中考抛物线典型试题分类综合精讲精练

中考抛物线典型试题分类综合精讲精练

最新中考抛物线典型试题分类综合精讲精练 ‎1如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D。（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标； （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？ （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎2如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎3如图，一次函数y=- 二分之一x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2‎ ‎+bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标． ‎ ‎4已知直线y=二分之一x+1与y轴交与点A，与x轴交与点D，抛物线y=二分之一x2+bx+c与直线交与A,E两点，与x轴交与B,C两点，且点B的坐标为【1,0】‎ ‎【1】求抛物线的解析式；‎ ‎【2】动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；‎ ‎【3】请你在抛物线的对称轴上找一点M，使丨AM-MC丨的值最大，求出点M的坐标。‎ ‎5如图，直线y= 分别与x轴、y轴交于点C和点D，一组抛物线的顶点A1，A2，A3，…，An，依次是直线CD上的点，这组抛物线与x轴的交点依次是B1，B2，B3，…，Bn-1，Bn，且OB1=B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn，点A1坐标（1，1），则点An坐标为（2n-1，n）． ‎ ‎6已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，如图矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： ‎ 求A、B、C三点的坐标； （2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围 ‎ ‎7已知如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，过C作CD⊥x轴，垂足为D． （1）求点A、B的坐标和AD的长；（2）求过B、A、D三点的抛物线的解析式．‎ ‎8如图，已知动圆A始终经过定点B（0，2），圆心A在抛物线 y= x2上运动，MN为⊙A在x轴上截得的弦（点M在N左侧） （1）当A（2 √2，a）时，求a的值，并计算此时⊙A的半径与弦MN的长． （2）当⊙A的圆心A运动时，判断弦MN的长度是否发生变化？若改变，举例说明；若不变，说明理由．（3）连接BM，BN，当△OBM与△OBN相似时，计算点M的坐标 ‎9如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为    A. ab=-2B. ab=-3C. ab=-4D. ab=-5‎ ‎ ‎ ‎10如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为    A. （ √2， √2）B. （2，2）C. （ √2，2）D. （2， √2）‎ ‎11如图，已知菱形ABCD的边长为2√3，点A在x轴的负半轴上，点B在坐标原点，点D的坐标为（- √3，3），抛物线y=ax2+b．（a≠‎ ‎0）经过AB、CD两边的中点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移，过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF，设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3），是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． ‎ ‎12如图，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．且A（3，0），D（-1，0），E（0，3）． （1）求点B的坐标；（2）探究：坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，请直接写出s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围 ‎13已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴的交点分别为A、B，OB=3，tan∠OAB= ，将∠OBA对折，使点O的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交x轴于点C， （1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点Q是抛物线上一个动点，使得以A、B、Q为顶点并且以AB为直角边的直角三角形，直接写出Q点坐标．‎ ‎14如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D． （1）求二次函数的解析式和B的坐标； （2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 ‎．‎ ‎15已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处． （1）求点C的坐标； （2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式； （3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 ‎16如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(-2，0)，点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x2+mx+n的图象经过A，C两点.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求证：∠BEF=∠AOE；（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；‎ ‎17如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．(1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值 ‎17解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得， ，解得。∴抛物线的函数关系式为。 设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（﹣1，0）及C（2，3）得 ，解得。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。（2）作N点关于直线x=3的对称点N′， 令x=0，得y=3，即N（0，3）∴N′（6， 3）由得 D（1，4）。设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则，解得。 ∴故直线DN′的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，∴。∴使MN+MD的值最小时m的值为。 （3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。②当BD为平行四边形边时，∵点E在直线AC上，∴设E（x，x+1），则F（x，）。又∵BD=2 ∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。∴，即。 若，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。若，解得，，∴E或E。 综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、、。 （4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G， 设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）。 ∴。 ∴  。 ∵， ∴当时，△APC的面积取得最大值，最大值为。‎ ‎13‎ 解：假设a=-1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=-x2‎ ‎+1． 令x=0，得：y=1．∴C（0，1）． 令y=0，得：x=±1． ∴A（-1，0），B（1，0）， ∵C与C1关于点B中心对称， ∴抛物线n的解析式为：y=（x-2）2-1=x2-4x+3； 令x=0，得：y=b．∴C（0，b）． 令y=0，得：ax2+b=0，∴x=± √-ba，∴A（- √-ba，0），B（ √-ba，0）， ∴AB=2 √-ba，BC=OC2+OB2=b2 - ‎ b a ‎1A1C是矩形，必须满足AB=BC， ∴2 ‎ ‎√-ba ‎=b2 ‎ ‎- ‎ b a b a ‎）=b2- ‎ b a ‎， ∴ab=-3． ∴a，b应满足关系式ab=-3． 故选B． ‎ 意知：OB1=B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=2， 故点A1的横坐标为：1=2×1-1， 点A2的横坐标为：3=2×2-1， 点A3的横坐标为：5=2×3-1， … 依此类推，点An的横坐标为：2n-1， 代入直线y= ‎ ‎1‎ ‎2‎ x ‎ ‎+ ‎ ‎1‎ ‎2‎ 中， 得： ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（2n-1）+ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎=n- ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎+ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎=n， 故An（2n-1，n）． ‎ 解：（1）∵y=- ‎ ‎1‎ ‎2‎ x+2分别交y轴、x轴于A、B两点， ∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）…（1分） 将x=0，y=2代入y=-x2+bx+c得c=2…（2分） 将x=4，y=0代入y=-x2+bx+c得0=-16+4b+2，解得b= ‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎， ∴抛物线解析式为：y=-x2+ ‎ ‎7‎ ‎2‎ x+2…（3分） （2）如答图1，设MN交x轴于点E， 则E（t，0），BE=4-t． ∵tan∠ABO= ‎ OA OB ‎= ‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎= ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎， ∴ME=BE•tan∠ABO=（4-t）× ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎=2- ‎ ‎1‎ ‎2‎ t． 又N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=-t2+ ‎ ‎7‎ ‎2‎ t+2， ∴MN=yN-ME=-t2+ ‎ ‎7‎ ‎2‎ t+2-（2- ‎ ‎1‎ ‎2‎ t）=-t2+4t…（5分） ∴当t=2时，MN有最大值4…（6分） （3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）． 以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．…‎ ‎（7分） （i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a） 由AD=MN，得|a-2|=4，解得a1=6，a2=-2， 从而D为（0，6）或D（0，-2）…（8分） （ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点， 易得D1N的方程为y=- ‎ ‎1‎ ‎2‎ x+6，D2M的方程为y= ‎ ‎3‎ ‎2‎ x-2，由两方程联立解得D为（4，4）…（9分）故所求的D点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）‎