数学中考每日一练

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数学中考每日一练 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；‎ ‎（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；‎ ‎（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；‎ ‎（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B′，连接B'D，B'D与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值．‎ ‎（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；‎ ‎（4）设出点E的，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）将A，B，C点的坐标代入解析式，得 ‎，‎ 解得，‎ 抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3‎ ‎（2）配方，得y=﹣（x+1）2+4，顶点D的坐标为（﹣1，4）‎ 作B点关于直线x=1的对称点B′，如图1，‎ 则B′（4，3），由（1）得D（﹣1，4），‎ 可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣x+，‎ 当M（1，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，‎ 则m=﹣×1+=．‎ ‎（3）作PE⊥x轴交AC于E点，如图2，‎ AC的解析式为y=x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，m+3），‎ PE=﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）=﹣m2﹣3m S△APC=PE•|xA|=（﹣m2﹣3m）×3=﹣（m+）2+，‎ 当m=﹣时，△APC的面积的最大值是；‎ ‎（4）由（1）、（2）得D（﹣1，4），N（﹣1，2）‎ 点E在直线AC上，设E（x，x+3），‎ ‎①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），‎ ‎∵EF=DN ‎∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=4﹣2=2，‎ 解得，x=﹣2或x=﹣1（舍去），‎ 则点E的坐标为：（﹣2，1）．‎ ‎②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），‎ ‎∵EF=DN，‎ ‎∴（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，‎ 解得x=或x=，‎ 即点E的坐标为：（，）或（，）‎ 综上可得满足条件的点E为E（﹣2，1）或：（，）或（，）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）利用轴对称求最短路径；解（3）的关键是利用三角形的面积得出二次函数；解（4）的关键是平行四边形的性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏．‎