无锡地区中考选择填空压轴题专题8几何变换问题

无锡地区中考选择填空压轴题专题8几何变换问题

专题08 几何变换问题 例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）‎ 同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（　　）‎ A．是一个确定的值 B．有两个不同的值 ‎ C．有三个不同的值 D．有三个以上不同的值 同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达点，若设△ABC的面积为，C的面积为，则，的大小关系为（　　）‎ A． B． C． D．不能确定 例2． 如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（　　）‎ A．：1 B．2：1 C．：2 D．：1‎ 同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④；⑤若AB＝2，则的最小值是，其中正确结论的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．‎ 同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．‎ 同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．‎ 同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12，点G为边EF的中点，边FD与AB相交于点H，如图2，将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH的最大值是_________，点H运动的路径长是_________．‎ 例3．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边过点C，EF为折痕，若∠B＝60°，当E⊥AB时，的值等于（　　）‎ A． B． C． D． 同类题型3.1 如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是_____________．‎ 同类题型3.2 如图，∠MON＝40°，点P是∠MON内的定点，点A、B分别在OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，则∠APB的度数为（　　）‎ A．20° B．40° C．100° D．140°‎ 同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE＝HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④，其中正确的结论是（　　）‎ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④‎ 同类题型3.4 △ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED．连CE，则线段CE的长等于_______．‎ 专题08 几何变换问题 例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）‎ 解：如图：连接B′B″，‎ ‎∵在Rt△ABC中，AB＝12，∠A＝30°，‎ ‎∴AB＝6，，‎ ‎∴B′C＝6，‎ ‎∴－6，‎ ‎∵B′C∥B″C″，B′C＝B″C″，‎ ‎∴四边形B″C″CB′是矩形，‎ ‎∴B″B′∥BC，B″B′＝C″C，‎ ‎∴△AB″B′∽△ABC，‎ ‎∴，‎ 即：，‎ 解得：．‎ ‎∴．‎ 同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（　　）‎ A．是一个确定的值 B．有两个不同的值 ‎ C．有三个不同的值 D．有三个以上不同的值 解：（1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x＝2，y＝3，‎ x＋y＝5；‎ ‎（2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时x＝2，y＝3，x＋y＝5；‎ ‎②长边重合，此时x＝2，y＝5，x＋y＝7．‎ 综上可得：x＋y＝5或7．‎ 选B．‎ 同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达点，若设△ABC的面积为，C的面积为，则，的大小关系为（　　）‎ A． B． C． D．不能确定 解：△ABC的面积为×4×4＝8，‎ 将B点平移后得到点的坐标是（2，1），‎ 所以C的面积为×4×4＝8，‎ 所以．‎ 选B．‎ 同类题型1.3 ‎ 同类题型1.4 ‎ 例2． 如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（　　）‎ A．：1 B．2：1 C．：2 D．：1‎ 解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，‎ ‎∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝60°，‎ 又∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝60°，‎ ‎∴∠ABP＝∠CBP′，‎ 在△ABP和△CBP′中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABP≌△CBP′（SAS），‎ ‎∴AP＝P′C，‎ ‎∵P′A：P′C＝2：3，‎ ‎∴P′A，‎ 连接PP′，则△PBP′是等边三角形，‎ ‎∴∠BP′P＝60°，PP′＝PB，‎ ‎∵∠AP′B＝150°，‎ ‎∴∠AP′P＝150°－60°＝90°，‎ ‎∴△APP′是直角三角形，‎ 设P′A＝x，则x，‎ 根据勾股定理，x，‎ 则x，‎ ‎∴PB：x：：2．‎ 选C．‎ 同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①设∠1＝x度，则∠2＝（60－x）度，∠DBC＝（x＋60）度，故∠4＝（x＋60）度，‎ ‎∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x＋60＋x＋60＝180度，‎ ‎∴D、A、E三点共线；‎ ‎②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，‎ ‎∴CD＝CE，∠DCE＝60°，‎ ‎∴△CDE为等边三角形，‎ ‎∴∠E＝60°，‎ ‎∴∠BDC＝∠E＝60°，‎ ‎∴∠CDA＝120°－60°＝60°，‎ ‎∴DC平分∠BDA；‎ ‎③∵∠BAC＝60°，‎ ‎∠E＝60°，‎ ‎∴∠E＝∠BAC．‎ ‎④由旋转可知AE＝BD，‎ 又∵∠DAE＝180°，‎ ‎∴DE＝AE＋AD．