∠BAD.有下列结论:①FD=FE;②AH=2CD;③BC•AD=AE2;④S△ABC=4S△ADF.其中正确的有(  )‎ A.1个B.2 个C.3 个D.4个 ‎【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.‎ ‎【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB,证明△ABE是等腰直角三角形,得出AE=BE,证出FE=AB,延长FD=FE,①正确;‎ 证出∠ABC=∠C,得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出BC=2CD,∠BAD=∠CAD=∠CBE,由ASA证明△AEH≌△BEC,得出AH=BC=2CD,②正确;‎ 证明△ABD~△BCE,得出=,即BC•AD=AB•BE,再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=AE2;③正确;‎ 由F是AB的中点,BD=CD,得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.④正确;即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,AD和BE是高,‎ ‎∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°,‎ ‎∵点F是AB的中点,‎ ‎∴FD=AB,‎ ‎∵∠ABE=45°,‎ ‎∴△ABE是等腰直角三角形,‎ ‎∴AE=BE,‎ ‎∵点F是AB的中点,‎ ‎∴FE=AB,‎ ‎∴FD=FE,①正确;‎ ‎∵∠CBE=∠BAD,∠CBE+∠C=90°,∠BAD+∠ABC=90°,‎ ‎∴∠ABC=∠C,‎ ‎∴AB=AC,‎ ‎∵AD⊥BC,‎ ‎∴BC=2CD,∠BAD=∠CAD=∠CBE,‎ 在△AEH和△BEC中,,‎ ‎∴△AEH≌△BEC(ASA),‎ ‎∴AH=BC=2CD,②正确;‎ ‎∵∠BAD=∠CBE,∠ADB=∠CEB,‎ ‎∴△ABD~△BCE,‎ ‎∴=,即BC•AD=AB•BE,‎ ‎∵AE2=AB•AE=AB•BE,BC•AD=AC•BE=AB•BE,‎ ‎∴BC•AD=AE2;③正确;‎ ‎∵F是AB的中点,BD=CD,∴‎ S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.④正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题3分,共24分)‎ ‎9.分解因式:xy2﹣x= x(y﹣1)(y+1) .‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.‎ ‎【解答】解:xy2﹣x,‎ ‎=x(y2﹣1),‎ ‎=x(y﹣1)(y+1).‎ 故答案为:x(y﹣1)(y+1).‎ ‎ ‎ ‎10.不等式组的解集为 2<x<6 .‎ ‎【考点】解一元一次不等式组.‎ ‎【分析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.‎ ‎【解答】解:,由①得,x>2,由②得,x<6,‎ 故不等式组的解集为:2<x<6.‎ 故答案为:2<x<6.‎ ‎ ‎ ‎11.一个袋中装有两个红球、三个白球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出一个球,摸到红球的概率是 frac{2}{5} .‎ ‎【考点】概率公式.‎ ‎【分析】先求出球的总数,再根据概率公式求解即可.‎ ‎【解答】解:∵一个袋中装有两个红球、三个白球,‎ ‎∴球的总数=2+3=5,‎ ‎∴从中任意摸出一个球,摸到红球的概率=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎12.反比例函数y=的图象经过点(2,3),则k= 7 .‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.‎ ‎【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程,解方程即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵反比例函数y=的图象经过点(2,3),‎ ‎∴k﹣1=2×3,‎ 解得:k=7.‎ 故答案为:7.‎ ‎ ‎ ‎13.某公司今年4月份营业额为60万元,6月份营业额达到100万元,设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x,则可列方程为 60(1+x)2=100 .‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.‎ ‎【分析】设平均每月的增长率为x,根据4月份的营业额为60万元,6月份的营业额为100万元,分别表示出5,6月的营业额,即可列出方程.‎ ‎【解答】解:设平均每月的增长率为x,‎ 根据题意可得:60(1+x)2=100.‎ 故答案为:60(1+x)2=100.‎ ‎ ‎ ‎14.