全国各地中考数学解析汇编 动态型问题

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四十章 动态型问题 18．(2012 江苏苏州，18，3 分)如图①，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=60°，动点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的速度沿着 A→B→C→D 的方向不停移动，直到点 P 到达点 D 后才停 止．已知△PAD 的面积 S（单位：cm2）与点 P 移动的时间（单位：s）的函数如图②所示， 则点 P 从开始移动到停止移动一共用了 （4+2 ） 秒（结果保留根号）． 分析： 根据图②判断出 AB、BC 的长度，过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，然后求出梯形 ABCD 的高 BE，再根据 t=2 时△PAD 的面积求出 AD 的长度，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F， 然后求出 DF 的长度，利用勾股定理列式求出 CD 的长度，然后求出 AB、BC、CD 的和，再根据时间=路程÷速度计算即可得解． 解答： 解：由图②可知，t 在 2 到 4 秒时，△PAD 的面积不发生变化， ∴在 AB 上运动的时间是 2 秒，在 BC 上运动的时间是 4﹣2=2 秒， ∵动点 P 的运动速度是 1cm/s， ∴AB=2cm，BC=2cm， 过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F， 则四边形 BCFE 是矩形， ∴BE=CF，BC=EF=2cm， ∵∠A=60°， ∴BE=ABsin60°=2× = ， AE=ABcos60°=2× =1， ∴ ×AD×BE=3 ， 即 ×AD× =3 ， 解得 AD=6cm， ∴DF=AD﹣AE﹣EF=6﹣1﹣2=3， 在 Rt△CDF 中，CD= = =2 ， 所以，动点 P 运动的总路程为 AB+BC+CD=2+2+2 =4+2 ， ∵动点 P 的运动速度是 1cm/s， ∴点 P 从开始移动到停止移动一共用了（4+2 ）÷1=4+2 （秒）． 故答案为：（4+2 ）． 点评： 本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出 AB、 BC 的长度是解题的关键，根据梯形的问题中，经常作过梯形的上底边的两个顶点的 高线作出辅助线也很关键． 23.（2012 贵州省毕节市，23，12 分）如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线 AC 剪开， 得到△ACD 和△A′BC′. (1)如图②，将△ACD 沿 A′C′边向上平移，使点 A 与点 C′重合，连接 A′D 和 BC，四边形 A′BCD 是 形； （2）如图③，将△ACD 的顶点 A 与 A′点重合，然后绕点 A 沿逆时针方向旋转，使点 D、A、 B 在同一直线上，则旋转角为 度；连接 CC′，四边形 CDBC′是 形； （3）如图④，将 AC 边与 A′C′边重合，并使顶点 B 和 D 在 AC 边的同一侧，设 AB、CD 相 交于 E，连接 BD，四边形 ADBC 是什么特殊四边形？请说明你的理由。 第 23 题图 解析：（1）利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；（2） 利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可；（3）利用等腰梯形的判定方法得出 BD ∥AC，AD=CE，即可得出答案． 解案：解：（1）平行四边形； 证明：∵AD=AB，AA′=AC，∴A′C 与 BD 互相平分， ∴四边形 A′BCD 是平行四边形； （2）∵DA 由垂直于 AB，逆时针旋转到点 D、A、B 在同一直线上， ∴旋转角为 90 度； 证明：∵∠D=∠B=90°，A，D，B 在一条直线 上， ∴CD∥BC′，∴四边形 CDBC′是直角梯形； 故答案为：90，直角梯； （3）四边形 ADBC 是等腰梯形； 证明：过点 B 作 BM⊥AC，过点 D 作 DN⊥AC，垂足分别为 M，N， ∵有一张矩形纸片，将它沿对角线 AC 剪开，得到△ACD 和△A′BC′．∴△ACD≌△A′BC′， ∴BM=ND，∴BD∥AC， ∵AD=BC，∴四边形 ADBC 是等腰梯形． 点评：此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定 方法等知识，熟练掌握判定定理是解题关键． 26.（2012 年广西玉林市，26，12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 AOCD 的顶点 A 的坐标是（0，4），现有两动点 P，Q，点 P 从点 O 出发沿线段 OC（不包括端点 O，C）以 每秒 2 个单位长度的速度匀速向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发沿线段 CD（不包括端点 C、D） 以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点 D 运动.点 P，Q 同时出发，同时停止.