中考数学分类汇编二次函数2含答案

中考数学分类汇编二次函数2含答案

‎2008年中考数学分类汇编 二次函数（2）‎ ‎1、(2008 福建 龙岩)如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.‎ ‎（1）求AD的长；‎ ‎（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；‎ ‎（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.‎ ‎2、（2008 四川 凉山州）我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有‎3千克的野生菌损坏不能出售．‎ ‎（1）设到后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式．‎ ‎（2）若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与之间的函数关系式．‎ ‎（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？‎ ‎（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）‎ ‎3、(2008 青海)王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间（单位：分钟）与学习收益量的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间（单位：分钟）与学习收益量的关系如图乙所示（其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．‎ ‎（1）求王亮解题的学习收益量与用于解题的时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）求王亮回顾反思的学习收益量与用于回顾反思的时间之间的函数关系式；‎ ‎（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？‎ ‎（学习收益总量解题的学习收益量回顾反思的学习收益量）‎ O O y y x x A ‎2‎ ‎5‎ ‎15‎ 第28题图 图甲 图乙 ‎4‎ ‎25‎ ‎4、（2008 山东 临沂）如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。‎ ‎⑴求抛物线的解析式；‎ ‎⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;‎ ‎⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。‎ 第26题图 ‎5、(2008 浙江 丽水)如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．‎ B O A P M ‎（第24题）‎ ‎（1）求线段所在直线的函数解析式；‎ ‎（2）设抛物线顶点的横坐标为,‎ ‎①用的代数式表示点的坐标；‎ ‎②当为何值时，线段最短；‎ ‎（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎6.（2008年大连）如图18，点C、B分别为抛物线C1：，抛物线C2：的顶点．分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，且AB = BD．‎ ‎⑴求点A的坐标；‎ ‎⑵如图19，若将抛物线C1：“”改为抛物线“”．其他条件不变，求CD的长和的值．‎ 附加题：如图19，若将抛物线C1：“”改为抛物线“”，其他条件不变，求的值．‎ ‎7.（2008年大连）如图10，直线和抛物线都经过点A(1，0)，B(3，2)．‎ ‎⑴求m的值和抛物线的解析式；‎ ‎⑵求不等式的解集(直接写出答案)．‎ ‎8.（2008年山东滨州）如图（1），已知在中，AB=AC=10，AD为底边BC上的高，且AD=6。将沿箭头所示的方向平移，得到。如图（2），交AB于E，分别交AB、AD于G、F。以为直径作，设的长为x，的面积为y。‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；‎ ‎（2）连结EF，求EF与相切时x的值；‎ ‎（3）设四边形的面积为S，试求S关于x的函数表达式，并求x为何值时，S的值最大，最大值是多少？‎ ‎9.（2008年赤峰）在平面直角坐标系中给定以下五个点．‎ ‎（1）请从五点中任选三点，求一条以平行于轴的直线为对称轴的抛物线的解析式；‎ ‎（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图；‎ ‎（3）已知点在抛物线的对称轴上，直线过点且垂直于对称轴．验证：以为圆心，为半径的圆与直线相切．请你进一步验证，以抛物线上的点为圆心为半径的圆也与直线相切．由此你能猜想到怎样的结论．‎ y O x G F H ‎10.（2008年福建南平）如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片，为原点，点分别在轴，轴上，点坐标为（其中），在边上选取适当的点和点，将沿翻折，得到；再将沿翻折，恰好使点与点重合，得到，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求过点的抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点的坐标（不要求写出求解过程）．‎ ‎【提示：抛物线的对称轴是，顶点坐标是】‎ ‎11、(2008 湖北 天门)一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出)‎ ‎(1)求y与x的函数关系式；‎ ‎(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？‎ ‎(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？‎ ‎12、(2008 江苏 常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.‎ (1) 求点A的坐标;‎ (2) 以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;‎ (3) 设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. ‎ ‎13、（2008年•南宁市）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）‎ ‎（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；‎ ‎（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎14、（2008山东潍坊）一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本.