中考复习专题阴影部分面积计算

中考复习专题阴影部分面积计算

专题二　阴影部分面积计算 例 如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与 AB 交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作 CE 交OB于点E，若OA＝4，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)。‎ ‎ ‎ ‎1. 如图，把八个等圆按相邻的两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S2，则＝(　　)‎ A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D. 1‎ 第1题图 ‎2. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分的面积占圆面积的(　　)‎ A. B. C. D. 第2题图 ‎3.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为(　　)‎ A. 10 B. 12 C. 14 D. 16‎ 第3题图 ‎4. 如图，四个半径为1的小圆都过大圆圆心且与大圆相内切，阴影部分的面积为(　　)‎ A. π B. 2π－4 C. D. ＋1‎ 第4题图 ‎ ‎ 答案 ‎1. B　【解析】设每个等圆的半径为r.∵正八边形的内角度数是＝135°，∴正八边形外侧每一个小扇形的圆心角度数都是360°－135°＝225°，∴正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和S1＝8×，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和S2＝8×，∴＝＝.‎ ‎2. B　【解析】如解图，连接OD，∵MN∥AD，∴S△ODN＝S△AON，∴S 阴影＝2S扇形ODN＝S⊙O，则阴影部分的面积占圆面积的.‎ 第2题解图 ‎3. D　【解析】如解图，连接DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，∴S△DGB＝S△DBE，∴S△DGE＝S△GBE，同理，S△GKE＝S△GFE，∴S△DEK＝S△DGE＋S△GKE＝S△GBE＋S△GFE＝S正方形BEFG＝42＝16.‎ 第3题解图 ‎4. B　【解析】如解图，设两小圆交点为A、C，其中一小圆圆心为B，连接AB，AC，BC，∵四个小圆面积和为4π，大圆的面积也是4π，∴S阴影＝S小圆重合部分，∴S阴影＝8S弓形AC＝8(S扇形ABC－S△ABC)＝8×(－×1×1)＝ 2π－4.‎ 第4题解图 针对演练 ‎◆直接和差法 ‎1. 如图，正方形AEFG的一边AE放置在正方形ABCD的对角线AC 上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为(　　)‎ A. －4－4 B. 4－4‎ C. 8－4 D. 4＋4‎ 第1题图 ‎2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是(　　)‎ A. B. C. － D. 第2题图 ‎3. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上．当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为(　　)‎ A. ＋2 B. 2π－2 ‎ C. ＋2 D. π－2‎ ‎ ‎ 第3题图 第4题图 ‎4. 如图，在圆心角为135°的扇形OAB中，半径OA＝2，点C，D为的三等分点，连接OC，OD，AC，CD，BD，则图中阴影部分的面积为(　　)‎ A. B. π＋ C. －3 D. － ‎5. 如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，则图中阴影部分的总面积是(　　)‎ A. 　　　　 B. C. 　　　D. ‎ ‎ 第5题图 第6题图 ‎6. 如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为________．‎ ‎7. 用等分圆周的方法，在半径为1的圆中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为________．‎ 第7题图 ‎◆割补法 ‎8. 如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形．则图中阴影部分的面积是(　　)‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎ ‎ 第8题图 第9题图 ‎9. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC的边AB，AC分别相切于点D，E，则阴影部分的面积为(　　)‎ A. 1－ B. C. 1－ D. ‎10. 如图是某商品的标志图案．AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为(　　)‎ A. 5π cm2 B. 10π cm2 C. 15π cm2 D. 20π cm2‎ 第10题图 ‎11. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为(　　)‎ A. a2 B. a2 C. a2 D. a2‎ 第11题图 ‎12. 如图，正方形的边长为3 cm，点E，F为对角线AC的三等分点，则图中阴影部分的面积为________cm2.‎ ‎ ‎ 第12题图 第13题图 ‎13. 如图，菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝60°，是以点A为圆心、AB长为半径的弧，是以点B为圆心、BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为________ cm2.‎ ‎14. 将边长分别为2、4、6的三个正三角形按如图方式排列，A、‎ B、C、D在同一直线上，则图中阴影部分的面积的和为________．