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文档介绍
沈阳市中考数学试卷含答案
2017年沈阳市中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.(2分)7的相反数是( ) A.﹣7 B.﹣ C. D.7 2.(2分)如图所示的几何体的左视图( ) A. B. C. D. 3.(2分)“弘扬雷锋精神,共建幸福沈阳”,幸福沈阳需要830万沈阳人共同缔造,将数据830万用科学记数法可以表示为( )万. A.83×10 B.8.3×102 C.8.3×103 D.0.83×103 4.(2分)如图,AB∥CD,∠1=50°,∠2的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.140° 5.(2分)点A(﹣2,5)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值是( ) A.10 B.5 C.﹣5 D.﹣10 6.(2分)在平面直角坐标系中,点A,点B关于y轴对称,点A的坐标是(2,﹣8),则点B的坐标是( ) A.(﹣2,﹣8) B.(2,8) C.(﹣2,8) D.(8,2) 7.(2分)下列运算正确的是( ) A.x3+x5=x8 B.x3+x5=x15 C.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1 D.(2x)5=2x5 8.(2分)下列事件中,是必然事件的是( ) A.将油滴入水中,油会浮在水面上 B.车辆随机到达一个路口,遇到红灯 C.如果a2=b2,那么a=b D.掷一枚质地均匀的硬币,一定正面向上 9.(2分)在平面直角坐标系中,一次函数y=x﹣1的图象是( ) A. B. C. D. 10.(2分)正六边形ABCDEF内接于⊙O,正六边形的周长是12,则⊙O的半径是( ) A. B.2 C.2 D.2 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 11.(3分)因式分解3a2+a= . 12.(3分)一组数2,3,5,5,6,7的中位数是 . 13.(3分)•= . 14.(3分)甲、乙、丙三人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均值都是8.9环,方差分别是S甲2=0.53,S乙2=0.51,S丙2=0.43,则三人中成绩最稳定的是 (填“甲”或“乙”或“丙”) 15.(3分)某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售量单价是 元/时,才能在半月内获得最大利润. 16.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上,连接CE,则CE的长是 . 三、解答题(本大题共22分) 17.(6分)计算|﹣1|+3﹣2﹣2sin45°+(3﹣π)0. 18.(8分)如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,连接EF. 求证:(1)△ADE≌△CDF; (2)∠BEF=∠BFE. 19.(8分)把3,5,6三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上,把这三张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,先从中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的数字,放回后洗匀,再从中抽取一张卡片,记录下数字,请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率. 四、解答题(每题8分,共16分) 20.(8分)某校为了开展读书月活动,对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查,所有图书分成四类:艺术、文学、科普、其他.随机调查了该校m名学生(每名学生必选且只能选择一类图书),并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图: 根据统计图提供的信息,解答下列问题: (1)m= ,n= ; (2)扇形统计图中,“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是 度; (3)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图; (4)根据抽样调查的结果,请你估计该校600名学生中有多少学生最喜欢科普类图书. 21.(8分)小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛,共有25道题,规定答对一道题得6分,答错或不答一道题扣2分,只有得分超过90分才能获得奖品,问小明至少答对多少道题才能获得奖品? 五、解答题(共10分) 22.(10分)如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AC于点E,过点E作EF⊥AB于点F,延长EF交CB的延长线于点G,且∠ABG=2∠C. (1)求证:EF是⊙O的切线; (2)若sin∠EGC=,⊙O的半径是3,求AF的长. 