‎ ‎∵△CDE为等边三角形，‎ ‎∴DC＝DB＋BA．‎ 同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④；⑤若AB＝2，则的最小值是，其中正确结论的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 解：∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，‎ ‎∴∠BCN＋∠DCN＝90°，‎ 又∵CN⊥DM，‎ ‎∴∠CDM＋∠DCN＝90°，‎ ‎∴∠BCN＝∠CDM，‎ 又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，‎ ‎∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；‎ 根据△CNB≌△DMC，可得CM＝BN，‎ 又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，‎ ‎∴△OCM≌△OBN（SAS），‎ ‎∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，‎ ‎∴∠DOC＋∠COM＝∠COB＋∠BPN，即∠DOM＝∠CON，‎ 又∵DO＝CO，‎ ‎∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；‎ ‎∵∠BON＋∠BOM＝∠COM＋∠BOM＝90°，‎ ‎∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，‎ 又∵△AOD是等腰直角三角形，‎ ‎∴△OMN∽△OAD，故③正确；‎ ‎∵AB＝BC，CM＝BN，‎ ‎∴BM＝AN，‎ 又∵Rt△BMN中，，‎ ‎∴，故④正确；‎ ‎∵△OCM≌△OBN，‎ ‎∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，‎ ‎∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，‎ 设BN＝x＝CM，则BM＝2－x，‎ ‎∴△MNB的面积＋x，‎ ‎∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，‎ 此时的最小值是，故⑤正确；‎ 综上所述，正确结论的个数是5个，‎ 选D．‎ 同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．‎ 解：∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，‎ ‎∴△BOA≌△CDA，‎ ‎∴AB＝AC，OA＝AD，‎ ‎∵B、D、C共线，AD⊥BC，‎ ‎∴BD＝CD＝OB，‎ ‎∵OA＝AD，BO＝CD＝BD，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ 设直线AB解析式为y＝kx＋b，‎ 把A与B坐标代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AB解析式为x＋4，‎ ‎∴直线OD解析式为x，‎ 联立得：，‎ 解得：，即，），‎ ‎∵M为线段OD的中点，‎ ‎∴，），‎ 设直线CD解析式为y＝mx＋n，‎ 把B与D坐标代入得：，‎ 解得：，n＝4，‎ 则直线CD解析式为x＋4．‎ 同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．‎ 解：过C点作MN⊥BF，交BG于M，交EF于N，‎ 由旋转变换的性质可知，∠ABG＝∠CBE，BA＝BG＝5，BC＝BE＝3，‎ 由勾股定理得，＝4，‎ ‎∴DG＝DC－CG＝1，‎ 则，‎ ‎∵，∠ABG＝∠CBE，‎ ‎∴△ABG∽△CBE，‎ ‎∴，‎ 解得，，‎ ‎∵∠MBC＝∠CBG，∠BMC＝∠BCG＝90°，‎ ‎∴△BCM∽△BGC，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴MN＝BE＝3，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．‎ 解：如图连接PC．‎ 在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，‎ ‎∴AB＝4，‎ 根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，‎ ‎∴A′P＝PB′，‎ ‎∴A′B′＝2，‎ ‎∵CM＝BM＝1，‎ 又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3，‎ ‎∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．‎ 同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12，点G为边EF的中点，边FD与AB相交于点H，如图2，将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH的最大值是_________，点H运动的路径长是_________．‎ 解：如图1中，作HM⊥BC于M，设HM＝a，则CM＝HM＝a．‎ 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝12，‎ 在Rt△BHM中，BH＝2HM＝2a，a，‎ ‎∵BM＋FM＝BC，‎ ‎∴a＋a＝12，‎ ‎∴－6，‎ ‎∴－12．‎ 如图2中，当DG⊥AB时，易证⊥DF，此时的值最小，易知＋3，‎ ‎∴－15，‎ 当旋转角为60°时，F与重合，此时BH的值最大，易知最大值，‎ 观察图象可知，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，‎ 点H相应移动的路径长－18．‎ 例3．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边过点C，EF为折痕，若∠B＝60°，当E⊥AB时，的值等于（　　）‎ A． B． C． D． 解：如图所示，延长AB，交于点G，‎ ‎∵E⊥AB，C＝∠A＝120°，‎ ‎∴∠G＝120°－90°＝30°，‎ 又∵∠ABC＝60°，‎ ‎∴∠BCG＝60°－30°＝30°，‎ ‎∴∠G＝∠BCG＝30°，[来源:]‎ ‎∴BC＝BG＝BA，‎ 设BE＝1，E，则AB＝1＋x＝BC＝BG，G＝2x，‎ ‎∴GE＝1＋x＋1＝x＋2，‎ ‎∵GE中，，‎ ‎∴，‎ 解得，（负值已舍去）‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 选D．‎ 同类题型3.1 如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是_____________．