观察下列数据:﹣2,,﹣,,﹣,…,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第11个数据是 ﹣frac{122}{11} .‎ ‎【考点】规律型:数字的变化类.‎ ‎【分析】根据题意可得:所有数据分母为连续正整数,第奇数个是负数,且分子是连续正整数的平方加1,进而得出答案.‎ ‎【解答】解:∵﹣2=﹣,,﹣,,﹣,…,‎ ‎∴第11个数据是:﹣=﹣.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎15.如图,正方形ABCD边长为3,连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E,FA⊥AE,交CB延长线于点F,则EF的长为 6sqrt{2} .‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质.‎ ‎【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长,由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E,易得CE=CA,由FA⊥AE,可得∠FAC=∠F,易得CF=AC,可得EF的长.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,且边长为3,‎ ‎∴AC=3,‎ ‎∵AE平分∠CAD,‎ ‎∴∠CAE=∠DAE,‎ ‎∵AD∥CE,‎ ‎∴∠DAE=∠E,‎ ‎∴∠CAE=∠E,‎ ‎∴CE=CA=3,‎ ‎∵FA⊥AE,‎ ‎∴∠FAC+∠CAE=90°,∠F+∠E=90°,‎ ‎∴∠FAC=∠F,‎ ‎∴CF=AC=3,‎ ‎∴EF=CF+CE=3=6,‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,在平面直角坐标系中,A、B两点分别在x轴、y轴上,OA=3,OB=4,连接AB.点P在平面内,若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等(点P与点O不重合),则点P的坐标为 (3,4)或(frac{96}{25},frac{72}{25})或(﹣frac{21}{25},frac{28}{25}) .‎ ‎【考点】全等三角形的判定;坐标与图形性质.‎ ‎【分析】由条件可知AB为两三角形的公共边,且△AOB为直角三角形,当△AOB和△APB全等时,则可知△APB为直角三角形,再分三种情况进行讨论,可得出P点的坐标.‎ ‎【解答】解:如图所示:‎ ‎①∵OA=3,OB=4,‎ ‎∴P1(3,4);‎ ‎②连结OP2,‎ 设AB的解析式为y=kx+b,则 ‎,‎ 解得.‎ 故AB的解析式为y=﹣x+4,‎ 则OP2的解析式为y=x,‎ 联立方程组得,‎ 解得,‎ 则P2(,);‎ ‎③连结P2P3,‎ ‎∵(3+0)÷2=1.5,‎ ‎(0+4)÷2=2,‎ ‎∴E(1.5,2),‎ ‎∵1.5×2﹣=﹣,‎ ‎2×2﹣=,‎ ‎∴P3(﹣,).‎ 故点P的坐标为(3,4)或(,)或(﹣,).‎ 故答案为:(3,4)或(,)或(﹣,).‎ ‎ ‎ 三、解答题(每小题8分,共16分)‎ ‎17.计算:4sin60°+|3﹣|﹣()﹣1+(π﹣2016)0.‎ ‎【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】根据实数的运算顺序,首先计算乘方、乘法,然后从左向右依次计算,求出算式4sin60°+|3﹣|﹣()﹣1+(π﹣2016)0的值是多少即可.‎ ‎【解答】解:4sin60°+|3﹣|﹣()﹣1+(π﹣2016)0‎ ‎=4×+2﹣3﹣2+1‎ ‎=2+2﹣4‎ ‎=4﹣4‎ ‎ ‎ ‎18.在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).‎ ‎(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位,画出平移后得到的△A1B1C1;‎ ‎(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△AB2C2,并直接写出点B2、C2的坐标.‎ ‎【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.‎ ‎【分析】(1)利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标,然后描点即可得到△A1B1C1;‎ ‎(2)利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2,从而得到△AB2C2,再写出点B2、C2的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求;‎ ‎(2)如图,△AB2C2即为所求,点B2(4,﹣2),C2(1,﹣3).‎ ‎ ‎ 四、(每小题10分,共20分)‎ ‎19.