六、解答题(共10分) 23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8),点C的坐标为(﹣2,4),点M,N分别为四边形OABC边上的动点,动点M从点O开始,以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向中点B匀速运动,动点N从O点开始,以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动,点M,N同时从O点出发,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动,设动点运动的时间t秒(t>0),△OMN的面积为S. (1)填空:AB的长是 ,BC的长是 ; (2)当t=3时,求S的值; (3)当3<t<6时,设点N的纵坐标为y,求y与t的函数关系式; (4)若S=,请直接写出此时t的值. 七、解答题(共12分) 24.(12分)四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在直线上,连接CE,以CE为边,作正方形CEFG(点D,点F在直线CE的同侧),连接BF. (1)如图1,当点E与点A重合时,请直接写出BF的长; (2)如图2,当点E在线段AD上时,AE=1; ①求点F到AD的距离; ②求BF的长; (3)若BF=3,请直接写出此时AE的长. 八、解答题(共12分) 25.(12分)如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,连接AB,点M,N分别是OA,AB的中点,Rt△CDE≌Rt△ABO,且△CDE始终保持边ED经过点M,边CD经过点N,边DE与y轴交于点H,边CD与y轴交于点G. (1)填空:OA的长是 ,∠ABO的度数是 度; (2)如图2,当DE∥AB,连接HN. ①求证:四边形AMHN是平行四边形; ②判断点D是否在该抛物线的对称轴上,并说明理由; (3)如图3,当边CD经过点O时,(此时点O与点G重合),过点D作DQ∥OB,交AB延长线上于点Q,延长ED到点K,使DK=DN,过点K作KI∥OB,在KI上取一点P,使得∠PDK=45°(点P,Q在直线ED的同侧),连接PQ,请直接写出PQ的长. 2017年沈阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.(2分)7的相反数是( ) A.﹣7 B.﹣ C. D.7 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号,求解即可. 【解答】解:7的相反数是﹣7, 故选:A. 【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号:一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆. 2.(2分)如图所示的几何体的左视图( ) A. B. C. D. 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案. 【解答】解:从左边看第一层是一个小正方形,第二层是一个小正方形, 故选:D. 【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图. 3.(2分)“弘扬雷锋精神,共建幸福沈阳”,幸福沈阳需要830万沈阳人共同缔造,将数据830万用科学记数法可以表示为( )万. A.83×10 B.8.3×102 C.8.3×103 D.0.83×103 【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可. 【解答】解:830万=8.3×102万. 故选:B. 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,确定a与n的值是解题的关键. 4.(2分)如图,AB∥CD,∠1=50°,∠2的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.140° 【分析】先根据平行线的性质得∠3=∠1=50°,然后根据邻补角的定义,即可求得∠2的度数. 【解答】解:∵AB∥CD, ∴∠3=∠1=50°, ∴∠2=180°﹣∠3=130°. 故选C. 【点评】本题考查了平行线性质,解题时注意:两直线平行,同位角相等. 5.(2分)点A(﹣2,5)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值是( ) A.10 B.5 C.﹣5 D.﹣10 【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k的值. 【解答】解:∵点A(﹣2,5)在反比例函数y=(k≠0)的图象上, ∴k的值是:k=xy=﹣2×5=﹣10. 故选:D. 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质,得出xy=k是解题关键. 6.(2分)在平面直角坐标系中,点A,点B关于y轴对称,点A的坐标是(2,﹣8),则点B的坐标是( ) A.(﹣2,﹣8) B.(2,8) C.(﹣2,8) D.(8,2) 【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变可得答案. 【解答】解:∵点A,点B关于y轴对称,点A的坐标是(2,﹣8), ∴点B的坐标是(﹣2,﹣8), 故选:A. 【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标,关键是掌握点的坐标特点. 7.(2分)下列运算正确的是( ) A.x3+x5=x8 B.x3+x5=x15 C.