据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90,第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平。‎ ‎（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y,写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？‎ ‎（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等？‎ ‎（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。‎ ‎15、(2008年福建省福州市)如图，已知△ABC是边长为‎6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是‎1cm/s，点Q运动的速度是‎2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：‎ ‎（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；‎ ‎（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？‎ ‎（第21题）‎ ‎16、(2008年福建省福州市)‎ 如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．‎ ‎（1）直接写出点E、F的坐标；‎ ‎（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；‎ ‎（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎（第22题）‎ ‎17、（2008年广东茂名市）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：‎ 销售单价（元∕件）‎ ‎……‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎……‎ 每天销售量（件）‎ ‎……‎ ‎500‎ ‎400‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎……‎ ‎（1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想 与的函数关系，并求出函数关系式；（4分）‎ ‎（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（4分）‎ ‎10 20 30 40 50 60 70 80 ‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ ‎800‎ ‎0‎ ‎（第24题图）‎ ‎（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？（2分）‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎18、（2008年广东茂名市）‎ 相关链接 :‎ 若是一元二次方程的两根，则 如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++‎ 经过A（0，－4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5．‎ ‎（1）求、的值；（4分）‎ A x y B C O ‎（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）‎ 解： ‎ ‎ ‎ ‎19、(2008年广东梅州市)如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC 于点F．‎ ‎（1）求证： ADE∽BEF；‎ ‎（2）设正方形的边长为4， AE=，BF=．当取什么值时， 有最大值?并求出这个最大值．‎ ‎20、(2008年广东梅州市)如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；‎ ‎（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．‎ ‎（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）‎ ‎21、(2008年广东湛江市) 如图11所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．‎ ‎（1）求A、B、C三点的坐标．‎ ‎（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．‎ ‎（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．‎ 图11‎ C P B y A ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22.（08东营）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． ‎ ‎（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； ‎ ‎（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ‎ ‎（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x 的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ A B C M N D 图 2‎ O A B C M N P 图 3‎ O A B C M N P 图 1‎ O ‎23.（08中山）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．‎ ‎(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.‎ ‎(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.‎ ‎(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.‎ E D C H F G B A P y x 图10‎ ‎10‎ D C B A E 图9‎ ‎24.（08海南）如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.‎ ‎（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；‎ ‎（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE ‎,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 A B C O D E x y x=2‎ 图13‎ ‎25.（08兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图16所示），拱高‎6m，跨度‎20m，相邻两支柱间的距离均为‎5m．