为了促进学生多样化发展,某校组织开展了社团活动,分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团(要求人人参与社团,每人只能选择一项).为了解学生喜爱哪种社团活动,学校做了一次抽样调查.根据收集到的数据,绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,完成下列问题:‎ ‎(1)此次共调查了多少人?‎ ‎(2)求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数;‎ ‎(3)请将条形统计图补充完整;‎ ‎(4)若该校有1500名学生,请估计喜欢体育类社团的学生有多少人?‎ ‎【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.‎ ‎【分析】(1)根据体育人数80人,占40%,可以求出总人数.‎ ‎(2)根据圆心角=百分比×360°即可解决问题.‎ ‎(3)求出艺术类、其它类社团人数,即可画出条形图.‎ ‎(4)用样本百分比估计总体百分比即可解决问题.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)80÷40%=200(人). ‎ ‎∴此次共调查200人. ‎ ‎(2)×360°=108°.‎ ‎∴文学社团在扇形统计图中所占 圆心角的度数为108°. ‎ ‎(3)补全如图,‎ ‎(4)1500×40%=600(人). ‎ ‎∴估计该校喜欢体育类社团的学生有600人.‎ ‎ ‎ ‎20.甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2,3,5.将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上.‎ ‎(1)甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张.请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率;‎ ‎(2)若两人抽取的数字和为2的倍数,则甲获胜;若抽取的数字和为5的倍数,则乙获胜.这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释.‎ ‎【考点】游戏公平性;列表法与树状图法.‎ ‎【分析】(1)利用列表法得到所有可能出现的结果,根据概率公式计算即可;‎ ‎(2)分别求出甲、乙获胜的概率,比较即可.‎ ‎【解答】解:(1)所有可能出现的结果如图:‎ 从表格可以看出,总共有9种结果,每种结果出现的可能性相同,其中两人抽取相同数字的结果有3种,所以两人抽取相同数字的概率为:;‎ ‎(2)不公平.‎ 从表格可以看出,两人抽取数字和为2的倍数有5种,两人抽取数字和为5的倍数有3种,‎ 所以甲获胜的概率为:,乙获胜的概率为:.‎ ‎∵>,‎ ‎∴甲获胜的概率大,游戏不公平.‎ ‎ ‎ 五、(每小题10分,共20分)‎ ‎21.某商场购进甲、乙两种商品,乙商品的单价是甲商品单价的2倍,购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件,求两种商品单价各为多少元?‎ ‎【考点】分式方程的应用.‎ ‎【分析】设甲商品的单价为x元,乙商品的单价为2x元,根据购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件列出方程,求出方程的解即可得到结果.‎ ‎【解答】解:设甲商品的单价为x元,乙商品的单价为2x元,‎ 根据题意,得﹣=15,‎ 解这个方程,得x=6,‎ 经检验,x=6是所列方程的根,‎ ‎∴2x=2×6=12(元),‎ 答:甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:∠BDC=∠A;‎ ‎(2)若CE=4,DE=2,求AD的长.‎ ‎【考点】切线的性质;相似三角形的判定与性质.‎ ‎【分析】(1)连接OD,由CD是⊙O切线,得到∠ODC=90°,根据AB为⊙O的直径,得到∠ADB=90°,等量代换得到∠BDC=∠ADO,根据等腰直角三角形的性质得到∠ADO=∠A,即可得到结论;‎ ‎(2)根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°,根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC,根据相似三角形的性质得到,解方程即可得到结论.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OD,‎ ‎∵CD是⊙O切线,‎ ‎∴∠ODC=90°,‎ 即∠ODB+∠BDC=90°,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,‎ 即∠ODB+∠ADO=90°,‎ ‎∴∠BDC=∠ADO,‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴∠ADO=∠A,‎ ‎∴∠BDC=∠A;‎ ‎(2)∵CE⊥AE,‎ ‎∴∠E=∠ADB=90°,‎ ‎∴DB∥EC,‎ ‎∴∠DCE=∠BDC,‎ ‎∵∠BDC=∠A,‎ ‎∴∠A=∠DCE,‎ ‎∵∠E=∠E,‎ ‎∴△AEC∽△CED,‎ ‎∴,‎ ‎∴EC2=DE•AE,‎ ‎∴16=2(2+AD),‎ ‎∴AD=6.