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1 D.(2x)5=2x5 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案. 【解答】解:(A)x3与x5不是同类项,故不能合并,故A不正确; (B)x3与x5不是同类项,故不能合并,故B不正确; (D)原式=25x5=32x5,故D不正确; 故选(C) 【点评】本题考查整式的运算,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,本题属于基础题型 8.(2分)下列事件中,是必然事件的是( ) A.将油滴入水中,油会浮在水面上 B.车辆随机到达一个路口,遇到红灯 C.如果a2=b2,那么a=b D.掷一枚质地均匀的硬币,一定正面向上 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可. 【解答】解:A、将油滴入水中,油会浮在水面上是必然事件,故A符合题意; B、车辆随机到达一个路口,遇到红灯是随机事件,故B不符合题意; C、如果a2=b2,那么a=b是随机事件, D、掷一枚质地均匀的硬币,一定正面向上是随机事件, 故选:A. 【点评】本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 9.(2分)在平面直角坐标系中,一次函数y=x﹣1的图象是( ) A. B. C. D. 【分析】观察一次函数解析式,确定出k与b的符号,利用一次函数图象及性质判断即可. 【解答】解:一次函数y=x﹣1, 其中k=1,b=﹣1, 其图象为, 故选B 【点评】此题考查了一次函数的图象,熟练掌握一次函数的图象与性质是解本题的关键. 10.(2分)正六边形ABCDEF内接于⊙O,正六边形的周长是12,则⊙O的半径是( ) A. B.2 C.2 D.2 【分析】连接OA,OB,根据等边三角形的性质可得⊙O的半径,进而可得出结论. 【解答】解:连接OB,OC, ∵多边形ABCDEF是正六边形, ∴∠BOC=60°, ∵OB=OC, ∴△OBC是等边三角形, ∴OB=BC, ∵正六边形的周长是12, ∴BC=2, ∴⊙O的半径是2, 故选B. 【点评】本题考查的是正多边形和圆,熟知正六边形的性质是解答此题的关键. 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 11.(3分)因式分解3a2+a= a(3a+1) . 【分析】直接提公因式a即可. 【解答】解:3a2+a=a(3a+1), 故答案为:a(3a+1). 【点评】此题主要考查了提公因式法进行因式分解,关键是正确确定公因式. 12.(3分)一组数2,3,5,5,6,7的中位数是 5 . 【分析】根据中位数的概念求解. 【解答】解:这组数据按照从小到大的顺序排列为:2,3,5,5,6,7, 则中位数为:=5. 故答案是:5. 【点评】本题考查了中位数的知识,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 13.(3分)•= . 【分析】原式约分即可得到结果. 【解答】解:原式=•=, 故答案为: 【点评】此题考查了分式的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 14.(3分)甲、乙、丙三人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均值都是8.9环,方差分别是S甲2=0.53,S乙2=0.51,S丙2=0.43,则三人中成绩最稳定的是 丙 (填“甲”或“乙”或“丙”) 【分析】根据方差的定义,方差越小数据越稳定,即可得出答案. 【解答】解:∵S甲2=0.53,S乙2=0.51,S丙2=0.43, ∴S甲2>S乙2>S丙2, ∴三人中成绩最稳定的是丙; 故答案为:丙. 【点评】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定. 15.(3分)某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售量单价是 35 元/时,才能在半月内获得最大利润. 【分析】设销售单价为x元,销售利润为y元,求得函数关系式,利用二次函数的性质即可解决问题. 【解答】解:设销售单价为x元,销售利润为y元. 根据题意,得: y=(x﹣20)[400﹣20(x﹣30)] =(x﹣20)(1000﹣20x) =﹣20x2+1400x﹣20000 =﹣20(x﹣35)2+4500, ∵﹣20<0, ∴x=35时,y有最大值, 故答案为35. 【点评】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题 16.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上,连接CE,则CE的长是 . 【分析】连接AG,根据旋转变换的性质得到,∠ABG=∠CBE,BA=BG,根据勾股定理求出CG、AD,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可. 【解答】解:连接AG, 由旋转变换的性质可知,∠ABG=∠CBE,BA=BG=5,BC=BE, 由勾股定理得,CG==4, ∴DG=DC﹣CG=1, 则AG==, ∵=,∠ABG=∠CBE, ∴△ABG∽△CBE, ∴==, 解得,CE=, 故答案为:. 【点评】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质,掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键. 