‎ ‎（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图17所示），求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求支柱的长度；‎ ‎（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．‎ y x O B A C 图17‎ ‎20m ‎10m E F 图16‎ ‎6m ‎26.（08兰州）如图19-1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．‎ ‎（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；‎ ‎（2）如图19-2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间 之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．‎ y x B C O A D E 图19-1‎ y x B C O A D E 图19-2‎ P M N ‎27. （2008徐州）已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）‎ ‎①求该函数的关系式；‎ ‎②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；‎ ‎③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，‎ 求△O A′B′的面积.‎ ‎28、（2008扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：‎ ‎ ‎ 时间（天）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎36‎ ‎…‎ 日销售量（件）‎ ‎94‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎76‎ ‎24‎ ‎…‎ 未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与t时间（天）的函数关系式为：y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数）；后20天每天的价格y2（原/件）与t时间（天）的函数关系式为：y2= —1/2t+40（21≤t≤40且t为整数）。下面我们来研究 这种商品的有关问题。‎ ‎（1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 ‎ 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；‎ ‎（2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？‎ ‎（3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a＜ 4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， 求a的取值范围。‎ ‎29. （2008义乌）如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线．将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E．‎ ‎（1）将直线向右平移，设平移距离CD为(t0)，直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．‎ ‎①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；‎ ‎②当时，求S关于的函数解析式；‎ ‎（2）在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎1、（1）解法一：如图25-1‎ 过A作AE⊥CD，垂足为E .‎ ‎ 依题意，DE=. ‎ ‎ 在Rt△ADE中，AD=. ‎ 图25-1‎ ‎ 解法二：如图25-2‎ ‎ 过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4 . ‎ ‎ ∠AED=∠C=60°.‎ ‎ 又∵∠D=∠C=60°，‎ ‎ ∴△AED是等边三角形 . ‎ ‎ ∴AD=DE=9－4=5 . ‎ ‎ （2）解：如图25-1‎ 图25-2‎ ‎∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为：‎ S=PD·h =(9－x)·x·sin60°=(9x－x2)=－(x－)2＋. ‎ 由题意，知0≤x≤5 . ‎ 当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=. ‎ ‎（3）证法一：如图25-3‎ 假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .‎ ‎ 于是9－x=x，x=.‎ ‎ 此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP .‎ ‎△PDQ恰为等边三角形 .‎ ‎ 过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求.‎ 连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .‎ 图25-3‎ ‎ 易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD ‎ ∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .‎ ‎ 又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 . ‎ ‎ 所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=. ‎ 证法二：如图25-4‎ 假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . ‎ ‎ 于是9－x=x，x=. ‎ ‎ 此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△PDQ恰为等边三角形 .‎ ‎ 过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .‎ ‎ 易知∠1=∠C .‎ ‎ ∴PQ∥BC .‎ ‎ 又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD 图25-4‎ ‎ ∴MP= CD=PD ‎ 即MP=PD=DQ=QM ‎ ∴四边形PDQM是菱形 ‎ 所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－= ‎ ‎2、解：①由题意得（≤x≤160，且x为整数）‎ ‎②由题意得P与X之间的函数关系式 ‎ ‎③由题意得 ‎∵100天＜160天 ‎∴存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元 ‎3、解：（1）设，‎ 把代入，得．