‎ ‎ ‎ 六、(每小题10分,共20分)‎ ‎23.某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端,测得仰角为48°,再往建筑物的方向前进6米到达D处,测得仰角为64°,求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米)‎ ‎(参考数据:sin48°≈,tan48°≈,sin64°≈,tan64°≈2)‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ ‎【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC,根据CD=BC﹣BD可得关于AB 的方程,解方程可得.‎ ‎【解答】解:根据题意,得∠ADB=64°,∠ACB=48°‎ 在Rt△ADB中,tan64°=,‎ 则BD=≈AB,‎ 在Rt△ACB中,tan48°=,‎ 则CB=≈AB,‎ ‎∴CD=BC﹣BD 即6=AB﹣AB 解得:AB=≈14.7(米),‎ ‎∴建筑物的高度约为14.7米.‎ ‎ ‎ ‎24.某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克?‎ ‎(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?‎ ‎【考点】二次函数的应用.‎ ‎【分析】(1)函数的表达式为y=kx+b,把点(12,74),(28,66)代入解方程组即可.‎ ‎(2)列出方程解方程组,再根据实际意义确定x的值.‎ ‎(3)构建二次函数,利用二次函数性质解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)设函数的表达式为y=kx+b,该一次函数过点(12,74),(28,66),‎ 得,‎ 解得,‎ ‎∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80,‎ ‎(2)根据题意,得,‎ ‎(﹣0.5x+80)(80+x)=6750,‎ 解得,x1=10,x2=70‎ ‎∵投入成本最低.‎ ‎∴x2=70不满足题意,舍去.‎ ‎∴增种果树10棵时,果园可以收获果实6750千克.‎ ‎(3)根据题意,得 w=(﹣0.5x+80)(80+x) ‎ ‎=﹣0.5 x2+40 x+6400‎ ‎=﹣0.5(x﹣40)2+7200‎ ‎∵a=﹣0.5<0,则抛物线开口向下,函数有最大值 ‎∴当x=40时,w最大值为7200千克.‎ ‎∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克.‎ ‎ ‎ 七、(本题12分)‎ ‎25.如图①,△ABC与△CDE是等腰直角三角形,直角边AC、CD在同一条直线上,点M、N分别是斜边AB、DE的中点,点P为AD的中点,连接AE、BD.‎ ‎(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系,请直接写出结论;‎ ‎(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP、BD分别交于点G、H.请判断(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如图③,写出PM与PN的数量关系,并加以证明.‎ ‎【考点】相似形综合题.‎ ‎【分析】(1)由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD,由此可得AE=BD,再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN,由平行线的性质可得PM⊥PN;‎ ‎(2)(1)中的结论仍旧成立,由(1)中的证明思路即可证明;‎ ‎(3)PM=kPN,由已知条件可证明△BCD∽△ACE,所以可得BD=kAE,因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,所以PM=BD,PN=AE,进而可证明PM=kPN.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)PM=PN,PM⊥PN,理由如下:‎ ‎∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,‎ ‎∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°.‎ 在△ACE和△BCD中 ‎,‎ ‎∴△ACE≌△BCD(SAS),‎ ‎∴AE=BD,∠EAC=∠CBD,‎ ‎∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点,点P为AD的中点,‎ ‎∴PM=BD,PN=AE,‎ ‎∴PM=PM,‎ ‎∵∠NPD=∠EAC,∠MPN=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°,‎ ‎∴∠MPA+∠NPC=90°,‎ ‎∴∠MPN=90°,‎ 即PM⊥PN;‎ ‎(2)∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,‎ ‎∴AC=BC,EC=CD,‎ ‎∠ACB=∠ECD=90°.