中考数学复习专题 代数式

中考数学复习专题 代数式

中考数学复习专题 代数式 一. 教学目标： 1. 复习整式的有关概念，整式的运算 2. 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因 式。 3. 掌握分式的概念、性质，掌握分式的约分、通分、混合运算。 4. 理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的 平方根、算术平方根和立方根，了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和 同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。 二. 教学重点、难点： 因式分解法在整式、分式、二次根式的化简与混合运算中的综合运用。 三.知识要点： 知识点 1 整式的概念 （1）整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项式； （2）单项式的次数是所有字母的指数之和； 多项式的次数是多项式中最高次项的次数； （3）单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号 （4）同类项概念的两个相同与两个无关： 两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同； 两个无关：一是与系数的大小无关，二是与字母的顺序无关； （5）整式加减的实质是合并同类项； （6）因式分解与整式乘法的过程恰为相反。 知识点 2 整式的运算 （如结构图）    升降幂排列系数项数多项式的次数多项式 系数单项式的次数单项式整式 ———— —— 知识点 3 因式分解 多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为 止．分解因式的常用方法有： （1）提公因式法 如多项式 其中 m 叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． （2）运用公式法，即用 写出结果． （3）十字相乘法 对于二次项系数为 l 的二次三项式 寻找满足 ab＝q，a＋b＝p 的 a，b，如有，则 对于一般的二次三项式 寻找满足 a1a2＝a，c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b 的 a1，a2，c1，c2，如有，则 （4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． 分组时要用到添括号：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，括到 括号里的各项都改变符号. （ 5 ） 求 根 公 式 法 ： 如 果 有 两 个 根 x1 ， x2 ， 那 么 。 知识点 4 分式的概念 ),( cbamcmbmam ++=++ )baba)(ba(ba ,)ba(bab2a ),ba)(ba(ba 2233 222 22 +±=± ±=+± −+=−  ,2 qpxx ++ );)((2 bxaxqpxx ++=++ ),0(2 ≠++ acbxax ).)(( 2211 2 cxacxacbxax ++=++ ),0(02 ≠=++ acbxax )xx)(xx(acbxax 21 2 −−=++ 单项式乘以单项式 单项式乘以多项式 多项式乘以多项式 ( ) ( ) nnn mnnm nmnm baab aa aaa = = =⋅ + 幂的运算 乘法公式 因式分解 提公因式法 公式法 ( )( ) 22 bababa −=−+ 提公因式法 ( ) 222 2 bababa ++=+ （1）分式的定义：整式 A 除以整式 B，可以表示成 的形式。如果除式 B 中含有字母，那么称 为分 式，其中 A 称为分式的分子，B 为分式的分母。 对于任意一个分式，分母都不能为零。 （2）分式的约分 （3）分式的通分 知识点 5 分式的性质 （1） （2）已知分式 ，分式的值为正：a 与 b 同号；分式的值为负：a 与 b 异号；分式的 值为零：a＝0 且 b 0；分式有意义：b 0。 （3）零指数 （4）负整数指数 （5）整数幂的运算性质 上述等式中的 m、n 可以是 0 或负整数． 知识点 6 根式的有关概念 1. 平方根：若 x2＝a（a>0），则 x 叫做 a 的平方根，记为 。 注意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②0 的平方根是 0；③负数没有平方根； 2. 算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根； 3. 立方根：若 x3＝a（a>0），则 x 叫做 a 的立方根，记为 。 4. 最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。 5. 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。 