‎ ‎．‎ 自变量的取值范围是：．‎ ‎（2）当时，‎ 设，‎ 把代入，得，．‎ ‎．‎ 当时，‎ 即．‎ ‎（3）设王亮用于回顾反思的时间为分钟，学习效益总量为，‎ 则他用于解题的时间为分钟．‎ 当时，‎ ‎．‎ 当时，．‎ 当时，‎ ‎．‎ 随的增大而减小，‎ 当时，．‎ 综合所述，当时，，此时．‎ 即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．‎ 图1‎ A P Q B C D M ‎4、解：⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），‎ ‎∴设抛物线解析式为 根据题意，得，解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎⑵存在。‎ 由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。‎ ‎①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，‎ 得，即y＝4－x。‎ 又P点(x,y)在抛物线上，∴，即 解得，，应舍去。∴。‎ ‎∴，即点P坐标为。‎ ‎②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。‎ ‎∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。‎ ‎⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,‎ 得CB＝,CD＝,BD＝,‎ ‎∴,‎ ‎∴∠BCD＝90°,‎ 设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，‎ ‎∵CF＝DF＝1,‎ ‎∴∠CDF＝45°,‎ 由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），‎ ‎∴DM∥BC,‎ ‎∴四边形BCDM为直角梯形, ‎ 由∠BCD＝90°及题意可知，‎ 以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;‎ 以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。‎ E F 综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。……‎ ‎5、解：（1）设所在直线的函数解析式为，‎ ‎∵（2，4），‎ ‎∴, ,‎ ‎∴所在直线的函数解析式为.‎ ‎（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，‎ ‎ ∴（0≤≤2）.‎ ‎∴顶点的坐标为(,).‎ ‎∴抛物线函数解析式为.‎ ‎∴当时，（0≤≤2）.‎ ‎∴点的坐标是（2，）.）‎ ‎② ∵==， 又∵0≤≤2，‎ ‎∴当时，PB最短. ‎ ‎（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.‎ 假设在抛物线上存在点，使.‎ D O A B P M C E ‎ 设点的坐标为（，）.‎ ‎①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，∴，∴点的坐标是（0，）.‎ ‎∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.‎ ‎∵，∴点落在直线上.‎ ‎∴=.‎ 解得，即点（2，3）.‎ ‎∴点与点重合.‎ ‎∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积 相等.‎ ‎②当点落在直线的上方时，‎ 作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，‎ ‎∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），‎ ‎∴直线函数解析式为.‎ ‎∵，∴点落在直线上.‎ ‎∴=.‎ 解得：，.‎ 代入，得，.‎ ‎∴此时抛物线上存在点，‎ 使△与△的面积相等. ‎ 综上所述，抛物线上存在点，‎ ‎ 使△与△的面积相等.‎ ‎ ‎ ‎6答案 ‎7答案 ‎8、答案：‎ ‎9、解：（1）设抛物线的解析式为，‎ 且过点，‎ 由在H ．‎ 则． （2分）‎ y O x F H Q M N 得方程组，‎ 解得．‎ 抛物线的解析式为 （4分）‎ ‎（2）由 （6分）‎ 得顶点坐标为，对称轴为． （8分）‎ ‎（3）①连结，过点作直线的垂线，垂足为，‎ 则．‎ 在中，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 以点为圆心，为半径的与直线相切． （10分）‎ ‎②连结过点作直线的垂线，垂足为．过点作垂足为，‎ 则．‎ 在中，，．‎ ‎．‎ 以点为圆心为半径的与直线相切． （12分）‎ ‎③以抛物线上任意一点为圆心，以为半径的圆与直线相切． （14分）‎ 说明：解答题只提供了一种答案，如有其他解法只要正确，可参照本评分标准按步骤赋分 ‎10、（1）解法一：，‎ 由题意可知，， 2分 ‎， 3分 ‎．又， 4分 解法二：，‎ 由题意可知，， 2分 ‎， 3分 ‎ 4分 ‎（2）解法一：过作直线轴于，‎ 则，，故． 5分 又由（1）知，‎ 设过三点的抛物线解析式为 抛物线过原点，． 6分 又抛物线过两点， 解得 所求抛物线为……8分 它的对称轴为． 9分 解法二：过作直线轴于，‎ 则，，故． 5分 又由（1）知，点关于直线对称，点为抛物线的顶点 6分 于是可设过三点的抛物线解析式为 抛物线过点，，解得 所求抛物线为 8分 它的对称轴为． 9分 ‎（3）答：存在 10分 满足条件的点有，，，．（每空1分） 14分 ‎11、解：(1)‎ 即：‎ ‎(2)由题意得：‎ ‎400x-2600≥800 解得：x≥8.5‎ ‎∴每份售价最少不低于9元。‎ ‎(3) 由题意得：‎ ‎∴当或(不合题意，舍去)时 ‎ ‎ ‎∴每份套餐的售价应定为12元时,日净收入为1640元。‎ ‎12、解：(1)∵‎ ‎∴A(-2,-4)………………………………………………………………………2分 ‎(2)四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)‎ ‎ 四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()‎ ‎ 四边形ABP3O为直角梯形时，P1()‎ ‎ 四边形ABOP4为直角梯形时，P1()……………………………………6分 ‎ 注：正确写出一个点的坐标，得1分。