三、解答题(本大题共22分) 17.(6分)计算|﹣1|+3﹣2﹣2sin45°+(3﹣π)0. 【分析】首先计算乘方、乘法,然后从左向右依次计算,求出算式的值是多少即可. 【解答】解:|﹣1|+3﹣2﹣2sin45°+(3﹣π)0 =﹣1+﹣2×+1 = 【点评】此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用. 18.(8分)如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,连接EF. 求证:(1)△ADE≌△CDF; (2)∠BEF=∠BFE. 【分析】(1)利用菱形的性质得到AD=CD,∠A=∠C,进而利用AAS证明两三角形全等; (2)根据△ADE≌△CDF得到AE=CF,结合菱形的四条边相等即可得到结论. 【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,∠A=∠C, ∵DE⊥BA,DF⊥CB, ∴∠AED=∠CFD=90°, 在△ADE和△CDE, ∵, ∴△ADE≌△CDE; (2)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CB, ∵△ADE≌△CDF, ∴AE=CF, ∴BE=BF, ∴∠BEF=∠BFE. 【点评】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是掌握菱形的性质以及AAS证明两三角形全等,此题难度一般. 19.(8分)把3,5,6三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上,把这三张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,先从中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的数字,放回后洗匀,再从中抽取一张卡片,记录下数字,请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率. 【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好都是奇数的情况,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解:画树状图如下: 由树状图可知,共有9种等可能结果,其中两次抽取的卡片上的数字都是奇数的有4种结果, ∴两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率为. 【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率. 四、解答题(每题8分,共16分) 20.(8分)某校为了开展读书月活动,对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查,所有图书分成四类:艺术、文学、科普、其他.随机调查了该校m名学生(每名学生必选且只能选择一类图书),并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图: 根据统计图提供的信息,解答下列问题: (1)m= 50 ,n= 30 ; (2)扇形统计图中,“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是 72 度; (3)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图; (4)根据抽样调查的结果,请你估计该校600名学生中有多少学生最喜欢科普类图书. 【分析】(1)根据其他的人数和所占的百分比即可求得m的值,从而可以求得n的值; (2)根据扇形统计图中的数据可以求得“艺术”所对应的扇形的圆心角度数; (3)根据题意可以求得喜爱文学的人数,从而可以将条形统计图补充完整; (4)根据统计图中的数据可以估计该校600名学生中有多少学生最喜欢科普类图书. 【解答】解:(1)m=5÷10%=50,n%=15÷50=30%, 故答案为:50,30; (2)由题意可得, “艺术”所对应的扇形的圆心角度数是:360°×=72°, 故答案为:72; (3)文学有:50﹣10﹣15﹣5=20, 补全的条形统计图如右图所示; (4)由题意可得, 600×=180, 即该校600名学生中有180名学生最喜欢科普类图书. 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答. 21.(8分)小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛,共有25道题,规定答对一道题得6分,答错或不答一道题扣2分,只有得分超过90分才能获得奖品,问小明至少答对多少道题才能获得奖品? 【分析】在这次竞赛中,小明获得优秀(90分以上),即小明的得分>90分,设小明答对了x,就可以列出不等式,求出x的值即可. 【解答】解:设小明答对了x题,根据题意可得: (25﹣x)×(﹣2)+6x>90, 解得:x>17, ∵x为非负整数, ∴x至少为18, 答:小明至少答对18道题才能获得奖品. 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,正确利用代数式表示出小明的得分. 五、解答题(共10分) 22.