设运动的时间为 t（秒），当 t=2（秒）时，PQ= 52 . （1）求点 D 的坐标，并直接写出 t 的取值范围； （2）连接 AQ 并延长交 x 轴于点 E，把 AE 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点 F，连接 EF，则△AEF 的面积 S 是否随 t 的变化而变化？若变化，求出 S 与 t 的函数关系式；若不变化，求出 S 的 值. （3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形 APQF 是梯形？ 解：（1）设 OC= x ， 当 t=2 时，OP=4，PC= x －4；CQ=2. 在 Rt△PQC 中， 222 CQPCPQ  ，    222 2452  x ,解得 01 x （不合题意，舍 去）， 82 x ，∴D 点坐标（8，4）； （ 2 ） 由 翻 折 可 知 ， 点 Q 和 点 F 关 于 直 线 AD 对 称 ， ∴ QD=DF=4 － t ， 而 AD=8 ， ∴   ttS AQF 8324282 1  . 设经过 A（0，4）、Q（8，t）两点的一次函数解析式为 bkxy  ，故有：      bkt b 8 4 ，解得 8 4 tk ，∴一次函数的解析式为 48 4  xty ，易知一次函数与 x 轴 的交点的坐标为（ t4 32 ，0），∴EC= t4 32 －8，∴   tttS EQF 84284 32 2 1       ， ∴ 328832   ttSSS QFEAFQAFE .∴△AEF 的面积 S 不随 t 的变化而变化，S 的 值为 32. （3）因 AP 与 QF 不平行，要想使四边形 APQF 是梯形，须有 PQ∥AF. ∵AF=AQ，∴∠AFQ=∠AQF，而∠CQE=∠AQF，要想 PQ∥AF，须有∠AFQ=∠PQC，故只需 具备条件∠PQC =∠CQE ，又∵QC⊥PE，∴∠ CQP=∠QCE，QC=QC，∴△CQP ≌△QCE ， ∴PC=CE，即 8－2t= t4 32 －8，解得 5261 t （不合题意，舍去）， 5262 t .故 当 526 t 时，四边形 APQF 是梯形. 22. （2012 珠海，22，9 分）如图,在等腰梯形 ABCD 中 AB∥CD,AB＝ 3 2 ,DC＝ 2 ,高 CE ＝2 2,对角线 AC、BD 交于 H，平行于线段 BD 的两条直线 MN、RQ 同时从点 A 出发沿 AC 方向 向点 C 匀速平移，分别交等腰梯形 ABCD 的边于 M、N 和 R、Q，分别交对角线 AC 于 F、G；当 直线 RQ 到达点 C 时，两直线同时停止移动.记等腰梯形 ABCD 被直线 MN 扫过的面积为 1S ， 被直线 RQ 扫过的面积为 2S ，若直线 MN 平移的速度为 1 单位/秒,直线 RQ 平移的速度为 2 单 位/秒,设两直线移动的时间为 x 秒. (1)填空:∠AHB＝____________; AC＝_____________; (2) 若 2 13S S ,求 x; (3) 若 2 1S mS ,求 m 的变化范围. [ 来 源:Z&xx&k.Com] 【解析】(1) 如图第 22 题-1 所示,平移对角线 DB,交 AB 的延长线于 P.则四边形 BPCD 是平 行四边形,BD＝PC,BP＝DC＝ 2 .因为等腰梯形 ABCD,AB∥CD,所以 AC＝BD. 所以 AC＝PC.又 高 CE＝2 2, AB＝3 2 ,所以 AE＝EP＝2 2.所以∠AHB＝90°AC＝4; ⑵直线移动有两种情况: 30 2x  及 3 22 x  ,需要分类讨论.①当 30 2x  时, 有 2 2 1 4S AG S AF      .∴ 2 13S S ②当 3 22 x  时,先用含有 x 的代数式分别表示 1S , 2S ,然 后由 2 13S S 列出方程,解之可得 x 的值; (3) 分情况讨论:①当 30 2x  时, A B C D P O .②当 3 22 x  时,由 2 1S mS ,得  2 2 21 8 8 2 2 3 xSm S x    ＝ 21 236 43x       .然后讨论这个函数的最值,确定 m 的变化范 围. 【答案】(1) 90°,4; (2)直线移动有两种情况: 30 2x  及 3 22 x  . ①当 30 2x  时,∵MN∥BD,∴△AMN∽△ARQ,△ANF∽△AQG. 2 2 1 4S AG S AF      .∴ 2 13S S ②当 3 22 x  时, 如图第 22 题-2 所示, CG＝4－2x,CH＝1, 1 4 1 22BCDS     .   2 24 22 8 21CRQ xS x        2 1 2 3S x ,  2 2 8 8 2S x   由 2 13S S ,得方程  2 228 8 2 3 3x x    ,解得 1 6 5x  (舍去), 2 2x  . ∴x＝2. (3) 当 30 2x  时,m＝4 当 3 22 x  时, 由 2 1S mS ,得  2 2 8 8 2 2 3 xm x   ＝ 2 36 48 12xx    ＝ 21 236 43x       . M 是 1 x 的二次函数, 当 3 22 x  时, 即当 1 1 2 2 3x   时, M 随 1 x 的增大而增大. 当 3 2x  时,最大值 m＝4. 当 x＝2 时,最小值 m＝3. ∴3≤m≤4. 【点评】本题是一道几何代数综合压轴题,重点考查等腰梯形, 相似三角形的性质,二次函数 的增减性和最值及分类讨论,由特殊到一般的数学思想等的综合应用.