‎ 第14题图 ‎ ‎ 参考答案 ‎1. B　【解析】由题意知△ADC是等腰直角三角形，AD＝CD＝2‎ ‎，则S△ACD＝AD·CD＝×2×2＝2，AC＝AD＝2，则EC＝AC－AE＝2－2，∵△MEC是等腰直角三角形，∴S△MEC＝ME·EC＝(2－2)2＝6－4，∴S阴影＝S△ACD－S△MEC＝2－(6－4)＝4－4.‎ ‎2. A　【解析】由题意可知，△ABC≌△ADE，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，由勾股定理得AB＝，∴S阴影＝S△ADE＋S扇形BAD－S△ABC＝S扇形BAD＝＝，故选A.‎ ‎3. D　【解析】如解图，连接OC，∵在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是的中点，∴∠COD＝45°，OD＝CD＝2，∴在Rt△COD中，OC＝CD＝2，∴S阴影＝S扇形BOC－S△ODC＝－×22＝π－2.‎ 第3题解图 ‎4. C　【解析】∵C，D是的三等分点，∠AOB＝135°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝45°，∵AO＝CO＝DO＝BO，∴△AOC≌△COD≌△BOD，如解图，过点A作AE⊥OC于E，∴在Rt△AOE中，AE＝AO·sin45°＝2×＝，∴S△AOC＝OC·AE＝×2× ‎＝，∴S阴影＝S扇形AOB－3S△AOC＝－3＝－3.‎ 第4题解图 ‎5. A　【解析】如解图，过点A作AM⊥A1B1于M，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠B1AA1＝120°，又∵点A1，B1分别为AF，AB的中点，∴AA1＝AB1＝×2＝1，∠AA1B1＝＝30°，∴AM＝AA1＝，A1M＝AA1·cos30°＝1×＝，∴A1B1＝2A1M＝，则S△AA1B1＝××＝，同理，S△EE1F1＝S△CC1D1＝，∴阴影部分的总面积为×3＝.‎ 第5题解图 ‎6. 　【解析】如解图，连接OC、CE，∵C为的中点，∴＝，∴∠DOC＝∠EOC＝∠AOB＝45°，又∵D、E分别是OA、OB的中点，∴OD＝OA＝1，OE＝OB＝1，∴OD＝OE，DE＝，∴∠ODE＝‎ ‎45°，∴OC⊥DE，∵OC＝OC，∴△OCD≌△OCE(SAS)，∴S△ODE＝×1×1＝，S扇形OBC＝＝，∴S△OCD＝OC·DE＝，∴S阴影＝S扇形OBC＋S△OCD－S△ODE＝＋－＝.‎ 第6题解图 ‎7. π－　【解析】如解图，设的中点为P，连接OA、OP、AP，则∠AOP＝60°，∴△AOP为等边三角形，S△AOP＝××1＝，‎ S扇形OAP＝＝，S弓形AP＝S扇形OAP－S△AOP＝－，∴S阴影＝6×‎ S弓形＝6×(－)＝π－.‎ 第7题解图 ‎8. B　【解析】∵四边形BDHG是平行四边形，∴GH＝BD＝BC，GH∥BC，设△AGH边GH上的高是a，△CGH边GH上的高是b，△ABC边BC上的高是h，则a＋b＝h，∴S阴影＝S△AGH＋S△CGH＝GH ‎(a＋b)＝BD·h＝×BC·h＝S△ABC＝×16＝4.‎ ‎9. B　【解析】如解图，连接OD交BE于点F，连接OE，∵半圆O与△ABC的边AB、AC分别相切于点D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC，又∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点O是BC的中点，∴四边形ADOE是正方形，△OBD和△OCE是等腰直角三角形，∴OD＝OE＝AD＝BD＝AE＝EC＝1，∠ABC＝∠EOC＝45°，∴AB∥OE，∴∠DBF＝∠OEF，∠DOE＝90°，在△BDF和△EOF中，∴△BDF≌△EOF(AAS)，∴S△BDF＝S△EOF，∴S阴影＝S扇形DOE＝＝.‎ 第9题解图 ‎10. B　【解析】∵AC与BD是⊙O的两条直径，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∴∠DBA＝∠BAC＝36°，根据三角形的外角和定理得∠AOD＝∠BOC＝72°，∵矩形ABCD对角线相等且互相平分，∴OA＝OC＝OD＝OB＝5 cm，∴S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD，∴S阴影＝S扇形AOD＋S扇形BOC＝2S扇形AOD＝2×＝10π cm2.‎ ‎11. D　【解析】如解图，过点E分别作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，则∠EPM＝∠EQN＝90°，由于E点在正方形的对角线上，则EP＝EQ，则四边形EPCQ为正方形，从而可得∠PEM＋∠MEQ＝∠QEN＋∠QEM＝90°，∴∠PEM＝∠QEN，∴△EPM≌△EQN(ASA)‎ ‎，∴S四边形EMCN ＝S四边形EMCQ＋S△EQN＝‎ S四边形EMCQ＋S△EPM＝S正方形EPCQ.∵EQ∥AD，∴＝＝，∴EQ＝‎ a，∴四边形EMCN的面积为a2.‎ 第11题解图 ‎12. 4　【解析】如解图，设过点E的垂线交BC于点H，交CD于点G，过点F的垂线交BC于点I，∵E、F是对角线AC的三等分点，BC＝3 cm，∴IC＝1 cm，由正方形性质可得S四边形ABHE＝S四边形AEGD，S△FIC＝FI·IC＝ cm2，∴S阴影＝S△ABC－S△FIC＝×3×3－＝4 cm2.‎ 第12题解图 ‎13. 　【解析】如解图，连接BD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴△ABD和△BCD是等边三角形，∴S阴影＝S△BCD＝BC·DE＝×2×2×sin60°＝2×＝ cm2.‎ 第13题解图 ‎14. 　【解析】如解图，AG分别交BE、CF、BH于点E、F、H.在三个正三角形中，∠ABE＝∠BCF＝∠CDG＝60°，∴BE∥CF∥DG，∴＝，即＝，解得CF＝3，∴第二个三角形中的阴影部分三角形的底边长为4－3＝1，同理＝，即＝，解得BE＝1，边长为4的等边三角形的高为4×＝2，∵阴影部分的面积的和＝△BEH的面积＋第二个等边三角形中阴影部分的面积，∴阴影部分的面积的和为×1×2＝.‎ 第14题解图