(10分)如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AC于点E,过点E作EF⊥AB于点F,延长EF交CB的延长线于点G,且∠ABG=2∠C. (1)求证:EF是⊙O的切线; (2)若sin∠EGC=,⊙O的半径是3,求AF的长. 【分析】(1)连接EO,由∠EOG=2∠C、∠ABG=2∠C知∠EOG=∠ABG,从而得AB∥EO,根据EF⊥AB得EF⊥OE,即可得证; (2)由∠ABG=2∠C、∠ABG=∠C+∠A知∠A=∠C,即BA=BC=6,在Rt△OEG中求得OG==5、BG=OG﹣OB=2,在Rt△FGB中求得BF=BGsin∠EGO,根据AF=AB﹣BF可得答案. 【解答】解:(1)如图,连接EO,则OE=OC, ∴∠EOG=2∠C, ∵∠ABG=2∠C, ∴∠EOG=∠ABG, ∴AB∥EO, ∵EF⊥AB, ∴EF⊥OE, 又∵OE是⊙O的半径, ∴EF是⊙O的切线; (2)∵∠ABG=2∠C,∠ABG=∠C+∠A, ∴∠A=∠C, ∴BA=BC=6, 在Rt△OEG中,∵sin∠EGO=, ∴OG===5, ∴BG=OG﹣OB=2, 在Rt△FGB中,∵sin∠EGO=, ∴BF=BGsin∠EGO=2×=, 则AF=AB﹣BF=6﹣=. 【点评】本题主要考查切线的判定与性质及解直角三角形的应用,熟练掌握切线的判定与性质及三角函数的定义是解题的关键. 六、解答题(共10分) 23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8),点C的坐标为(﹣2,4),点M,N分别为四边形OABC边上的动点,动点M从点O开始,以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向中点B匀速运动,动点N从O点开始,以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动,点M,N同时从O点出发,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动,设动点运动的时间t秒(t>0),△OMN的面积为S. (1)填空:AB的长是 10 ,BC的长是 6 ; (2)当t=3时,求S的值; (3)当3<t<6时,设点N的纵坐标为y,求y与t的函数关系式; (4)若S=,请直接写出此时t的值. 【分析】(1)利用勾股定理即可解决问题; (2)如图1中,作CE⊥x轴于E.连接CM.当t=3时,点N与C重合,OM=3,易求△OMN的面积; (3)如图2中,当3<t<6时,点N在线段BC上,BN=12﹣2t,作NG⊥OB于G,CF⊥OB于F.则F(0,4).由GN∥CF,推出=,即=,可得BG=8﹣t,由此即可解决问题; (4)分三种情形①当点N在边长上,点M在OA上时.②如图3中,当M、N在线段AB上,相遇之前.作OE⊥AB于E,则OE==,列出方程即可解决问题.③同法当M、N在线段AB上,相遇之后,列出方程即可; 【解答】解:(1)在Rt△AOB中,∵∠AOB=90°,OA=6,OB=8, ∴AB===10. BC==6, 故答案为10,6. (2)如图1中,作CE⊥x轴于E.连接CM. ∵C(﹣2,4), ∴CE=4OE=2, 在Rt△COE中,OC===6, 当t=3时,点N与C重合,OM=3, ∴S△ONM=•OM•CE=×3×4=6, 即S=6. (3)如图2中,当3<t<6时,点N在线段BC上,BN=12﹣2t,作NG⊥OB于G,CF⊥OB于F.则F(0,4). ∵OF=4,OB=8, ∴BF=8﹣4=4, ∵GN∥CF, ∴=,即=, ∴BG=8﹣t, ∴y=OB﹣BG=8﹣(8﹣t)=t. (4)①当点N在边长上,点M在OA上时,•t•t=, 解得t=(负根已经舍弃). ②如图3中,当M、N在线段AB上,相遇之前. 作OE⊥AB于E,则OE==, 由题意[10﹣(2t﹣12)﹣(t﹣6)]•=, 解得t=8, 同法当M、N在线段AB上,相遇之后. 由题意•[(2t﹣12)+(t﹣6)﹣10]•=, 解得t=, 综上所述,若S=,此时t的值8s或s或s. 【点评】本题考查四边形综合题、平行线分线段吧成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题. 七、解答题(共12分) 24.(12分)四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在直线上,连接CE,以CE为边,作正方形CEFG(点D,点F在直线CE的同侧),连接BF. (1)如图1,当点E与点A重合时,请直接写出BF的长; (2)如图2,当点E在线段AD上时,AE=1; ①求点F到AD的距离; ②求BF的长; (3)若BF=3,请直接写出此时AE的长. 【分析】(1)作FH⊥AB于H,由AAS证明△EFH≌△CED,得出FH=CD=4,AH=AD=4,求出BH=AB+AH=8,由勾股定理即可得出答案; (2)过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H,作FM⊥AB于M,则FM=AH,AM=FH,①同(1)得:△EFH≌△CED,得出FH=DE=3,EH=CD=4即可; ②求出BM=AB+AM=7,FM=AE+EH=5,由勾股定理即可得出答案; (3)分两种情况:①当点E在边AD的左侧时,过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H,交BC延长线于K,同(1)得::△EFH≌△CED,得出FH=DE=4+AE,EH=CD=4,得出FK=8+AE,在Rt△BFK中,BK=AH=EH﹣AE=4﹣AE,由勾股定理得出方程,解方程即可; ②当点E在边AD的右侧时,过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H,交BC延长线于K,同理得:AE=2+. 