解题时, (1)小题,通过平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形,从而使问题得以简化,是我们解决 梯形问题常用的方法. (2) 小题直线移动有两种情况: 30 2x  及 3 22 x  ,需要分类讨论.这点万不可忽略,解 题时用到的知识点主要是相似三角形面积比等于相似比的平方. (3) 小题仍需要分情况讨论.对于函数 21 236 43m x        ,讨论它的增减性和最值是个 难点. 讨论之前点明我们把这个函数看作“M 是 1 x 的二次函数”对顺利作答至关重要. 16、（2012·湖南省张家界市·16 题·3 分）已知线段 AB=6，C、D 是 AB 上两点，且 AC=DB=1，P 是线段 CD 上 一动点，在 AB 同侧分别作等边三角形 APE 和等边三角形 PBF，G 为线段 EF 的中点，点 P 由点 C 移动到点 D 时，G 点 移动的路径长度为________. 【分析】 不好意思，本题做不出来，还请高手补充 18．（2012 湖北荆州，18，3 分）如图(1)所示，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，动点 P、Q 同时从点 B 出发，点 P 沿折线 BE—ED—DC 运动到点 C 时停 止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 时停止， 它们运动的速度都是 1cm/秒．设 P、Q 同发 t 秒时， △BPQ 的面积为 ycm2．已知 y 与 t 的函数关系图象如图(2)(曲线 OM 为抛物线的一部分)， 则下列结论： ①AD ＝BE＝5；②cos∠ABE＝ 3 5 ；③ 当 0＜t≤5 时，y＝ 2 5 t2 ；④当 t＝ 29 4 秒时， △ABE∽△QBP；其中正确的结论是__▲ __(填序号)． 图(1) 图(2) 第 18 题图 A DE P Q CB M N H y tO 5 7 10 【解析】首先，分析函数的图象两个坐标轴表示的实际意义及函数的图象的增减情况. 横轴表示时间 t，纵轴表示△BPQ 的面积 y. 当 0＜t≤5 时，图象为抛物线，图象过原点，且关于 y 轴对称，y 随的 t 增大而增大， t=5 的时候，△BPQ 的面积最大， 图(3) A C P D B E G F 5＜t＜7 时，y 是常函数，△BPQ 的面积不变，为 10. 从而得到结论：t=5 的时候，点 Q 运动到点 C，点 P 运动到点 E， 所以 BE＝BC=AD＝5×1=5cm， 5＜t＜7 时，点 P 从 E→D，所以 ED=2×1=2cm，AE=3 cm，AB=4 cm. cos∠ABE＝ 5 4 BE AB . 设抛物线 OM 的函数关系式为 2aty  （ ,0a 0＜t≤5),把（5,10）代入得到 a2510  ，所 以 5 2a ， 所以当 0＜t≤5 时， y＝ 5 2 t2 当 t＞5 时，点 P 位于线段 CD 上，点 Q 与点 C 重合，. 当 t＝ 29 4 秒，点 P 位于 P’处，C P’=CD－DP’=4－（ 29 4 －7）= 4 15 cm. 在△ABE 和△Q’BP’中， 3 4  CP BQ AE AB ,∠A＝Q’=90°，所以△ABE∽△Q’BP’ 【答案】①③④ 【点评】本题综合考察了动点问题、二次函数、三角形相似、常函数、锐角三角函数、分段 函数的知识，综合性强。读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的 过程，把图象的过程和几何的动点运动过程相结合，化静为动，从而解决问题。本题考察的 知识点全面，难度较大。 8.（2012湖北黄冈，8，3）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm，点P从点A出发， 沿AB方向以每 秒 2 cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP为菱形，则t的值 为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 2 D.3 【解析】连接 PP′交 BC 于点 D，若四边形 QPCP 为菱形，则 PP′⊥BC，CD＝ 1 2 CQ= 1 2 （6-t）， ∴BD=6- 1 2 （6-t）=3+ 1 2 t.在 Rt△BPD 中，PB=AB-AP=6 2 - 2 t，而 PB= 2 BD， ∴6 2 - 2 t= 2 （3+ 1 2 t），解得：t=2，故选 B. 【答案】B 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形和菱形的性质，要能在动态变化中抓住静态结论利 D 用方程思想解题.难度中等. 12. （2012 甘肃兰州，12，4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 BC=2cm，F 是弦 BC 的中点， ∠ABC=60°.