中考冲刺圆的综合题

中考冲刺圆的综合题

教学内容 知识精要 一、圆 1、圆的有关概念与性质 圆的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 圆的内部：圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部：圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 直径与弧：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的 部分叫圆弧，简称弧。 优弧劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆 的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。 同心圆与等圆等弧：圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆，能够重合的两个圆叫等 圆，同圆或等圆的半径相等，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 二、过三点的圆 过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内 接三角形。 三、垂直于弦的直径 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推理 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推理 2：圆两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相 等。 推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一 组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 五、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 推理 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推理 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推理 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。 六、圆的内接四边形 多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形 的外接圆 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 七、直线和圆的位置关系 1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线。 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共 点叫切点。 直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。 2、若圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则： 直线和圆相交 d＜r；直线和圆相切 d＝r；直线和圆相离 d＞r。 八、切线的判定和性质 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 推理 1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。 推理 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 九、三角形的内切圆 和三角形的三边都相切的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角 形。 和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。 十、切线长定理 经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线 段的长，叫这点到圆的切线长。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角。 十一、弦切角 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 推理：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 十二、和圆有关的比例线段 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项。 推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 十三、圆和圆的位置关系 若连心线长为 d，两圆的半径分别为 R，r，则： 1、两圆外离 d ＞R＋r； 2、两圆外切 d = R＋r； 3、两圆相交 R－r＜d＜R＋r（R＞r） 4、两圆内切 d = R－r；（R＞r） 5、两圆内含 d＜R－r。（R＞r） 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 十四、两圆的公切线 和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线 两旁时，叫内公切线， 公切线上两个切点的距离叫公切线的长。 十五、正多边形和圆 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。 定理：把圆分成 n（n 3）等分： ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥ （l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边 形。 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半 径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。 正 n 边形的每个中心角等于 正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形 的中心。 若 n 为偶数，则正 n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。 热身练习： 1.如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径的半圆 O，与斜边 AC 交 于 D，E 是 BC 边上的中点，连结 DE. (1) DE 与半圆 O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相 切，请说明理由； (2) 若 AD、AB 的长是方程 x2－10x+24=0 的两个根，求直角 边 BC 的长. 解：（1）DE 与半圆 O 相切. 证明： 连结 OD、BD ∵AB 是半圆 O 的直径 ∴∠BDA=∠BDC=90° ∵在 Rt△BDC 中,E 是 BC 边上的中点 ∴DE=BE∴∠EBD＝∠BDE ∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB 又∵∠ABC＝∠OBD+∠EBD＝90° ∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE 与半圆 O 相切. （2）解：∵在 Rt△ABC 中，BD⊥AC ∴ Rt△ABD∽Rt△ABC ∴ AB AC= AD AB 即 AB2=AD·AC∴ AC= AB2 AD ∵ AD、AB 的长是方程 x2－10x+24=0 的两个根 ∴ 解方程 x2－10x+24=0 得： x1=4 x2=6 ∵ AD

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