‎ ‎∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE.‎ ‎∴∠ACE=∠BCD.‎ ‎∴△ACE≌△BCD.‎ ‎∴AE=BD,∠CAE=∠CBD. ‎ 又∵∠AOC=∠BOE,‎ ‎∠CAE=∠CBD,‎ ‎∴∠BHO=∠ACO=90°.‎ ‎∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,‎ ‎∴PM=BD,PM∥BD;‎ PN=AE,PN∥AE.‎ ‎∴PM=PN.‎ ‎∴∠MGE+∠BHA=180°.‎ ‎∴∠MGE=90°.‎ ‎∴∠MPN=90°.‎ ‎∴PM⊥PN. ‎ ‎(3)PM=kPN ‎ ‎∵△ACB和△ECD是直角三角形,‎ ‎∴∠ACB=∠ECD=90°.‎ ‎∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE.‎ ‎∴∠ACE=∠BCD.‎ ‎∵BC=kAC,CD=kCE,‎ ‎∴=k.‎ ‎∴△BCD∽△ACE.‎ ‎∴BD=kAE. ‎ ‎∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,‎ ‎∴PM=BD,PN=AE.‎ ‎∴PM=kPN.‎ ‎ ‎ 八、(本题14分)‎ ‎26.如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;‎ ‎(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标;‎ ‎(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN的面积.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的表达式;‎ ‎(2)根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为(3,3),根据面积公式求△ABC的面积;‎ ‎(3)因为点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,设出点P的坐标(m,﹣m2+4m),利用差表示△ABP的面积,列式计算求出m的值,写出点P的坐标;‎ ‎(4)分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论,利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长,利用面积公式进行计算.‎ ‎【解答】解:(1)把点A(4,0),B(1,3)代入抛物线y=ax2+bx中,‎ 得 解得:,‎ ‎∴抛物线表达式为:y=﹣x2+4x;‎ ‎(2)点C的坐标为(3,3),‎ 又∵点B的坐标为(1,3),‎ ‎∴BC=2,‎ ‎∴S△ABC=×2×3=3; ‎ ‎(3)过P点作PD⊥BH交BH于点D,‎ 设点P(m,﹣m2+4m),‎ 根据题意,得:BH=AH=3,HD=m2﹣4m,PD=m﹣1,‎ ‎∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD,‎ ‎6=×3×3+(3+m﹣1)(m2﹣4m)﹣(m﹣1)(3+m2﹣4m),‎ ‎∴3m2﹣15m=0,‎ m1=0(舍去),m2=5,‎ ‎∴点P坐标为(5,﹣5). ‎ ‎(4)以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,分三类情况讨论:‎ ‎①以点M为直角顶点且M在x轴上方时,如图2,CM=MN,∠CMN=90°,‎ 则△CBM≌△MHN,‎ ‎∴BC=MH=2,BM=HN=3﹣2=1,‎ ‎∴M(1,2),N(2,0),‎ 由勾股定理得:MC==,‎ ‎∴S△CMN=××=;‎ ‎②以点M为直角顶点且M在x轴下方时,如图3,作辅助线,构建如图所示的两直角三角形:Rt△NEM和Rt△MDC,‎ 得Rt△NEM≌Rt△MDC,‎ ‎∴EM=CD=5,MD=ME=2,‎ 由勾股定理得:CM==,‎ ‎∴S△CMN=××=;‎ ‎③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时,如图4,CN=MN,∠MNC=90°,作辅助线,‎ 同理得:CN==,‎ ‎∴S△CMN=××=17;‎ ‎④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时,作辅助线,如图5,同理得:CN==,‎ ‎∴S△CMN=××=5;‎ ‎⑤以C为直角顶点时,不能构成满足条件的等腰直角三角形;‎ 综上所述:△CMN的面积为:或或17或5.‎ ‎ ‎ ‎2016年7月13日
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