若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→B→A 的方向运动，设运动时间 为 t(s)(0≤t＜3)， 连接 EF，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ） A. 4 7 B. 1 C. 4 7 或 1 D. 4 7 或 1 或 4 9 解析：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC 中，BC=2，∠ABC=60°； ∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF 中，∠ABC=60°， 则 BE=2BF=2cm；故此时 AE=AB-BE=2cm；∴E 点运动的距离为：2cm 或 6cm，[来源:Zxxk.Com] 故 t=1s 或 3s；由于 0≤t＜3，故 t=3s 不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s；②当 ∠BEF=90°时；同①可求得 BE=0.5cm，此时 AE=AB-BE=3.5cm；∴E 点运动的距离为：3.5cm 或 4.5cm，故 t=1.75s 或 2.25s；综上所述，当 t 的值为 1、1.75 或 2.25s 时，△BEF 是直 角三角形．故选 D． 答案：D 点评：根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形 ABC，再根据 30°直角三角形的性质， 可求出 AB 的长.△BEF 是直角三角形，则有两种情况：①∠BFE=90°，②∠BEF=90°；在上 述两种情况所得到的直角三角形中，已知了 BC 边和∠B 的度数，即可求得 BE 的长；由 AE=AB-BE 即可求出 AE 的长，也就能得出 E 点运动的距离（有两种情况），从而求出 t 的值．此 题综合考查了圆周角定理的推论、垂径定理以及直角三角形的性质，是一道动态题，同时还 考查了分类讨论的数学思想，有一定的难度． 26．（2012 贵州遵义，26, 分）如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动 点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度 由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PE⊥AB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D． （1）当∠BQD=30°时，求 AP 的长； （2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化 请说明理由． 解析： （1））由△ABC 是边长为 6 的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设 AP=x， 则 PC=6﹣x，QB=x，在 Rt△QCP 中，∠BQD=30°，PC= QC，即 6﹣x= （6+x），求出 x 的值即可； （2）作 QF⊥AB，交直线 AB 的延长线于点 F，连接 QE，PF，由点 P、Q 做匀速运动且速度相同，可知 AP=BQ， 再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由 AE=BF，PE=QF 且 PE∥QF，可知四边形 PEQF 是平行四边形，进而可得出 EB+AE=BE+BF=AB，DE= AB，由等边△ABC 的边长为 6 可得出 DE=3，故当 点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变． 答案： 解：（1）∵△ABC 是边长为 6 的等边三角形， ∴∠ACB=60°， 第 12 题图 ∵∠BQD=30°， ∴∠QPC=90°， 设 AP=x，则 PC=6﹣x，QB=x， ∴QC=QB+BC=6+x， ∵在 Rt△QCP 中，∠BQD=30°， ∴PC= QC，即 6﹣x= （6+x），解得 x=2； （2）当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变．理由如下： 作 QF⊥AB，交直线 AB 的延长线于点 F，连接 QE，PF， 又∵PE⊥AB 于 E， ∴∠DFQ=∠AEP=90°， ∵点 P、Q 做匀速运动且速度相同， ∴AP=BQ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°， ∴在△APE 和△BQF 中， ∵∠A=∠FBQ∠AEP=∠BFQ=90°， ∴∠APE=∠BQF， ∴ ∴△APE≌△BQF， ∴AE=BF，PE=QF 且 PE∥QF， ∴四边形 PEQF 是平行四边形， ∴DE= EF， ∵EB+AE=BE+BF=AB， ∴DE= AB， 又∵等边△ABC 的边长为 6， ∴DE=3， ∴当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变． 点评： 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线 构造出全等三角形是答案此题的关键． 24. （2012 山东省青岛市，24，12）（12 分）已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm，D、E 分别是 AC、AB 的中点，连接 DE，点 P 从点 D 出发，沿 DE 方 向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 2cm/s， 当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动.连接 PQ，设运动时间为 t(s)(0

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