【解答】解:(1)作FH⊥AB于H,如图1所示: 则∠FHE=90°, ∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形, ∴AD=CD=4,EF=CE,∠ADC=∠DAH=∠BAD=∠CEF=90°, ∴∠FEH=∠CED, 在△EFH和△CED中,, ∴△EFH≌△CED(AAS), ∴FH=CD=4,AH=AD=4, ∴BH=AB+AH=8, ∴BF===4; (2)过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H,作FM⊥AB于M,如图2所示: 则FM=AH,AM=FH, ①∵AD=4,AE=1,∴DE=3, 同(1)得:△EFH≌△CED(AAS), ∴FH=DE=3,EH=CD=4, 即点F到AD的距离为3; ②∴BM=AB+AM=4+3=7,FM=AE+EH=5, ∴BF===; (3)分两种情况: ①当点E在边AD的左侧时,过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H,交BC延长线于K, 如图3所示: 同(1)得::△EFH≌△CED, ∴FH=DE=4+AE,EH=CD=4, ∴FK=8+AE,在Rt△BFK中,BK=AH=EH﹣AE=4﹣AE, 由勾股定理得:(4﹣AE)2+(8+AE)2=(3)2, 解得:AE=1或AE=﹣5(舍去), ∴AE=1; ②当点E在边AD的右侧时,过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H,交BC延长线于K,如图4所示: 同理得:AE=2+; 综上所述:AE的长为1或2+. 【点评】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等是解决问题的关键. 八、解答题(共12分) 25.(12分)如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,连接AB,点M,N分别是OA,AB的中点,Rt△CDE≌Rt△ABO,且△CDE始终保持边ED经过点M,边CD经过点N,边DE与y轴交于点H,边CD与y轴交于点G. (1)填空:OA的长是 8 ,∠ABO的度数是 30 度; (2)如图2,当DE∥AB,连接HN. ①求证:四边形AMHN是平行四边形; ②判断点D是否在该抛物线的对称轴上,并说明理由; (3)如图3,当边CD经过点O时,(此时点O与点G重合),过点D作DQ∥OB,交AB延长线上于点Q,延长ED到点K,使DK=DN,过点K作KI∥OB,在KI上取一点P,使得∠PDK=45°(点P,Q在直线ED的同侧),连接PQ,请直接写出PQ的长. 【分析】(1)先求抛物线与两坐标轴的交点坐标,表示OA和OB的长,利用正切值可得∠ABO=30°; (2)①根据三角形的中位线定理证明HN∥AM,由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得结论; ②如图1,作垂线段DR,根据直角三角形30度角的性质求DR=2,可知:点D的横坐标为﹣2,由抛物线的解析式可计算对称轴是直线:x=﹣=﹣2,所以点D在该抛物线的对称轴上; (3)想办法求出P、Q的坐标即可解决问题; 【解答】解:(1)当x=0时,y=8, ∴B(0,8), ∴OB=8, 当y=0时,y=﹣x2﹣x+8=0, x2+4x﹣96=0, (x﹣8)(x+12)=0, x1=8,x2=﹣12, ∴A(8,0), ∴OA=8, 在Rt△AOB中,tan∠ABO===, ∴∠ABO=30°, 故答案为:8,30; (2)①证明:∵DE∥AB, ∴, ∵OM=AM, ∴OH=BH, ∵BN=AN, ∴HN∥AM, ∴四边形AMHN是平行四边形; ②点D在该抛物线的对称轴上, 理由是:如图1,过点D作DR⊥y轴于R, ∵HN∥OA, ∴∠NHB=∠AOB=90°, ∵DE∥AB, ∴∠DHB=∠OBA=30°, ∵Rt△CDE≌Rt△ABO, ∴∠HDG=∠OBA=30°, ∴∠HGN=2∠HDG=60°, ∴∠HNG=90°﹣∠HGN=90°﹣60°=30°, ∴∠HDN=∠HND, ∴DH=HN=OA=4, ∴Rt△DHR中,DR=DH==2, ∴点D的横坐标为﹣2, ∵抛物线的对称轴是直线:x=﹣=﹣=﹣2, ∴点D在该抛物线的对称轴上; (3)如图3中,连接PQ,作DR⊥PK于R,在DR上取一点T,使得PT=DT.设PR=a. ∵NA=NB, ∴HO=NA=NB, ∵∠ABO=30°, ∴∠BAO=60°, ∴△AON是等边三角形, ∴∠NOA=60°=∠ODM+∠OMD, ∵∠ODM=30°, ∴∠OMD=∠ODM=30°, ∴OM=OD=4,易知D(﹣2,﹣2),Q(﹣2,﹣10), ∵N(4,4), ∴DK=DN==12, ∵DR∥x轴, ,∴∠KDR=∠OMD=30° ∴RK=DK=6,DR=6, ∵∠PDK=45°, ∴∠TDP=∠TPD=15°, ∴∠PTR=∠TDP+∠TPD=30°, ∴TP=TD=2a,TR=a, ∴a+2a=6, ∴a=12﹣18, 可得P(﹣2=6,10﹣18), ∴PQ==12. 【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、锐角三角函数、30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题. 查看更多