‎ ‎(3) ‎ 由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x……………………………………………………………………………………………7分 ‎①当点P在第二象限时，x<0,‎ ‎ △POB的面积 ‎ ∵△AOB的面积，‎ ‎∴…………………………………………8分 ‎∵，‎ ‎∴‎ 即 ∴‎ ‎∴x的取值范围是………………………………………9分 ‎②当点P在第四象限是，x>0,‎ ‎ 过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′‎ ‎ 则四边形POA′A的面积 ‎∵△AA′B的面积 ‎∴…………………………………………10分 ‎∵，‎ ‎∴ 即 ∴‎ ‎∴x的取值范围是 ‎13、解：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，‎ 故利润关于投资量的函数关系式是=；‎ 因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-②所示，函数=的图像过（2，2），所以，‎ 故利润关于投资量的函数关系式是；‎ ‎（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木（）万元，他获得的利润是万元，根据题意，得 ‎=+==‎ 当时，的最小值是14；‎ 因为，所以 所以 所以 所以，即，此时 当时，的最大值是32；‎ ‎14、解：（1）y=xw=x(10x+90)=10x2+90x, 10x2+90x=700,解得x=5‎ 答：前5个月的利润和等于700万元 ‎（2）10x2+90x=120x,解得，x=3‎ 答：当x为3时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等.‎ ‎（3）12（10×12+90）+12（10×12+90）=5040（万元）‎ ‎15、解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.‎ ‎(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,‎ 所以S△BPQ=×BP×QE=(6-t)×t=－t2+3t；‎ ‎(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos600=×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,‎ 所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=t,又因为∠PEQ=900,‎ 所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以当t=时, △APR～△PRQ ‎16、解：(1)E(3,1)；F(1,2)；‎ ‎(2)在Rt△EBF中,∠B=900，所以EF=.设点P的坐标为(0,n),其中n＞0,因为顶点F(1,2),所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a≠0) ．‎ ‎①如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．‎ ‎②如图2,当EP=FP时,EP2=FP2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=－(舍去) ．‎ ‎③当EF=EP时,EP=＜3,这种情况不存在.‎ 综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．‎ ‎(3)存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小．‎ P O ‎ 图②‎ E C y x A D B F 如图3,作点E关于x轴的对称点E/,作点F关于y轴的对称点F/,连接E/F/,分别与x轴、y轴交于点M、N,则点M、N就是所求.所以E/(3,-1)、F/(-1,2),NF=NF/,ME=ME/,所以BF/=4,BE/=3,所以FN+NM+ME=F/N+NM+ME/=F/E/==5.又因为EF=,所以FN+MN+ME+EF=5+,此时四边形MNFE的周长最小值为5+.‎ P O ‎ 图①‎ E C y x A D B F E/‎ F/‎ M N O ‎ 图③‎ E C y x A D B F ‎10 20 30 40 50 60 70 80 ‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ ‎800‎ ‎0‎ ‎17、 解：（1）画图如右图； 1分 由图可猜想与是一次函数关系， 2分 设这个一次函数为= +（k≠0）‎ ‎∵这个一次函数的图象经过（30，500）‎ ‎（40，400）这两点，‎ ‎∴ 解得 ……3分 ‎ ‎∴函数关系式是：=－10+800 4分 ‎（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得 ‎ ‎ W=（－20）（－10+800） 6分 ‎ =－10+1000-16000‎ ‎ =－10（－50）+9000 7分 ‎ ∴当=50时，W有最大值9000．‎ 所以，当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元． 8分 ‎（3）对于函数 W=－10（－50）+9000，当≤45时，‎ W的值随着值的增大而增大， 9分 ‎∴销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大． 10分 ‎18、 解：（1）解法一：∵抛物线=－++经过点A（0，－4），‎ ‎ ∴=－4 1分 又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，‎ ‎∴+=， =－=6 2分 由已知得（-）=25‎ 又（-）=（+）－4‎ ‎ =－24‎ ‎ ∴ －24=25 ‎ ‎ 解得=± 3分 当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．‎ ‎∴=－． 4分 解法二：∵、是方程－++c=0的两个根，‎ ‎ 即方程2－3+12=0的两个根．‎ ‎∴=， 2分 ‎∴－==5，‎ ‎ 解得 =± 3分 ‎ （以下与解法一相同．） ‎ ‎ （2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分 ‎ 又∵=－－－4=－（+）+ 6分 ‎ ∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． 7分 ‎ （3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），‎ 根据菱形的性质，点P必是直线=-3与 抛物线=－--4的交点， 8分 ‎ ∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4， ‎ ‎ ∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． 9分 ‎ 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ‎ ‎19、证明： （1）因为ABCD是正方形，所以 ‎∠DAE=∠FBE=，‎ 所以∠ADE+∠DEA=， 1分 又EF⊥DE，所以∠AED+∠FEB=， 2分 所以∠ADE=∠FEB， 3分 所以ADE∽BEF． 