知识点 7 二次根式的性质 ① 是一个非负数； ② ③ ④ ⑤ 知识点 8 二次根式的运算 （1）二次根式的加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并． （2）二次根式的乘法 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因 式． （3）二次根式的除法 二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去 B A B A )0( ≠= mB A Bn Am b a ≠ ≠ )0(10 ≠= aa ).p,0a( a 1a p p 为正整数≠=− nnn mnnm nmnm nmnm ba)ab( ,a)a( ),0a(aaa ,aaa = = ≠=÷ =⋅ − + a± 3 a )0( ≥aa )0()( 2 ≥= aaa    <− = > == )0a(a )0a(0 )0a(a |a|)a( 2 )0,0( >≥= ba b a b a )0,0( ≥≥⋅= babaab ).0b,0a(abba ≥≥=⋅ （或分子、分母约分）．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 例 1. 如果单项式 与 的和①为 0 时，a、m、n 各为多少？ ②仍为一个单项式，a、m、n 各为多少？ 解：① ② a 为有理数 例 2. 因式分解：（1） （2） （3）－2x2＋5xy＋2y2　　 解：①原式＝m（2x＋3y）（2x－3y） ②原式 ③令 ∴ ∴ 原式＝－2（x－ ）（x－ ） 例 3. （1）已知 的结果中不含 项，求 k 的值； （2） 的一个因式是 ，求 k 的值； 解：（1）a2 的系数为：3k－2＝0 ∴k＝ （2）当 a＝－1 时（－1）3－（－1）2＋（－1）＋k＝0 ∴k＝3 例 4. 利用简便方法计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）的值， 你能确定积的个位数是几吗？ 解：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1） ＝264－1 ∵264 的个位数为 6 ∴积的个位数字为 5 例 5. x 为何值时，下列分式的值为 0?无意义？ （1） （2） 解：当①x＝2 ②x＝1 时为零 当③x＝－2 ④x＝2，x＝－1 时分式无意义 例 6. 分式的约分与通分 1. 约分： 2. 通分 ， ， 解：①原式＝ ② , , 例 7. 先化简后再求值： ，其中 原式＝ × ＋ ＝ ＋ ＝ 当 x＝ ＋1 时，原式＝1 例 8. 若最简二次根式 是同类二次根式，求 a 的值。 解：1＋a＝4a2－2＝0, a1＝1 ， a2＝－ 例题精讲 13 −nm yax 525 yx m−−    =− −= = 51n3 m2m 5a    = = = 2n 1m 5a    =− −= 51n3 m2m    = = 2n 1m 22 94 mymx − 1)(2)( 2 ++++ baba 2)1ba( ++= 0y2xy5x2 22 =++− 4 y16y25y5x 22 − +±−= y4 415x ±= y4 415+ y4 415− ))(123( 2 kaaa ++− 2a kaaa ++− 23 1+a 3 2 2 2 + − x x 2 23 2 2 −− +− xx xx 1n21n2 1n2n2 yx4.1 yx8.0 +− − cb5 a4 2 ba10 c3 2 2ac2 b5 − 2y7 x4 222 3 10 8 cba ca 222 3 10 3 Cba bc 222 3 10 25 cba ab− 1x 1 1x2x 3x2x 1x 3x 2 2 2 ++ ++ −−÷ − − 12x += )1)(1( 3 −+ − xx x )3)(1( )1( 2 −+ + xx x 1 1 +x 1 1 −x 1 1 +x 1 2 2 −x x 2 24312 1 2 −+− aa与 4 3 例 9. 已知:a＝ ,求 值 解：∵a＝ ∴a＝2－ ＜1 原式＝ ＋1 ＝ －（a－1）＋1 ＝ －a＋1＋1＝ －a＋2 当 a＝ 时，a＝2－ , ∴原式＝－2－ －2＋ ＋2＝－2 例 10. 把根号外的因式移到根号内： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 解：（1）原式＝ （2）原式＝ （3）原式＝ （4）原式＝ 例 11. 观察下列各式及其验证过程 2 。验证： 3 。验证： 根据上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4 的变形结果并进行验证。 针对上述各式反映的规律，写出用 n（n 为任意自然数，且 n≥2）表示的等式,并给出证明。 解：（1） （2） 一. 选择题 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 把 a2－a－6 分解因式，正确的是（ ） A. a（a－1）－6 B. （a－2）（a＋3） C. （a＋2）（a－3） D. （a－1）（a＋6） 3. 设（x＋y）（x＋2＋y）－15＝0,则 x＋y 的值是（　　） A. －5 或 3 B. －3 或 5 C. 3 D. 5 4. 不论ａ为何值，代数式－ａ2＋4ａ－5 的值（　　） A. 大于或等于 0 B. 0 C. 大于 0 D. 小于 0 5. 化简二次根式 的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平 方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 当 1

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