‎ 解：解法一：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，[来源:]‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴PQ⊥AB，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ACD＝45°，‎ ‎∴△PEC是等腰直角三角形，‎ ‎∴PE＝PC，‎ 设PC＝x，则PE＝x，PD＝4－x，EQ＝4－x，‎ ‎∴PD＝EQ，‎ ‎∵∠DPE＝∠EQF＝90°，∠PED＝∠EFQ，‎ ‎∴△DPE≌△EQF，‎ ‎∴DE＝EF，‎ ‎∵DE⊥EF，‎ ‎∴△DEF是等腰直角三角形，‎ 易证明△DEC≌△BEC，‎ ‎∴DE＝BE，‎ ‎∴EF＝BE，‎ ‎∵EQ⊥FB，‎ ‎∴BF，‎ ‎∵AB＝4，F是AB的中点，‎ ‎∴BF＝2，‎ ‎∴FQ＝BQ＝PE＝1，‎ ‎∴，PD＝4－1＝3，‎ Rt△DAF中，，‎ ，‎ 如图2，∵DC∥AB，‎ ‎∴△DGC∽△FGA，‎ ‎∴＝2，‎ ‎∴CG＝2AG，DG＝2FG，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 连接GM、GN，交EF于H，‎ ‎∵∠GFE＝45°，‎ ‎∴△GHF是等腰直角三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由折叠得：GM⊥EF，，‎ ‎∴∠EHM＝∠DEF＝90°，‎ ‎∴DE∥HM，‎ ‎∴△DEN∽△MNH，‎ ‎∴，‎ ‎∴＝3，‎ ‎∴EN＝3NH，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ Rt△GNH中，，‎ 由折叠得：MN＝GN，EM＝EG，‎ ‎∴△EMN的周长；‎ 解法二：如图3，过G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R，‎ ‎∵AC平分∠DAB，‎ ‎∴GK＝GR，‎ ‎∴＝2，[来源:]‎ ‎∵＝2，‎ ‎∴＝2，‎ 同理，＝3，‎ 其它解法同解法一，‎ 可得：∴△EMN的周长；‎ 解法三：如图4，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD，‎ ‎∵AC是对角线，‎ ‎∴EP＝EQ，‎ 易证△DQE和△FPE全等，‎ ‎∴DE＝EF，DQ＝FP，且AP＝EP，‎ 设EP＝x，则DQ＝4－x＝FP＝x－2，‎ 解得x＝3，所以PF＝1，‎ ‎∴，‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴△DGC∽△FGA，‎ ‎∴同解法一得：，‎ ‎∴，‎ ，‎ 过G作GH⊥AB，过M作MK⊥AB，过M作ML⊥AD，‎ 则易证△GHF≌△FKM全等，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，，‎ 即DL＝LM，‎ ‎∴∠LDM＝45°‎ ‎∴DM在正方形对角线DB上，‎ 过N作NI⊥AB，则NI＝IB，‎ 设NI＝y，‎ ‎∵NI∥EP ‎∴ ‎∴，‎ 解得y＝1.5，‎ 所以FI＝2－y＝0.5，‎ ‎∴I为FP的中点，‎ ‎∴N是EF的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵△BIN是等腰直角三角形，且BI＝NI＝1.5，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴△EMN的周长．‎ 同类题型3.2 如图，∠MON＝40°，点P是∠MON内的定点，点A、B分别在OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，则∠APB的度数为（　　）‎ A．20° B．40° C．100° D．140°‎ 解：如图所示：‎ 分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，[来源:学,科,网]‎ 连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．‎ 如图所示：由轴对称性质可得，‎ OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，‎ 所以∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，‎ 所以∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°－80°）÷2＝50°，‎ 又因为∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，‎ 所以∠APB＝∠APO＋∠BPO＝100°．‎ 选C．‎ 同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE＝HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④，其中正确的结论是（　　）‎ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④‎ 解：∵矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，‎ ‎∴GF⊥AD，‎ 由折叠可得，AH＝AD＝2AG，∠AHE＝∠D＝90°，‎ ‎∴∠AHG＝30°，∠EHM＝90°－30°＝60°，‎ ‎∴∠HAG＝60°＝∠AED＝∠MEH，‎ ‎∴△EHM中，∠EMH＝60°＝∠EHM＝∠MEH，‎ ‎∴△MEH为等边三角形，故①正确；‎ ‎∵∠EHM＝60°，HE＝HF，‎ ‎∴∠HEF＝30°，‎ ‎∴∠FEM＝60°＋30°＝90°，即AE⊥EF，故②正确；‎ ‎∵∠PEH＝∠MHE＝60°＝∠HEA，∠EPH＝∠EHA＝90°，‎ ‎∴△PHE∽△HAE，故③正确；‎ 设AD＝2＝AH，则AG＝1，‎ ‎∴Rt△AGH中，，‎ Rt△AEH中，＝HF，‎ ‎∴＝AB，‎ ‎∴，故④正确，‎ 综上所述，正确的结论是①②③④，‎ 选D．‎ 同类题型3.4 △ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED．连CE，则线段CE的长等于_______．‎ 解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．‎ ‎[来源:学#科#网]‎ 在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，‎ ‎∴＝5，‎ ‎∵CD＝DB，‎ ‎∴，‎ ‎∵﹒AB﹒AC，‎ ‎∴，‎ ‎∵AE＝AB，DE＝DB＝DC，‎ ‎∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，‎ ‎∵﹒BD﹒AH，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 在Rt△BCE中，．‎