4分 ‎（2）解：由（1） ADE∽BEF，AD=4，BE=4-，得 ‎，得 5分 ‎==， 6分 所以当=2时， 有最大值， 7分 的最大值为1． ‎ ‎20、解： （1） DC∥AB，AD=DC=CB， ∠CDB=∠CBD=∠DBA， 0.5分 ‎ ∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA， 1分 ‎∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60， 1.5分 ‎ ∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2， 2分 RtAOD，OA=1，OD=， 2.5分 A（-1，0），D（0， ），C（2， ）． 4分 ‎（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），‎ 故可设所求为 = （+1）（ -3） 6分 将点D（0， ）的坐标代入上式得， =．‎ 所求抛物线的解析式为 = 7分 其对称轴L为直线=1． 8分 ‎（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：‎ ‎①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B， ‎ P1DB为等腰三角形； 9分 ‎②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；‎ ‎③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5． 10分 由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．‎ 第28题图1‎ E C B y P A ‎21．解：（1）令，得 解得 令，得 ‎∴ A B C （2分）‎ ‎（2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=‎ ‎∵AP∥CB， ∴PAB=‎ ‎ 过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形 令OE=，则PE= ∴P ‎∵点P在抛物线上 ∴ ‎ 解得，（不合题意，舍去） ∴PE= 4分）‎ ‎∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE ‎= 6分）‎ ‎(3)． 假设存在 ‎∵PAB=BAC = ∴PAAC ‎∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC =‎ 在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC=‎ 在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= 7分） ‎ 设M点的横坐标为，则M ‎ ‎①点M在轴左侧时，则 G M 第28题图2‎ C B y P A ‎(ⅰ) 当AMG PCA时，有=‎ ‎∵AG=，MG=‎ 即 ‎ 解得（舍去） （舍去）‎ ‎(ⅱ) 当MAG PCA时有=‎ 即 ‎ 解得：（舍去） ‎ G M 第28题图3‎ C B y P A ‎∴M （10分）‎ ‎② 点M在轴右侧时，则 ‎ ‎(ⅰ) 当AMG PCA时有=‎ ‎∵AG=，MG= ‎ ‎∴ ‎ 解得（舍去） ‎ ‎ ∴M ‎ ‎(ⅱ) 当MAGPCA时有= ‎ 即 ‎ 解得：（舍去） ∴M ‎∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似 M点的坐标为，， （13分）‎ 说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分 ‎22、解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． ‎ A B C M N P 图 1‎ O ‎ ∴ △AMN ∽ △ABC．‎ ‎∴ ，即．‎ ‎∴ AN＝x． ‎ ‎∴ =．（0＜＜4） ‎ A B C M N D 图 2‎ O Q ‎（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．‎ 在Rt△ABC中，BC ＝=5．‎ ‎ 由（1）知 △AMN ∽ △ABC． ‎ ‎∴ ，即． ‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ．‎ 过M点作MQ⊥BC 于Q，则． ‎ 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，‎ ‎∴ △BMQ∽△BCA．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ，． ‎ ‎∴ x＝． ‎ ‎∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切． ‎ A B C M N P 图 3‎ O ‎（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．‎ ‎∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．‎ ‎∴ △AMO ∽ △ABP． ‎ ‎∴ ． AM＝MB＝2． ‎ 故以下分两种情况讨论： ‎ ① 当0＜≤2时，． ‎ ‎∴ 当＝2时， ‎ ‎ ② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．‎ A B C M N P 图 4‎ O E F ‎∵ 四边形AMPN是矩形， ‎ ‎∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． ‎ 又∵ MN∥BC， ‎ ‎∴ 四边形MBFN是平行四边形． ‎ ‎∴ FN＝BM＝4－x． ‎ ‎∴ ． ‎ 又△PEF ∽ △ACB． ‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ． ‎ ‎＝.‎ 当2＜＜4时，． ‎ ‎∴ 当时，满足2＜＜4，．‎ 综上所述，当时，值最大，最大值是2．‎ ‎23、解：（1），，…………………………1分 等腰；…………………………2分 ‎ （2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）‎ ‎ 　①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)‎ ‎②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)‎ ‎③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)‎ 所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分 K ‎（3）由题意知，FP∥AE，‎ ‎ ∴ ∠1＝∠PFB，‎ 又∵ ∠1＝∠2＝30°，‎ ‎ ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,‎ ‎∴ FP＝BP.…………………………6分 过点P作PK⊥FB于点K，则.‎ ‎∵ AF＝t，AB＝8，‎ ‎∴ FB＝8－t，.‎ 在Rt△BPK中，. ……………………7分 ‎∴ △FBP的面积，‎ ‎∴ S与t之间的函数关系式为：‎ ‎ ，或. …………………………………8分 t的取值范围为：. …………………………………………………………9分 ‎24、解：（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，‎ ‎∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分）‎ ‎∴ B(-2,3)‎ ‎∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，‎ ‎∴ 点A的坐标为(4,0) . ‎ 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). ……………………（3分）‎ 将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .‎ ‎∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （6分）‎ ‎ （2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).‎ ‎ 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，‎ A B C O D E x y x=2‎ G F H ‎ 则BG⊥直线x=2，BG=4.‎ ‎ 在Rt△BGC中，BC=.‎ ‎∵ CE=5，‎ ‎∴ CB=CE=5. ……………………（9分）‎ ‎②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，‎ 则点H的坐标为H(0,-5).‎ 又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，‎ ‎∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.‎ ‎ ∴ △DFB≌△DHE （SAS），‎ ‎∴ BD=DE.‎ 即D是BE的中点. ………………………………（11分）‎ ‎ （3） 存在. ………………………………（12分）‎ ‎ 由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，‎ ‎∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.‎ ‎ 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.‎ ‎ 将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 .‎ ‎ ∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.‎ ‎∵ 动点P的坐标为(x，)，‎ ‎∴ x-1=. ………………………………（13分）‎ 解得 ，. ∴ ，.‎ ‎∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…（14分）‎ ‎(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)‎ ‎25、解：（1）根据题目条件，的坐标分别是． 1分 设抛物线的解析式为， 2分 y x O B A C G N D H 将的坐标代入，得 3分 解得． 4分 所以抛物线的表达式是． 5分 ‎（2）可设，于是 ‎ 6分 从而支柱的长度是米． 7分 ‎（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，‎ 则点坐标是． 8分 过点作垂直交抛物线于，则． 9分 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 10分 ‎26、解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，‎ 在中，，．‎ ‎．．‎ 点坐标为（2，4）． 2分 在中，， 又．‎ ‎ ． 解得：．‎ 点坐标为 3分 ‎（2）如图①，．‎ ‎，又知，，‎ ‎， 又．‎ 而显然四边形为矩形．‎ ‎ 5分 ‎，又 当时，有最大值． 6分 ‎（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）‎ 在中，，，为的中点，‎ y x B C O A D E 图①‎ P M N F ‎．‎ 又，为的中点．‎ 过点作，垂足为，则是的中位线，‎ ‎，，‎ 当时，，为等腰三角形．‎ 此时点坐标为． 8分 ‎（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）‎ y x B C O A D E 图②‎ P M N F 在中，．‎ 过点作，垂足为．‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎，．‎ ‎，，‎ 当时，（），此时点坐标为． 11分 综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或． ‎ ‎27.解：（1）‎ ‎（2）　（0,3），（－3,0），（1,0）‎ ‎28、解：（1）y=-2x+96；‎ ‎（2）设销售利润为w，则 或，整理得 或 综上知，当t=14时，利润最大，最大利润是578元。‎ ‎（3）由题意得，‎ 整理得，‎ 则，，解得，。‎ ‎29解： （1）① ‎ ‎，，S梯形OABC=12 ‎ ‎②当时，‎ 直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积 ‎ ‎ ‎（2） 存在 ‎ ‎ ‎ ‎ 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：‎ ① ‎ 以点D为直角顶点，作轴 ‎ ‎ 设.（图示阴影）‎ ‎，在上面二图中分别可得到点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）‎ E点在0点与A点之间不可能；‎ ‎② 以点E为直角顶点 ‎ ‎ 同理在②二图中分别可得点的生标为P（－，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.‎ ③ 以点P为直角顶点 同理在③二图中分别可得点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），‎ E点在A点下方不可能.‎ 综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、‎ P（8，4）、P（4，4）．‎ 下面提供参考解法二：‎ 以直角进行分类进行讨论（分三类）：‎ 第一类如上解法⑴中所示图 ‎，直线的中垂线方程：，令得．由已知可得即化简得解得 ；‎ 第二类如上解法②中所示图 ‎，直线的方程：，令得．由已知可得即化简得解之得 ，‎ 第三类如上解法③中所示图 ‎，直线的方程：，令得．由已知可得即解得 ‎（与重合舍去）．‎ 综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、‎ P（8，4）、P（4，4）．‎ 事实上，我们可以得到更一般的结论：‎ 如果得出设，则P点的情形如下 直角分类情形